第三章 导波与波导(1)

（3.2.30）
式中，*号表示取共轭。对于TEM波，复数坡印亭矢量中仅含 上式中的第一项；对于TE波或TM波则仅含上式中的两项，为 第一、二项或第一、三项。Ez或Hz都可写成实的横向分布函数 与指数因子e-jkz相乘的形式，如果媒质和导波机构是无耗的， 可以证明上式中的第二项和第三项都是纯虚数。因此式 （3.2.30）中的第一项代表了沿z方向传播的功率，记作Sz，且
8
由无源电磁场对偶性，得
(k k E j z T H z jkz T Ez
2 2 z) T

(3.2.11)ห้องสมุดไป่ตู้
k2=2,两式的右端仅含场的纵向分量，左端仅含 场的横向分量，即已知场的纵向分量可以求场的横 向分量.
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3.2.3 TE波、TM波和TEM波的特点
(1) TE波 Ez＝0，且假定k2－kz2≠0，那么
1 * S z (ET HT ) 2
(3.2.31)
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在本节的最后，我们给出两个简单而重要的矢量关系图，如图 3.2所示。图中描述了TE波、TM波和TEM波的ET+、HT+和Sz的矢量 关系。式（3.2.13）、式（3.2.20）和式（3.2.26）与图（3.2 （a））对应，表明了传播因子为 e jk z 的波向正z方向传播；式 （3.2.27）、式（3.2.28）和式（3.2.29）与图（3.2.（b）） 对应，表明了传播因子为 e jk z 的波向负z方向传播。
TE
kz
(3.2.15)
10
注：此式说明TE波的ET、HT和 z 相互垂直，且成右手关系。
理想导体边界上Hz满足边界条件
H Z n

(2)TM波 边界上 Hz＝0，且假定k2－kz2≠0，那么
0
(3.2.16)
(3.2.17)
ET
j HT 2 z T E z k k z2
z
z
图3.2 ET、HT和Sz的矢量关系图 （a）传播因子为 e jkz z （b）传播因子为 e jk z z
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3.2.5 空心金属波导内不存在TEM波
可以证明，空心波导内不能传播TEM波。如前所述，所谓TEM 波，指的是Ez、Hz为零的横电磁波，且由式（3.2.9）可知
T E T ET 0 (3.2.32) 上式表明，在垂直于传播方向的平面内，电场是无旋的，因 此可以令 E T ，φ 是标量位。空心波导内不存在电荷，故 电位移矢量D的散度等于零， T D T E 0 。若媒质是均匀 的 T D 0 ，于是
(3.2.4)
(3.2.5) 式中， EZ z Ez , H z z H z 。式（3.2.4）和式（3.2.5）的横向部 分和纵向部分分别相等，于是两个方程分解为下述四个方程: (T Ez ) ( z ET ) j HT (3.2.6) (T Η z ) ( z HT ) j ET (3.2.7) T ET j H z (3.2.8) T HT j Ez (3.2.9) 由（3.2.6）和（3.2.7）推导得 2 2 （3.2.10） (k kz )HT j z T Ez jkz T H z
假定波沿着z方向传播，垂直于z方向的场分量称作横向分 量，平行于z方向的场分量称作场的纵向分量。将算子▽也分 解为横向部分和纵向部分，得
T z
(3.2.1)
在直角坐标系和圆柱坐标系中，算子▽的横向部分分别为 算子为
T x y x y

1 T r r r
HT jk z Hz k 2 k z2 T
j ET 2 zT H z k k z2

(3.2.12)
得到ET和HT的关系：
ET TE z HT
（3.2.13） (3.2.14)
或 HT

1
TE
z ET

ET和HT的数值关系之比为（／ｋz），它具有阻抗的量纲， 称作TE波的波阻抗，记作η TE，即
z
ET TE z HT

(3.2.27) (3.2.28) (3.2.29)
ET TM z HT
ET TEM z HT


在广义传输线理论中（参看3.6.1小节），我们将采用下述符号： ˆ ET-和HT-表示向+ 方向传播的波， ET+和HT+表示向- 方向传播 z ˆ z jk z 的波。这里，下角表与指数因子 e的符号相一致。
jk z Ez k 2 k z2 T
(3.2.18)
得到ET和HT的关系：
HT
(3.2.19)
1
TM
z ET


