2019-2020学年江西省抚州市临川一中高三(上)第二次月考数学试卷(文科)(10月份)
2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次月考数学试卷1（9月份）（含答案解析）
2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次月考数学试卷1（9月份）（含答案解析）2019-2020学年江西省抚州市临川二中高三（上）第一次月考数学试卷1（9月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.?i(?2?3i)=()A. 3?2iB. 3+2iC. ?3?2iD. ?3+2i2.已知集合A={x|x2+x?6<0}，B=(?2,2)，则?A B=()A. (?3,?2)B. (?3,?2]C. (2,3)D. [2,3)3.下列函数既是奇函数，又在区间[?1,0]上单调递减的是()A. f(x)=?x+1B. f(x)=?x2C. f(x)=?2xD. f(x)=x4.若一个几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为()A. 4B. 5C. 112D. 65.已知sinα+3cosα2cosα?sinα=2，则sin2α+sinαcosα+1等于()A. 115B. 25C. 85D. 756.函数y=sin2x的图象经过变换得到y=sin(2x+π3)的图象，则该变换可以是()A. 所有点向右平移π3个单位 B. 所有点向左平移π3个单位C. 所有点向左平移π6个单位 D. 所有点向右平移π6个单位7.已知直线(a?1)x+y?1=0与直线2x+ay+1=0平行，则实数a=()A. 2或?1B. 2C. ?1D. 238.已知双曲线C的中心为原点，点F(√2,0)是双曲线C的一个焦点，点F到渐近线的距离为1，则C的方程为()A. x2?y2=1B. x2?y22=1 C. x22y23=1 D. x23y23=19.设函数f(x)={log12x(x>0)log12(?x)(x<0)，若f(a)>f(a?1)，则实数a的取值范围是()A. (?∞,12) B. (0,1)C. (?∞,0)∪(0,12) D. ?10.在圆x2+y2=4内任取一点A，则过点A的直线被圆O截得的弦长恒大于2的概率为()A. 34B. √32C. 14D. 1211.已知三棱锥P—ABC满足∠APB=APC=∠BPC=60°，PB=PC=12PA=1，则三棱锥P—PBC 的体积等于()A. √62B. √66C. √22D. √2612.当a>0时，函数f(x)=(x2?ax)e x的图象大致是()A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是______ ．14.设x，y满足约束条件{4x?y?2≤0x?y+1≥0x≥0y≥0，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)最大值为1，则2a+1b的最小值______ ．15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=______．16.已知向量a?，b? 的夹角为60°，|a?|=2，|b? |=1，则|a?+2b? |=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}的前n项和为S n(n∈N?)，?2S2,S3,4S4成等差数列，且a2+2a3+a4=116(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和T n<1．(2)若b n=?(n+1)log2|a n|，证明：数列{1b n18.某班主任对全班40名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得到如下列联表：如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是0.55，抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是0.25．(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表作的态度有关？并说明理由参考数据：)(参考公式：K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，EB垂直于菱形ABCD所在平面，且EB=BC=2，∠BAD=60°，点G，H分别为边CD，DA的中点，M是线段BE上的动点．(1)求证：GH⊥DM；(2)当三棱锥D?MGH的体积最大时，求点A到面MGH的距离．20.平面内一动圆P(P在y轴右侧)与圆(x?1)2+y2=1外切，且与y 轴相切．(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程；(2)已知动直线l过点M(4,0)，交轨迹C于A，B两点，坐标原点O为MN的中点，求证：∠ANM=∠BNM．21.设f(x)=e x?1.当a>ln2?1且x>0时，证明：f(x)>x2?2ax．22.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2+cosα,sinα)(α为参数).以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．(1)求点P的轨迹C的方程及直线l的直角坐标方程；(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．23.设函数f(x)=|x|．(1)设f(x?1)+f(x+2)<4的解集为A，求集合A；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1?a a ?1?bb1?cc≥8．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：?i(?2?3i)=2i+3i2=?3+2i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查集合的补集计算，关键是求出集合A，属于基础题．【解答】解：根据题意，集合A={x|x2+x?6<0}=(?3,2)，又由B=(?2,2)，则?A B=(?3,?2]．故选：B．3.答案：C解析：对于A选项，因为f(?x)=x+1≠?f(x)，不是奇函数，舍去；对于B选项，因为f(?x)=?x2=f(x)，是偶函数，舍去；对于D选项，虽然f(x)=x是奇函数，但是在区间[?1,0]上单调递增，舍去；故选C．4.答案：A解析：【分析】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解，由三视图，得到该几何体是两个相同的直三棱柱的组合体，利用体积公式，即可求解．【解答】解：根据三视图分析知，该几何体的直观图如图所示，O为AB的中点，其中该几何体是两个相同的直三棱柱的组合体，∴该几何体的体积V=2×12×1×2×2=4．故选A．5.答案：D解析：解：∵sinα+3cosα2cosα?sinα=2，∴tanα=13，∴sin2α+sinαcosα+1=sin2α+sinαcosαsin2α+cos2α+1=tan2α+tanαtan2α+1+1=75，故选：D．由已知求得tanα，结合平方关系把sin2α+sinαcosα+1化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.答案：C解析：解：∵y=sin(2x+π3)=sin[2(x+π6)]，∴函数y=sin2x的图象经过所有点向左平移π6个单位．故选：C．首先，得到y=sin(2x+π3)=sin[2(x+π6)]，然后，根据三角函数图象变换进行求解．本题重点考查了三角函数的图象平移变换等知识，属于中档题．7.答案：B解析：【分析】本题主要考查了直线平行的等价条件与应用问题，属于基础题．根据两直线平行的等价条件即可求出a的值．【解答】解：由题意可知两直线的斜率存在，∵直线(a?1)x+y?1=0与直线2x+ay+1=0平行，∴a?12=1a≠?11，解得a=2，a=?1(舍去)．故选B．8.答案：A解析：【分析】本题主要考查双曲线方程的求法，属于基础题．熟练掌握相关知识点是解决此类问题的关键．【解答】解：因为焦点在x轴上，设双曲线方程为x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，根据题意得，c=√2，双曲线的渐近线方程为y=±ba x，所以|√2ba|√(ba)2+1=1，解得a2=b2，又因为a2+b2=c2=2，解得b2=1,a2=1，所以双曲线方程为?x2?y2=1，故选A．9.答案：B解析：【分析】本题考查分段函数的应用：解不等式，注意运用分类讨论思想方法，以及函数的单调性，考查运算能力和推理能力，属于中档题．由对数函数的单调性可得x>0，x<0时f(x)递减，结合分段函数和单调性，分类讨论即可求解．【解答】解：当x>0时，f(x)=log12x递减；当x<0时，f(x)=?log12(?x)递减；显然a≠0且a?1≠0，即a≠0且a≠1．当a>1时，a?1>0，若f(a)>f(a?1)，则a<a?1，原不等式解集为?；< p="">当0<a<1时，a?1<0，< p="">由f(a)>f(a?1)可得log12a>?log12(1?a)=log1211?a，即有0<a<1< p="">，解得0<a<1；< p="">1?a当a<0，a?1<?1，若f(a)>f(a?1)，则a<a?1，原不等式的解集为?．< p="">综上可得，原不等式的解集为(0,1)．故选：B．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查几何概率的应用，熟悉几何概型的特点是解答本题的关键，是常见的题型，属于基础题．【解答】解：过点A的直线被圆O截得的弦长恒大于2，即过点A的直线被圆O截得的最短弦长为2，又因为圆半径为2，此时，圆心O与A的距离d=√22?1=√3，所以过点A的直线被圆O截得的弦长恒大于2时，点A在以O为圆心，以√3为半径的圆及其内部，所以所求概率为两圆面积之比，则过点A的直线被圆O截得的弦长恒大于2的概率为：，故选：A．11.答案：D解析：【分析】本题主要考查了三棱锥的结构特征以及三棱锥体积的求法，属于中档题．根据题意，过A点作AO⊥平面PBC于点O，再结合角度关系以及几何性质求出AO，然后带入体积公式运算即可求解．【解答】解：如图所示，过点A作AO⊥平面PBC于点O，∵∠APB =∠APC =∠BPC =60°，PB =PC =12PA =1，∴点O 为∠BPC 平分线上的点，联结OP ，则∠OPC =30°，过点O 作OD ⊥PC 于点D ，联结AD ，∵AO ⊥平面BPC ，PC ?平面BPC ，∴AO ⊥PC ，又AO ∩OD =O ，∴PC ⊥平面AOD ，又AD ?平面AOD ，∴AD ⊥PC ，∴在Rt △APD 中，易知PD =12PA =1，AD =√32PA =√3，在Rt △POD 中，易知OD =PDtan∠OPD =√33，在Rt △AOD 中，OA =√AD 2?OD 2=√(√3)2?(√33)2=2√63，∴三棱锥P—ABC 的体积V P?ABC =V A?PBC =13S ΔBPC ·OA =13×12×1×1×√32×2√63=√26．故选D ．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，本题使用特殊值法是判断的关键，本题的难度比较大，综合性较强．用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f(x)=0，解得x2?2ax=0，即x=0或x=2a，∵a>0，∴函数f(x)有两个零点，∴A，C不正确．设a=1，则f(x)=(x2?2x)e x，∴f′(x)=(x2?2)e x，由f′(x)=(x2?2)e x>0，解得x>√2或x<?√2．由f′(x)=(x2?2)e x<0，解得，?√2<x<√2，< p="">即x=?√2是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选B．13.答案：20解析：解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1执行循环体，S=3，n=2不满足条件S≥15，执行循环体，S=9，n=3不满足条件S≥15，执行循环体，S=20，n=4满足条件S≥15，退出循环，输出S的值为20．故答案为：20．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．14.答案：8解析：解：由约束条件{4x?y?2≤0x?y+1≥0x≥0y≥0作出可行域如图，联立，解得A(1,2)．化目标函数z=ax+by为y=?ab x+zb，由图可知，当直线y=?ab x+zb过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为a+2b=1．∴2a +1b=(2a+1b)(a+2b)=4+4ba+ab≥4+2√4baab=8．当且仅当a=2b时上式“=”成立．∴2a +1b的最小值为8．故答案为：8．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得a+2b=1，再由基本不等式求最值．本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．15.答案：π3解析：【分析】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，属于基础题，根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可．【解答】解：∵2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得，2cosBsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，∵sinB≠0，∴cosB =12，∵03，故答案为π3．16.答案：2√3解析：【分析】本题主要考查向量的模以及向量的数量积，属于基础题．通过向量的模长公式结合向量的数量积进行求解即可．【解答】解：|a ? +2b ? |=√4+4+4=2√3，故答案为2√3．17.答案：(1)解：设等比数列{a n }的公比为q ，由?2S 2,S 3,4S 4成等差数列知，2S 3=?2S 2+4S 4，所以2a 4=?a 3，即q =?12．又a 2+2a 3+a 4=116，所以a 1q +2a 1q 2+a 1q 3=116，所以a 1=?12，所以等差数列{a n }的通项公式a n =(?12)n．(2)证明：由(1)知b n =n(n +1) ，所以1b n=1n(n+1)=(1n ?1n+1)，所以数列{1b n}的前n 项和：T n =1?1n+1<1．解析：本题考查等差数列、等比数列的综合应用以及数列求和．(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由?2S 2,S 3,4S 4成等差数列求出q ，再求出首项即可得到通项公式； (2)由裂项求和求出T n ，即可证明．18.答案：解：(1)积极参加班级工作的学生有40×0.55=22(人)，不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有40×0.25=10(人)；可得2×2列联表：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高12820学习积极性一般101020合计221840 (2)计算观测值K2=40×(12×10?10×8)222×18×20×20≈0.404<2.072，所以没有85%的把握认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．解析：(1)由题意，填写列联表；(2)计算观测值，对照临界值即可得出结论．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：解：(1)证明：连接AC、BD相交于点O．∵BE⊥平面ABCD.而AC?平面ABCD，∴BE⊥AC．又∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥AC．∵BD∩BE=B，∴AC⊥平面BDE．∵G、H分别为DC、AD的中点，∴GH//AC，则GH⊥平面BDE．而DM?平面BDE，∴GH⊥DM；(2)菱形ABCD中，∠BAD=60°，得，∠ADC=120°．∵DG=DH=1，∴S△DGH=12DG?DHsin1200=12×1×1×√32=√34，∵BE⊥平面ABCD，即BM⊥平面ABCD，∴V?D?MGH=V M?DGH=13S△DGH?BM=√312BM．显然，当点M与点E重合时，BM取得最大值2，此时(V D?MGH)max=√312×2=√36．且MG=MH=√7，GH=√3，则S?△MGH=12×√3×52=5√34，∵H是AD中点，所有A到平面MGH的距离d1等于到平面MGH的距离d2，又V D?MGH=V M?DGH，∴√36=13×5√34d2，得d2=25．∴A 到平面MGH 的距离为25．解析：本题考查空间中的线面关系，考查空间想象能力和思维能力，训练了棱锥体积的求法，等体积法求距离，是中档题．(1)连接AC 、BD 相交于点O.由BE ⊥平面ABCD ，得到BE ⊥AC.再由四边形ABCD 为菱形，可得BD ⊥AC.由线面垂直的判定可得AC ⊥平面BDE.进一步得到GH ⊥DM ；(2)在菱形ABCD 中，由∠BAD =60°，得∠ADC =120°.求出三角形DGH 的面积，可得V?D?MGH =V M?DGH =13S △DGH ?BM =√312BM.由图可得当点M 与点E 重合时，BM 取最大值2，由此求得三棱锥D ?MGH 的体积的最大值．V D?MGH =V M?DGH ，∴√36=13×5√34d 2，得A 到平面MGH 的距离为25．20.答案：解：(1)设P(x,y)(x >0)，则√(x ?1)2+y 2=x +1，y 2=4x∴动圆圆心P 的轨迹C 的方程为：y 2=4x(x >0)．(2)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由于O 为MN 的中点，则N(?4,0) 当直线l 垂直于x 轴时，由抛物线的对称性知∠ANM =∠BNM ．当直线l 不垂直于x 轴时，设l ：y =k(x ?4)，由{y =k(x ?4)y 2=4x ，得k 2x 2?4(2k 2+1)x +16k 2=0，∴x 1+x 2=4(2k 2+1)k 2，x 1?x 2=16，∵k AN =y 1x1+4=k(x 1?4)x 1+4，k BN =y 2x2+4=k(x 2?4)x 2+4，∴k AN +k BN =k(2x 1x 2?32)(x1+4)(x 2+4)=0，∴∠ANM =∠BNM ，综上，∠ANM =∠BNM ．解析：(1)设圆心P ，根据动圆P 与圆(x ?1)2+y 2=1外切，且与y 轴相切．建立关系可得轨迹C 的方程(2)设而不求的思想，结合韦达定理即可证明．本题考查了轨迹方程是求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，是中档题．21.答案：证明：欲证f(x)>x 2?2ax ，即e x ?1>x 2?2ax ，即证e x ?x 2+2ax ?1>0．可令u(x)=e x ?x 2+2ax ?1，则u′(x)=e x ?2x +2a ．令?(x)=ex ?2x +2a ，则?′(x)=e x ?2．当x ∈(?∞,ln 2)时，?′(x)<0，函数?(x)在(?∞,ln 2]上单调递减，当x ∈(ln 2，+∞)时，?′(x)>0，函数?(x)在[ln 2，+∞)上单调递增．所以?(x)的最小值为?(ln 2)=e ln2?2ln 2+2a =2?2ln 2+2a ．因为a >ln 2?1，所以?(ln 2)>2?2ln 2+2(ln 2?1)=0，即?(ln 2)>0．所以u′(x)=?(x)>0，即u(x)在R 上为增函数．故u(x)在(0,+∞)上为增函数．所以u(x)>u(0)．而u(0)=0，所以u(x)=e x ?x 2+2ax ?1>0．故当a >ln 2?1且x >0时，f(x)>x 2?2ax ．解析：欲证f(x)>x 2?2ax ，即证e x ?x 2+2ax ?1>0.构造函数u(x)=e x ?x 2+2ax ?1，则u′(x)=e x ?2x +2a.令?(x)=e x ?2x +2a ，则?′(x)=e x ?2.由此利用导数性质能证明当a >ln 2?1且x >0时，f(x)>x 2?2ax ．本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调性以及函数的极值问题，考查学生分析解决问题的能力，利用导数研究函数的单调性的能力，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．是中档题．22.答案：解：(1)设点P(x,y)，所以{x =2+cosαy =sinα,(α为参数)，消去参数，得(x ?2)2+y 2=1，即P 点的轨迹C 的方程为(x ?2)2+y 2=1 直线l ：ρsin(θ+π4)=2√2，展开得：ρcosθ+ρsinθ=4?x +y =4，所以直线l 的直角坐标方程为x +y ?4=0．(2)由(1)，可知P 点的轨迹C 是圆心为(2,0)，半径为1的圆，则圆心C 到直线l 的距离为d =√2=√2>r =1．所以曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为√2+1．解析：(1)利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．23.答案：解：(1)f(x)=|x|，则f(x ?1)+f(x +2)=|x ?1|+|x +2| ={2x +1,x >13,?2≤x ≤1?2x ?1,x <4，可得{2x +1<4x >1或?2≤x ≤1或{?2x ?1<4x <?2，所以?52<x<3< p="">2，所以不等式的解集A={x|?52<x<3< p="">2}；(2)由(1)知m=1，则a+b+c=1，又a，b，c均为正实数，1?a a ·1?bb·1?cc=b+ca·a+cb·a+bc≥2√bca ·2√acb·2√abc=8，当且仅当a=b=a=13时等号成立．所以1?aa ?1?bb1?cc≥8．解析：本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．(1)根据f(x)=|x|，可得f(x?1)+f(x+2)={2x+1,x>13,?2≤x≤12x?1,x<?2，然后由f(x?1)+f(x+2)<4，分别解不等式即可；(2)根据(1)可得a+b+c=m=1，然后利用基本不等式可知1?aa ·1?bb·1?cc≥2√bca·2√acb·2√abc=8，从而证明1?aa ·1?bb·1?cc≥8，注意等号成立的条件．</x<3<></x<3<></x<√2，<></a?1，原不等式的解集为?．<> </a<1；<></a<1<></a<1时，a?1<0，<></a?1，原不等式解集为?；<>。
江西省抚州一中2020届高三上学期第二次同步测试文科数学
抚州一中2020届高三第二次同步考试数学试卷(文科)命题：高三数学备课组（满分150分考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.请将各小题中惟一正确的答案的代号填入答题卡相应的格子中.1．已知全集I＝R，集合，集合，则等于（）A．B． C．D．2.设M为实数区间，a＞0且a≠1，若“a∈M”是“函数在(0，1)上单调递增”的一个充分不必要条件，则区间M可以是（）A.（1，＋∞）B.（1，2）C. （0，）D.（0，1）3.将函数的图象作平移变换，得到函数的图象，则这个平移变换可以是（）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度4.数列中，，且满足，若，则的值为（）A．B．C．或D．或5．在△ABC中，，则的最大值为（）A．B．C．1D．6．已知函数的图象如右图所示，若，则有A． B．C． D．以上都不正确7. 已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列，则q = ( )A. 2B.C.D.18.己知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当时, ，如果关于的方程有解，记所有解的和为，则不可能为（）A. B. C. D.9. 函数，若（其中、均大于2），则的最小值为（）A、 B、 C、 D、110．记n项正项数列为，为其前n项的积，定义为“叠乘积”，如果有2005项的正项数列的叠乘积为，则有2006项的数列的“叠乘积”为（）A． B． C． D．高.考.资.源.11. 是正实数，设，若对每个实数，的元素不超过2个，且有使含有2个元素，则的取值范围是（）A. (, 2 ]B. [ ) C . (,] D (,2]12．已知恒成立，则的取值范围是（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共4小题,每小题4分,共16分.请将正确答案填在答题卡相应的横线上.13. 高考资源网设函数的反函数为，且的图像过点（，1），则的图像必过定点的坐标是 .14. 在数列中，，，则=15. 当，不等式恒成立，则实数的取范围是___ 16. 已知，且方程无实根，下列命题： A 、方程也一定没有实根；B 、若，则不等式对一切实数都成立；C 、若，则必存在实数，使D 、若，则不等式对一切实数都成立. 其中正确命题的序号是三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤；解答过程应写在答题卡上相应的位置. 17.已知函数，其中，。
