普朗克黑体辐射量子理论

给出任何高能量光子来促使束缚电子逃逸。
爱因斯坦的论述极具想像力与说服力，但却遭遇到学术界强烈的抗拒， 这是因为它与詹姆斯·麦克斯韦所表述，而且经过严格理论检验、通 过精密实验证明的光的波动理论相互矛盾，它无法解释光波的折射性 与相干性，更一般而言，它与物理系统的能量“无穷可分性假说”相 互矛盾。甚至在实验证实爱因斯坦的光电效应方程正确无误之后，强 烈抗拒仍旧延续多年。爱因斯坦的发现开启了的量子物理的大门，爱 因斯坦因为“对理论物理学的成就，特别是光电效应定律的发现”荣 获 1921 年诺贝尔物理学奖。根据波粒二象性，该效应也可以用波动 概念来分析，完全不需用到光子概念。威利斯·兰姆与马兰·斯考立 （Marlan Scully）于 1969 年证明这理论。
“
在量子力学发现以前不久，人们就已了解到，光波和光子之间的联系必须是 统计的性 质。然 而，他们 没有清 楚地了 解到，波函数 告诉我 们的是一 个 光子 在一特定位置上的几率，而不是在那个位置上可能有的光子数目。这一区别 的重要性 可在下 面看清 楚。假定 我们令 大量光 子组成 的光束 分裂为 两个强 度 相等的部 分。按照光 束的强 度与其 中可能 的光子 数目相 联系的 假定 ，我们 就 会得到，光子总 数的一 般分别 走入每 一组分 。现在，如果使 这两个 组分互 相 干涉，我们就得要求，在一个组分中的一个光子能够与另一组分中的一个光 子互相干 涉。在某 些情况 下，这 两个光 子就要 互相抵 消，而在 另一些 情况下 ， 它们就要 产生四 个光子 。这样 一来，就 会和 能量守 恒相矛 盾了。而 新的理 论 把波函数与一个光子的几率联系起来，就克服了这一困难，因为这个理论认 定，每一 光子都 是部分 地走入 两个组 分中的 每一个 。这样，每一个 光子只 与 它自己发生干涉。从来不会出现两个不同的光子之间的干涉。
”
——保罗·狄拉克，《量子力学原理》第四版，第一章第 3 节
德布罗意波
路易·德布罗意生于法国滨海塞纳省 的迪耶 普。父 亲是维 克多， 第五代 布罗意 公 爵 (Victor, 5th duc de Broglie) ，母亲是 Pauline d'Armaillé。路易是家里最年幼的 儿子。路易的哥哥摩里斯·德布罗意 (Maurice de Broglie) 后来也成为一位很有成就 的物理学家。当路易才十四岁的时候，他的父亲就过世了。摩里斯继承为第六代布 罗意公爵 (6th duc de Broglie) 。教养弟弟的责任就落在摩里斯身上。摩里斯是一位 很好的哥哥。他给路易去巴黎最好的贵族中学 Lycée Janson de Sailly 读书。 路易天资聪颖，有惊人的记忆力。他读书能够过目不忘。在法文、历史、物理、哲 学、这些不同的领域，他都能得到很 好的成 绩。中 学毕 业后， 他进入 了极具 声誉的 索邦大学就读。那时，他并不清楚应该主修哪个科目。最初，他选择了历史。后来， 又转为主修法律。一直到他读了昂利·庞加莱的两本巨著，《科学和假设》与《科学 的价值》，他才认知物理学是他的最爱，开始专心研读理论物理。1913 年，他得 到了学士学位。 1914 年，第一次世界大战爆发。德布罗意正在陆军服役。刚开始，他被派到 Fort Mont-Valérien 当坑道工兵。很快地，性情活泼的他，对于这刻板僵硬，缺乏变化的 生活，觉得枯燥无味，难以忍受。经 过哥哥 运用人 脉关 系，他 被转派 去埃菲 尔铁塔 的陆军无线电部门做通讯兵。闲暇时间，还可以思考关于无线电的技术问题。对于 日后的科学研究有很多实用价值。 1919 年，退役后，德布罗意又回返索邦大学，继续先前的理论物理研究，立志拿 到博士学 位。他参加 了保罗 ·朗之 万主讲 的一个 关于量 子理论 的专题 讨论会 ，又 修了 一堂关于相对论的课。那时，哥哥摩里斯正在研究 x-射线光谱和光电效应。他时常 在哥哥的实验室里帮忙，兄弟两人共同发表了几篇论文。 经过几年的努力，德布罗意终于在 1924 年完成了博士论文《量子理论研究》。在 这篇论文里，他详细地解释他所创建的的电子波理论。这包括了，根据阿尔伯特·爱 因斯坦和 马克斯·普朗 克对于 光波的 研究 ，而推 论出来 的关于 物质的 波粒二 象性 ：任 何物质同时具备波动和粒子的性质。由于论文的题目与内容相当先进，让当时许多
光电效应的一些应用： 光电倍增管，金箔验电器，光电子能谱学，航天器，月球尘，夜视仪 等等。
康普顿效应 康普顿效应首先在 1923 年由美国华盛顿大学物理学家康普顿观察到， 并在随后的几年间由他的研究生吴有训进一步证实。康普顿因发现此 效应而获得 1927 年的诺贝尔物理学奬。 这个效应反映出光不仅仅具有波动性。此前汤姆孙散射的经典波动理 论并不能解释此处波长偏移的成因，必须引入光的粒子性。这一实验 说服了当时很多物理学家相信，光在某种情况下表现出粒子性，光束 类似一串粒子流，而该粒子流的能量与光频率成正比。 在引入光子概念之后，康普顿散射可以得到如下解释：电子与光子发 生弹性碰撞，电子获得光子的一部分能量而反弹，失去部分能量的光 子则从另一方向飞出，整个过程中总动量守恒。
学者都直摇头，因为这份报告的创造了一个新观念，而德布罗意的老师朗之万其实 也很难相信这个论点，但论文的内容实在是太过让人惊叹，不能确定是否有瑕疵， 所以寄给 爱因斯 坦一份 ，寻求 他的意 见。爱 因斯坦 那时候 很忙，正在研 究玻色- 爱因 斯坦统计，抽不出时间仔细阅读，只能稍微翻了一下。立刻，他意识到这论文很有 重量，兴奋地回信：“他已经掀起了 面纱的 一角”！ 并且将 论文送 去柏林 科学院 ，因 而使得这理论广知于物理学界。德布 罗意获 得了梦 寐以 求的博 士学位 。后来 ，埃尔 温·薛定谔 从这篇 论文 里，得 到很多 宝贵的 灵感 。既然 电子是 波动，那么 ，什么 是电 子的波动方程？两年后，薛定谔发表 了薛定 谔方程 ，也 从此开 启了量 子力学 的新纪 元。
