插值法与数据拟合法

第七讲插值方法与数据拟合

§ 7.1 引言

在工程和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据(x i , y i ) (i= 1, 2, …, n) 揭示自变量x与因变量y 之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式y = f (x) 来表示。函数f (x) 的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可采用两种方法：插值与数据拟合。

§ 7.1.1 插值方法

1．引例1 已经测得在北纬32.3︒海洋不同深度处的温度如下表：

根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如500米、600米、1000米…）处的水温。

解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。

2．插值问题的基本提法

对于给定的函数表

其中f (x) 在区间[a, b] 上连续，x0，x1，…，x n为[a, b] 上n + 1个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类{P(x)} 中，选出一个使

P(x i ) = y i，i= 0, 1, …, n(7.1.1) 成立的函数P(x) 作为 f (x) 的近似，这就是最基本的插值问题（见图7.1.1）。

为便于叙述，通常称区间[a, b] 为插值区间，称点x0，x1，…，x n为插值节点，称函数类{P(x)} 为插值函数类，称式(7.1.1) 为插值条件，称函数P(x) 为插值函数，称f (x) 为被插函数。求插值函数P(x) 的方法称为插值法。

§ 7.1.2 数据拟合

1．引例2 在某化学反应中，已知生成物的浓度与时间有关。今测得一组数据如下：

根据这些数据，我们希望寻找一个y = f (t) 的近似表达式（如建立浓度y与时间t之间的经验公式等）。从几何上看，就是希望根据给定的一组点（1, 4.00），…,（16, 10.60），求函数y = f (t) 的图象的一条拟合曲

线。

2．数据拟合问题的基本提法 对于给定的函数表

x x 0 x 1 … x n y = f (x )

y 0

y 1

…

y n

其中f (x ) 在区间 [a , b ] 上连续，x 0，x 1，…，x n 为 [a , b ] 上n + 1个互不相同的点，要求找一个简单合理的函数近似表达式 ϕ (x )，使 ϕ (x ) 与f (x ) 在某种准则下最为接近，这就是最基本的数据拟合问题（见图7.1.2）。

通常，我们称 ϕ (x ) 为给定数据点的拟合函数。

图7.1.1 插值问题示意图图 7.1.2 数据拟合问题示意图

§ 7.1.3 插值方法与数据拟合的基本理论依据

插值方法与数据拟合的基本理论依据，就是数学分析中的Weierstrass 定理：设函数f (x ) 在区间 [a , b ] 上连续，则对 ∀ε > 0，存在多项式P (x )，使得

ε<-∈)()(max ]

,[x P x f b a x 。

即：有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。 § 7.1.4 实际应用中两种方法的选择

在实际应用中，究竟选择哪种方法比较恰当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采用哪一种方法。具体说来，可从以下两方面来考虑：

1．如果给定的数据是少量的且被认为是严格精确的，那么宜选择插值方法。采用插值方法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处完全相等。

2．如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地控制作用的，那么宜选用数据拟合的方法。这是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完全吻合，就会使所求函数保留着原有的测量误差；另一方面，测试或统计数据通常很多，如果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效果往往较差。

§ 7.2 一维数据的基本插值方法简介

插值函数类的取法很多，可以是代数多项式，也可以是三角多项式或有理函数；可以是 [a , b ] 上任意光滑函数，也可以是分段光滑函数。在此介绍最基本、最常用的两种插值方法：分段多项式插值与三次样条插值，及其Matlab 实现。 § 7.2.1 一维数据的分段多项式插值

对于给定的一维数据

分段多项式插值就是求一个分段（共n 段）多项式P (x )，使其满足P (x i ) = y i （i = 0, 1, …, n ）或更高的要求。一般地，分段多项式插值中的多项式都是低次多项式（不超过三次）。

1．分段线性插值

分段线性插值函数P 1 (x ) 是一个分段一次多项式（分段线 性函数）。在几何上就是用折线代替曲线，如图7.2.1，故分段

线性插值亦称为折线插值。其插值公式为 i i i i i i i i y x x x x y x x x x x P 1

1

111)(++++--+--=

，x ∈[x i , x i +1] (7.2.1)

2．分段二次插值 图7.2.1 分段线性插值示意图 分段二次插值函数P 2 (x ) 是一个分段二次多项式。在几何上就是分段抛物线代替曲线y = f (x )，故分段二次插值又称为分段抛物插值。其插值公式为

111111*********)

)(()

)(())(())(())(())(()(++-+-+-+--+--+----+----+----=

i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x P

∑∏+-=+≠-=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1

11

1i i k k i k j i j j k j

y x x x x ， x ∈[x i -1 , x i +1] (7.2.2) 3．三次Hermite 插值

三次Hermite 插值问题的基本提法一：已知一维数据

求一个三次多项式P 3 (x )，使之满足

P 3 (x i ) = y i ，P 3' (x i ) = m i ，i = 0, 1 (7.2.3)

构造三次插值基函数α0(x )，α1(x )，β0(x )，β1(x )，使之满足