江西省临川第一中学2019_2020学年高一数学12月月考试题
状元考前提醒拿到试卷：熟悉试卷刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。
先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。
2. 先小后大。
先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。
3. 先局部后整体。
把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。
中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。
不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。
要学会“挤”分考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。
考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。
如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。
有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。
考试期间遇到这些事，莫慌乱！江西省临川第一中学2019-2020学年高一数学12月月考试题本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}2230A x x x =-->，(){}lg 11B x x =+≤，则()R C A B I =（ ）A ．{}13x x -≤< B ．{}19x x -≤≤ C ．{}13x x -<≤ D ．{}19x x -<< 2．已知0.22019a =，20190.2b =，2019c=log 0.2，则（ ） A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．a c b <<3．已知函数()f x 在(1,2)内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度为0.01，则至少计算中点函数值（ ） A ．5次B ．6次C ．7次D ．8次4．下列不等式正确的是（ ）A ．3sin130sin 40log 4>>o oB ．tan 226ln 0.4tan 48<<o oC ．()cos 20sin 65lg11-<<o o D ．5tan 410sin 80log 2>>o o5．函数()y f x =的图象与函数()xg x e =的图象关于直线y x =对称，则函数()243y f x x =+-的单调递减区间为（ ）A ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C ．31,2⎛⎤- ⎥⎝⎦ D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知函数()cos (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则该函数图像( ) A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于直线6x π=对称C ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于直线3x π=对称7．已知函数)53(212log )(+-=ax x x f 在),1(+∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）)6,8.(--A ]6,.(--∞B ]6,8.[--C ]6,8.(--D 8．函数3cos 1()x f x x+=的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为偶函数，将()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得的图象对应的函数为()g x ，若()g x 最小正周期为2π，且24g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．-2B ．2C ．2-D 210．将函数()3sin y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是（ ） A ．12πB ．6π C ．3π D ．23π 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()6,3f x f x y f x +==+为偶函数，若()f x 在(0,3)内单调递减．则下面结论正确的是（ ）A ．()()1210ln 2f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()12ln 210f e f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．()()12ln 210f f f e ⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()12ln 210f f e f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭12．设奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数，且()11f -=-，若对所有的[]1,1x ∈-及任意的[]1,1a ∈-都满足()221f x t at ≤-+，则t 的取值范围是（ ）]2,2.[-A ]21,21.[-B ),2[}0{]2,.(+∞--∞Y Y C ),21[}0{]21,.(+∞--∞Y Y D第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知角θ的终边经过点P (4，y )，且3sin 5θ=-，则()tan πθ-=__________ 14．若1cos 1sin 2αα+=，则cos 2sin αα+=_________15．函数()2lg1y axax =++的值域是R ，则a 的取值范围是_________ _16．定义在R 上的函数()f x 满足()()2=-+f x f x ，()()2f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则方程()12f x x =-在[]8,10-上所有根的和为三、本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知全集U =R ，集合{}56A x x =<≤，139x aB x -⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，其中a 为实数 （1）当152a =时，求A B U ； （2）若()R C B A φ≠I ，求a 的取值范围18. （本小题满分12分） （1）已知51sin π123α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． （2）已知角α的终边过点()43P ,-，β为第三象限角，且4tan 3β=，求()cos αβ-的值.19．（本小题满分12分）若函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象经过点，且相邻的两个零点差的绝对值为6．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右平移3个单位后得到函数()g x 的图象，当[1,5]x ∈-时，求()g x 的值域．20．（本小题满分12分）2019年，随着中国第一款5G 手机投入市场，5G 技术已经进入高速发展阶段.已知某5G 手机生产厂家通过数据分析，得到如下规律：每生产手机()010x x ≤≤万台，其总成本为()G x ，其中固定成本为800万元，并且每生产1万台的生产成本为1000万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入()R x 万元满足()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩（1）将利润()f x 表示为产量x 万台的函数；（2）当产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？21．（本小题满分12分）下图为函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象，M 、N 是它与x 轴的两个交点，D 、C 分别为它的最高点和最低点，()0,1E 是线段MD 的中点，且OME ∆为等腰直角三角形.（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()f x 图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，再向左平移12个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 的解析式及单调增区间，对称中心.22．（本小题满分12分）已知函数()2lg ,2xf x m m R ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭． （1）当1m =-时，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()()2lg2g x f x x =+有且仅有一个零点，求实数m 的取值范围；（3）任取[]12,,2x x t t ∈+，若不等式()()121f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案CCCDD ACBCD AC13. 34 14. 1 15. 4≥a 16. 1617.（1）当152a =时，151522213339x x B x x ---⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪=<=<=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭15112,22x x ⎧⎫⎛⎫-<-=-∞⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，因为集合{}56A x x =<≤，所以(],6A B =-∞U ； （2）因为{}213339x ax a R C B x x ---⎧⎫=≥=≥⎨⎬⎩⎭[)2,a =-+∞， 又因为()R C B A φ≠I ， 所以26a -≤，即8a ≤， 所以a 的取值范围是(],8-∞. 18.解：（1）由5πππ1sin πsin cos 12212123ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得πsin 123α⎛⎫-===±⎪⎝⎭． （2）因为角α的终边过点()43P ,-，所以3sin 5α=，4cos 5α=-，因为β为第三象限角，且4tan 3β=，所以4sin 5β=-，3cos 5β=- 所以()4334cos cos cos sin sin 05555αβαβαβ⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 19.（1）∵()f x 相邻的两个零点差的绝对值为6，记()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的周期为T ，则62T =， 又2T πω=，∴6π=ω. ∴()2sin 062f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<<⎪⎪⎝⎭⎝⎭；∵()f x 的图像经过点，∴(0)2sin 02f πϕϕ⎫==<<⎪⎭，∴3πϕ=，∴函数()f x 的解析式为()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）∵将函数()f x 的图像向右平移3个单位后得到函数()g x 的图像， 由（1）得，()2sin 63f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴函数()g x 的解析式为()2sin (3)2sin 6366g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫=-+=- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；当[1,5]x ∈-时，2,6633x ππππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则2sin [66x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.综上，当[1,5]x ∈-时，()g x 的值域为[2]. 20.（1）由题意得()8001000G x x =+.因为()24004200,05,20003800,510.x x x R x x x ⎧-+≤≤=⎨-<≤⎩所以()()()24003200800,05,10004600,510.x x x f x R x G x x x ⎧-+-≤≤=-=⎨-<≤⎩（2）由（1）可得，当05x ≤≤时，()()240045600f x x =--+. 所以当4x =时，()max 5600f x =（万元）当510x <≤时，()10004600f x x =-，()f x 单调递增， 所以()()105400f x f ≤=（万元）. 综上，当4x =时，()max 5600f x =（万元）.所以当产量为4万台时，公司所获利润最大，最大利润为5600万元.21.（1）由已知点()0,1E 为线段MD 的中点，则2A =， 又OME ∆为等腰直角三角形，且2MOE π∠=，OM OE ∴=，则点()1,0M -，则()1,2D ，()121124πω∴⋅=--=，解得4πω=，()2sin 4f x x ϕπ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭. 将点D 的坐标代入函数()y f x =的解析式得2sin 24πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，sin 14πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.02πϕ<<Q ，3444πππϕ∴<+<，42ππϕ∴+=，解得4πϕ=， 因此，()2sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）将函数()y f x =图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，得出函数2sin 24x y ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向左平移12个单位长度，得到函数()12sin 2cos 2242xg x x πππ⎡⎤⎛⎫=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由()222xk k k Z ππππ-≤≤∈，得()424k x k k Z -≤≤∈.令()22xk k Z πππ=+∈，解得()21x k k Z =+∈.因此，函数()y g x =的单调增区间为[]()42,4k k k Z -∈，对称中心为()()21,0k k Z +∈.22.（1）当1m =-时,()212xf x lg ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 要使函数()f x 有意义,则需2102x -+＞,即22x <,从而1x < 故函数()f x 的定义域为{}|1x x <（2）若函数()()2lg2g x f x x =+有且仅有一个零点, 则22202xlg m xlg ⎛⎫++= ⎪⎝⎭有且仅有一个根,即22(2)02x x lg m ⎡⎤⎛⎫+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即22(2)12x x m ⎛⎫+=⎪⎝⎭, 即()222210xx m +⋅-=有且仅有一个根令20x t =>,则2210mt t +-=有且仅有一个正根, 当0m =时,210t -=,则12t =,即1x =-,成立； 当0m ≠时,若()2241440m m ∆=-⋅-=+=即1m =-时,1t =,此时0x =成立； 若()2241440m m ∆=-⋅-=+>,需10m-＜,即0m >, 综上，m 的取值范围为[){}0,1+∞-U（3）若任取[]12,,2x x t t ∈+,不等式()()121f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立, 即()()max min 1f x f x -≤对任意[]1,2t ∈恒成立, 因为()22xf x lg m ⎛⎫=+⎪⎝⎭在定义域上是单调减函数, 所以2()2max t f x lg m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,22()2min t f x lg m +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, 即222()()122max min tt f x f x lg m lg m +⎛⎫⎛⎫-=+-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 即2221022t t m m +⎛⎫⎛⎫+≤+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则392t m ≥-,所以339()24max t m ≥-=-,即112m ≥-, 又()22xf x lg m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有意义,需202x m +＞,即22xm -＞, 所以222t m +-＞,[]1,2t ∈,18m -＞ 所以m 的取值范围为),121[+∞-。
2019-2020学年江西省抚州市临川一中高三(上)第一次联考数学试卷2(9月份) (含答案解析)
2019-2020学年江西省抚州市临川一中高三（上）第一次联考数学试卷2（9月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 设z =21+i +2i ，则z −的虚部是( )A. 2B. 1C. −2D. −1 2. 已知集合A ={x|x ≥a}，B ={0,1，2}，若A ∩B =⌀，则a 的取值范围是( )A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,2)D. (2,+∞)3. 已知a ，b ∈R ，则“ab >0“是“ba +ab >2”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 4. 函数f(x)=lnx +ax 存在与直线2x −y =0平行的切线，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,2]B. (−∞,2−1e )∪(2−1e ,2) C. [0,+∞) D. (2,+∞)5. 若a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，那么下列选项不一定成立的是( )A. ab >acB. cb 2<ab 2C. bc >acD. ac(a −c)<0 6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =2C ，c =2，a 2=4b −4，则a =____.( )A. 1B. 2C.D.7. 已知函数f (x )={(a −1)x +4−2a,x <11+log 2x,x ≥1，若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A. (1,2]B. (−∞,2]C. (0,2]D. [2,+∞)8. 把15个相同的小球放到三个编号为1、2、3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法( )A. 18B. 28C. 38D. 429. 执行如图所示的程序框图，如果输入的a =2，则输出的T =( )A. 8B. −8C. −56D. −7210. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则椭圆C 的离心率为( )A. √32B. √33C. √22D. √6311. 函数f(x)={x +1,(−1⩽x <0)cos x,(0⩽x ⩽π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A. 32 B. 1 C. 2D. 12 12. 在等比数列{a n }中，已知前n 项和S n =5n+1+a ，则a 的值为 ( )A. −1B. 1C. 5D. −5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. (2√x −√x4)6的展开式的常数项是______ (用数字作答) 14. 已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S10S 5=4，则4a 1d=______．15. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2BC =2，直线DC 1与平面ABCD 所成的角为45°，则异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值为______． 16. 设P 为直线y =b3a x 与双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)左支的交点，F 1是左焦点，PF 1垂直于x 轴，则双曲线的离心率e =__________． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2，且2bcosB =acosC +ccosA ．(Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)求△ABC 面积的最大值．18. 如图，已知四边形ABDE 中，AE//BD 且BD =12AE.△ABC 是正三角形，且AB =AE ，M 是AC的中点，AE ⊥平面ABC ．(Ⅰ)求证：BM⊥CE；(Ⅱ)求直线ME与平面CDE所成角的正弦值．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线y2=4√3x的焦点重合，且直线y=bax与圆x2+y2−10x+20=0相切．(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率为k且不过原点的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，若k1，k，k2成等比数列，推断|OA|2+|OB|2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．20.某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取1件进行测试，测试后不放回，直至次品全部被找出为止．(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;(2)设所要测试的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．21. 已知函数f(x)=alnx −12x 2+12(a ∈R 且a ≠0)．(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)是否存在实数a ，使得对任意的x ∈[1,+∞)，都有f(x)≤0？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．22. 在平面直角坐标系xOy 中，射线l:y =√3x(x ⩾0)，曲线C 1的参数方程为{x =3cos αy =2sin α(α为参数)，曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4；以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为ρ=8sin θ．(1)写出射线l 的极坐标方程以及曲线C 1的普通方程； (2)已知射线l 与C 2交于O,M ，与C 3交于O,N ，求|MN|的值．23. 已知函数f(x)=|x −a|−2．