普朗克的假设
在热力学中，黑体（Black body），是一个理想化的物体，它能 够吸收外来的全部电磁辐射，并且不会有任何的反射和透射。随着温 度上升，黑体所辐射出来的电磁波则称为黑体辐射。
“紫外灾难”：在经典统计理论中，能量均分定律预言黑体辐射的强度在紫外区域 会发散至无穷大，这和事实严重违背
马克斯·普朗克于 1900 年建立了黑体辐射定律的公式，并于 1901 年发表。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描 述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定 律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导 致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机。）。维恩近 似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而 瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都 和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能 量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提 假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本 能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。
基与线性无关 习题：证明(1,-1),(1,2),(2,1)是线性无关的
线性算子与矩阵
习题： Pauli 矩阵 内积
习题：
习题： 特征值和特征向量
伴随和厄米算子 量子力学的波函数公设：
态叠加原理：
回到我们的系统….（推导） 光的干涉的粒子解释：
量子力学的哥本哈根诠释认为光子的干涉是单个光子波函数的几率幅叠加，波函数 是一种几率波，其复振幅（几率幅）的模平方正比于对应的状态（本征态）发生的 几率。以双缝干涉为例，对于每个光子而言，其状态都为从两条狭缝中的每一条经 过的量子态的叠加：
波函数公设：量子力学第一条公设：
分束器是 50%反射，50%透射，如果将光子理解成经典的粒子，那么 在两个探测器中各有 50%概率检测到光子，但是实际上只有在其中一 个探测器上检测到光子。
经典解释： 经过第一个分束器，电子分成两束，为了区分它们， 我们记为 a 状态和 b 状态。有 50%概率处于 a 状态，50%概率处于 b 状态，经过第二个探测器，a 状态的光子又有 50%的概率变成 b 状态， 或者 50%概率保持 a 状态不变，两次透镜的结果是，0.5×0.5=0.25 的 概率在探测器检测到，对于 b 状态光子可以得到同样的结论，于是两 个探测器逸出功是从金属表面发射出一个光电子所需要的最小能量。光子的频 率必须大于金属特征的极限频率，才能给予电子足够的能量克服逸出 功。逸出功 与极限频率 之间的关系为
；
其中， 是普朗克常数， 是光频率为 的光子的能量。克服逸出
功之后，光电子的最大动能
为
； 其中， 是光频率为 的光子所带有并且被电子吸收的能量。实际 物理要求动能必须是正值，因此，光频率必须大于或等于极限频率， 光电效应才能发生
量子力学解释： 必要的数学补充：
线性代数： 矢量（向量）
向量空间中的任一个矢量我们可以用一个符号来表示，例如 a,b,c 等 等，但在量子力学中我们常常用|a>,|b>来表示，这个记号叫 Dirac 符 号，作用之一是强调这是一个矢量，方便与前面的复系数区分，例如 c|a>我们明白是个复数乘以矢量 a,不然写成 ca 意义就不明显了。
这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释
光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。然而普朗克并没有像爱 因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认 为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔内的微小振子 而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。普朗克没 能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学 上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内 符合。不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了 量子力学的基石。
其中 、 分别对应从狭缝 1、狭缝 2 经过的量子态，几率幅 、 对应这一 光子从狭缝 1 和狭缝 2 出射的各自几率，其本身是一个复数。而光检测器探测到这 一光子的几率，从统计上看也就是光检测器探测到的光强，是几率幅叠加之后的模 平方：