(3.2.20)
11
ET TM z HT
式中η
TM为TM波的波阻抗，且

TM

kz
(3.2.21)
注：此式说明ET、HT和 z 成右手关系，三者相互垂直。
2
图3.1 各种类型的传输线
3
图3.1所示各种具体的传输线，有的是单根空心导 体，如矩形波导、圆波导；有的是多根柱状导体，如同 轴线、平行双线；有的是导体与介质的混合结构，如微 带线、耦合微带线；有的是单纯由介质构成的传输线， 如介质光波导与光纤。这些导波机构所传播的电磁波的 场的构造，因导波机构的不同而有所区别，是不同类型 的导波。每一种导波机构又可以有多种形式的导波场或 称导波模，每一个导波模就是电磁场方程的一个解，这 个解满足导波机构所给定的边界条件。 根据激励条件可判断产生哪些导波模。存在着三类 比较简单的但却是基本的导波模：横电波、横磁波、横 电磁波。
2 T 0
（3.2.33）
上式表明TEM波在横截面内的位函数满足二维拉普拉斯方程。 上两式表明在横截面内TEM波的位函数与二维静电场的电位满足 同样的方程，由此可以推论，在某一传输线中若能建立起二维 静电场，也必定能建立起TEM波的场，反之亦然，但是在单根 空心导体内不可能建立起静电场，因而空心波导内不可能传输 TEM波。
第三章 导波与波导
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 引言 规则金属波导 矩形金属波导 金属圆波导 同轴线与平行双线 传输线理论的推广 带线和微带线 介质波导 光纤简介
3.10 激励耦合
1
3.1 引言
在微波工程中使用着多种类型的传输线，如同轴线、 平行双线、矩形波导、圆波导、介质线、带状线等，如 图3.1所示。工程技术人员根据所选用的工作频段和微波 工程系统的要求不同，选用不同类型的传输线。这些传 输线起着引导能量和传输信息的作用，它们所传输的电 磁波统称为导波。研究各种类型的传输线都要涉及到下 述一些概念和问题，诸如导波分类、场型分析、临界波 数、传播常数、波阻抗、特性阻抗、等效阻抗、功率容 量、工作频带、损耗衰减、结构尺寸、制造工艺、体积 重量、工作环境等。我们不可能对每一种类型的传输线 都做全面的讨论，因此，首先对导波的一般规律加以研 究，然后再分析几种常用的传输线，希望能达到举一反 三的目的。 在微波工程中有两类基本的分析方法，其一是场的 方法，其二是路的方法。
当单独一种TE波或TM波不能满足边界条件时，可以用TE 波和TM波的组合来满足边界条件，称之混合模。混合模的纵 向电场和纵向磁场都不为零，但可以有某一横向场分量为零。 有些导波机构，如微带线不是严格的TEM波，称之为准TEM波。
5
3.2 规则金属波导的一般理论
3.2.1 直接法求解
在柱状边界条件下求解无源电磁场有两种方法，一是直接 法，即直接求解电磁场的某一分量，然后再根据电磁场方程组 计算其余的各个场分量；二是辅助位函数法，即首先求出矢量 位A，或相应的赫兹矢位，然后再求各个电场和磁场分量。
4
（1）横电波，又称TE波，H波，其电场的纵向分量为零，即 Ez＝0，但磁场的纵向分量不等于零，即Hz≠0。
（2）横磁波，又称TM波、E波，其磁场的纵向分量为零，即Hz ＝0 ，但电场的纵向分量不等于零，即Ez≠0。 （3）横电磁波，又称TEM波，其电场和磁场的纵向分量都为 零，即Ez＝Hz＝0。
对于TM波，应首先求解Ez。在导波机构边界上，Ez是电场的 切向分量，因此当边界为理想导体时
Ez
(3)TEM波 Ez和Hz同时为零，得
0
边界上
(3.2.22)
(k kz )HT 0
2
2
(k kz )ET 0
2
2
(3.2.23) (3.2.24)
12
假设电场和磁场的横向分量有非零解，若上述二式成立，则必 有kz＝k，这意味着沿 z 方向传播的TEM波的传播常数等于均匀 平面波的传播常数。令TE波波阻抗中的kz＝k，便得到TEM波波 阻抗TEM为 (3.2.25) TEM
z
(3.3.2) ，对z的二次 (3.3.3)
k 2 kz2 kc2
于是，式（3.3.2）变为
2 H z 2 H z 2 k c Hz 0 2 2 x y
(3.3.4)
式（3.3.3）称作色散方程，kc称作临界波数。应用分离变量 法求解式（3.3.4），令 H z ( x, y, z) X ( x)Y ( y)e jk z (3.3.5) 将式（3.3.5）代入式（3.3.4），得 d 2 X ( x) d 2Y ( y) 2 (3.3.6) Y ( y) 2 X ( x) 2 kc X ( x)Y ( y) 0

