插值法与数据拟合法
用拉格朗日插值法拟合数据
用拉格朗日插值法拟合数据步骤
以下是使用拉格朗日插值法拟合数据的基本步骤：
1. 收集已知数据点：首先，需要收集一组已知的数据点，这些数据点包括自变量和对应的因变量值。
2. 构造拉格朗日多项式：根据已知数据点，构造拉格朗日多项式。
拉格朗日多项式是一个关于自变量的多项式，通过已知数据点确定其系数。
3. 插值计算：利用构造的拉格朗日多项式，对未知数据点进行插值计算。
根据自变量值，计算出对应的因变量值。
注意事项
在使用拉格朗日插值法拟合数据时，需要注意以下几点：
1. 数据点的选择：已知数据点的选择对拟合结果有重要影响。
应选择具备代表性的数据点，并避免过分密集或过于稀疏的分布。
2. 插值误差：拉格朗日插值法是一种插值方法，而非外推方法。
因此，在进行插值计算时，应注意插值误差的范围，避免过大的误差。
3. 拟合复杂性：拉格朗日插值法是一种简单直观的拟合方法，
适用于一般性的数据拟合。
然而，对于复杂的数据拟合问题，可能
需要考虑其他更为复杂的插值方法。
总结
拉格朗日插值法是一种常用的数据拟合方法，可以通过已知的
数据点推测出未知数据点的值。
它基于拉格朗日多项式的概念，并
利用多项式的特性进行拟合。
在使用拉格朗日插值法时，需要注意
数据点的选择、插值误差的范围以及拟合复杂性。
常用数值分析方法3插值法与曲线拟合
p1(x)y1yx2 2 xy11(xx1)（变形）
xx1xx22y1xx2xx11y2
A1(x)
A2(x)
插值基函数
X.Z.Lin
3.2.3 抛物线插值
已知：三点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3） 求：其间任意 x 对应的 y 值
y (x3, y3)
y=f(x) (x2, y2) y=p2(x)
（1）算术平均值
n
xi
x i1 n
（2）标准偏差
n xi2 N xi 2 n
i1
i1
n1
（3）平均标准偏差
E
n
（4）剔出错误数据??可可疑疑数数 据据
Q 数据排序（升）：x1，x2，…，xn；
最大与最小数据之差；
值 可疑数据与其最邻近数据之间的差
法 求Q值：
Qxnxn1 或 Qx2x1
3.1 实验数据统计处理
3.1.1 误差
系统误差 经常性的原因
影响比较恒定
偶然误差
偶然因素
正态分布规律
校正
过失误差
统计分析
-3σ -2σ -σ 0 σ 2σ 3σ 图6.1 平行试验数据的正态分布图
操作、计算失误
错误数据
剔出
21:39 07.02.2021
2/37
X.Z.Lin
3.1.2 数据的统计分析
A3(x)(x(x3 xx11))((xx3xx22))
21:39 07.02.2021
9/37
X.Z.Lin
3.2.4 Lagrange插值的一般形式
已知：n点（x1，y1）、（x2，y2）……（xn，yn） 求：其间任意 x 对应的 y 值
第二章插值与拟合
1 不为零。
xn
n xn xn
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
三、线性插值
假定已知区间[xk, xk+1] 的端点处的函数值 yk=f(xk), yk+1=f(xk+1),要求线性插值多项式 L1(x),使它满足 L1(xk)=yk
L1(xk+1)=yk+1
则L1(x)的表达式可按下式给出：
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k , k 1) l k ( x k ) 1, l k ( x j ) 0( j k 1, k 1) (28) l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k 1, k ) 满足（28 ）式的插值基函数很容 易求出的，例如求 l k 1 ( x)，因为它有两个零点 k 和x k 1，故可表达为： x l k 1 ( x) A( x x k )(x x k 1 ) 其中A为待定系数可由 k 1 ( x k 1 ) 1定出： l 1 A ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k )(x x k 1 ) 于是l k 1 ( x)＝ ，同理可得 ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k－1 )(x x k 1 ) ( x x k 1 )(x x k ) l k ( x)＝ ，l k 1 ( x)＝ ( x k x k－1 )(x k x k 1 ) ( x k＋1 x k 1 )(x k 1 x k )
解：2、抛物插值
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合是数据处理和分析中常用的方法，它们的主要差异如下：
1. 目标不同：
- 插值法的主要目标是通过已知数据点的函数值推断未知数据点的函数值，以填充数据的空缺部分或者进行数据的重构。
- 曲线拟合的主要目标是通过已知数据点拟合出一条函数曲线，以描述数据点之间的趋势或模式。
2. 数据使用方式不同：
