02晶面位向

倒易点阵的本质： 倒易点阵的本质：
如果把晶体点阵本身理解为周期函数， 如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒 易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换， 易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，所以倒 易点阵也是晶体结构周期性的数学抽象， 易点阵也是晶体结构周期性的数学抽象，只 是在不同空间(波矢空间)来反映, 是在不同空间(波矢空间)来反映,其所以要变 换到波矢空间是由于研究周期性结构中波动 过程的需要。 过程的需要。
简单立方 100 110 111 200 210 211 220
体心立方
面心立方
1 2 3 4 5 6 8
110 111 200 200
211 220 220
立方系指数表 （续）
9 10 11 12 13 14 16 17 18 19 20 21 22 24 221, 300 310 311 222 320 321 400 322, 410 330, 411 331 420 421 332 422 221, 300 310 311 222 320 321 400 322, 410 330, 411 331 420 421 332 422 310 222 321 400 330, 411 420 332 422 331 420 311 222
400
422
立方系指数表 （续）
25 26 27 29 30 32 33 34 35 36 37 38 40 41 42 43 44 45 46 48 430, 500 431, 501 333, 511 432, 520 521 440 441, 522 433, 530 531 442, 600 610 532, 611 620 443, 540, 541, 621 533 622 542, 630 631 444 430, 500 431, 501 333, 511 432, 520 521 440 441, 522 433, 530 531 442, 600 610 532, 611 620 443, 540, 621 541 533 622 542, 630 631 444 431, 501 333, 511 521 440 433, 530 442, 600 532, 611 620 541 622 631 444 533 622 531 442, 600
r* rhkl = 1 d hkl
3、晶体几何计算公式
c×a a×b b .c . sin α c .a . sin β a .b . sin γ = ; b* = = ; c* = = ; a* = V V V V V V v a * h h r v r r r 1 v (h k l ) b * a * b * c * k = (h k l )G * k = rhkl .rhkl = 2 v d c * l l b×c
晶带定律证明： 晶带定律证明：
根据定义，同一个晶带中的各个晶面都和它们的晶带轴平行。所以， 根据定义，同一个晶带中的各个晶面都和它们的晶带轴平行。所以，每 个晶面的法线（ 都与晶带轴垂直。换言之。任一晶带面(hkl) (hkl)的倒易 个晶面的法线（n）都与晶带轴垂直。换言之。任一晶带面(hkl)的倒易 矢量必定与晶带轴[uvw] [uvw]的 方向矢量”相互垂直。 矢量必定与晶带轴[uvw]的“方向矢量”相互垂直。
(
r b*
h v c * k = (h l
)
k
h l )G * k l
1 0 0 1 G* = 2 0 1 0 d = a 立方系：a=b=c, 且相互垂直 a 0 0 1 a* 2 0 0 正交系：基轴相互垂直 * 2 G* = 0 b 0 2 0 0 c*
晶面间距（3）
正交晶系
d hkl =
1 h k l + + a b c
2 2 2
立方晶系
d hkl =
d hkl =
a h2 + k 2 + l 2
1 4 h + hk + k l + 2 a 3 c
2 2 2 2
3、底心点阵 对于C底心型，指数h, k和为偶 数的晶面才出现；
r*110 020 b* b a 110 r*110
d110
000
a*
200
a* = r*200 = 1/d200 = 2/a b* = r*020 = 1/d020 = 2/b c* = r*001 = 1/d001 = 1/c
3、底心单斜点阵： 1/2 * * * * * * r*200 * * * 1/2 ＊ ＊ ＊
六方晶系
倒易点阵： 倒易点阵：
倒易点阵是傅立叶空间中的点阵，倒易点阵的 倒易点阵是傅立叶空间中的点阵， 阵点告诉我们一个具有晶体点阵周期性的函数 傅立叶级数中的波矢在波矢空间的分布情况， 傅立叶级数中的波矢在波矢空间的分布情况， 倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性质， 倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性质， 一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的， 一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的， 因此，一种晶体结构有两种类型的点阵与之对 因此， 晶体点阵是真实空间中的点阵，量纲为[L] [L]； 应：晶体点阵是真实空间中的点阵，量纲为[L]； 倒易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为[L 倒易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为[L-1]。
(
)
= rhkl .rhkl cos φ
a* ⋅ a* G* = b * ⋅ a* c* ⋅ a *
a* ⋅ b * b* ⋅ b* c* ⋅ b *
a * ⋅ c* b * ⋅ c* c* ⋅ c*
其形式取决于晶系
晶面间距计算公式
r r 1 = rhkl .rhkl = (h 2 d k v a * r v b * a * l ) v c *