(Ⅰ)若a =1，求不等式f(x)+|2x −3|>0的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)<|x −3|恒成立，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵z=21+i +2i=2(1−i)(1+i)(1−i)+2i=1−i+2i=1+i，∴z−=1−i，∴z−的虚部是−1，故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：∵A∩B=⌀，且A={x|x≥a}，B={0,1，2}；∴a>2；∴a的取值范围是(2,+∞)．故选：D．根据A={x|x≥a}，B={0,1，2}，并且A∩B=⌀，从而得出a>2，即得出a的取值范围．考查描述法、列举法的定义，以及交集的定义及运算，空集的定义．3.答案：B解析：【分析】本题考查了充分条件和必要条件的判断，属于基础题．根据充分条件，必要条件的定义判断即可．【解答】解：由ba +ab>2，得(a−b)2ab>0，故ab>0且a≠b，故“ab>0“是“ba +ab>2”的必要不充分条件，故选B．4.答案：B解析：解：函数f(x)=lnx +ax 存在与直线2x −y =0平行的切线，即f′(x)=2在(0,+∞)上有解， 而f′(x)=1x +a ，即1x +a =2在(0,+∞)上有解，a =2−1x ，因为x >0，所以2−1x <2，当y =2x 为切线时，设切点为(m,n)，可得2=1m +a ，又2m =lnm +am ，解得m =e ，a =2−1e ， 所以a 的取值范围是(−∞,2−1e )∪(2−1e ,2)． 故选B ．问题等价于f′(x)=2在(0,+∞)上有解，分离出参数a ，转化为求函数值域问题即可． 本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程问题，注意体会转化思想在本题中的应用．5.答案：B解析：解：由c <b <a 且ac <0，可知：c <0，a >0，b 为任意实数， 当b =0时，cb 2<ab 2不成立． 故选：B ．先根据c <a ，且ac <0，得出a ，c 的符号，进而判断出b 为任意实数，利用不等式的基本性质即可得到结果．本小题主要考查不等关系与不等式应用、不等式的基本性质、实数的性质等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．6.答案：D解析： 【分析】本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形计算中的应用，属于基础题．由A =2C 可得sinA =2sinCcosC ，利用正余弦定理得到关于a ，b 的方程，再结合a 2=4b −4，即可求出a 的值． 【解答】 解：∵A =2C ，∴sinA =sin2C ，即sinA =2sinCcosC ， ∴a =2c ·a 2+b 2−c 22ab，又c =2，∴a 2b =2(a 2+b 2)−8，由{a 2b =2(a 2+b 2)−8a 2=4b −4，解得{a =2b =2，或{a =2√3b =4，∵A =2C ，∴a >c ， ∴a =2√3， 故选D ．7.答案：A解析： 【分析】本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法以及函数的单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．利用函数的值域范围，结合分段函数求解最值，推出结果即可． 【解答】解：函数f (x )={(a −1)x +4−2a,x <11+log 2x,x ≥1, 当x ≥1时，f(x)=1+log 2x ≥1，当x <1时，f(x)=(a −1)x +4−2a 必须是增函数， 最大值大于等于1，才能满足f(x)的值域为R ， 可得{a −1>0a −1+4−2a ≥1，解得a ∈(1,2]．故选：A ．8.答案：B解析： 【分析】本题考查组合数公式，属于基础题．根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案． 【解答】解：根据题意，15个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有C 82=8×72=28种不同的放法，即有28个不同的符合题意的放法． 故选B ．9.答案：D解析： 【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的T ，i 值，当i =6时，程序终止即可得到结论． 本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础． 【解答】解：执行程序框图，a =2，T =0，i =1，满足条件i ≤5，执行循环，T =0+2×2=4，a =1，i =2； 满足条件i ≤5，执行循环，T =4+1×4=8，a =0，i =3； 满足条件i ≤5，执行循环，T =8+0×8=8，a =−1，i =4； 满足条件i ≤5，执行循环，T =8−1×16=−8，a =−2，i =5； 满足条件i ≤5，执行循环，T =−8−2×32=−72，a =−3，i =6； 此时，不满足条件i ≤5，退出循环.输出T 的值为−72. 故选D ．10.答案：B解析： 【分析】本题考查椭圆的性质和几何意义，属中档题．利用已知的向量间的关系、三角形相似求出D 的横坐标，再由点D 在椭圆上建立关于a 、c 的方程，解方程求出ca 的值． 【解答】解：不妨取椭圆焦点为右焦点，如图：，BF =√b 2+c 2=a ， 作DD 1⊥y 轴于点D 1， 易知△BOF∽△BD 1D ， 又BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FD ⃗⃗⃗⃗⃗ 得：|OF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BF⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23， 可得D (32c,−b2) 设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，将D 点代入可得a 2=3c 2， 解得e =c a=√33． 故选B ．11.答案：A解析： 【分析】本题考查利用定积分求面积，属于中档题．先根据题意画出直线y =x +1及y =cosx 与x 轴所围成的封闭图形，然后利用定积分表示区域面积，最后转化成等价形式． 【解答】解：作出对应的图象如图：则对应的区域面积．故选A .12.答案：D解析：【分析】本题考查数列的递推关系以及等比数列的性质，根据数列的递推关系，可求出a n =4·5n 则a 2=100，a 3=500.又a 1，a 2，a 3成等比数列，根据等比数列的性质求出a 的值．【解答】解：当n =1时，a 1=S 1=52+a ，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=(5n+1+a)−(5n +a)=4·5n ， 则a 2=100，a 3=500． 又a 1，a 2，a 3成等比数列，则a 22=a 1a 3，即1002=(25+a)·500，解得a =−5， 故选D ．13.答案：60解析：解：通项公式T r+1=∁6r (2√x)6−r (−1√x 4)r =(−1)r 26−r ∁6r x3−3r4， 令3−3r 4=0，解得r =4．∴常数项是22∁64=60． 故答案为：60． 利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：2解析：解：∵S 10S 5=4，∴10a 1+10×92d =4×(5a 1+5×42d)，化为：2a 1=d ≠0． 则4a 1d=2．故答案为：2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：√105解析：解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =2BC =2， 直线DC 1与平面ABCD 所成的角为45°， ∴∠C 1DC =45°，∴DC =CC 1=2， ∴A(1,0，0)，D 1(0,0，2)，D(0,0，0)，C 1(0,2，2)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，2)，DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)， 设异面直线AD 1与DC 1所成角为θ， 则cosθ=|cos <AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5⋅8=√105． ∴异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值为√105．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD 1与DC 1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．16.答案：3√24解析：设P(x,b3a x)，则由题意，知c =|x |.因为PF 1垂直于x 轴，则由双曲线的通径公式知|b 3ax|=b 2a，即b3ac =b 2a，所以b =c3.又由a 2=c2−b2，得a 2=89c 2，所以e =c a=3√24． 17.答案：(本小题满分12分)解：(Ⅰ)∵2bcosB =acosC +ccosA ，∴可得：2sinBcosB =sinAcosC +sinCcosA =sinB ， ∵sinB ≠0，∴cosB =12，由B ∈(0,π)，可得：B =π3． (Ⅱ)∵b =2，B =π3，∴由余弦定理可得ac =a 2+c 2−4，∴由基本不等式可得ac =a 2+c 2−4≥2ac −4，可得：ac ≤4，当且仅当a =c 时，“=”成立， ∴从而S △ABC =12acsinB ≤12×4×√32=√3．故△ABC 面积的最大值为√3．解析：(Ⅰ)由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sinBcosB =sinB ，结合sinB ≠0，可求cos B 的值，进而可求B 的值．(Ⅱ)由余弦定理，基本不等式可得：ac ≤4，进而利用三角形面积公式即可得解△ABC 面积的最大值． 本题考查解三角形的相关知识，考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．18.答案：(Ⅰ)证明：因为AE ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴AE ⊥BM ，又因为△ABC 是正三角形，M 是AC 的中点， ∴AC ⊥BM ，又∵AE ∩AC =A ，AE ⊂平面ACE ，AC ⊂平面ACE ， ∴BM ⊥平面ACE ， 又∵CE ⊂平面ACE ， ∴BM ⊥CE ；(Ⅱ)解：取CE 的中点F ，连接MF ， 所以MF 是△ACE 的中位线，所以MF//AE ， 所以MF ⊥平面ABC ，所以MA 、MB 、MF 两两垂直，以M 为坐标原点，MA 、MB 、MF 所在直线为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB =2，则M(0,0，0)，E(1,0，2)，D(0,√3,1)，C(−1,0，，0)， 所以ME ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,1)． 设平面CDE 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则{2x +2z =0x +√3y +z =0， 令x =1，得n →=(1,0,−1)， 所以|n ⃗ |=√12+0+(−1)2=√2， 设直线ME 与平面CDE 所成角为θ， 则，所以直线ME 与平面CDE 所成角的正弦值为√1010．解析：本题考查线线垂直的证明，线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想，是中档题．(Ⅰ)推导出AE ⊥BM ，AC ⊥BM ，由此能证明BM ⊥平面ACE ，再由线面垂直的性质可得结论；(Ⅱ)取CE 的中点F ，连接MF ，以M 为坐标原点，MA 、MB 、MF 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线ME 与平面CDE 所成角的正弦值．19.答案：解：(1)因为抛物线y 2=4√3x 的焦点为(√3,0)，则c =√3，所以a 2−b 2=3.(2分)因为直线bx −ay =0与圆(x −5)2+y 2=5相切， 则22=√5，即a 2=4b 2.(4分) 解得a 2=4，b 2=1，所以椭圆C 的方程是x 24+y 2=1.(5分)(2)设直线l 的方程为y =kx +m(m ≠0)，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 将直线l 的方程代入椭圆方程，得x 2+4(kx +m)2=4， 即(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0， 则x 1+x 2=−8km 4k +1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1.(7分)由已知，k 2=k 1k 2=y 1y2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)x 1x 2，则k 2x 1x 2=(kx 1+m)(kx 2+m)， 即km(x 1+x 2)+m 2=0，所以−8k 2m 24k 2+1+m 2=0，即(1−4k 2)m 2=0．因为m ≠0，则k 2=14，即k =±12，从而x 1+x 2=2m ，x 1x 2=2m 2−2.(10分)所以|OA|2+|OB|2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+(kx 1+m)2+x 22+(kx 2+m)2 =(k 2+1)(x 12+x 22)+2km(x 1+x 2)+2m 2=(k 2+1)[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+2km(x 1+x 2)+2m 2． =54[4m 2−2(2m 2−2)]−2m 2+2m 2=5为定值．(12分)解析：(1)由抛物线y 2=4√3x 的焦点为(√3,0)，得a 2−b 2=3.由直线bx −ay =0与圆(x −5)2+y 2=5相切，得a 2=4b 2.由此能求出椭圆C 的方程．(2)设直线l 的方程为y =kx +m(m ≠0)，点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，将直线l 的方程代入椭圆方程，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出|OA|2+|OB|2为定值．本题考查椭圆方程的求法，考查两线段的平方和是否为定值的判断与求法，考查椭圆方程、直线方程、等差数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20.答案：解：(1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A ，则P(A)=A 22A 62=115． (2)X 的所有可能取值为2，3，4，5． P(X =2)=115，P(X =3)=C 21C 41A 22A 53=215，P(X =4)=A 44A 54+C 21C 42A 33A 54=415，P(X=5)=C21C43A44A55+C43C21A44A55=815．X的分布列为因此，E(X)=2×15+3×215+4×415+5×815=6415．解析：本题主要考查古典概型，以及离散型随机变量的分布列与数学期望．(1)由题意结合古典概型计算公式和排列组合公式求解概率值即可；(2)由题意可知X的所有可能取值为2，3，4，5，据此计算相应的概率值，求得分布列，然后求解数学期望即可．21.答案：解：(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞).求导函数可得f′(x)=ax −x=−x2+ax．当a<0时，在区间(0,+∞)上，f′(x)<0．所以f(x)的单调递减区间是(0,+∞)．当a>0时，令f′(x)=0得x=√a或x=−√a(舍)．函数f(x)，f′(x)随x的变化如下：综上所述，当a<0时，f(x)的单调递减区间是(0,+∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间是(0,√a)，单调递减区间是(√a,+∞)．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：当a<0时，f(x)在[1,+∞)上单调递减，所以f(x)在[1,+∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≤0．当a>0时，①当√a≤1，即0<a≤1时，f(x)在[1,+∞)上单调递减，所以f(x)在[1,+∞)上的最大值为f(1)=0，即对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≤0．②当√a>1，即a>1时，f(x)在[1,√a)上单调递增，所以f(√a)>f(1)．又f(1)=0，所以f(√a)>0，与对于任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≤0矛盾．综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是(−∞,0)∪(0,1]．解析：(Ⅰ)确定函数f(x)的定义域，求导函数，对a分类讨论，利用导数的正负，即可求得f(x)的单调区间；(Ⅱ)对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)≤0，即使得对任意的x∈[1,+∞)，都有f(x)max≤0，因此求出函数的最大值，即可确定a 的取值范围．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，合理分类，属于中档题．22.答案：解：(1)射线l ：y =√3x(x ≥0)，转换为极坐标方程为：θ=π3(ρ≥0)． 曲线C 1的参数方程为{x =3cosαy =2sinα(α为参数)， 转换为直角坐标方程为：x 29+y 24=1;(2)曲线C 2的方程为x 2+(y −2)2=4； 转换为极坐标方程为：ρ=4sinθ， 射线l 与C 2交于O ，M ，与C 3交于O ，N ， 设M ，N 的坐标分别为M(ρ1,θ),N(ρ2,θ),所以：|MN|=|ρ1−ρ2|=|4sin π3−8sin π3|=2√3．解析：本题考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．(1)直接利用转换关系，把参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (2)先求出曲线C 2的极坐标方程，再利用极径的定义和射线l 的极坐标方程求出|MN|．23.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=|x −a|−2.若a =1，不等式f(x)+|2x −3|>0，化为：|x −1|+|2x −3|>2． 当x ≥32时，3x >6.解得x >2，当x ∈(1,32)时，可得−x +2>2，不等式无解； 当x ≤1时，不等式化为：4−3x >2，解得x <23， 不等式的解集为：(−∞,23)∪(2,+∞)； (Ⅱ)关于x 的不等式f(x)<|x −3|恒成立， 可得|x −a|−2<|x −3|， 设f(x)=|x −a|−|x −3|， 因为|x −a|−|x −3|≤|a −3|， 所以f(x)max =|a −3|， 即：|a −3|<2，所以a 的取值范围为(1,5)．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(Ⅰ)通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；(Ⅱ)可得|x−a|−2<|x−3|，设f(x)=|x−a|−|x−3|，求出f(x)的最大值，得到关于a的不等式，解出即可．。
江西省临川区第一中学高三上学期第二次月考数学(文)试题Word版含答案
a c sin A sin B ． b sin A sin C （I）求角 C ；
（II）求
ab 的取值范围． c
19．(本小题满分 12 分)下列数表中各数均为正数，且各行依次成等差数列，各列依次成等 比数列，公比均相等，已知 a11=1，a23=14，a32=16； a11 a12 a13 a21 a22 a23 … an1 an2 an3 …anm （1）求数列{an1}的通项公式； （2）设 bn= ，Tn 为数列{bn}的前 n 项和，若 Tn＜m -7m 对一切 n∈N 都成立，求最小的正
2
）
A． [1, 2]
1 B． 0, 2
1 C． , 2 2
D． (0, 2]
5. 把函数 y sin( x 象向右平移
6
) 图象上各点的横坐标缩短到原来的
个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( 3 A． x B． x C． x 8 2 4
2 2
房东是个大帅哥
噼噼啪啪 噼噼啪 啪
20.试题解析： （1）
；
（2）
,
,
=
;
（3） 单增区间为
单减区间为 .
，
21. 解：（1）由题意知，2b＝4，∴b＝2，又∵e＝ ＝
解得： a＝ 5，c＝1，∴椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1； 5 4 （2）①由（1）知：B(0,－2)，F1(－1,0)，∴BF1：y＝－2x－2
y0 y0 d1 d2
2
………15 分
y0 d2
y0 y0 d1 d2
………15 分
ax 2 2 x 1 ( x 0) x
∵ x 2 时， f ( x) 取得极值，∴ f (2) 0 ，解得 a ，经检验符合题意. （Ⅱ）函数 f ( x) 的定义域为 (0, ) ，依题意 f ( x) 0 在 x 0 时恒成立， 即 ax 2 2 x 1 0 在 x 0 恒成立. 则a