- 插值法使用已知数据点的函数值作为输入，通过构造插值函数来推断未知数据点的函数值。
- 曲线拟合使用已知数据点的函数值作为输入，并通过选择合适的拟合函数参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
3. 数据点要求不同：
- 插值法要求已知数据点间的函数值比较准确，以保证插值函数的质量，并要求数据点间的间距不会过大，避免出现过度插值或者不稳定的现象。
- 曲线拟合对于数据点的要求相对较松，可以容忍噪声、异常值等因素，因为它不需要将函数曲线完全通过所有数据点。
4. 应用场景不同：
- 插值法常见应用于信号处理、图像处理等领域，可以用于填充缺失数据、图像重构等任务。
- 曲线拟合常见应用于数据分析、模型建立等领域，可以用
于描述数据间的趋势、拟合科学模型等。
综上所述，插值法和曲线拟合在目标、数据使用方式、数据点要求和应用场景等方面存在明显的差异。
插值法与拟合法在传染病问题中的应用
探索与争鸣DOI：10.16661/ki.1672-3791.2107-5042-7919插值法与拟合法在传染病问题中的应用杨莹 闫泽飞 华瑛*(西安文理学院信息工程学院 陕西西安 710065)摘 要：该文是针对插值法与拟合法在传染病问题上的应用分析。
搜集连续60天的患病人数作为处理数据，通过使用插值法和拟合法进行模拟，求得累计患病人数与时间的关系。
结果表明：（1）在精度上拉格朗日插值法与牛顿插值法的误差相似。
但是对于一些结构复杂的函数，牛顿插值法的优势比起拉格朗日插值法更加明显。
（2）使用数据拟合法进行传染病问题的应用分析，相较于插值法处理能得到更加精准的结果。
关键词：拉格朗日插值法 牛顿插值法 差商 数据拟合法 最小二乘法中图分类号：O314 文献标识码：A文章编号：1672-3791(2021)08(a)-0183-04Application of Interpolation Method and Fitting Method inInfectious DiseaseYANG Ying YAN Zefei HUA Ying*(College of Information Engineering, Xi'an University, Xi'an, Shaanxi Province, 710065 China)Abstract: This paper analyzes the application of interpolation method and f itting method in the problem of infectious diseases. The number of patients in 60 consecutive days was collected as the processing data, and the relationship between the cumulative number of patients and time was obtained by using interpolation method and f itting method for simulation. The results show that: (1) The errors of Lagrange interpolation method and Newton interpolation method are similar in accuracy. However, for some functions with complex structure, the advantages of Newton interpolation method are more obvious than Lagrange interpolation method. (2) The application analysis of infectious disease problems using data f itting method can get more accurate results than interpolation method.Key Words: Lagrange interpolation method; Newton interpolation method; Difference quotient; Data f itting method; Least square method作者简介：杨莹（2000—），女，本科在读，研究方向为软件工程。
数值计算插值法与拟合实验
dy0=-10.*(1-5.^4)./(1+5.^4).^2;dyn=10.*(1-5.^4)./(1+5.^4).^2;
m=maspline(x1,y1,dy0,dyn,xx);
plot(xx,m,'ok')
2、
程序：
x=[-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5]';
plot(xx,m,'ok')
第二个方程
程序
x=-5:0.2:5;
y=atan(x);
plot(x,y,'r');
hold on
x1=-5:1:5;