k

这表明TEM波的波阻抗就等于均匀平面波的波阻抗，记作亦可。 将TEM波作为TE或TM波的特殊情况处理，令 kz＝k，可得
ET TEM z HT

此式表明TEM波的ET、HT和
z

(3.2.26) 相互垂直，且成右手关系。
13
(4)向
ˆ 方向传播的TE波、TM波和TEM波 -z
ˆ 方向传播的。如果假设波向 -z ˆ 以上叙述中，我们曾假设波是向 z 方向传播，电磁场的各个分量必定包含 e jk z 这一因子，与式 （3.2.13）、式（3.2.20）和式（3.2.26）相应的关系将变为
图3.3 矩形波导与直角坐标系
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(1) TE波 Ez＝0，满足波动方程 2 H z k 2 H z 0 在直角坐标系中上式的具体形式为
2 H z 2 H z 2 H z 2 k Hz 0 2 2 2 x y z
(3.3.1)
设波导的传播方向为+z，传播因子为 e jk z 偏导数可用-kz2 代替，令
直接法求解大致可以分为以下四步： （1）将时间变量与空间变量分离，简称“时空分离”。 （2）将场的纵向分量与场的横向分量分离，简称“纵横分离”。 （3）按照分离变量法对待求的函数进行空间变量的分离，便于 求解。 （4）最后，根据已求得的一个场分量的表示式求出其余的全部 场分量。
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3.2.2 纵向场分量和横向场分量的关系
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3.3 矩形金属波导
矩形金属波导简称矩形波导，矩形波导的理论是成熟的并且 是严格的，我们将结合这一具体波导进一步说明波导的特点和 性质，包括矩形波导的通解、力线图、色散方程、k空间、相速、 群速、功率、衰减等。 3.3.1 矩形波导的通解 图3.3所示是矩形波导的示意图。矩形波导的形状简单，边 界与直角坐标系平行，易于得出严格的 理论解。 矩形波导是单根导体构成的空心波导, 它不能传播TEM波，但可以传播TE波或 TM波.设波导在±z方向为无限长，波导 内填充各向同性均匀媒质，通常媒质为 空气，ε ＝ε 0，µ＝µ0。

(3.2.2) (3.2.3)
纵向部分为 上述三式中

z z z

x、 y、、、 z r 为相应坐标方向的单位矢量。
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在无源区域，电磁场方程组的两个旋度方程可改为
(T z ) (ET Ez ) j (HT H z )
(T z ) (HT H z ) j (ET E z )
z
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3.2.4导波的坡印亭矢量
一般情况下，将电场和磁场分解为横向分量和纵向分量后， 其复数坡印亭矢量可分解为三项，即为
S 1 E H* 2 1 * (ET E z ) (HT H* z) 2 1 1 1 * * (ET HT ) (ET H* ) ( E H z z T) 2 2 2