2019-2020学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高三(上)期中数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年江西省抚州市临川一中、临川一中实验学校高三（上）期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2x2+x>0}，B={x|2x+1>0}，则A∩B=()A. {x|x>−12} B. {x|x>12} C. {x|x>0} D. R2.若点P(−3,4)是角α的终边上一点，则sin2α=A. −2425B. −725C. 1625D. 853.已知cos(α−π4)=−13，则sin(−3π+2α)=()A. 79B. −79C. 35D. −354.函数f(x)=x44x−4−x的大致图象为()A. B.C. D.5.设x，y满足约束条件{x≥0,y≥0x−y≥−1x+y≤3，则z=2x−y的最大值为()A. 0B. 2C. −2D. 66.已知函数f(x)={(12)x−7,x<0log2(x+1),x≥0，若f(a)<1，则实数a的取值范围是()A. (−∞ , −3)∪[0 , 1)B. (−3,0)⋃(−1,1)C. (−3,1)D. (−∞,−3)⋃(1,+∞)7.已知向量a⃗，b⃗ ，其中a⃗=(−1,√3)，且a⃗⊥(a⃗−3b⃗ )，则b⃗ 在a⃗上的投影为()A. 43B. −43C. 23D. −238.将y=3sin4x的图象向左平移π12个单位长度，再向下平移3个单位长度得到y=f(x)的图象，若f(m)=a，则f(π3−m)=()A. −aB. −a−3C. −a+3D. −a−69. 已知f(x)是偶函数，当x >0时，f(x)单调递减，设a =−21.2，b =(12)−0.8，c =2log 52，则f(a),f(b),f(c)的大小关系为( )A. f(c)<f(b)<f(a)B. f(c)>f(b)>f(a)C. f(c)<f(a)<f(b)D. f(c)>f(a)>f(b) 10. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5=3a 3，且a 4与9a 7的等差中项为2，则S 5=( )A. 1123B. 112C.12127D. 12111. 已知x >0，y >0，2x +3xy =6，则2x +3y 的最小值是( )A. 3B. 4√3−2C. 92D. 11212. 设函数f(x)={|lnx |,x >0e x (x +1),x ≤0，若函数g(x)=f(x)−b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A. (1,+∞)B. (−1e 2,0)C. (1,+∞)∪{0}D. (0,1]二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知函数f (x )={log 2(3−x ),x ≤02x −1,x >0，若f(a −1)=12，则实数a =______．14. 在等差数列{a n }中，a 2=1，a 4=7，则{a n }的前5项和S 5= ______ ． 15. 如下图：在△ABC 中，若AB =AC =3，cos∠BAC =12，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =__________．16. 已知函数f (x )=2sinx +sin2x ，则f (x )的最小值是_____________． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 已知函数f (x )=sinx(sinx −√3cosx)(x ∈R )．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期及最大值； (Ⅱ)若x ∈[0,π],求f(x)=1的所有根的和．18.在数列{a n}中，a n>0，其前n项和S n满足S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)若b n=a n−5，求b2+b4+⋯+b2n．2n19.已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且满足(b−c)2=a2−bc．(1)求角A的大小；(2)若a=3，求△ABC的面积的最大值．20.已知y=f(x)为二次函数，且f(0)=−5，f(−1)=−4，f(2)=−5，求此二次函数的解析式．21.已知函数f(x)=(ax+b)lnx−bx+3在(1,f(1))处的切线方程为y=2．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．(3)若g(x)=f(x)+kx在(1,3)是单调函数，求k的取值范围．22.已知函数f(x)=(m+1m )lnx+1x−x，(Ⅰ)当m=2时，求f(x)的极大值；(Ⅱ)当m>0时，讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A={x|x<−12,或x>0},B={x|x>−12}；∴A∩B={x|x>0}．故选：C．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题.利用任意角的三角函数的定义求得sinα、cosα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．【解答】解：∵点P(−3,4)是角α的终边上一点，∴sinα=22=45，cosα=22=−35，则sin2α=2sinαcosα=−2425．故选A．3.答案：A解析：【分析】本题主要考查了二倍角公式，和差公式和诱导公式，属于基础题．将cos(α−π4)=−13展开后平方可得sin2α=−79，由诱导公式可得答案．【解答】解：∵cos(α−π4)=−13，∴√22cosα+√22sinα=−13，两边平方得：12(1+2sinαcosα)=19，∴sin2α=−79，又sin(−3π+2α)=−sin2α，所以sin(−3π+2α)=79，故选A．4.答案：A解析：【分析】本题考查函数的图象的判断，考查函数的奇偶性，属于中档题．判断函数的奇偶性排除选项BD，再根据特殊值排除选项C即可．【解答】解：f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，又f(−x)=(−x)44−x−4x =−x44x−4−x=−f(x)，则f(x)是奇函数，排除选项BD，当x=2时，f(2)=1616−116>1，对应点在y=1的上方，排除C．故选A．5.答案：D解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键，属于中等题．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．变形目标函数可得y=2x−z，平移直线y=2x可知当直线经过点A(3,0)时，直线的截距最小，z取最大值，代值计算可得z=2x−y的最大值为6，故选D ．6.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了分段函数的应用，解题的关键是熟练掌握分段函数的计算， 根据已知及分段函数的计算，求出f(a)=1，实数a 的取值范围． 【解答】 解：∵函数f(x)={(12)x −7,x <0log 2(x +1),x ≥0，若f(a)<1 ∴{a <−3,0≤a <1,∴实数a 的取值范围是(−∞ , −3)∪[0 , 1)． 故选A ．7.答案：C解析：解：由已知，a ⃗ =(−1,√3)，且a ⃗ ⊥(a ⃗ −3b ⃗ )，a ⃗ ⋅(a ⃗ −3b ⃗ )=0=a ⃗ 2−3a ⃗ ⋅b ⃗ =4−3a ⃗ ⋅b ⃗ ，a ⃗ ⋅b ⃗ =43，所以b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为a ⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |=432=23； 故选C ．利用b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为|b ⃗ |cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ |即可得出． 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的投影，属于基础题．8.答案：D解析： 【分析】本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，及诱导公式，属于基础题． 由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律和诱导公式得出结论． 【解答】解：将y =3sin4x 的图象向左平移π12个单位长度， 得到y =3sin(4x +4×π12)=3sin(4x +π3)的图象， 再向下平移3个单位长度得到y =3sin(4x +π3)−3的图象，∴f(x)=3sin(4x +π3)−3，由f(m)=a ，则3sin(4m +π3)−3=a ，即3sin(4m +π3)=a +3，．故选D ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查偶函数的性质，函数单调性，指数、对数函数的性质，以及对数的运算性质的应用，属于基础题． 【解答】解：∵函数f(x)为偶函数， ∴f(−21.2)=f(21.2)，∵21.2∈(2,+∞)，0<2log 52<1，(12)−0.8=245∈(1,2)， 且函数f(x)在(0,+∞)上单调递减，∴f(c)>f(b)>f(a). 故选B .10.答案：D解析： 【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，涉及等差数列的性质，属于中档题．设等比数列{a n }的公比为q ，由已知可得q 和a 1的值，代入等比数列的求和公式可得． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2a 5=3a 3，∴a 4=a 1q 3=3， ∵a 4与9a 7的等差中项为2， ∴a 4+2a 7=a 4(1+9q 3)=4， 解得q =13，可得a 1=81，故S5=81(1−135)1−13=121．故选D．11.答案：B解析：【分析】本题考查基本不等式的运用，属于简单题．由条件可得0<x<3，3y=6−2xx ，即有2x+3y=2x+6x−2，运用基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：x>0，y>0，2x+3xy=6，可得3y=6−2xx>0，0<x<3，即有2x+3y=2x+6x−2≥2√2x×6x−2=4√3−2，当且仅当x=√3，y=13(2√3−2)时，上式取得等号，则2x+3y的最小值为4√3−2，故选：B．12.答案：D解析：【分析】本题考查导数求函数的零点问题，属于一般题．将函数的零点转化为y=f(x)与y=b两个函数图象的交点．【解答】解：设ℎ(x)=e x(x+1),x≤0，则ℎ′(x)=e x(x+2)，ℎ(x)在(−∞,−2)上递减，在(−2,0]上递增，ℎ(x)min=g(−2)=−1e2，且0<b≤1与y=b的图象有三个交点，此时，函数g(x)=f(x)−b有三个零点，∴实数b的取值范围是(0,1]．故选D ．13.答案：解析： 【分析】本题主要考查分段函数求函数值，属于基础题． 根据分段函数解析式，分类讨论求解即可． 【解答】 解：函数，∵f(a −1)=12，或{a −1>02a−1−1=12，解得． 故答案为．14.答案：20解析：解：由等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 5=a 2+a 4， ∴S 5=5(a 1+a 5)2=5×(1+7)2=20．故答案为：20．由等差数列{a n }的性质可得：a 1+a 5=a 2+a 4，再利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.答案：−32解析： 【分析】本题考查向量的数量积，属基础题．由条件可先得出AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，进行数量积的运算即可求出该数量积的值． 【解答】 解：根据条件：AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2=13×3×3×12−23×9+13×9 =−32． 故答案为：−32．16.答案：−3√32解析： 【分析】本题考查应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值． 【解答】解：f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)， 所以当cosx <12时函数单调减，当cosx >12时函数单调增， 从而得到函数的减区间为[2kπ−5π3,2kπ−π3](k ∈Z)，函数的增区间为[2kπ−π3,2kπ+π3](k ∈Z)，所以当x =2kπ−π3,k ∈Z 时，函数f (x )取得最小值，此时sinx =−√32,sin2x =−√32，所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32． 17.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)=sinx(sinx −√3cosx)=sin 2x −√3sinxcosx =1−cos2x 2−√32sin2x =12−sin(2x +π6)，x ∈R ，则函数f(x)的最小正周期为T=2π2=π，当sin(2x+π6)=−1时，f(x)取得最大值为32．(Ⅱ)x∈[0,π],则2x+π6∈[π6,13π6]，令f(x)=1，得sin(2x+π6)=−12，所以2x1+π6+2x2+π6=3π，x1+x2=4π3因此，所有根的和为4π3.解析：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查两角和差公式与二倍角公式的应用，注意正弦函数图象和性质的灵活运用．(Ⅰ)化函数f(x)为正弦型函数，求出f(x)的最小正周期和最大值；(Ⅱ)根据x∈[0,π]时f(x)=1，结合三角函数的对称性求得f(x)=1时所有根的和．18.答案：解：(Ⅰ)由S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0，得[S n−(n2+2n)](S n+1)=0，由a n>0，可知S n>0，故S n=n2+2n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+2n)−[(n−1)2+2(n−1)]=2n+1；当n=1时，a1=S1=3，符合上式，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1．(Ⅱ)解：依题意，b n=a n−52n =2n−42n=n−22n−1，则b2n=2n−222n−1=(n−1)⋅(14)n−1，设T n=b2+b4+⋯+b2n，故T n=0+14+242+343+⋯+n−14n−1，而4T n=1+24+342+⋯+n−14n−2．两式相减，得3T n=1+14+142+⋯+14n−2−n−14n−1=1−(14)n−11−14−n−14n−1=13(4−3n+14n−1)，故T n =19(4−3n+14n−1)．解析：(Ⅰ)把已知数列递推式变形，求得S n =n 2+2n ，得到数列首项，再由a n =S n −S n−1(n ≥2)求{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入b n =a n −52n，得到b 2n ，再由错位相减法求得b 2+b 4+⋯+b 2n ．本题考查数列递推式，考查了由数列的前n 项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，是中档题．19.答案：解：(1)∵(b −c)2=a 2−bc ，∴b 2+c 2−a 2=bc ， ∴由余弦定理可得：cosA =b 2+c 2−a 22bc=bc2bc =12，又∵A ∈(0,π)，∴A =π3; (2)∵a =3，A =π3，∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc ∴9=b 2+c 2−bc ， 又∵b 2+c 2≥2bc ， ∴9≥bc ，即bc ≤9， ∴三角形ABC 的面积， ∴三角形ABC 的面积的最大值是9√34．解析：本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式以及基本不等式的应用，是基础题． (1)将所给式子展开整理化简，结合余弦定理即可求得∠A ；(2)由a =3，A =π3，利用余弦定理，可得关于b ，c 的等式，结合基本不等式可得bc 的最大值，利用三角形面积公式即可求得面积的最大值．20.答案：解：y =f(x)为二次函数，设f(x)=ax 2+bx +c (a ≠0)，∵f(0)=−5，∴c =−5由f(−1)=−4，f(2)=−5，可得：{−4=a −b −5−5=4a +2b −5，解得：{a =13b =−23，故得二次函数的解析式为f(x)=13x2−23x−5．解析：由题意，设f(x)=ax2+bx+c，由f(0)=−5，f(−1)=−4，f(2)=−5，求解a，b，c的值可得答案．本题主要考查函数解析式的求解，利用待定系数法，属于基础题．21.答案：解：(1)因为f(1)=(a+b)ln1−b+3=2，所以b=1；又f′(x)=bx +alnx+a−b=1x+alnx+a−1，而函数f(x)=(ax+b)lnx−bx+3在(1,f(1))处的切线方程为y=2，所以f′(1)=1+a−1=0，所以a=0；(2)由(1)得f(x)=lnx−x+3，f′(x)=1x−1，当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0；所以f(x)在(0,1)上单调递增，f(x)在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)有极大值f(1)=2，无极小值．故f(x)的极大值为f(1)=2，无极小值；(3)由g(x)=f(x)+kx，则g(x)=lnx+(k−1)x+3(x>0)，g′(x)=1x+k−1，又由g(x)在x∈(1,3)上是单调函数若g(x)为增函数时，有g(x)≥0所以有g,(x)=1x +k−1≥0,即k≥1−1x在x∈(1,3)上恒成立，又1−1x∈(0,23)，所以k≥23若g(x)为减函数时，有g(x)≤0所以有g,(x)=1x +k−1≤0,即k≤1−1x在x∈(1,3)上恒成立，又1−1x∈(0,23)，所以k≤0故综上k∈(−∞,0]∪[23,+∞)．解析：本题考查函数的导数的综合应用，函数的切线方程，函数的极值以及单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．(1)利用切线方程求出b=1，求出导函数，转化求解f′(1)=1+a−1=0，推出a=0．(2)求出f(x)=lnx−x+3的导函数f′(x)=1x−1，通过当0<x<1时，当x>1时，导函数的符号，判断函数的单调性求出极值．(3)由g(x)=f(x)+kx，则g(x)=lnx+(k−1)x+3(x>0)求出导函数，利用g(x)在x∈(1,3)上是单调函数求出函数的最值然后推出k的范围．22.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)．当m=2时，f(x)=52lnx+1x−x，f′(x)=52x −1x−1=−(2x−1)(x−2)2x．当0<x<12时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当12<x<2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x=2时f(x)取得极大值f(2)=52ln2−32．(Ⅱ)f′(x)=m2+1mx −1x−1=−(mx−1)(x−m)mx=−(x−1m)(x−m)x．①若0<m<1，则0<m<1<1m.当0<x<m时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当m<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；②若m=1，f′(x)=−(x−1)2x2<0，f(x)在(0,1)上单调递减；③若m>1，则0<1m <1<m，当0<x<1m时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当1m<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；综上，当0<m<1时，f(x)在(0,m)上是减函数，在(m,1)上是增函数；当m=1时，f(x)在(0,1)上是减函数；当m>1时，f(x)在(0,1m )上是减函数，在(1m,1)上是增函数．解析：(Ⅰ)m=2时，求出f′(x)，f(x)的单调区间，根据极值定义可求得极值；(Ⅱ)求出f′(x)，然后解含参数的不等式f′(x)>0，f′(x)<0，注意讨论m的范围．本题考查利用导数研究函数单调性、极值以及含参数的不等式的求解，本题渗透了分类讨论思想．。
2020届高三5月模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
姓名，年级：时间：2020届临川一中暨临川一中实验学校高三文科数学月考试卷（满分：150分 考试时间：120分钟）一、 选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的）1．若复数z 满足1(120)z i -=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}0lg 2lg 3P x x =<<,(){}20Q x x x =->,则P Q 为（ ） A ．()0,2B ．()1,9C ．()2,9D ．()1,23．若点()cos ,sin P αα在直线2y x =-上，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+22sin πα的值等于（ ） A ．53-B ．53C ．54-D ．544。
在统计学中，同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率,环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率.2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表，根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图，下列说法正确的是（ ）A ．2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌B ．2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高C ．2019年我国居民每月消费价格逐月递增D ．2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降5．如图所示的程序框图可以计算π的近似值（其中P 表示π的近似值)，若输入10n ＝，则输出的结果是（ ) A ．11114(1)35717P =-+-+⋅⋅⋅+ B ．11114(1)35719P =-+-+⋅⋅⋅- C ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅+D ．11114(1)35721P =-+-+⋅⋅⋅-6．已知实数,x y 满足约束条件2202201,1x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-≥-⎩,则2x y +的取值范围是（ ）A ．(3,6]-B ．[3,6]-C ．3(,6]2-D ．3[,6]2-7．在ABC ∆中,4AC AD =，P 为BD 上一点,若13AP AB AC λ=+，则实数λ的值（ ） A ．18B ．316C ．16D ．388．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为（ ）9．将函数()17cos 488f x x =+的图象向左平移12π个单位长度,向下平移78个单位长度后，得到()h x 的图象,若对于任意的实数,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()h x ω都单调递增,则正数ω的最大值为( ） A ．3B ．52C ．73D ．7610．若将双曲线()22:10x y C mn m n-=>绕其对称中心旋转6π后可得某一函数的图象，则双曲线C 的离心率等于（ ） A ．23B ．3C ．2或23D ．2或311．某同学自制了一套数学实验模型,该模型三视图如图所示.模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置。
2019年10月江西省临川一中2020届高三上学期第二次联合考试数学(文)试题及答案
∴ ,∵ ,∴ ,∴ ,
（Ⅱ）当 时, ,
要证 成立,即证 成立,
令 , ,则 , ,
令 ,则 ,∴当 时, ，此时 递减；
当 时， ，此时 递增，∴ ，
显然 ， ，∴ 时， 成立。
即 时，
22.（1） 的普通方程为 ， 的普通方程为 ，
联立方程组 ，解得交点为 ,所以 = ；
∴ ,即 ,∴ ,
∴椭圆 的方程为 ,椭圆 的方程是 ；
（2）显然直线的斜率不为0,故可设直线的方程为 .
联立： ,得 ,即 ,
∴ ,设 , ,
则 , ,∴ ,
的高即为点 到直线： 的距离 ,
∴ 的面积 ,
∵ ,等号成立当且仅当 ,即 时,
∴ ,即 的面积的最大值为.
21.解：（Ⅰ）由函数 , ,得 ,
（2）在 中,由正弦定理得 ,
, ,
所以 .
19.（1）图 中,在四边形 中, , , 四边形 为平行四边形.
又 , 四边形 为菱形, , ,
在图 中, , ,又 , 面 ．
平面 , .又在四边形 中, , ,
四边形 为平行四边形, , ；
（2）法一：由（1）可知 面 ,且 , 平面 ,
的长度即为点 到平面 的距离,
（2）曲线 ： （ 为参数）．设所求的点为 ，
则 到直线 的距离 .
当 时， 取得最大值 ． ，即 ，解得 ；
（2）当 时，由绝对值三角不等式得 ，
又 对一切实数 恒成立，所以 ，
令 ，化简得 ，解得 ，
所以 ，实数 的取值范围为 .
绝密★启用前
江西省临川一中2020届高三上学期第二次联合考试
数学（文）试题答案
江西省临川第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学(文)试题