y1=atan(x1);
xx=-4.5:0.5:4.5;
yy=malagr(x1,y1,xx);
plot(xx,yy,'+')
dy0=1./(1+25);dyn=1./(1+25);
实验报告三
一、实验目的
通过本实验的学习，各种插值法的效果，如多项式插值法，牛顿插值法，样条插值法，最小二乘法拟合（即拟合插值），了解它们各自的优缺点及插值。
二、实验题目
1、插值效果比较
实验题目：将区间 10等份，对下列函数分别计算插值节点 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与 的图形进行比较：
y=[-4.45 -0.45 0.55 0.05 -0.44 0.54 4.55]';
plot(x,y,'or');hold on
%三.2:1.5;
y1=p1(1)*x1.^3+p1(2)*x1.^2+p1(3)*x1+p1(4);
插值法和曲线拟合的主要差异
插值法和曲线拟合的主要差异引言在数学和统计学中，插值法和曲线拟合是两种常用的数据处理方法。
它们在数据分析、模型构建和预测等领域发挥着重要作用。
本文将详细介绍插值法和曲线拟合的定义、原理、应用以及它们之间的主要差异。
插值法定义插值法是一种通过已知数据点之间的函数关系来推断未知数据点的方法。
它基于一个假设，即已知数据点之间存在一个连续且光滑的函数，并且通过这个函数可以准确地估计其他位置上的数值。
原理插值法通过对已知数据点进行插值操作，得到一个近似函数，然后使用这个函数来估计未知数据点的数值。
常见的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
应用插值法在各个领域都有广泛应用，如地图制作中根据少量已知地理坐标点推算其他位置上的坐标；传感器测量中根据离散采样点推断连续时间序列上未采样到的数据；图像处理中通过已知像素点推测其他位置上的像素值等。
主要特点•插值法可以精确地通过已知数据点估计未知数据点的数值，适用于需要高精度估计的场景。
•插值法对输入数据的要求较高，需要保证已知数据点之间存在连续且光滑的函数关系。
•插值法只能在已知数据点之间进行插值，无法对整个数据集进行全局拟合。
曲线拟合定义曲线拟合是一种通过选择合适的函数形式，并调整函数参数来使得函数与给定数据集最为接近的方法。
它不仅可以对已知数据进行拟合，还可以根据拟合结果进行预测和模型构建。
原理曲线拟合首先选择一个适当的函数形式，如多项式、指数函数、对数函数等。
然后使用最小二乘法或最大似然估计等方法来确定函数参数，使得函数与给定数据集之间的误差最小化。
应用曲线拟合广泛应用于各个领域，如经济学中根据历史数据构建经济模型进行预测；物理学中通过实验数据来验证理论模型；生物学中根据实验测量数据拟合生长曲线等。
主要特点•曲线拟合可以对整个数据集进行全局拟合，能够更好地描述数据的整体趋势。
•曲线拟合可以选择不同的函数形式和参数，灵活性较高。
•曲线拟合可能存在过拟合或欠拟合的问题，需要通过模型评估和调整来提高拟合效果。
数值计算04-插值与拟合
二维插值的定义
第一种（网格节点）：
y
O
x
已知 mn个节点 其中 互不相同，不妨设
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
第二种（散乱节点）：
y
0
x
已知n个节点
其中 互不相同，
构造一个二元函数
通过全部已知节点,即
再用
计算插值，即
最邻近插值
y
( x1 , y2 ) ( x2 , y2 )
( x1 , y1 ) ( x2 , y1 )
x
O
注意：最邻近插值一般不连续。具有连续性的最简单 的插值是分片线性插值。
分片线性插值
速度最快，但平滑性差
linear
占有的内存较邻近点插值方法多，运算时间 也稍长，与邻近点插值不同，其结果是连续 的，但在顶点处的斜率会改变 运算时间长，但内存的占有较立方插值方法 要少，三次样条插值的平滑性很好，但如果 输入的数据不一致或数据点过近，可能出现 很差的插值结果 需要较多的内存和运算时间，平滑性很好 二维插值函数独有。插值点处的值和该点值 的导数都连续
x=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 y=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
海拔高度数据为： z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82 92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84 96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85 80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86 82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83 82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92 92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84 85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95 84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88 80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82 87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 87