晶面位向
晶面指数确定了晶面的位向和间距。 晶面的位向是用晶面法线的位向来表示的； 空间任意直线的位向可以用它的方向余弦来表示。 对立方晶系
h : k : l = cos α : cos β : cos γ
cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1
晶面间距（1）
由晶面指数求面间距dhkl
又称波矢空间。 a · a* = b · b* = c · c* =1， a · b* = a · c* = b · c* = 0，
倒易点阵的性质： 倒易点阵的性质：
r* r hkl ⊥ ( hkl )
r* rhkl = 1 d hkl
性质一证明： 性质一证明： r r OA = a / h
r r OB = b / k
h2 + k 2 + l 2
( )
( )
( )
d = a 2 / h2 + b2 / k 2 + c2 / l 2
3、晶体几何计算公式
r r 1 = rhkl .rhkl = (h 2 d k v a * r v b * a * l ) v c *
(
r b*
单斜系：α=β=90
(220)
（三）、倒易点阵小结
1、均为无限的周期点阵， 2、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指 数外）； 3、晶系不变，为11种中心对称的劳厄点群； 4、P->P*, C->C*, I->F*, F->I*，即对复合单胞出现倒易点 阵系统消光，立方系指数表见下表
h2+k2+l2
（hkl） 100 110 111 200 210 211 220
440
620
444
Indexing of cubic reciprocal lattices
001 002
c
002 c
010
000 200a 100 cP cP*
111
b
b
020 cF cI*
Βιβλιοθήκη Baidu
a
200 110
020
cI cF*
晶
带
所有平行或相交于同一直线的这些晶面构成一个 晶带，此直线称为晶带轴。属此晶带的晶面称为 晶带面（共带面）。 晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l）之间存 在以下关系： hu + kv + lw = 0 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为晶带轴 的晶带，故此关系式也称作晶带定律。
1/ a2 cos γ * G* = ab 0
cos γ * ab 1/ b2 0
h v c * k = (h l
)
k
0 0 1/ c2
h l )G * k l
（二）、倒易点阵与正点阵的关系
1、简单点阵
010 r*110 b a 000 a* b* 110
220
r*110
100
d110
注意：具有公因子指数的简单型 正点阵的倒易阵点，如（220） 等，不对应于真正的晶面。
2、简单单斜点阵
r*100 r*001 c β a 101 r*001 β∗ r*100
a* = r*100 = 1/d100 = 1/(a·cos[β-90])= 1/(a·sinβ) b* = r*0101 = 1/d010 = 1/b c* = r*001 = 1/d001 = 1/(c·cos[β-90])= 1/(c·sinβ) 180− β* = 180−β
r r OC = c / l
r∗ r∗ r r r∗ r∗ r rhkl ⋅ AB = (ha + kb + lc ) (b / k − a / h) = 1 − 1 = 0 r∗ r c ∴ rhkl ⊥ AB r r∗ 同理可证： 同理可证： rhkl ⊥ AC C r b r∗ rhkl ⊥ BC B
∴
r* r hkl ⊥ ( hkl )
O A
a
性质二证明： 性质二证明：
r 性质一成立，OM垂直于ABC面，OM方向上的单位矢量为 n
c
OM
= d hkl
n
C
M
b
B
r r∗ r∗ n = rhkl / rhkl
d hkl
∴
O
a
r ∗ r ∗A r∗ r r ha + kb + lc 1 = OA ⋅ n = a / h ⋅ ( ) = r∗ r∗ rhkl rhkl
r r r 定义：对于一个由 a b c 定义的正点阵，都有一
个对应的倒易点阵，其基轴满足 r a r r r b a * b * r c 构成倒易点阵，
[
]
[
r* c
]
1 = 0 0
0 1 0
0 0 1
r* r * r* r* rhkl = h a + k b + l c
＊
* * * * * a r*001 * * * * * * *c * β * *
＊
＊
202 ＊ ＊ r*001 ＊ ＊
a* = r*200 = 1/d200 = 2/(a.cos[β-90])= 2/(a.sinβ) b* = r*002 = 1/d002 = 2/b c* = r*001 = 1/d001 = 1/(c.cos[β-90])= 1/(c.sinβ) ＊
r*200 ＊ ＊ β∗
＊
＊
（二）、倒易点阵与正点阵的关系
4、体心点阵
r c
r a
( 200 )
r c (111 )
r r ba r b
r a
r c
(110)
r b
对于体心型，指数和为偶数的晶面才出现；
（二）、倒易点阵与正点阵的关系
5、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现；
(200)
(111)
r r r r 晶带轴的方向矢量为 S = ua + vb + wc r∗ r∗ r∗ r∗ 任一晶带的倒易矢量为 r = ha + kb + lc
通常，低指数的面间距 较大，而高指数的晶面 间距则较小 晶面间距愈大，该晶面 上的原子排列愈密集； 晶面间距愈小，该晶面 上的原子排列愈稀疏。
晶面间距（2）
晶面间距公式的推导
d hkl =
a b c cos α = cos β = cos γ h k l
h 2 k 2 l 2 2 d hkl + + = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ a b c