绝密★启用前江西省临川第一中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学（文)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知221,1,9432x y x y A xB y ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=+==+=⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭则M N =（）A.{}(3,0),(0,2)B.[3,3]-C.(3，0)，(0，2)D.∅2．设x ∈R ，,向量(,1)a x =，(2,4)b →=-，若//,a b →→则x =() A.2B.2-C.12D.12-3．曲线2ln y x x=+在1x =处的切线的倾斜角为α，则cos2α的值为（） A.1-B.1C.2-D.04．函数12()11x f x e x -=--+的零点所在区间是（） A.()1,0-B.（0,1）C.(1,2)D.（2,3）5．在ABC ∆中，a =b =45B ∠=︒，则A ∠为( )． A.30°或150︒B.60︒或120︒C.60︒D.30°6．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）A.()sin 2f x x x =+B.()ln cos2f x x x =C.1()33xxf x =-D.……○…………订※※装※※订※※线※※内※……○…………订()sin cos2f x x x=+7．已知函数()()()25,1,1x ax xf x axx⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(),-∞+∞上是增函数，则a的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,0- C.[)3,0- D.[]3,2--8．已知函数e0()ln0x xf xx x⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a=++．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A．[–1，0）B．[0，+∞）C．[–1，+∞）D．[1，+∞）9．函数()sin()Af xxωϕ=+(0,2πωϕ><的部分图象如图所示，则()fπ=（）A．4B．C．2D10．已知函数()()221xf x x a x e=++，则“函数()f x在-1x=处取得极小值”是“a=的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11．已知函数()2sin cos(0,0)6f x x a x aπωωω⎛⎫=++>>⎪⎝⎭对任意12,x x R∈都有()()12f x f x+≤，若()f x在[0,]π上的值域为[3,，则实数ω的取值范围为( )A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．把函数()()2log1f x x=+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1 B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．函数()f x=的定义域为__________．14．函数f（x）=12log（x2-2x-3）的单调递增区间为______．15．已知()sin(0)3f x xπωω⎛⎫=+>⎪⎝⎭，63f fππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，则ω=______．16．给出下列命题：①已知向量(6,2)a→=与(3,)b k→=-的夹角是钝角，则实数k的取值范围是9k<；②函数(1)y f x=+与(3-)y f x=的图像关于2x=对称；③函数tan(23yxπ=+的最小正周期为2π；④函数1,()0,Rx QD xx C Q∈⎧=⎨∈⎩为周期函数；⑤函数()y f x=的图像关于点()1,2对称的函数图像的解析式为4(2)y fx=--其中正确命题的序号为__________．三、解答题17．已知幂函数()()223m mf x x m Z-++=∈为偶函数，且在区间()0,∞+内是单调递增函数．（1）求函数()f x的解析式；（2）设函数()2g x xλ=-，若存在[3,2]x∈-使得()0<g x成立，求实数λ的取值范围．18．在ABC△中，2sin cos sin())C A A C A C+-+=（1）求角B的大小；…○…………装………○…………学校:___________姓：___________…○…………装………○…………（2）设BAC ∠的角平分线AD 交BC 于D ，且3AD =，2BD =，求cos C 的值. 19．如图1，在梯形ABCD 中，//AD BC ，112AB BC AD ===，E 为AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 翻折到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE -．（1）求证：1CD A C ⊥； （2）当BE =11A C =时，求D 到平面1A OC 的距离．20．定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆1C 与椭圆2C 是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆22122:10)x y C a b a b +=>>（的长轴长是4，椭圆22222:10)y x C m n m n+=>>（长轴长是2，点1F ，2F 分别是椭圆1C 的左焦点与右焦点.（1）求椭圆1C ，2C 的方程；（2）过1F 的直线交椭圆2C 于点M ，N ，求2F MN 面积的最大值. 21．已知函数sin ()a xf x x-=，0πx <<． （1）若0x x =时，()f x 取得极小值()0f x ，求()0f x 的取值范围； （2）当a π=，0m π<<时，证明：()ln 0f x m x +>．22．已知直线l ：1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，曲线1C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．(1)设l 与1C 相交于,A B 两点，求AB ； (2)若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的2倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最大值． 23．已知函数()1f x x a x =-+-.（1）若不等式()3f x ≤的解集为{}03x x ≤≤，求实数a 的值； （2）当2a = 时，若()1422nn f x +≥--对一切实数x 恒成立，求实数n 的取值范围.参考答案1．B 【解析】 【分析】分别计算集合A 和集合B ，再计算M N ⋂ 【详解】{}221=3394x y A x x x ⎧⎫⎪⎪=+=-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭{}132x y B y y y R ⎧⎫=+==∈⎨⎬⎩⎭[3,3]MN -=故答案选B 【点睛】本题考查了集合的交集运算，忽略掉集合元素的类型是容易发生的错误. 2．D 【解析】 【分析】根据向量平行公式计算得到答案. 【详解】向量(,1)a x =，(2,4)b →=-， 根据a b →→‖得到142,2x x =-=- 故答案选D 【点睛】本题考查了向量的平行，属于基础题型. 3．D 【解析】 【分析】求导得到斜率，再计算倾斜角为135α=︒，代入三角函数式子得到答案. 【详解】2212ln ,'y x y x x x=+=-当1x =时，tan 1k α==-，135α=︒cos2cos2700α=︒=故答案选D 【点睛】本题考查了导数，倾斜角，意在考查学生的计算能力. 4．C 【解析】 【分析】利用零点存在定理分别计算(1),(2)f f 得到答案. 【详解】12()11x f x e x -=--+ 则5(1)10,(2)03f f e =-<=->，故在(1,2)上有零点. 故答案选C 【点睛】本题考查了零点存在定理，意在考查学生的计算能力. 5．B 【解析】 【分析】运用正弦定理解角的度数 【详解】 由正弦定理可得：sin sin a bA B =sin sin a BA b∴===0135A <<︒， 60A ∴∠=︒或120A ∠=︒故选B本题主要考查了运用正弦定理求角的度数，较为简单，注意可以取到两个角。
江西省抚州市临川区第一中学2020届高三数学上学期适应性考试试题文
临川一中 2019--2020学年度高三暑期适应性考试数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求） 1．已知集合{}2|430A x x x =-+<，{}|24B x x =<<，则AB = ( )A ．()1,3B ．()2,4C ．()1,4D ．()2,32．在复平面内,复数23iz i+=对应的点的坐标为（ ） A ．()3,2B ．()2,3C ．()–2,3D ．()3,2-3．在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{a n }中，12a =，公和为5，则18=a （ ） A ．2 B ．﹣2C ．3D ．﹣34．命题1:1p x>，命题:>q x a ，若命题p 的必要不充分条件是q ，则a 的取值范围为（ ） A ．0a < B ．0a ≤C ．0a ≥D ．0a >5．若22log 5a =，30.4b =，ln 2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b c a <<6．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ） A ．xxy e e -=+B ．ln(||1)y x =+C ．sin ||xy x =D ．1y x x=-7．已知），（ππα2∈，且33cos sin -=+αα，则cos2=α （ ）A ．D ．-8．已知1()44x f x x -=+-e ，若正实数a 满足3(log )14a f <，则a 的取值范围为（ ）A ．34a >B ．304a <<或43a > C ．304a <<或1a > D ．1a >9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x =-，当[]0,1x ∈时，()41x f x =-，则21()2f =（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．12-10．函数ln ||()1||x f x x =+的图象大致是（ ） A ． B ． C ．D ．11．已知函数()22211315x x f x x x x ，，⎧+-<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()102f x kx -=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A．(220625⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，，B．(110325⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，，C ．(](013⋃--，， D ．(](026⋃--，， 12．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，,A B 是圆222()4x c y c ++=与C 位于x 轴上方的两个交点，且12//F A F B ，则双曲线C 的离心率为（ ） A．23+ B．34+ C．43+ D．54二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．函数()1ln x f x x+=的图像在1e x =处的切线方程为_______.14．函数3y x x =-的单调减区间为______.15．若直角坐标系内B A 、两点满足：（1）点B A 、都在)(x f 的图像上；（2）点B A 、关于原点对称，则称点对），（B A 是函数)(x f 的一个“姊妹点对”，点对），（B A 与），（A B 可看作一个“姊妹点对”.已知函⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=)0(,20,2)(2x ex x x x f x ，则()f x的“姊妹点对”有__________个．16．已知椭圆G ：2221(06x y b b +=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+. 当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称； ②OP 的最小值为2； ③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个， 其中，所有正确命题的序号是_____________．三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17．（本小题满分12分）函数是奇函数． 求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．18．（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，侧面ABB 1A 1为菱形，侧面ACC 1A 1为正方形，侧面ABB 1A 1⊥侧面ACC 1A 1． （1）求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；（2）若AB ＝2，∠ABB 1＝60°，求三棱锥C 1－COB 1的体积．19．（本小题满分12分）已知抛物线()220C y px p =>：的焦点为F ，若过点F 且斜率为1的直线与抛物线交于,A B 两点，且||8AB =. （1）求抛物线C 的方程；（2）若平行于AB 的直线l 与抛物线C 相切于点P ，求PAB ∆的面积.20．（本小题满分12分）已知函数2()log (2)()xf x k k R =+∈的图象过点(0,1)P ．（1）求k 的值并求函数()f x 的值域；（2）若关于x 的方程(),[0,1]f x x m x =+∈有实根，求实数m 的取值范围.21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln 2f x x a b x =++，,a b ∈R （1）当0a =，1b =-时，求函数()f x 在()0,∞+上的最小值； （2）设1b =，若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21f x x 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的普通方程为y =，曲线C 的参数方程为23cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||||OA OB ⋅的值.23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲． 已知函数()()23f x x x a a R =+--∈. （1）当1a =时，解不等式()2f x ≥；（2）若关于x 的不等式()3f x x ≥-的解集包含[]3,5，求a 的取值范围.参考答案DDCBC DACCC AB13. 2e e y x =- 14.），（323 (开闭区间均可） 15.2 16.①② 17.函数是奇函数， ， 故， 故；(2) 当时，恒成立， 即在恒成立， 令，， 显然在的最小值是， 故，解得：．18. 解：（1）因为侧面11ABB A ⊥侧面11ACC A ，侧面11ACC A 为正方形， 所以AC ⊥平面11ABB A ，1A B AC ⊥,又侧面11ABB A 为菱形，所以11A B AB ⊥，所以1A B ⊥平面1AB C .（2）因为11//A C AC ，所以，11//A C 平面1AB C ，所以，三棱锥11C COB -的体积等于三棱锥11A COB -的体积; 1A B ⊥平面1AB C ，所以1A O 为三棱锥11A COB -的高， 因为12,60AB ABB =∠=︒，111112122COB S OB CA ∆=⨯⨯=⨯⨯=,所以111111133C COB COB V AO S -∆=⨯⨯==19.解：（1）因为AB 过焦点F ，所以AB AF BF =＋，抛物线的准线方程为2px =-， 设点,A B 坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，则121222p pAB AF BF x x x x p =+=+++=++， 设直线AB 方程为2p y x =-，代入抛物线方程得2224p x px px -+=，即22304p x px -+=，则123x x p +=，48AB p ==，所以2p =，抛物线方程为24y x =；（2）设直线l 的方程为y x t =+，与抛物线方程24y x =联立，消去y 得：()22240(0)x t x t x +-+=>（*），由直线l 与抛物线相切得，()2224416160t t t ∆=--=-=且240t -<， 所以1t =，代入方程（*）得1x =，所以切点P 的坐标为()1,2，而直线AB 的方程为10x y --=，点P 到直线AB 的距离h =所以PAB ∆的面积11822S AB h ==⨯=20.1）因为函数()f x 图象过点()P 0,1，所以()2log 2k 1+=，解得k 1=.则()()x2f x log 21=+， 因为x 211+>，所以()()x2f x log 210=+>，所以函数()f x 的值域为()0+∞，（2）方程有实根，即()m f x x =-有实根， 构造函数()()()x2h x f x x log 21x =-=+-，则()()()x xxx2222x21h x log 21log 2log log 212-+=+-==+， 因为函数xy 21-=+在R 上单调递减，而2y log x =在（0，1）上单调递增，所以复合函数()()x2h x log 21-=+是R 上单调递减函数.所以()h x 在[]0,1上最小值为()()122h 1log 21log 31-=+=-，最大值为()()02h 0log 211-=+=，即 所以当m ∈[2log 311-，]时，方程有实根. 21.（1）当0a =，1b =-时，()21ln 2f x x x =-，则()()2110x f x x x x x -=-=>' ∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>()f x ∴在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增()()min 112f x f ∴==（2）当1b =时，()211x ax f x x a x x='++=++12,x x ∴是方程210x ax ++=的两根 12x x a ∴+=-，121=x x12x x <且1>0x ，20x > 21x >∴，221a x x =--()()2222221221ln 12ln 12x a x f x x x x x x ++∴==+令()()1ln 12g x x x x x =+>，则()21ln 102g x x x=-++>' ()g x ∴在()1,+∞上单调递增 ()()112g x g ∴>=即：()211,2f x x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭22.解:(Ⅰ) 极坐标方程为π3θ=(R ρ∈) 曲线C 的普通方程为22(2)9x y -+=(2)将直线l 的参数方程直线l的参数方程为12x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)代入曲线22:(2)9C x y -+=中，得2250t t --=，设点,A B 对应的参数分别是12,t t ，则122t t +=，125t t =-1212||||5OA OB t t t t ∴⋅=⋅==23（Ⅰ）当1a =时，不等式()2f x ≥，即2312x x +--≥，所以3242x x ⎧<-⎪⎨⎪--≥⎩或312322x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+≥⎩或142x x >⎧⎨+≥⎩，解得6x ≤-或0x ≥， 所以不等式()2f x ≥的解集为(][),60,-∞-+∞.（Ⅱ）关于x 的不等式()3f x x ≥-的解集包含[]3,5，即233x x xa +--≥-在[]3,5恒成立，即6x x a +≥-在[]3,5恒成立，即626a x -≤≤+在[]35,x ∈恒成立， 解得612a -≤≤，∴a 的取值范围是[]6,12-.。
江西省抚州市临川第一中学2020届高三5月模拟考试数学(文)试题 Word版含解析
高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有@高考资源网 - 1 - 2020届临川一中暨临川一中实验学校高三文科数学月考试卷一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A【解析】 【分析】化简复数，求得24z i =+，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足1(120)z i -=，可得()()()10121024121212i z i i i i +===+--+， 所以复数z 在复平面内对应点的坐标为(2,4)位于第一象限故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 2.已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，(){}20Q x x x =->，则P Q 为( )A. ()0,2B. ()1,9C. ()2,9D. ()1,2 【答案】D【解析】【分析】解出集合P 、Q ，利用交集的定义可求得集合PQ . 【详解】{}{}()0lg 2lg3lg1lg lg91,9P x x x x =<<=<<=， (){}(){}()20200,2Q x x x x x x =->=-<=，因此，()1,2PQ =. 故选：D . 【点睛】本题考查交集的运算，同时也考查了对数不等式和一元二次不等式的求解，考查计。
2020届江西省抚州市临川高三上学期月考数学（文）试题
2020届江西省抚州市临川第二中学高三上学期第一次月考数学（文）试题一、单选题 1．22ii +-＝（ ） A ．3455i + B ．3455i -- C ．413i --D ．413i +【答案】B【解析】根据复数的乘法运算法则计算即可. 【详解】解：()()(2)2234342(2)2555i i i i i i i i +⋅+++===----⋅+-. 故答案选：B. 【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.2．已知集合{}2|4A x x =≤，{|12}B x x =≤≤，则A C B =()A ．{|2}x x ≤-B ．{2,1,0}--C ．{|21}x x -≤<D ．{|02}x x <<【答案】C【解析】先求出集合A ，然后根据补集的定义求出A C B . 【详解】解：{}{}2|4|22A x x x x =≤=-≤≤，所以{}|21A C B x x =-≤<，故答案为：C. 【点睛】本题考查集合补集的运算，属于基础题.3．下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是（ ） A ．3log y x = B ．3xy =C ．12y x =D ．13y x =【答案】D【解析】根据对数函数的图象知y =log 3x 是非奇非偶函数；||3x y =是偶函数；12y x =是非奇非偶函数；y =x 3是奇函数，且在定义域R 上是奇函数，所以D正确。