知道两个坐标求函数值的方法
知道两个坐标求函数值的方法在数学中，当我们知道两个点的坐标时，我们通常可以通过一些方法来求解通过这两个点的函数的值。
本文将介绍两种常见的方法，即插值法和线性拟合法。
一、插值法插值法是通过已知的离散数据点来构建一个函数，这个函数可以在已知数据点之间进行曲线插值。
常见的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是利用拉格朗日多项式来完成插值的方法。
假设我们已知两个点的坐标为(x0,y0)和(x1,y1)，我们可以构造一个一次多项式L(x)来表示通过这两个点的函数。
$$ L(x) = \\frac{(x-x_0)y_1 - (x-x_1)y_0}{x_1-x_0} $$通过该插值多项式，我们可以计算给定x值时对应的函数值。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是利用牛顿插值多项式来完成插值的方法。
假设我们已知两个点的坐标为(x0,y0)和(x1,y1)，我们可以构造一个一次多项式N(x)来表示通过这两个点的函数。
$$ N(x) = y_0 + (x-x_0)\\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} $$通过该插值多项式，我们同样可以计算给定x值时对应的函数值。
二、线性拟合法线性拟合法是通过已知的离散数据点来构建一条直线，该直线可以尽量接近已知的数据点。
在线性拟合中，我们假设通过这两个点的函数是一条直线。
假设我们已知两个点的坐标为(x0,y0)和(x1,y1)，我们可以利用这两个点来确定直线的斜率k和截距b，即$$ k = \\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} $$b=y0−kx0通过这两个参数，我们可以构建一条直线y=kx+b。
利用这条直线，我们可以计算给定x值时对应的函数值。
三、总结通过插值法和线性拟合法，我们可以利用已知的两个点的坐标来求解通过这两个点的函数的值。
插值法可以通过构建多项式来完成插值，而线性拟合法则是通过构建一条直线来尽量接近已知的数据点。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和数据点的分布情况。
插值法和拟合实验报告
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过实验了解插值法和拟合法在数值计算中的应用；2.掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法的原理和使用方法；3.学会使用最小二乘法进行数据拟合。
二、实验仪器和材料1.一台计算机；2. Matlab或其他适合的计算软件。
三、实验原理1.插值法插值法是一种在给定的数据点之间“插值”的方法，即根据已知的数据点，求一些点的函数值。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法。
-拉格朗日插值法：通过一个n次多项式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-牛顿插值法：通过递推公式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-分段线性插值法：通过将给定的n+1个数据点的连线延长，将整个区间分为多个小区间，在每个小区间上进行线性插值，构造出一个插值函数。
2.拟合法拟合法是一种通过一个函数，逼近已知的数据点的方法。
常用的拟合法有最小二乘法。
-最小二乘法：通过最小化实际观测值与拟合函数的差距，找到最优的参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
四、实验步骤1.插值法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法，分别求出要插值的点的函数值；-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
2.拟合法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用最小二乘法，拟合出一个合适的函数；-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
