幂级数的收敛域

n1 n
当x

-
1 2
时，
n1
2n n
(
1 )n 2


(1)n
n1
1收敛 n
收 敛 域 为[ 1 , 1 ). 22
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数

例2、求幂级数
1 xn的收敛半径，并讨论收敛域.
n1 n!
解
: an

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1, n!
an1

(n
1 1)!
,
l lim | an1 | a n
n1 n
解
: an

2n n
,
2n1
an1

, n1
l

lim |
n
an1 an
|

2n1 lim n n 1
n 2n
2n lim 2
n n 1
收敛半径为r 1 . 2
当x 1 时 ， 2n ( 1 )n 1发散;
2
n1 n 2
则其和函数在I连续可导，且
d
d
dx
un ( x)
n1

n1
dx
un ( x).
§9.3 幂级数
幂级数的一般形式为

an( y a)n a0 a1( y a) a2( y a)2 L
n0
an( y a)n L ,
令y a x,则得最简形式的幂级数：
n1
1 n2
(
x

2)n收敛域为[1, 3].
幂级数的收敛域
当r 时， 幂级数在(,)收敛;
当0 r 时，幂级数在(r, r)收敛, 至于x r处，可能收敛也可能发散.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数

定理2 对幂级数 an xn，若 n0
lim | an1 | l a n
n
n
(lim n
an l)
§9.2 函数项级数
五、和函数的分析性质
定理 6（连续性） 若函数项级数∑un(x)在区间 I 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在I 上也 连续．
在定理的条件下，求和运算与求极限运算可以交换顺
序，即


lim
x x0
n1
un ( x)

n1
lim
x x0
un ( x).
§9.2 函数项级数
n
n! lim
n (n 1)!
1 lim 0
n n 1
收敛半径为r .
收敛域为R.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数

例3、求幂级数 nn xn的收敛半径，并讨论收敛域. n1
解 : an nn,
n
l lim n
| an |
n
lim nn n

an xn a0 a1 x a2 x2 L an xn L
(1)
n0
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
一、幂级数的收敛域

首先，幂级数 an xn在x 0都收敛.
n0

定理1 (阿贝尔第一定理) 1)若幂级数 an xn在x0 0
n0
收敛, 则幂级数 an xn在x :| x || x0 | 都绝对收敛；
则 (i) 0 l 时, 此幂级数的收敛半径 r 1 ;
l (ii) l 0 时, 此幂级数的收敛半径 r ;
(iii) l 时, 此幂级数的收敛半径 r 0.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数

证 对于幂级数 | an xn |, 由于 n0
lim
n
l lim | an1 | a n
n
n2

lim
n
(n

1)2
1

n1
y n
n 2
收敛
半径为r

1.
当y

1时，
n1
1 n2
(1)n

n1
1 n2
收敛.
当y

1时，
n1
1 n2
(1)n
收敛.

n1
yn n2
收敛域为[1,
1].

n0


2)若幂级数 an xn在x1发散， 则幂级数 an xn在x :| x || x1 |
n0
n0
都发散.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
注 由定理1知道: 幂级数(1)的收敛域是以原点为中 心的对称区间. 若以2r表示区间的长度，则r称为幂级数的收敛半径.
当r 0时， 幂级数仅在0收敛;
(ii) 当l 0 时, 对任何 x 皆有 l | x | 1, 所以 r ;
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
(iii) 当 l 时, 则对除 x 0 外的任 何 x 皆有
l | x | 1, 所以 r 0.

例1、求幂级数
2n xn的收敛半径，并讨论收敛域.
limn n
收敛半径为r 0.
收敛域为{0}.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数

例4、求幂级数
n1
解：设x 2 y,
1 n2
(x
1
n2
n1
2)n 的收敛半径，并讨论收敛域.
( x

2)n

n1
1 n2
yn
1 an n2 ,
1 an1 (n 1)2 ,
定理 7（逐项求积分） 若函数项级数∑un(x)在[a , b] 上一致收敛，且每一项都连续，则其和函数在[a , b] 可
积，且
b
b
a un ( x)dx
a un ( x)dx .
n1
n1
定理 8（逐项求导） 若 ∑un(x)在I收敛，un (x) 在
[a , b] 上有连续的导数，∑un′(x) 在[a , b] 上一致收敛，
n
|
an xn
|

lim
n
n
|
an
|
|
x
|
l
|
x
|,
根据级数的根式判别法, 当 l | x | 1 时, 级数

| an xn | 收敛. 当 l | x | 1 时, 级数发散. 于是
n0
(i) 当 0 l 时, 由 l | x | 1 得幂级数收敛半
径 r 1; l