本题选择D 选项.4．如图，某组合体的主视图、侧视图均是正方形及其中位线，俯视图为正方形及其对角线，则此几何体的体积为()A ．8B ．83C ．4D ．6【答案】D【解析】由三视图还原几何体，该几何体为组合体，是两个直三棱柱，直三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高分别为1和2，再由棱柱体积公式求解． 【详解】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，是两个直三棱柱，直三棱柱的底面为等腰直角三角形，直角边长为2，高分别为1和2， 则此几何体的体积为V ＝122(12)62⨯⨯⨯+=． 故选：D ． 【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题．5．已知tan 2α，其中α为三角形内角，则cos α=（）A ．55- B ．25C ．5 D ．25-【答案】 A 【解析】由tan 2α，可得sin 2cos αα=-，再结合22sin cos 1αα+=，联立方程可以求解cos α. 【详解】 解：因为tan 2α，所以sin 2cos αα=-，又因为22sin cos 1αα+=，所以解得：25sin 5cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 或25sin 5cos αα⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为α为三角形内角，所以25sin 5cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 故答案为:A. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，同时考查了学生的计算能力，属于基础题. 6．将的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，则这个变换可以是( ).A ．左移个单位B ．右移个单位C ．左移个单位D ．右移个单位 【答案】C【解析】分析：将函数的对称中心平移至原点即可得函数为奇函数. 详解：由，令.解得.即对称中心为.只需将左移个单位可得一个奇函数的图像， 故选C.点睛：本题主要考查了三角函数的中心对称性和函数的左右平移，属于中档题，难度不大.7．若直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，则a =（）A ．1a =-B ．2a =C ．1a =-或2D ．1a =或2-【答案】B【解析】因为两直线平行，所以斜率相等，从而求出a 的取值，再根据取值情况，检验是否重合. 【详解】解：因为直线2y x =与直线()210a a x y a --++=平行，所以22a a -=，解得：2a =或1a =-，检验：当1a =-时，两直线重合，不成立，所以2a =.故答案为：B. 【点睛】本题考查直线平行的条件，解题的关键是检验重合的情况，属于基础题. 8．已知中心在原点的双曲线渐近线方程为43y x =±，左焦点为（-10，0），则双曲线的方程为()A ．221916x y -=B ．2213664x y -=C ．221169x y -= D ．2216436x y -=【答案】B【解析】根据题意，分析双曲线的焦点在x 轴上，又可知c ＝10，渐近线方程为43y x =±，所以可得b a ＝43，进而可求得a 、b 的值，从而求出结果. 【详解】解：根据题意，要求双曲线的焦点为（﹣10，0），则其焦点在x 轴上，且c ＝10，设双曲线的方程为22x a﹣22y b ＝1，则有a 2+b 2＝c 2＝100，又由双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，则有b a ＝43， 解可得：a ＝6，b ＝8，则要求双曲线的方程为：236x ﹣264y ＝1；故选：B ． 【点睛】本题考查由双曲线渐近线方程求双曲线方程，属于基础题．9．设函数若f(a)＞f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，+∞)C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，+∞)【答案】D【解析】分析：由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论．详解：由题意或⇒或⇒或.故选D.点睛：本题主要考查的是解分段函数不等式，做此类题根据变量的不同取值范围进行讨论，代入相应的解析式求解.10．在半径为2的圆内随机取一点M，则过点M的所有弦的长度都大于2的概率为()A．34B．34C．14D．434【答案】A【解析】由勾股定理及几何概型中的面积型可得：点M在以O3为半径的圆的内部，所以过点M的所有弦的长度都大于2的概率为：223)2ππ⋅＝34，得解．【详解】解：如图，要使过点M 的所有弦都大于2，|OM 3 所以点M 在以O 3所以过点M 的所有弦的长度都大于22(3)π34， 故选：A ． 【点睛】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题． 11．半径为2的球的内接三棱锥,3,P ABC PA PB PC AB AC BC -=====，则三棱锥的高为()A ．32B 33C ．22D ．3【答案】D【解析】在三棱锥P ﹣ABC 中，过点p 作PM ⊥平面ABC 的垂足为M ，则球心O 在PM 所在直线上，在三角形PBO 中利用余弦定理可得∠BPM ，然后求出∠PBM ＝60°，进一步算出PM ． 【详解】解：三棱锥P ﹣ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝3AB ＝AC ＝BC ， 如图，过点p 作PM ⊥平面ABC 的垂足为M ，则球O 的内接三棱锥P ﹣ABC 的球心O 在PM 所在直线上， ∵球O 的半径为2，∴OB ＝OP ＝2，∴由余弦定理得cos ∠BPM ＝222PB OP OB 2PB OP +-⋅3∴∠BPM ＝30°，∴在Rt △PMB 中，∠PBM ＝60°，∴PM ＝PB sin ∠PBM ＝3． 故选：D ． 【点睛】本题考查了球的内接三棱锥问题，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，属基础题．12．若函数321()(3)3x f x e x kx kx =--+只有一个极值点，则k 的取值范围为()A ．(,)e -∞B ．(0,]eC ．(,2)-∞D ．(0,2]【答案】B【解析】利用函数求导函数 f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ），只有一个极值点时f ′（x ）＝0只有一个实数解，有e x ﹣kx ≥0，设新函数设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx ，等价转化数形结合法即可得出结论， 【详解】解：函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点， f ′（x ）＝e x （x ﹣2）﹣kx 2+2kx ＝（x ﹣2）（e x ﹣kx ）， 若函数f （x ）＝e x （x ﹣3）﹣13kx 3+kx 2只有一个极值点，f ′（x ）＝0只有一个实数解， 则：e x ﹣kx ≥0， 从而得到：e x ≥kx ， 当k ＝0 时，成立．当k ≠0时，设u （x ）＝e x ，v （x ）＝kx如图：当两函数相切时，k＝e，此时得到k的最大值，但k＜0时不成立．故k的取值范围为：（0，e]综上：k的取值范围为：[0，e]故选：B．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题．二、填空题13．下面程序框图中，已知0()xf x xe，则输出的结果是____________.【答案】2014e【解析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行后输出的是什么．【详解】解：模拟程序框图的运行过程，如下；输入f0（x）＝x•e x，i＝0，i＝1，f1（x）＝0f'（x）＝（1+x）e x；i≤2012，是，i＝2，f2（x）＝1f'（x）＝（2+x）e x；i≤2012，是，i＝3，f3（x）＝2f'（x）＝（3+x）e x；…；i≤2012，是，i＝2011，f2011（x）＝2010f'（x）＝（2011+x）e x；i≤2012，是，i＝2012，f2012（x）＝2011f'（x）＝（2012+x）e x；i≤2012，是，i＝2013，f2013（x）＝2012f'（x）＝（2013+x）e x；i≤2012，否，x=1，输出f2013（x）＝2014e.故选：2014e.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，通过归纳得出该程序运行后输出的结论，是基础题．14．设,x y满足约束条件2208400,0x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b=+>>的最大值为8，则+a b的最小值为________.【答案】4【解析】【详解】画出可行域（如图），因为，，所以，平移直线=0，经过点A（1，4）时，取得最大值,由=8得，=4，由均值定理得a+b =4.【考点】单线性规划的应用，均值定理的应用.15．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos 0a c B b A ++=，则B =______ 【答案】23π 【解析】直接利用正弦定理进行边角的互换，然后利用三角函数辅助角公式化简，可求出B 的值． 【详解】解：（1）已知（a +2c ）cos B +b cos A ＝0． 则：（sin A +2sin C ）cos B +sin B cos A ＝0， 整理得：sin A cos B +cos A sin B +2sin C cos B ＝0， 即：sin C +2sin C cos B ＝0，因为C 为三角形的内角，所以sin C ≠0， 解得：cos B ＝﹣12， 由于：0＜B ＜π， 所以：B ＝23π． 【点睛】本题考查正弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，属于基础题. 16．已知向量,a b 的夹角为,||24b π=，且对于任意的x ∈R ，都有||||b xa b a +≥-，则||a =_____ 2【解析】对|b +x a |≥|b ﹣a |两边同时平方，然后化简为关于|a |的不等式，根据条件进一步得到|a |． 【详解】解：∵向量a ，b 的夹角为4π，|b |＝2，|b +x a |≥|b ﹣a |， ∴2||b xa +≥2||b a -，∴22222||22||0a x a x a a ++-， 由于其对任意的x ∈R 都成立，∴△＝()2228|a |4|a |22|a ||a |0--，∴|a|2=．． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积及其运算，考查了计算能，属基础题．三、解答题17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，a 1=2，1a ，2a ，4a 成等比数列。
2020届江西省临川高三10月月考数学（文）试题
临川 二中、临川二中实验学校2020届高三年级10 月联合考试数 学（文科） 试 题全卷满分150分，考试时间120分钟.答题均在答题卡上作答一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}12,1A x x B x x =-<<=>，则=⋂B A （ ） A ．()1,1- B ．()1,2 C ．()1,-+∞ D ．()1,+∞ 2. 已知i 为虚数单位，若复数iiz +-=13,则=||z （ ） A. 1B. 2C. 2D. 53．设,m n R ∈，则“n m >”是“12>-n m ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．若()224ln f x x x x =--，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．()2,+∞B ． ()()1,02,-+∞C ．()1,+∞D ． ()0,25. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()f x 在[)0,+∞内单调递减，则（ ） A ．23(log 3)(log 2)(0)f f f -<< B ．32(log 2)(0)(log 3)f f f <<- C ．32(0)(log 2)(log 3)f f f <<- D ．32(log 2)(log 3)(0)f f f <-<6．已知(0,),2sin 2cos 212πααα∈=+，则=αcos ( )A ．255B ．55 C ．33D ．157. 已知函数2()=23cos sin 2cos ()+∈f x x x x x R ，则()f x 在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．08. 若函数)91ln(sin )(2x ax x x f ++⋅=的图象关于y 轴对称，则实数a 的值为（ ） A ．3 B ．3± C ．9 D ．9± 9. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数21)(x exx f -=的图象大致是（ ）10. 已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数9)()(-+=x x f x g 的零点所在的区间为（ ）A ．()2,1B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)11.设定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，若()()'2f x f x +>，2021)0(=f ，则不等式20192)(+>x x e x f e （其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,∞+B ．()2018,+∞C ．()2020,+∞D ．()(),02018,-∞+∞12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<+=0,12210,12)(2x x x x x f x ，方程()()()200f x af x b b -+=≠有6个不同的实数解，则3a b +的取值范围是（ ） A ．[]6,11B ．[]3,11C ．()6,11D ．()3,11二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数，若[]2)1(=f f ，则实数a 的值是 ．14. 若函数()ln 2f x x ax =-的图象存在与直线13=+y x 垂直的切线，则 实数a 的取值范围是____．15. 已知ααsin 321cos 2=-，则)23cos(απ-= ．16. 已知函数⎩⎨⎧<+≥+==-0,20,3cos )(,2)(21x a x x x a x g x f x ，若对任意11)[x ∈+∞，，总存在2x R ∈，使12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S .（1）求n a 及n S ； ⑵记12111...n nT S S S =+++，求n T18．(本小题满分12分）某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为元，售价为元，该款面包当天只出一炉（一炉至少个，至多个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个元的价格处理掉，为了确定这一炉面包的个数，以便利润最大化，该店记录了这款新面包最近天的日需求量（单位：个），整理得下表：日需求量频数（1）根据表中数据可知，频数与日需求量（单位：个）线性相关，求关于的线性回归方程； （2）若该店这款新面包每日出炉数设定为个 （i ）求日需求量为8个时的当日利润； （ii ）求这天的日均利润. 相关公式：，19．(本小题满分12分）如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，，，且与均为正三角形，为的重心．（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离. 20．(本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的方程； （2）是否存在直线与相交于两点，且满足：①与（为坐标原点）的斜率之和为2；②直线与圆相切，若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．21.(本小题满分12分） 已知函数，其中，为自然对数的底数. （1）当时，证明：对[)1)(,,0≥+∞∈∀x f x ； （2）若函数在上存在极值，求实数的取值范围。
2019-2020学年江西省抚州市临川一中高三(上)8月适应性数学试卷(文科)
2019-2020学年江西省抚州市临川一中高三（上）8月适应性数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求）1. 已知集合A ={x|x 2−4x +3<0}，B ={x|2<x <4}，则A ∩B =( ) A.(1, 3) B.(1, 4) C.(2, 3) D.(2, 4) 【答案】 C【考点】一元二次不等式的解法 交集及其运算 【解析】根据题目中A ＝{x|x 2−4x +3<0}的解集求得A ，再求它们的交集即可． 【解答】解：因为A ={x|x 2−4x +3<0}={x|1<x <3}，B ={x|2<x <4}， 所以A ∩B ={x|2<x <3}. 故选C .2. 在复平面内，复数z =2+3i i对应的点的坐标为（ ）A.(3, 2)B.(2, 3)C.(−2, 3)D.(3, −2)【答案】 D【考点】复数的运算复数的代数表示法及其几何意义 【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】 ∵ z =2+3i i=(2+3i)(−i)−i 2=3−2i ，∴ 在复平面内，复数z =2+3i i对应的点的坐标为(3, −2)．3. 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做“等和数列”，这个数叫做数列的公和．已知等和数列{a n }中，a 1＝2，公和为5，则a 18＝（ ） A.2 B.−2 C.3 D.−3 【答案】 C【考点】 数列递推式 【解析】根据题意，分析可得a n +a n+1＝5，进而可得a n ={2,n3,n，据此可得答案．【解答】根据题意，等和数列{a n }中，a 1＝2，公和为5，则a 1+a 2＝5，即可得a 2＝3， 又由a n−1+a n ＝5，则a n ={2,n3,n ， 则a 18＝3；4. 命题p:1x >1，命题q:x >a ，若命题p 的必要不充分条件是q ，则a 的取值范围为（ ） A.a <0 B.a ≤0C.a ≥0D.a >0【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】求出p ，q 的等价条件，结合充分条件和必要条件的关系进行求解即可． 【解答】由1x >1得0<x <1，即p:0<x <1， 若命题p 的必要不充分条件是q ， 则命题p 的必要不充分条件是q ， 则(0, 1)⊆(a, +∞)， 则a ≤0，5. 若a ＝log 225，b ＝0.43，c ＝ln2，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a <c <b B.c <b <a C.a <b <c D.b <c <a【答案】 C【考点】对数值大小的比较 【解析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解． 【解答】∵ a ＝log 225<log 21＝0， 0<b ＝0.43<0.41＝0.4， c ＝ln2>ln √e =12，∴ a ，b ，c 的大小关系是a <b <c ．6. 下列函数中，既是奇函数又在(0, +∞)单调递增的是（ ） A.y ＝e x +e −x B.y ＝ln(|x|+1)C.y =sinx|x|D.y =x −1x 【答案】D【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据函数的单调性和奇偶性判断即可． 【解答】对于A 、B 选项为偶函数，排除，C 选项是奇函数，但在(0, +∞)上不是单调递增函数．7. 已知α∈(π2, π)，且sinα+cosα=−√33，则cos2α＝（ ）A.√53B.−√53C.2√53D.−2√53【答案】 A【考点】二倍角的三角函数 【解析】首先将所给式子平方求出2cosαsinα，进而结合α的范围得出cosα−sinα<0，然后求出cosα−sinα，再利用二倍角的余弦公式求出结果． 【解答】∵ α∈(π2, π)，且sinα+cosα=−√33，∴ 1+2sinαcosα=13，2sinαcosα=−23<0， ∴ sinα>0，cosα<0．cosα−sinα<0．又∵ (cosα−sinα)2＝1−2sinαcosα=53，从而有：cosα−sinα=−√153，∴ cos2α＝cos 2α−sin 2α＝(cosα−sinα)(cosα+sinα)＝(−√153)×(−√33)=√53．8. 已知f(x)＝e x−1+4x −4，若正实数a 满足f(log a 34)<1，则a 的取值范围为（ ） A.a >34B.0<a <34或a >43 C.0<a <34或a >1D.a >1 【答案】 C【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】结合导数可判断出f(x)在R 上单调递增，且f(1)＝1，然后结合对数函数的单调性进行求解即可 【解答】∵ f(x)＝e x−1+4x −4，∴ f′(x)＝e x−1+4>0恒成立， ∴ f(x)在R 上单调递增，且f(1)＝1又f(log a 34)<1＝f(1)， 则log a 34<1，当a >1时，可解得a >34，故a >1 当0<a <1时，可解得0<a <34综上可得，a 的取值范围为(0, 34)∪(1, +∞)故选：C ．9. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足f(x)＝f(2−x)，当x ∈[0, 1]时，f(x)＝4x −1，则f(212)=( ) A.0B.1C.−1D.−12【答案】 C【考点】抽象函数及其应用 【解析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得−f(−x)＝f(2−x)，即f(x +2)＝−f(x)，进而可得f(x +4)＝−f(x +2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数，据此可得f(212)=f(4×2+52)＝f(52)＝−f(12)，结合函数的解析式分析可得答案．【解答】根据题意，f(x)是定义在R 上奇函数，则f(x)＝−f(−x)，又由对任意实数x 都有f(x)＝f(2−x)，则有−f(−x)＝f(2−x)，即f(x +2)＝−f(x)， 则有f(x +4)＝−f(x +2)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数， 则f(212)=f(4×2+52)＝f(52)＝−f(12)，又由当x ∈[0, 1]时，f(x)＝4x −1，则f(12)=412−1＝1，则f(212)=−f(12)＝−1，10. 函数f(x)=ln|x|1+|x|，的图象大致是（ ） A.B.C.D.【答案】 C【考点】函数的图象变化 函数的图象 【解析】求函数的奇偶性，结合函数的对称性以及特殊值的符号是否一致，利用排除法进行求解． 【解答】f(−x)=ln|−x|1+|−x|=ln|x|1+|x|=f(x)，则函数f(x)是偶函数，图象关于y 轴对称，排除B ，D f(1)＝0，则f(e)=lne 1+e=11+e0，排除A ，故选：C ．11. 已知函数f(x)={x 2+2,−2<x ≤1|x +1x−3|,1<x ≤5，若关于x 的方程f(x)−12kx ＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A.(0,2225]∪(−6,−4√2) B.(0,1125]∪(−3,−2√2)C.(0,1]∪(−3,−2√2)D.(0,2]∪(−6,−4√2) 【答案】 A【考点】分段函数的应用 【解析】先作出函数f(x)的图象，结合图象进行分析求解． 【解答】作出函数f(x)的图象，要使关于x的方程f(x)−12kx＝0有两个不相等的实数根，则两函数y=f(x)y=12kx的图象有两个交点，当k>0，由图可知，12k≤1125，即0<k≤2225；当k<0时，由图可知，12k>6−2，即k>−6；由x2−12kx+2=0可知，△=14k2−8>0，解之得k>4√2k<−4√2，所以−6<k<−4√2，12. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(−c, 0)，F2(c, 0)，A，B是圆(x+c)2+y2＝4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A // F2B，则双曲线C的离心率为（）A.2+√73B.4+√73C.3+√174D.5+√174【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】连接BF1，AF2，由双曲线的定义，可得|AF2|＝2a+2c，|BF2|＝2c−2a，在△AF1F2中，和△BF1F2中，运用余弦定理求得cos∠AF1F2，os∠BF2F1，由F1A // F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2＝π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2＝0，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】连接BF1，AF2，由双曲线的定义，可得|AF2|−|AF1|＝2a，|BF1|−|BF2|＝2a，由|BF1|＝|AF1|＝2c，可得|AF2|＝2a+2c，|BF2|＝2c−2a，在△AF1F2中，可得cos∠AF1F2=4c2+4c2−(2a+2c)22⋅2c⋅2c =c2−2ac−a22c2，在△BF1F2中，可得cos∠BF2F1=4c2+(2c−2a)2−4c22⋅2c⋅(2c−2a)=c−a2c，由F1A // F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2＝π，即有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2＝0，可得c 2−2ac−a 22c 2+c−a 2c=0，化为2c 2−3ac −a 2＝0， 得2e 2−3e −1＝0，解得e =3+√174（负的舍去），二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）函数f(x)=1+lnx x的图象在x =1e 处的切线方程为________．【答案】y ＝e 2x −e 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】先求函数的定义域，然后求出导函数f′(x)，求出切点坐标以及切线的斜率，在根据点斜式求出切线方程，化成斜截式即可． 【解答】∵ f (x)定义域为(0, +∞)，∴ f′(x)=−lnx x 2，∵ f (1e )＝e 2，∴ 切点为(1e , 0)，又∵ k ＝e 2．∴ 函数y ＝f (x)在x =1e 处的切线方程为：y ＝e 2(x −1e )， 即y ＝e 2x −e ．函数y ＝x|x −3|的单调减区间为________． 【答案】(32,3) 【考点】函数的单调性及单调区间 【解析】去绝对值号即可得到y ={x 2−3xx ≥3−x 2+3xx <3，然后根据二次函数的单调性即可判断原函数的单调性，从而找出其单调减区间． 【解答】y =x|x −3|={x 2−3xx ≥3−x 2+3xx <3； x ≥3时，y ＝x 2−3x 单调递增，x <3时，y ＝−x 2+3x 在(−∞,32)上单调递增，在(32,3)上单调递减； ∴ 原函数的单调减区间为(32,3)．若直角坐标系内A ，B 两点满足：（ （1））点A ，B 都在f(x)的图象上；（2）点A ，B 关于原点对称，则称点对(A, B)是函数f(x)的一个“姊妹点对”，点对(A, B)与(B, A)可看作一个“姊妹点对”，已知函数f(x)={x 2+2x(x <0)2e(x ≥0)，则f(x)的“姊妹点对”有________个． 