五、实验结果与分析1.插值法的结果分析：-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
根据实验数据和插值函数的图形，可以判断插值函数是否能较好地逼近实际的曲线。
-比较不同插值方法的计算时间和计算复杂度，评价其使用的效率和适用范围。
2.拟合法的结果分析：-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
可以使用均方根误差（RMSE）等指标来进行评价。
-根据实际数据点和拟合函数的图形，可以判断拟合函数是否能较好地描述实际的数据趋势。
插值与拟合的实验报告心得
插值与拟合的实验报告心得1.引言1.1 概述插值与拟合是数值分析和数据处理领域中常见的重要技术方法，通过对已知数据点进行插值计算，得到未知点的数值估计。
插值方法可以帮助我们填补数据间的空缺、平滑曲线和预测未来趋势，因此在科学研究、工程建模和数据分析中具有广泛的应用价值。
本实验报告将对插值的基本概念进行介绍，探讨插值方法的分类和在实际应用中的意义。
同时，我们将总结实验结果，评述插值与拟合的优缺点，并提出对进一步研究的建议，希望通过本报告对插值与拟合的方法和应用有一个全面的了解。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括:在本报告中，将包括以下几个部分的内容:1. 引言：介绍插值与拟合的基本概念，以及本实验的目的和意义。
2. 正文：包括插值的基本概念、插值方法的分类以及插值在实际应用中的意义。
我们将深入探讨这些内容，并解释它们在实验中的具体应用。
3. 结论：总结本次实验的结果，分析插值与拟合的优缺点，并提出对进一步研究的建议。
通过以上内容的分析和探讨，我们希望能够全面地了解插值与拟合的理论基础和实际应用，为进一步的研究和实践提供一定的参考和启发。
1.3 目的本实验的目的在于通过对插值和拟合的实验研究，探索和了解这两种数学方法在现实生活中的应用。
通过实验，我们将深入了解插值的基本概念和分类方法，以及插值在实际应用中的意义。
同时，我们还将对插值和拟合的优缺点进行分析，为进一步的研究提供建议和启示。
通过本实验，我们的目的是掌握插值与拟合方法的应用和特点，为实际问题的求解提供更多的数学工具和思路。
2.正文2.1 插值的基本概念插值是指通过已知数据点构建出一个函数，该函数经过这些数据点，并且在每个数据点上都有相应的函数值。
换句话说，插值是一种通过已知离散数据点来推断未知数据点的方法。
在数学上，插值可以用于近似未知函数的值，或者用于填补数据间的空隙。
在插值过程中，我们通常会选择一个合适的插值函数，比如多项式函数、三角函数或者样条函数等，来拟合已知的数据点。
插值法与数据拟合
x=0:3:9;
y=x.*cos(x);
xx=linspace(0,9);
plot(x,y,'o');%样本点
hold on;
plot(xx,interp1(x,y,xx,'spline'),'r');%interp1只能使用默认边界条件
plot(xx,spline(x,[0 y 0],xx),'r:');%spline可以使用第一类边界条件，这里y'(0)=y'(9)=0 pp=csape(x,y,'second');
>> yi=New_int(x,y,0.596)
yi =0.631914405504000
4、已知函数在下列各点的值为：
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.98
0.92
0.81
0.64
0.38
试用4次牛顿插值多项式 对数据进行插值，根据｛ ｝，画出图形。
解：X=[0.2:0.2:1.0]; y=[0.98,0.92,0.81,0.64,0.38];
解：a=-1;b=1;n=100;h=(b-a)/n;
>> x=a:h:b;y=1./(1+25.*x.^2);
>> plot(x,y,'k')
其函数原图形分别如下所示：
图二龙格函数的图形
用龙格函数的Lagrange（）插值函数画图源程序
当n =10时，有：
functionRunge(10)
% Runge现象
xx=[0:0.5:64]; yy=sqrt(ห้องสมุดไป่ตู้x);
数学建模讲座(五)插值和拟合
Lagrange插值法的缺点 插值法的缺点
多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 数也会升高，可能造成插值函数的收敛性和 稳定性变差。如龙格（Runge）现象。 在[-1,1]上用n+1个等距节点作插值多项式 Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2) 在对应节点的值相等，当n增大时，插值多项 式在区间的中间部分趋于y(x)，但对于满足条 件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋于y(x)在对应 点的值，产生了Runge现象。 现象。 现象
三次样条
