求三角形或四边形周长最小问题

三角形或者四边形周长最小问题

例一：已知直角坐标系中，A 、B 两点坐标分别为A （4，2）、B （-2，

4）、C 点在X 轴上，

求：⊿ ABC 周长最小时，C 坐标，并求出这个最小值。

解：画出坐标系如图，作B 点关于X 轴对称点E ，E 点坐标（-2，-4）。则，AE 直线方程式可列方程组如下，并交X 轴于点C 。

244(2)k b k b =+⎧⎨-=-+⎩

×× 解得，K=1，b=-2，则直线AE 解析式为：y=x-2，C 点坐标为（2，0）。证明：

BC=EC ，AC=AC ，当E 、C 、A 三点共线时，AC+EC 最短。 又因为，AB 长是固定值，对周长的大小不具备影响。

所以⊿ ABC 周长最小时，指点B 关于X 轴的对称点与点A 的连线的交点，就是所求的坐标C 点。

⊿ ABC 周长最小值=AE+AB+BC

例二：已知直角坐标系中矩形OABC ，坐标点分别为O （0，0）、A （4，0）、C 点（0，2）且D 点为OC 中点，E 、F 分别是OA 上的动点，且EF=2，求：四边形DEFB 周长最小时，E 、F 坐标，并求出这个最小值。

解：画出坐标系如图，过点D 做D 点关于X 轴对称点P ，则P 点坐

标（0，-1），过点B沿BC方向平移两个单位，该点坐标H（2，2）。连结PH，交动点所在轴X轴于点E，则E点就是所求周长最小值所在的动点位置。将该点E沿X轴正方向平移两个单位，就是F点所在位置。

证明：

D点与P点对称，所以DE=PE；

又因为HB//=EF，所以BF=HE

所以，DE+BF=PE+EH，又因为，PEH在一条直线上，

根据“两点之间线段最短”公理，所以点E，就是所求动点在周长最小时所在位置。

P（0，-1），H（2，2），则直线PH解析式为：y=3

2

x-1，设点E横坐标为x，则E点坐标为E（x，0），当y=0时，就

是其与X轴的交点，代入解得，x=2

3，即点E（2

3

，0），点F（8

3

，0），

经检算，点E、F都在OA范围内，答案有效。

四边形DEFB周长

=

例三：已知边长为4的等边三角形ABC中，点D为AB点中点，M、N分别为AC、BC边上的动点，求⊿DMN周长最小值。

分析：上两道题，都是运用“两点之间线段最短”公理，将两未知边，合在一边直线上。本题有两个动点，一个定点，因此很可能，要将该定点用两次。

解：以点D为原点，AB边所在直线为X轴，建立直角坐标系。作点D关于AC、AB为对称轴的对称点，分别为E、F，根据对称轴的性质可知，AC垂直平分DE，因此AC为ED的中垂线的一段。根据中垂线性质定理：线段垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等，可得ME=MD，同理可得NF=ND，因此就将⊿DMN三边放在同一条直线上，即EF=⊿DMN周长。

因为AD=2，∠A=60°所以ADE=30°所以

横坐标为-3，即点E坐标为（-3。同理可得

点E

点F坐标为（3

。则EF=6

即⊿DMN周长最小值=6

总结：

1、方法：解三角形或者四边形周长最小值，只能用几何法。

2、原理：两点之间线段最短。

3、思路：将两条或者三条未知线段放在同一直线上，固定长

线段不用多管，只是算周长时要记得加上。

4、手段：做已知固定点的对称点，对称轴就是动点所在直线。

5、必记：一定要有证明过程，一定要验算结果。

附录：代数法解此类题所暴露出来的问题