【答案】＝2e −2−4+2<0，φ′(− 2【考点】 函数的求值 求函数的值 【解析】设P(x, y) (x <0)，则点P 关于原点的对称点为P′(−x, −y)，从而2e x +x 2+2x ＝0，令φ(x)＝2e x +x 2+2x ，利用导数性质推导出函数φ(x)在区间(−2, −1)，(−1, 0)分别各有一个零点．由此能求出f(x)的“姊妹点对”的个数． 【解答】＝2e −2−4+2<0，φ′(− ＝2e −1>0，∴ φ(x)在区间(−2, 0)上只存在一个极值点x 0．而φ(−(1)＝2e −2>0，φ(−(2)＝2e −1−1<0，φ(0)＝2>0， ∴ 函数φ(x)在区间(−2, −(3)，(−1, 0)分别各有一个零点． 也就是说f(x)的“姊妹点对”有2个．已知椭圆G:x 26+y 2b 2=1(0>b >√6)的两个焦点分别为F 1和F 2，短轴的两个端点分别为B 1和B 2，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|+|PB 2|＝|PF 1|+|PF 2|，当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称； ②|OP|的最小值为2；③存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个， 其中，所有正确命题的序号是________． 【答案】 ①② 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】运用椭圆的定义可得P 也在椭圆y 26+x 26−b 2=1，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，|OP|的值取得最小，即可判断②． 通过b 的变化，可得③不正确； 【解答】 椭圆G:x 26+y 2b 2=1(0>b >√6)的两个焦点分别为F 1(√6−b 2, 0)和F 2(−√6−b 2, 0)，短轴的两个端点分别为B 1(0, −b)和B 2(0, b)，设P(x, y)，点P 在椭圆G 上，且满足|PB 1|+|PB 2|＝|PF 1|+|PF 2|，由椭圆定义可得，|PB1|+|PB2|＝2a＝2√6>2b，即有P在椭圆y26+x26−b2=1上．对于①，将x换为−x方程不变，则点P的轨迹关于y轴对称，故①正确；对于②，由图象可得，当P满足x2＝y2，即有6−b2＝b2，即b=√3时，|OP|取得最小值，可得x2＝y2＝2，即有|OP|的最小值为2，故②正确，对于③，由图象可得轨迹关于x，y轴对称，且0<b<√6，则椭圆G上满足条件的点P有4个，不存在b使得椭圆G上满足条件的点P仅有两个，故③不正确；三、解答题：（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）函数f(x)=2x−a2x是奇函数．(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈(0, +∞)时，f(x)>m⋅2−x+4恒成立，求m的取值范围．【答案】解：(1)∵函数f(x)=2x−a2是奇函数，∴f(−x)=2−x−a2−x =−a⋅2x+12x=−2x+a2x=−f(x)，故a=1，故f(x)=2x−12x.(2)当x∈(0, +∞)时，f(x)>m⋅2−x+4恒成立，即m+1<(2x)2−4⋅2x在x∈(0, +∞)恒成立，令ℎ(x)=(2x)2−4⋅2x，(x>0)，显然ℎ(x)在(0, +∞)的最小值是ℎ(1)=−4，故m+1<−4，解得：m<−5．【考点】函数恒成立问题函数奇偶性的性质【解析】（1）根据函数的奇偶性的定义求出a的值，从而求出函数的解析式即可；（2）问题转化为m+1<(2x)2−4⋅2x在x∈(0, +∞)恒成立，令ℎ(x)＝(2x)2−4⋅2x，(x>0)，根据函数的单调性求出ℎ(x)的最小值，从而求出m的范围即可．【解答】解：(1)∵函数f(x)=2x−a2x是奇函数，∴f(−x)=2−x−a2−x =−a⋅2x+12x=−2x+a2x=−f(x)，故a=1，故f(x)=2x−12x.(2)当x∈(0, +∞)时，f(x)>m⋅2−x+4恒成立，即m+1<(2x)2−4⋅2x在x∈(0, +∞)恒成立，令ℎ(x)=(2x)2−4⋅2x，(x>0)，显然ℎ(x)在(0, +∞)的最小值是ℎ(1)=−4，故m+1<−4，解得：m<−5．如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1，侧面ABB1A1为菱形，侧面ACC1A1为正方形，侧面ABB1A1⊥侧面ACC1A1．(Ⅰ)求证：A1B⊥平面AB1C；(Ⅱ)若AB＝2，∠ABB1＝60∘，求三棱锥C1−COB1的体积．【答案】（1）∵侧面ABB1A1⊥侧面ACC1A1，侧面ACC1A1为正方形，∴AC⊥平面ABB1A1，A1B⊥AC，又侧面ABB1A1为菱形，∴A1B⊥AB1，∴A1B⊥平面AB1C；（2）∵A1C1 // AC，∴A1C1 // 平面AB1C，∴三棱锥C1−COB1的体积等于三棱锥A1−COB1的体积，A1B⊥平面AB1C，∴A1O为三棱锥A1−COB1的高，∵AB＝2，∠ABB1＝60∘，S△COB1=12×OB1×CA=12×1×2=1，∴VC1−COB1=13×A1O×S△COB1=13×√3×1=√33．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直【解析】(Ⅰ)由已知条件可得AC⊥平面ABB1A1，A1B⊥AC，又侧面ABB1A1为菱形，可得A1B⊥AB1，从而可得A1B⊥平面AB1C；(Ⅱ)由A1C1 // AC，得A1C1 // 平面AB1C，又三棱锥C1−COB1的体积等于三棱锥A1−COB1的体积，A1B⊥平面AB1C，则A1O为三棱锥A1−COB1的高，结合已知条件可求出S△COB1的值，再由体积公式即可求出三棱锥C1−COB1的体积．【解答】（1）∵侧面ABB1A1⊥侧面ACC1A1，侧面ACC1A1为正方形，∴AC⊥平面ABB1A1，A1B⊥AC，又侧面ABB1A1为菱形，∴A1B⊥AB1，∴A1B⊥平面AB1C；（2）∵A1C1 // AC，∴A1C1 // 平面AB1C，∴三棱锥C1−COB1的体积等于三棱锥A1−COB1的体积，A1B⊥平面AB1C，∴A1O为三棱锥A1−COB1的高，∵AB＝2，∠ABB1＝60∘，S△COB1=12×OB1×CA=12×1×2=1，∴VC1−COB1=13×A1O×S△COB1=13×√3×1=√33．已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|＝8．（1）求抛物线C的方程；（2）若平行于AB的直线l与抛物线C相切于点P，求△PAB的面积．【答案】因为AB过焦点F，所以AB＝AF+BF，抛物线的准线方程为x=−p2，设点A，B坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2)，则AB=AF+BF=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p，设直线AB方程为y=x−p2，代入抛物线方程得x2−px+p24=2px，即x2−3px+p24=0，则x1+x2＝3p，AB＝4p＝8，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x；设直线l的方程为y＝x+t，与抛物线方程y2＝4x联立，消去y得：x2+(2t−4)x+t2＝0(x>0)(∗)，由直线l与抛物线相切得，△＝(2t−4)2−4t2＝16−16t＝0且2t−4<0，所以t＝1，代入方程(∗)得x＝1，所以切点P的坐标为(1, 2)，而直线AB的方程为x−y−1＝0，点P到直线AB的距离ℎ=√2，所以△PAB的面积S=12|AB|ℎ=12×8×√2=4√2．【考点】抛物线的性质【解析】（1）利用抛物线的定义以及韦达定理和弦长列方程可解得．（2）利用判别式等于0可求得切线方程和切点坐标，再求出点到直线的距离，利用面积公式可得．【解答】因为AB过焦点F，所以AB＝AF+BF，抛物线的准线方程为x=−p2，设点A，B坐标分别是(x1, y1)，(x2, y2)，则AB=AF+BF=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p，设直线AB方程为y=x−p2，代入抛物线方程得x2−px+p24=2px，即x2−3px+p24=0，则x1+x2＝3p，AB＝4p＝8，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x；设直线l的方程为y＝x+t，与抛物线方程y2＝4x联立，消去y得：x2+(2t−4)x+t2＝0(x>0)(∗)，由直线l与抛物线相切得，△＝(2t−4)2−4t2＝16−16t＝0且2t−4<0，所以t＝1，代入方程(∗)得x＝1，所以切点P的坐标为(1, 2)，而直线AB的方程为x−y−1＝0，点P到直线AB的距离ℎ=√2，所以△PAB的面积S=12|AB|ℎ=12×8×√2=4√2．已知函数f(x)=log2(2x+k)(k∈R)的图象过点P(0, 1)．（1）求k的值并求函数f(x)的值域；（2）若关于x的方程f(x)＝x+m，x∈[0, 1]有实根，求实数m的取值范围；（3）若g(x)＝f(x)+ax为偶函数，求实数a的值．【答案】函数f(x)=log2(2x+k)(k∈R)的图象过点P(0, 1)，可得log2(1+k)＝1，解得1+k＝2，即k＝1，可得f(x)＝log2(2x+1)，由2x+1>1，可得f(x)>log21＝0，即f(x)的值域为(0, +∞)；关于x的方程f(x)＝x+m，x∈[0, 1]有实根，可得log2(2x+1)＝x+m在[0, 1]有解，即有2x+1＝2x⋅2m，可得2m＝1+2−x，由0≤x≤1，可得1+2−x∈[32, 2]，可得m的范围为[log232, 1]；g(x)＝f(x)+ax为偶函数，即为g(x)＝log2(2x+1)+log22ax＝log2(2x+ax+2ax)为偶函数，可得g(−x)＝g(x)，即log2(2−x−ax+2−ax)＝log2(2x+ax+2ax)，即为2−x−ax+2−ax＝2x+ax+2ax，可得22ax(2x+1)＝1+2−x，即为2x22ax(2x+1)＝1+2x，即有x+2ax＝0恒成立，可得2a＝−1，即a=−12．【考点】函数与方程的综合运用【解析】（1）由f(0)＝1，可得k＝1，由指数函数的值域和对数函数的单调性可得值域；（2）由题意可得log2(2x+1)＝x+m在[0, 1]有解，由指数函数的单调性，可得所求范围；（3）由偶函数的定义，结合对数的运算性质，解方程可得a的值．【解答】函数f(x)=log2(2x+k)(k∈R)的图象过点P(0, 1)，可得log2(1+k)＝1，解得1+k＝2，即k＝1，可得f(x)＝log2(2x+1)，由2x+1>1，可得f(x)>log21＝0，即f(x)的值域为(0, +∞)；关于x的方程f(x)＝x+m，x∈[0, 1]有实根，可得log2(2x+1)＝x+m在[0, 1]有解，即有2x+1＝2x⋅2m，可得2m＝1+2−x，由0≤x≤1，可得1+2−x∈[32, 2]，可得m的范围为[log232, 1]；g(x)＝f(x)+ax为偶函数，即为g(x)＝log2(2x+1)+log22ax＝log2(2x+ax+2ax)为偶函数，可得g(−x)＝g(x)，即log2(2−x−ax+2−ax)＝log2(2x+ax+2ax)，即为2−x−ax+2−ax＝2x+ax+2ax，可得22ax(2x+1)＝1+2−x，即为2x22ax(2x+1)＝1+2x，即有x+2ax＝0恒成立，可得2a＝−1，即a=−12．已知函数f(x)=12(x+a)2+blnx，a，b∈R．（1）当a＝0，b＝−1时，求函数f(x)在(0, +∞)上的最小值；（2）若函数f(x)在x＝1与x＝2处的切线互相垂直，求b的取值范围；（3）设b＝1，若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求f(x2)x1的取值范围．【答案】当a＝0，b＝−1时，f(x)=12x2−lnxx∈(0,+∞)，f′(x)=x−1x=x2−1x，由f′(x)＝0得x＝1，所以函数f(x)在区间(0, 1)单调递减，在区间(1, +∞)单调递增，f(x)min=f(1)=12．由函数f(x)得f′(x)=x+a+bx因为函数f(x)在x＝1与x＝2处的切线互相垂直，所以f′(1)⋅f′(2)＝−1即(1+a+b)(2+a+b2)=−1，法一．展开整理得a2+(32b+3)a+12b2+52b+3=0，该关于a的方程有解，所以△=(32b+3)2−4(12b2+52b+3)≥0，即b2−4b−12≥0，所以b≤−2或b≥6，法二．由(1+a+b)(2+a+b2)=−1，即(−1−a−b)(2+a+b2)=1，所以1=(−1−a −b)(2+a +b2)≤((−1−a−b)+(2+a+b 2)2)2=(1−b 22)2，即(b −2)2≥16，所以b ≤−2或b ≥6． 当b ＝1时，f ′(x)=x +a +1x=x 2+ax+1x，所以x 1，x 2是方程x 2+ax +1＝0的两根，从而x 1+x 2＝−a ，x 1x 2＝1， 因为x 1<x 2且x 1>0，x 2>0， 所以x 2>1，a =−x 2−1x 2，f(x 2)x 1=12(x 2+a)2+lnx 21x 2=12x 2+x 2lnx 2，记g(x)=12x +xlnx(x >1)因为g ′(x)=−12x 22+lnx 2+1在(1, +∞)单调递增，所以g ′(x)≥g ′(1)=12>0，从而g(x)=12x +xlnx 在(1, +∞)单调递增， 所以g(x)>g(1)=12，又因为g(x)=12x +xlnx >xlnx >lnx ， 所以f(x 2)x 1的取值范围为(12,+∞)．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）当a ＝0，b ＝−1时，求出函数的导数，通过函数f(x)在区间(0, 1)单调递减，在区间(1, +∞)单调递增，求解最小值，（2）由函数f(x)得f ′(x)=x +a +bx ，函数f(x)在x ＝1与x ＝2处的切线互相垂直，所以f ′(1)⋅f ′(2)＝−1，即(1+a +b)(2+a +b2)=−1， 法一．展开整理利用判别式推出b 2−4b −12≥0，求解即可． 法二．由(1+a +b)(2+a +b2)=−1，即(−1−a −b)(2+a +b2)=1，通过基本不等式推出(b −2)2≥16，求解即可． （3）当b ＝1时，f ′(x)=x +a +1x =x 2+ax+1x ，得到x 1，x 2是方程x 2+ax +1＝0的两根，从而x 1+x 2＝−a ，x 1x 2＝1，推出f(x 2)x 1的表达式，记g(x)=12x +xlnx(x >1)，利用函数的导数蛮拼的函数的单调性，求解即可． 【解答】当a ＝0，b ＝−1时，f(x)=12x 2−lnxx ∈(0,+∞)，f ′(x)=x −1x =x 2−1x，由f ′(x)＝0得x ＝1，所以函数f(x)在区间(0, 1)单调递减，在区间(1, +∞)单调递增，f(x)min =f(1)=12．由函数f(x)得f ′(x)=x +a +bx因为函数f(x)在x ＝1与x ＝2处的切线互相垂直，所以f ′(1)⋅f ′(2)＝−1 即(1+a +b)(2+a +b2)=−1，法一．展开整理得a 2+(32b +3)a +12b 2+52b +3=0，该关于a 的方程有解，所以△=(32b +3)2−4(12b 2+52b +3)≥0， 即b 2−4b −12≥0， 所以b ≤−2或b ≥6，法二．由(1+a +b)(2+a +b2)=−1， 即(−1−a −b)(2+a +b2)=1， 所以1=(−1−a −b)(2+a +b2)≤((−1−a−b)+(2+a+b 2)2)2=(1−b 22)2，即(b −2)2≥16，所以b ≤−2或b ≥6． 当b ＝1时，f ′(x)=x +a +1x =x 2+ax+1x，所以x 1，x 2是方程x 2+ax +1＝0的两根，从而x 1+x 2＝−a ，x 1x 2＝1， 因为x 1<x 2且x 1>0，x 2>0， 所以x 2>1，a =−x 2−1x 2，f(x 2)x 1=12(x 2+a)2+lnx 21x 2=12x 2+x 2lnx 2，记g(x)=12x +xlnx(x >1)因为g ′(x)=−12x 22+lnx 2+1在(1, +∞)单调递增，所以g ′(x)≥g ′(1)=12>0，从而g(x)=12x +xlnx 在(1, +∞)单调递增， 所以g(x)>g(1)=12，又因为g(x)=12x +xlnx >xlnx >lnx ， 所以f(x 2)x 1的取值范围为(12,+∞)．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程为y =√3x ，曲线C 的参数方程为{x =2+3cosθy =3sinθ（θ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (Ⅰ)求直线l 的参数方程和极坐标方程；(Ⅱ)（普通中学做）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|OA|⋅|OB|的值． （重点中学做）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求1|OA|+1|OB|的值． 【答案】（1）直线l 的参数方程为{x =12ty =√32t（t 为参数）， 极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)；（2）法一：曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2＝9，将直线l 的参数方程代入曲线C ：(x −2)2+y 2＝9中，得t 2−2t −5＝0， 设点A ，B 对应的参数分别是t 1，t 2，则t 1+t 2＝2，t 1t 2＝−5， （普通中学做）∴ |OA|⋅|OB|＝|t 1|⋅|t 2|＝|t 1t 2|＝5， （重点中学做）∴ 1|OA|+1|OB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1|+|t 2||t 1|⋅|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√22−4×(−5)5=2√65． 法二：曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−5＝0，将直线l 的极坐标方程代入曲线C:ρ2−4ρcosθ−5＝0中，得ρ2−2ρ−5＝0， 设点A ，B 对应的ρ值分别是ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2＝2，ρ1ρ2＝−5， （普通中学做）∴ |OA|⋅|OB|＝|ρ1|⋅|ρ2|＝5， （重点中学做）∴ 1|OA|+1|OB|=1|ρ1|+1|ρ2|=|ρ1|+|ρ2||ρ1|⋅|ρ2|=|ρ1−ρ2||ρ1ρ2|=√22−4×(−5)5=2√65， 法三：（普通中学做）曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2＝9， 圆C 与x 轴相交于C(−1, 0)，D(5, 0)两点，由相交弦定理得|OA|⋅|OB|＝|OC|⋅|OD|＝1×5＝5． （重点中学做）曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2＝9， ∵ 圆心C 到直线l 的距离为d =√3×2−1×0|√(√3)2+(−1)2=√3，∴ |OA|+|OB|＝|AB|=2√32−(√3)2=2√6， 又圆C 与x 轴相交于C(−1, 0)，D(5, 0)两点，由相交弦定理得|OA|⋅|OB|＝|OC|⋅|OD|＝1×5＝5， ∴1|OA|+1|OB|=|OA|+|OB||OA|⋅|OB|=2√65． 【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)根据直线的普通方程直角转化为参数方程和极坐标方程即可；(Ⅱ)直线l 的参数方程代入曲线C ：(x −2)2+y 2＝9中，得t 2−2t −5＝0，然后利用直线参数方程的几何意义求解即可． 【解答】（1）直线l 的参数方程为{x =12ty =√32t （t 为参数）， 极坐标方程为θ=π3(ρ∈R)；（2）法一：曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2＝9，将直线l的参数方程代入曲线C：(x−2)2+y2＝9中，得t2−2t−5＝0，设点A，B对应的参数分别是t1，t2，则t1+t2＝2，t1t2＝−5，（普通中学做）∴|OA|⋅|OB|＝|t1|⋅|t2|＝|t1t2|＝5，（重点中学做）∴1|OA|+1|OB|=1|t1|+1|t2|=|t1|+|t2||t1|⋅|t2|=|t1−t2||t1t2|=√22−4×(−5)5=2√65．法二：曲线C的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−5＝0，将直线l的极坐标方程代入曲线C:ρ2−4ρcosθ−5＝0中，得ρ2−2ρ−5＝0，设点A，B对应的ρ值分别是ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2＝2，ρ1ρ2＝−5，（普通中学做）∴|OA|⋅|OB|＝|ρ1|⋅|ρ2|＝5，（重点中学做）∴1|OA|+1|OB|=1|ρ1|+1|ρ2|=|ρ1|+|ρ2||ρ1|⋅|ρ2|=|ρ1−ρ2||ρ1ρ2|=√22−4×(−5)5=2√65，法三：（普通中学做）曲线C的普通方程为(x−2)2+y2＝9，圆C与x轴相交于C(−1, 0)，D(5, 0)两点，由相交弦定理得|OA|⋅|OB|＝|OC|⋅|OD|＝1×5＝5．（重点中学做）曲线C的普通方程为(x−2)2+y2＝9，∵圆心C到直线l的距离为d=√3×2−1×0|√(√3)2+(−1)2=√3，∴|OA|+|OB|＝|AB|=2√32−(√3)2=2√6，又圆C与x轴相交于C(−1, 0)，D(5, 0)两点，由相交弦定理得|OA|⋅|OB|＝|OC|⋅|OD|＝1×5＝5，∴1|OA|+1|OB|=|OA|+|OB||OA|⋅|OB|=2√65．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x+3|−|x−a|(a∈R)．(Ⅰ)当a＝1时，解不等式f(x)≥2(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥|x−3|的解集包含[3, 5]，求a的取值范围．【答案】（1）当a＝1时，f(x)≥2⇔|2x+3|−|x−1|≥2，∴{x<−3 2−x−4≥2，或{−32≤x≤13x+2≥2，或{x>1x+4≥2，∴x≤−6，或x≥0，∴不等式f(x)≥2的解集为(−∞, −6]∪[0, +∞)．（2）关于x的不等式f(x)≥|x−3|的解集包含[3, 5]，即|2x+3|−|x−3|≥|x−a|在[3, 5]恒成立，即x+6≥|x−a|在[3, 5]恒成立，即−6≤a≤2x+6在x∈[3, 5]恒成立，解得−6≤a≤12，∴a的取值范围是[−6, 12]．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】(Ⅰ)f(x)≥2⇔|2x+3|−|x−1|≥2，然后去绝对值分别解不等式即可；(Ⅱ)由条件知x+6≥|x−a|在[3, 5]恒成立，进一步得到a的取值范围．【解答】（1）当a＝1时，f(x)≥2⇔|2x+3|−|x−1|≥2，∴{x<−3 2−x−4≥2，或{−32≤x≤13x+2≥2，或{x>1x+4≥2，∴x≤−6，或x≥0，∴不等式f(x)≥2的解集为(−∞, −6]∪[0, +∞)．（2）关于x的不等式f(x)≥|x−3|的解集包含[3, 5]，即|2x+3|−|x−3|≥|x−a|在[3, 5]恒成立，即x+6≥|x−a|在[3, 5]恒成立，即−6≤a≤2x+6在x∈[3, 5]恒成立，解得−6≤a≤12，∴a的取值范围是[−6, 12]．。
江西省临川第一中学2019年高三数学10月月考(文科)试卷含答案
C．
9．设曲线 部分图象可以为
（
）的图象关于 轴对称，则 在区间
D．
上任一点 处的切线斜率为 ，则函数
的
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
在区间 上至少有一个零点，则实数 的取值范围是
A．
B．
C．
D．
11．关于 的方程
，给出下列四个命题：
①存在实数 ，使得方程恰有 2 个不同实根；②存在实数 ，使得方程恰有 4 个不同实根； ③存在实数 ，使得方程恰有 5 个不同实根；④存在实数 ，使得方程恰有 8 个不同实根； 其中假命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3
奇函数
单调递增的性质，可将不等式
x 轴非负半
16 4
轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线
l
的极坐标方程为
sin
3
3
.
(1)求直线 l 的直角坐标方程和椭圆 C 的参数方程；
(2)设 M x, y 为椭圆 C 上任意一点，求 2 3x y 1 的最大值.
23．设函数
.
（1）解不等式
；
（2）当
，且函数
没有零点}，求事件
20．已知函数
.
（1）求 在区间
上的值域；
（2）若过点
存在 条直线与曲线
相切，求 的取值范围.
21．已知函数 （1）当 时，求函数
. 的单调增区间；
（2）若不等式 围.