即 Si(x)=aix3+bix2+cix+di i=0,1,…,n xi-1≤x ≤xi （4n个变量） 需要4n个方程 (n+1个方程） S(xi) = yi i=0,1,…,n Si(xi)= Si+1(xi) i=1,…,n-1 在xi连续 (n-1个方程） Si/(xi)= Si+1/(xi) i=1,…,n-1 在xi连续(n-1个方程） Si//(xi)= Si+1 //(xi) i=1,…,n-1 在xi连续(n-1个方程） 再加两个条件 S//(x0)= S //(xn)=0 自然边界条件（2个方程） 可以证明：满足上述 个线性方程组有唯一解 满足上述4n个线性方程组有唯一解 满足上述 个线性方程组有唯一解。
n I (x) = ∑ y l (x) n ii i =0
可以证明：In(x) →f(x)
1.3 三次样条
设在区间[a,b]上，已给n+1个互不相同的节点 a=x0<x1<…<xn=b 而函数y = f(x)在这些节点的值f(xi)=yi,i=0,1,…,n.如 果分段函数S(x)满足下列条件，就称S(x)为f(x)在点x0， x1，…，xn的三次样条插值函数. （1） S(x)在子区间[xi,xi+1]的表达式Si(x)都是次数 为3的多项式； （2）S(xi) = yi; （3） S(x)在区间[a,b]上有连续的二阶导数。
插值与拟合方法
插值与拟合方法插值和拟合是数学中常用的方法，用于根据已知数据点的信息，推断出未知数据点的数值或函数的形式。
插值和拟合方法是经典的数学问题，应用广泛，特别是在数据分析、函数逼近和图像处理等领域。
1.插值方法：插值方法是通过已知数据点的信息，推断出两个已知数据点之间的未知数据点的数值。
插值方法的目的是保证插值函数在已知数据点处与实际数据值一致，并且两个已知数据点之间的连续性良好。
最常用的插值方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法根据已知数据点的横纵坐标，构造一个多项式函数，满足通过这些数据点。
拉格朗日插值法可以用于任意次数的插值。
牛顿插值法是使用差商的概念进行插值。
差商是指一个多项式在两个数据点之间的斜率。
牛顿插值法通过迭代计算得到与已知数据点一致的多项式。
插值方法的优点是可以精确地经过已知数据点，但是在两个已知数据点之间的插值部分可能会出现震荡现象，从而导致插值结果不准确。
2.拟合方法：拟合方法是通过已知数据点的信息，找出一个函数或曲线，使其能够最好地拟合已知数据点。
拟合方法的目标是寻找一个函数或曲线，尽可能地逼近已知数据点，并且能够在未知数据点处进行预测。
最常用的拟合方法是最小二乘法。
最小二乘法是通过求解最小化残差平方和的问题来进行拟合。
残差是指已知数据点与拟合函数的差异。
最小二乘法的目标是找到一个函数，使得所有数据点的残差平方和最小。
拟合方法的优点是可以得到一个光滑的函数或曲线，从而可以预测未知数据点的数值。
但是拟合方法可能会导致过拟合问题，即过度拟合数据点，导致在未知数据点处的预测结果不准确。
除了最小二乘法，还有其他的拟合方法，如局部加权回归和样条插值等。
局部加权回归是一种基于最小二乘法的拟合方法，它通过赋予不同的数据点不同的权重，来实现对未知数据点的预测。
样条插值是一种基于多项式插值的拟合方法，它将整个数据集分段拟合，并且在分段部分保持连续性和光滑性。
总结：插值和拟合方法是数学中的经典方法，用于根据已知数据点的信息，推断出未知数据点的数值或函数的形式。
数值分析实验报告插值与拟合
结果分析：高次插值稳定性差，而低次插值对于较大区间逼近精度又不够，而且，随着节点的加密，采用高次插值，插值函数两端会发生激烈震荡。解决这一矛盾的有效方法就是采用分段低次代数插值。
（2）
通过采用分段线性插值得到以下结果：
结果分析：通过采用分段线性插值，发现随着插值节点增多，插值计算结果的误差越来越小，而且分段线性插值的优点是计算简单，曲线连续和一致收敛，但是不具有光滑性。
拟合是指通过观察或测量得到一组离散数据序列 ，i=1,2，…，m，构造插值函数 逼近客观存在的函数 ，使得向量 与 的误差或距离最小。
可知当基函数的选择不同时，拟合函数的误差也会不同，所以在对数据进行拟合时应选择适合的基函数。
三、练习思考
整体插值有何局限性？如何避免？
答：整体插值的过程中，若有无效数据则整体插值后插值曲线的平方误差会比较大，即在该数据附近插值曲线的震动幅度较大。在插值处理前，应对原始数据进行一定的筛选，剔除无效数据。
②相同点：通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律目的
四、本次实验的重点难点分析
答:加强了对插值和拟合的认识，了解了其算法思想，并使用matlab将其实现。学会了观察插值拟合后的图形，并分析其问题。
画图进行比较：
通过观察图像，经比较可知两结果是很接近的。
2．区间 作等距划分： ，以 （ ）为节点对函数 进行插值逼近。（分别取 ）
（1）用多项式插值对 进行逼近，并在同一坐标系下作出函数的图形，进行比较。写出插值函数对 的逼近程度与节点个数的关系，并分析原因。
（2）试用分段插值（任意选取）对 进行逼近，在同一坐标下画出图形，观察分段插值函数对 的逼近程度与节点个数的关系。
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第七讲插值方法与数据拟合§ 7.1 引言在工程和科学实验中，常常需要从一组实验观测数据(x i , y i ) (i= 1, 2, …, n) 揭示自变量x与因变量y 之间的关系，一般可以用一个近似的函数关系式y = f (x) 来表示。
函数f (x) 的产生办法因观测数据与要求的不同而异，通常可采用两种方法：插值与数据拟合。
§ 7.1.1 插值方法1．引例1 已经测得在北纬32.3︒海洋不同深度处的温度如下表：根据这些数据，我们希望能合理地估计出其它深度（如500米、600米、1000米…）处的水温。
解决这个问题，可以通过构造一个与给定数据相适应的函数来解决，这是一个被称为插值的问题。
2．插值问题的基本提法对于给定的函数表其中f (x) 在区间[a, b] 上连续，x0，x1，…，x n为[a, b] 上n + 1个互不相同的点，要求在一个性质优良、便于计算的函数类{P(x)} 中，选出一个使P(x i ) = y i，i= 0, 1, …, n(7.1.1) 成立的函数P(x) 作为 f (x) 的近似，这就是最基本的插值问题（见图7.1.1）。
为便于叙述，通常称区间[a, b] 为插值区间，称点x0，x1，…，x n为插值节点，称函数类{P(x)} 为插值函数类，称式(7.1.1) 为插值条件，称函数P(x) 为插值函数，称f (x) 为被插函数。
求插值函数P(x) 的方法称为插值法。
§ 7.1.2 数据拟合1．引例2 在某化学反应中，已知生成物的浓度与时间有关。
今测得一组数据如下：根据这些数据，我们希望寻找一个y = f (t) 的近似表达式（如建立浓度y与时间t之间的经验公式等）。
从几何上看，就是希望根据给定的一组点（1, 4.00），…,（16, 10.60），求函数y = f (t) 的图象的一条拟合曲线。
2．数据拟合问题的基本提法 对于给定的函数表x x 0 x 1 … x n y = f (x )y 0y 1…y n其中f (x ) 在区间 [a , b ] 上连续，x 0，x 1，…，x n 为 [a , b ] 上n + 1个互不相同的点，要求找一个简单合理的函数近似表达式 ϕ (x )，使 ϕ (x ) 与f (x ) 在某种准则下最为接近，这就是最基本的数据拟合问题（见图7.1.2）。
通常，我们称 ϕ (x ) 为给定数据点的拟合函数。
图7.1.1 插值问题示意图图 7.1.2 数据拟合问题示意图§ 7.1.3 插值方法与数据拟合的基本理论依据插值方法与数据拟合的基本理论依据，就是数学分析中的Weierstrass 定理：设函数f (x ) 在区间 [a , b ] 上连续，则对 ∀ε > 0，存在多项式P (x )，使得ε<-∈)()(max ],[x P x f b a x 。
即：有界区间上的连续函数被多项式一致逼近。
§ 7.1.4 实际应用中两种方法的选择在实际应用中，究竟选择哪种方法比较恰当？总的原则是根据实际问题的特点来决定采用哪一种方法。
具体说来，可从以下两方面来考虑：1．如果给定的数据是少量的且被认为是严格精确的，那么宜选择插值方法。
采用插值方法可以保证插值函数与被插函数在插值节点处完全相等。
2．如果给定的数据是大量的测试或统计的结果，并不是必须严格遵守的，而是起定性地控制作用的，那么宜选用数据拟合的方法。
这是因为，一方面测试或统计数据本身往往带有测量误差，如果要求所得的函数与所给数据完全吻合，就会使所求函数保留着原有的测量误差；另一方面，测试或统计数据通常很多，如果采用插值方法，不仅计算麻烦，而且逼近效果往往较差。
§ 7.2 一维数据的基本插值方法简介插值函数类的取法很多，可以是代数多项式，也可以是三角多项式或有理函数；可以是 [a , b ] 上任意光滑函数，也可以是分段光滑函数。
在此介绍最基本、最常用的两种插值方法：分段多项式插值与三次样条插值，及其Matlab 实现。
§ 7.2.1 一维数据的分段多项式插值对于给定的一维数据分段多项式插值就是求一个分段（共n 段）多项式P (x )，使其满足P (x i ) = y i （i = 0, 1, …, n ）或更高的要求。
一般地，分段多项式插值中的多项式都是低次多项式（不超过三次）。
1．分段线性插值分段线性插值函数P 1 (x ) 是一个分段一次多项式（分段线 性函数）。
在几何上就是用折线代替曲线，如图7.2.1，故分段线性插值亦称为折线插值。
其插值公式为 i i i i i i i i y x x x x y x x x x x P 11111)(++++--+--=，x ∈[x i , x i +1] (7.2.1)2．分段二次插值 图7.2.1 分段线性插值示意图 分段二次插值函数P 2 (x ) 是一个分段二次多项式。
在几何上就是分段抛物线代替曲线y = f (x )，故分段二次插值又称为分段抛物插值。
其插值公式为111111*********))(())(())(())(())(())(()(++-+-+-+--+--+----+----+----=i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x P∑∏+-=+≠-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111i i k k i k j i j j k jy x x x x ， x ∈[x i -1 , x i +1] (7.2.2) 3．三次Hermite 插值三次Hermite 插值问题的基本提法一：已知一维数据求一个三次多项式P 3 (x )，使之满足P 3 (x i ) = y i ，P 3' (x i ) = m i ，i = 0, 1 (7.2.3)构造三次插值基函数α0(x )，α1(x )，β0(x )，β1(x )，使之满足⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⎩⎨⎧=≠='==='⎩⎨⎧=≠=1,0,, ,1 ,0)(,0)(1,0,,0)(,,1 ,0)(j i j i j i x x j i x ji ji x j i j i j i j i ββαα (7.2.4)利用这四个插值基函数，取三次多项式P 3 (x ) 为P 3 (x ) = α0(x ) y 0 + α1(x ) y 1 + β0(x ) m 0 + β1(x ) m 1 (7.2.5)将插值条件 (7.2.3) 式代入，可推得：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=2010112101002010101121010100)()()()(21)(21)(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x ββαα (7.2.6) (7.2.5)、 (7.2.6) 两式构成了三次Hermite 插值基本提法一的插值公式。
三次Hermite 插值问题的基本提法二：已知一维数据求一个三次多项式P 3 (x )，使之满足P 3 (x i ) = y i ，i = 0, 1, 2，P 3' (x 1 ) = m i (7.2.7)构造三次插值基函数α0(x )，α1(x )，α2 (x )，β1(x )，使之满足⎪⎭⎪⎬⎫='==='⎩⎨⎧=≠=1)(,0)(2,1,0,,0)(, ,1 ,0)(1111x x j i x j i j i x j i j i ββαα (7.2.8)利用这四个插值基函数，取三次多项式P 3 (x ) 为P 3 (x ) = α0(x ) y 0 + α1(x ) y 1 + α2(x ) y 2 + β1(x ) m 1 (7.2.9)将插值条件 (7.2.7) 式代入，可推得：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫-----=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-------=----=))(())()(()())(())(()(11)(1)()())(()()()()()()(21012101212022103210112120`1201202102210x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x βααα (7.2.10) (7.2.9)、 (7.2.10) 两式构成了三次Hermite 插值基本提法二的插值公式。
§ 7.2.2 一维数据的三次样条插值上述介绍的分段多项式插值，其优点为计算简单、稳定性好、收敛性有保证，且易于在计算机上实现。
但它也明显存在着缺陷。
它只能保证在每个小区间段 [x i , x i +1] 内光滑，在各小区间连接点x i 处连续，却不能保证整条曲线的光滑、光顺性，难以满足某些工程的要求。
对于象高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数。
而由60年代开始，首先起源与航空、造船业等工程设计的实际需要而发展起来的样条插值，既保留了分段多项式插值的各种优点，又提高了插值函数的光滑度。
在此，仅介绍应用最广且具有二阶连续导数的三次样条插值方法。
1．三次样条插值问题的基本提法 对于给定的一维数据求一个三次多项式S (x ) 满足条件 （1）S (x i ) = y i ，i = 0, 1, …, n ；（2）S (x ) 具有二阶连续导数，特别在节点x i 上应满足连续性要求，即对i = 0, 1, …, n 有⎪⎭⎪⎬⎫+=-+=-+=-)0('')0('')0(')0(')0()0(i i i i i i x S x S x S x S x S x S 2．三次样条插值函数给定区间 [a , b ] 的一个划分∆：a = x 0 < x 1 < … < x n = b ，设函数y = f (x ) 在节点x i 上的值为y i = f (x i )，i = 0, 1, …, n 。
如果S (x ) 于 [a , b ] 有二阶连续导数，且在每个小区间 [x i , x i +1] 上是三次多项式，则称S (x ) 是节点x 0，x 1，…，x n 上的三次样条函数。