对于任意
成立，求正实数 的取值范
22．已知在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为 y2
x2
1 ，以 O 为极点，
江西省抚州市临川一中高三上学期10月月考数学(文科)试卷有答案
()R A B ð=（的图像按向量()(a ϕ=，0设,,e e e 为(k >且1e e ke =+，(k >若以向量e ,e 为两边的三角形的面积为的值为（ ）5，则向量BA BC 在方向上的投影为小题，每小题5分，共20分．所在平面内一点，=3BC CD ，=+AD mAB nAC ，则n 12AB A =，求实数．已知(2cos(m =，(cos 2sin(n x =，+1m n = ）设方程()f x 内有两个零点510nn a ，求数列（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点||||M N AM AN =、．当时，求m 的取值范围． 22．已知函数2()ln )(21f x x ax a x -=++，其中a 为常数，且0a ≠． （1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在1x =处取得极值，且在(0,]e 的最大值为1，求a 的值．=+m n1π=2cos()cosx+2为坐标原点，CA 的方向为轴正方向，CB 的方向为轴正方向，CC 的方向为(0,2,2),(1,1,BC A D =-=-设异面直线1BC 与1A D 所成角为111|||02|||86BC A D BC A D -==，14a d +++119a d +++32(n n ++1)(3321)nn n ++++-江西省抚州市临川一中高三上学期10月月考数学（文科）试卷解析1．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：由A中不等式解得：﹣3＜x＜3，即A=（﹣3，3），∵全集R，B=（﹣1，5]，∴∁R B=（﹣∞，﹣1]∪（5，+∞），则A∩（∁R B）=（﹣3，﹣1]，2．【分析】由实部等于0且虚部不为0求得实数a的值．【解答】解：由，解得a=﹣1．3．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行判断即可．【解答】解：若a，b，c，d依次成等差数列，则a+d=b+c，即必要性成立，若a=2，d=2，b=1，c=3，满足+d=b+c，但a，b，c，d依次成等差数列错误，即充分性不成立，即“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，4．【分析】把原函数看作关于cosx的一元二次函数，然后利用配方法求得函数的最小值．【解答】解：∵，∴时，函数取得最小值，5．【分析】利用三角函数图象变换规律，以及利用函数求导得出y=﹣sin（x﹣φ﹣）与f′（x）=﹣sinx ﹣cosx=﹣sin（x+）为同一函数．再利用诱导公式求解．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣sin（x﹣），f′（x）=﹣sinx﹣cosx=﹣sin（x+），把y=f（x）的图象按向量=（φ，0）（φ＞0）平移，即是把f（x）=cosx﹣sinx的图象向右平移φ 个单位，得到图象的解析式为y=﹣sin（x﹣φ﹣），由已知，与f′（x）=﹣sinx﹣cosx=﹣sin（x+）为同一函数，所以﹣φ﹣=2kπ+，取k=﹣1，可得φ=6．【分析】原式第一项被开方数利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项被开方数利用同角三角函数间的基本关系及完全平方公式化简，再利用二次根式的化简公式计算即可得到结果．【解答】解：∵π＜＜4，∴sin4＜cos4＜0，∴sin4﹣cos4＜0，∴+2=+2=2|cos4|+2|sin4﹣cos4|=﹣2cos4+2cos4﹣2sin4=﹣2sin4．7．【分析】由题意：函数y是一个复合函数，值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0.即最小值要小于等于0.【解答】解：由题意：函数y=是一个复合函数，要使值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.则有：⇒解得：a≥3所以a的取值范围是[3，+∞）．8．【分析】关于原点对称的函数都可以等分椭圆面积，验证哪个函数不是奇函数即可．【解答】解：∵f（x）=x3+x2不是奇函数，∴f（x）=x3+x2的图象不关于原点对称，∴f（x）=x3+x2不是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=ln是奇函数，∴f（x）=ln的图象关于原点对称，∴f（x）=ln是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=sinx+cosx不是奇函数，∴f（x）=sinx+cosx的图象不关于原点对称，∴f（x）=sinx+cosx不是椭圆的“亲和函数”；∵f（x）=e x+e﹣x不是奇函数，∴f（x）=e x+e﹣x的图象关于原点不对称，∴f（x）=e x+e﹣x不是椭圆的“亲和函数”．9．【分析】几何体是四棱锥，结合其直观图，利用四棱锥的一个侧面与底面垂直，作四棱锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，其直观图如图：四棱锥的一个侧面SAB与底面ABCD垂直，过S作SO⊥AB，垂足为O，∴SO⊥底面ABCD，SO=2×，底面为边长为2的正方形，∴几何体的体积V=×2×2×=．10．【分析】由以向量，为两边的三角形的面积为，结合三角形的面积公式可得，故，把两边平方后即可求得k的值．【解答】解：∵以向量，为两边的三角形的面积为，∴，则，故，又，（k＞0），∴，解得：．11．【分析】使用二倍角公式和两角和的余弦公式化简即可得到cosA，使用正弦定理，余弦定理求出c，代入向量的投影公式即可．【解答】解：∵2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣，∴（1+cos（A﹣B））cosB﹣sin（A﹣B）sinB﹣cosB=﹣，即cos（A﹣B）cosB﹣sin（A﹣B）sinB=﹣．∴cosA=﹣，∴sinA=，∵a=4，b=5，∴=，∴sinB==，∴cosB=，∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=×+×=由余弦定理可得，c2=b2+a2﹣2bacosC=32+25﹣2×4×5×=1，∴c=1，∴向量在方向上的投影为||cosB=ccosB=1×=，12．【分析】化简可得a≥x3﹣3x+3﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，从而求导g′（x）=3x2﹣3+=（x ﹣1）（3x+3+），从而确定g min（x）=g（1）；从而解得．【解答】解：∵f（x）=e x（x3﹣3x+3）﹣ae x﹣x≤0，∴a≥x3﹣3x+3﹣﹣，令g（x）=x3﹣3x+3﹣，g′（x）=3x2﹣3+=（x﹣1）（3x+3+），故当x∈（﹣∞，1）时，g′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）在（﹣∞，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；故g min（x）=g（1）=1﹣3+3﹣=1﹣；13．【分析】根据题意，画出图形，结合图形用向量，表示出，求出m、n的值即可得出结论．【解答】解：画出图形，如图所示：∵=3，∴=+=，∴=﹣+=m+n，∴m=﹣，n=，∴n﹣m=，14．【分析】由同角三角函数基本关系可得sin（α+），由二倍角公式可得sin2（α+）和cos2（α+），而sin（2α+）=sin[2（α+）﹣]=sin2（α+）﹣cos2（α+），代值计算可得．【解答】解：∵α∈（0，），cos（α+）=，∴sin（α+）==，∴sin2（α+）=2sin（α+）cos（α+）=，cos2（α+）=cos2（α+）﹣sin2（α+）=，∴sin（2α+）=sin[2（α+）﹣]=sin2（α+）﹣cos2（α+）=﹣=．15．【分析】函数表示过A（cosx，sinx），B（3，4）的直线的斜率，由直线和圆相切可得．【解答】解：函数表示过A（cosx，sinx），B（3，4）的直线的斜率，由几何意义可得过定点（3，4）与单位圆相切时的切线斜率为最值，故设切线的斜率为k，则直线方程为y﹣4=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+4=0，由点到直线的距离公式和直线与圆相切可得，解得，∴．16．【分析】通过求导结合函数的单调性得出不等式组，从而确定m 的取值范围．【解答】解：f （x ）=x 3+（+2）x 2﹣2x ，∴f′（x ）=3x 2+（m+4）x ﹣2，∵f （x ）在区间（t ，3）上总不是单调函数，且f′（0）=﹣2， ∴，由题意得：对于任意的t ∈[1，2]，f′（t ）＜0恒成立，∴，∴﹣＜m ＜﹣9，17．【分析】（Ⅰ）根据幂函数的定义和性质即可求出m 的值，（Ⅱ）先求出f （x ），g （x ）的值域，再根据若A ∪B ⊆A ，得到关于k 的不等式组，解的即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意得：2(1)1m -=，解得0m =或2m =当2m =时，2()(0)f x x -=+∞在，上单调递减，与题设矛盾，舍去 ∴0m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知2()f x x =，当1[]x ∈，2时，()f x ，()g x 单调递增， ∴[]124[]A B k k ==--，4，，， ∵A B A ⋃⊆，∴2144k k -≥⎧⎨-≤⎩解得，01k ≤≤故实数K 的取值范围为[0]，1 18．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算可得f （x ）=cos（2x+）+2，由题意解得cos（2x+）=﹣，结合范围x∈（0，π），解得x1，x2的值，即可得解．（2）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）=cos（2x+）+4，由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ即可解得函数g（x）在[﹣，]上的单调增区间．=+m n?1π2sin()x++2C于点F，连接DF，则BC111CD．11（Ⅱ）以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系C﹣xyz．利用向量法能求出异面直线BC1与A1D所成角．为坐标原点，CA 的方向为轴正方向，CB 的方向为轴正方向，CC 的方向为C 1（0，0，12），B （0=（0，﹣2，2），=（﹣1，1，﹣2）．111|||02|||86BC A D BC A D -==，14a d +++119a d ++-+1-（舍去）32(n n ++1)(3321)nn n ++++-．【分析】（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a 2=3，故所求椭圆的方程为．（2）设P 为弦MN 的中点，由得（3k 2+1）x 2+6mkx+3（m 2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m 2＜3k 2+1．由此可推导出m 的取值范围．2xx x（0，）（） 1增极大值减极小值增f x在（0，）和（1，+∞）上单调递增，在[]上单调递减．所以()--1x x(2a1)(1)。
临川一中2020届高三模拟考试文科数学答案
2020届临川一中暨临川一中实验学校高三文科数学月考答案一、单选题1-5．ADADB 6-10．BCDBC 11-12．BC 二、填空题 13．214．25 15． 23 16．()2,+∞三、解答题17．【答案】（1）见解析，有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）0.6 解：（1）2245(161694)8.712 6.63525202520K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯Q ∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” (6)（2）抽到线上学习时间不足于6小时的学生165420⨯=人，设为1A ，2A ，3A ，4A 线上学习时间不足6小时的学生1人，设为1B所有基本事件有：()21A A ，、()31A A ，、()41A A ，、()32A A ，、()42A A ，、()43A A ，、()11A B ，、()21A B ，、()31A B ，、()41A B ，共10种 (8)其中2人每周线上学习时间都不足6小时有：()21A A ，、()31A A ，、()41A A ，、()32A A ，、()42A A ，、()43A A ，共6种 (10)故2人每周线上学习时间都不足6小时的概率为35（或0.6）…………………………12 18.【答案】（I ）13n n a -=（Ⅱ）23312n n n n S ---=（I ）设等比数列{}n a 的公比为(1)q q >，由题可知133221131323a a a a a a ⎧⎪⎨+=++=⎪⎩所以21112111131323a a q a q a a q a q⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩．所以1113n n n a a q --=⋅=．…………………4 （Ⅱ）当2n ≥时，由1(1)1n n n b nb ---=知11111(1)1n n b b n n n n n n--==----． 于是111n b b n n-=-，所以31n b n =-．…………………………8 ()()21231233321n n n n n n S a c a b b b b a -=++++-++--+⋅⋅⋅+=L (12)19．【答案】（1）见解析（2）3:11.解：（1）∵DE ⊥平面ABCD ，AF ⊥平面ABCD ，∴//DE AF ，∴//AF 平面DCE ， ∵ABCD 是正方形，//AB CD ，∴//AB 平面DCE ，∵AB AF A =I ，AB ⊂平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，∴平面//ABF 平面DCE .………………4 （2）过G 作//MG BF 交EC 于M ，连接BG BM 、，()1331133213332322ABCDEF B ADEF B CDE V V V --+⨯⨯=+=⨯⨯+⨯⨯=，………………6 取DG 中点N ，连CN ，则1ND GN EG ===，且GM //N C 则M 为EC 中点，1331=224EGM S ∆=⨯⨯…………………………………………8 131393334324E GFBM B EFG B EGM V V V ---∴=+=⨯⨯+⨯⨯= (10)E-GFBM ABCDEF V 923V 42114∴=⋅= V 3V 11∴=上下 (12)20．【答案】(1) 24y x = ；(2) 32或165 （1）由已知可得122p+=，得2p = 抛物线E 的方程为24y x = (4)（2）设()11,A x y ，()22,C x y ，菱形ABCD 的中心()00,M x y ,当AC x ⊥轴，则B 在原点，()4,0M ，8AC =，8BD =，菱形的面积1322S AC BD =⋅=，……………………………………6 当AC 与x 轴不垂直时，设直线AC 方程：x ty m =+，则直线BD 的斜率为t -24y x x ty m⎧=⎨=+⎩消去x 得：2440y ty m --=, 121244y y t y y m +=⎧⎨=-⎩,()22212122121224244y y y y y y x x t m +-++===+………………8 202x t m =+，02y t =，∵M 为BD 的中点∴()2428,4B t m t +-，点B 在抛物线上，且直线BD 的斜率为t -．()()2221644282,028t t m tt t t m ⎧=+-⎪⎨=-≠⎪+-⎩解得：4m =，1t =±………………………………10 ()4,4B ±，BD =,12AC y y =-===12S AC BD ==32s =或12 21．【答案】（1）()G x 在(0,1)上单调递增（2）1k ≤【详解】解：（1）()()ln G x f x x =-+= ()sin ln sin ln x x x x -+=-+，()1'cos G x x x =-+1cos x x =-，由于()0,1x ∈，所以11x>，cos 1x <， 所以1cos 0x x->，即()'0G x >在()0,1上恒成立，故()G x 在()0,1上单调递增.………………4 （2）()()()sin x f x g x F x e x a⋅==，由题意：对0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，sin 0x e x kx -≥恒成立，设()sin xh x e x kx =-，()'sin cos xxh x e x e x k =+-………………………………6 又设()sin cos xxm x e x e x k =+-则()sin cos cos sin xxxxm x e x e x e x e x +-'=+ 2cos 0x e x =≥，因此()m x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()()01m x m k ≥=-， (8)1o当1k ≤时，()0m x ≥，即()'0h x ≥，()h x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， 故有()()00h x h ≥=，即1k ≤适合题意 (9)2o当1k >时，()010m k =-<，22m e k ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若20e k π-<，则取02x π=，()000,x x ∈时，()0m x <，若20e k π-≥，则在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上()m x 存在唯一零点，记为0x ，当()00,x x ∈时，()0m x <，总之，存在00,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使()00,x x ∈时，()0m x <，即()'0h x <，所以()h x 单调递减，()()00h x h <=， 故1k >时存在()00,x 使()0h x <不合适题意，综上，1k ≤为所求.…………………………12 22.【解析】（1）由82x t=+可得0x ≠， 由8242x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠．（2分）由2sin ρθ=可得22sin ρρθ=，将sin y ρθ=，222x y ρ=+代入上式，可得2220x y y +-=， 所以曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +-=．…………………………5 （2）由（1）得，l 的普通方程为40(0)x y x +-=≠，将其化为极坐标方程可得cos sin 40()2ρθρθθπ+-=≠， (7)当()04θρπ=>时，A ρ=B ρ=|||||A B AB ρρ=-=-=．……………………10 23.【解析】（1）当0x <时，|4|()x f x x>等价于|||2|4x x +->-，该不等式恒成立； 当02x <≤时，|4|()x f x x>等价于24>，该不等式不成立； 当2x >时，|4|()x f x x >等价于2224x x >⎧⎨->⎩，解得3x >， (3)所以不等式|4|()x f x x>的解集为(,0)(3,)-∞+∞U .…………………………5 （2）因为()|||2||(2)|2f x x x x x =+-≥--=，当02x ≤≤时取等号，所以2M =,222a b c ++=，………7 由柯西不等式可得22222222224(22)(122)()9()a b c a b c a b c =++≤++++=++, 当且仅当244,,999a b c ===时等号成立，所以22249a b c ++≥ (10)。
江西省抚州市数学高三上学期文数第二次月考试卷
江西省抚州市数学高三上学期文数第二次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·南充月考) 设集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·广东模拟) （）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二上·苏州月考) 下列命题为真命题的是（）A . 平行于同一平面的两条直线平行B . 与某一平面成等角的两条直线平行C . 垂直于同一平面的两条直线平行D . 垂直于同一直线的两条直线平行4. （2分）执行如图所示的程序框图，输出的S的值是（）A . 2B . -1C .D . 15. （2分） A，B，C为△ABC的三个内角，下列关系中不成立的是（）①cos（A+B）=cosC②sin（2A+B+C）=sinA③④tan（A+B）=﹣tanC．A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④6. （2分）已知(+)=，且，则tanα=（）A .B .C . -D .7. （2分）若对可导函数，恒有，则（）A . 恒大于0B . 恒小于0C . 恒等于0D . 和0的大小关系不确定8. （2分） (2017高一下·静海期末) 已知a=log0.50.3，b=log30.5，c=0.5﹣0.3 ，则a，b，c的大小关系是（）A . a＞c＞bB . c＞a＞bC . c＞b＞aD . b＞c＞a9. （2分）若函数y=f（x）的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对[A，B]为y=f（x）的“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，若函数恰好由两个“友情点对”，则实数a的值为（）A . ﹣2B . 2C . 1D . 010. （2分）函数的的单调递增区间是（）A .B .C .D . 和11. （2分）若sinα=﹣，则α为第四象限角，则tanα的值等于（）A .B . -C .D . -12. （2分） (2016高三上·沈阳期中) 下列关于函数 y=ln|x|的叙述正确的是（）A . 奇函数，在（0，+∞）上是增函数B . 奇函数，在（0，+∞）上是减函数C . 偶函数，在（0，+∞）上是减函数D . 偶函数，在（0，+∞）上是增函数二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一下·上海月考) 角属于第________象限角.14. （1分）(2018·益阳模拟) 分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为________．15. （1分） (2016高一上·汉中期中) 若loga2=m，loga3=n，（a＞0且a≠1）则a2m+n=________．16. （1分） (2017高二下·温州期中) 设函数f（x）= ，则f（﹣2）=________；使f（a）＜0的实数a的取值范围是________．三、解答题 (共6题；共45分)17. （10分） (2016高一上·常州期中) 求解下列各式的值：（1）（2 ） +（﹣2017）0+（3 ）；（2） +lg6﹣lg0.02．18. （5分）解答题（1）化简；（2），求2sin2α﹣sinαcosα+cos2α的值．19. （5分） (2016高三上·会宁期中) 已知函数f（x）=x3+bx2+cx﹣1当x=﹣2时有极值，且在x=﹣1处的切线的斜率为﹣3．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值．20. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 已知函数f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.718 28…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，证明：e﹣2＜a＜1．21. （5分） (2016高二上·长春期中) 已知p：|1﹣|≤2；q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q 的必要非充分条件，求实数m的取值范围．22. （10分）(2018·南阳模拟) 已知函数，．（Ⅰ）当时，恒成立，求的取值范围；（Ⅱ）当时，研究函数的零点个数；（Ⅲ）求证：(参考数据： )．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共45分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、第11 页共11 页。
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∵ ，
∴ ，… 分
可得： ，
可得： ，
∴ ，可得： ，… 分
又∵ ，
∴ ，可得 ．… 分
在 中，由正弦定理可得： ，
所以 ， ，… 分
＝ ， ＝ ，… 分
所以 ＝ ＝ ．… 分
如图 ，在梯形 中， ， ， 为 的中点， 是 与 的交点，将 沿 翻折到图 中 的位置，得到四棱锥 ．
（1）求证： ；
【解答】
由题意：函数 在 上是增函数，
∴二次函数 ，开口向下，∴ 是增函函，故得对称轴 ，解得： ．
反比例函数 在 必然是增函数，则： ；
又∵函数 是增函数，
则有： ，解得： ．
所以： 的取值范围 ．
8.
已知函数 ， ，若 存在 个零点，则 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【考点】
函数的零点
【解析】
⑤函数 ＝ 的图象关于点 对称的函数图象的解析式为 ＝
其中正确命题的序号为________．
【答案】
②③④⑤
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
①向量 、 与夹角为钝角时，应满足 且 、 不共线，由此求得 的取值范围；
②函数 ＝ 与 ＝ 的图象的对称轴为 ＝ ；
③根据 ＝ 的周期为 判断；
④根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质和周期函数的定义，可判断④；
2019-2020学年江西省抚州市临川一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）（10月份）
一、选择题（每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求）
1.已知
A.
B.
C. ，
D.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
可以求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可．
【解答】
∵ ，
∴ ＝ ．
显然 ，（如果 两个函数的图象不可能由 个交点），
当 ＝ 时，函数的交点个数是 个，当 ＝ 时两个函数的图象的交点个数是 个
由题意可得： ，解得 ．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
函数 的定义域为________．
【答案】
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数 的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
Ⅰ 求椭圆 ， 的方程；
Ⅱ 过 的直线交椭圆 于点 ， ，求 面积的最大值．
【答案】
（1）设椭圆 的半焦距为 ，椭圆 的半焦距为 ．由已知 ＝ ， ＝ ， ．
所以 ， ，… 分
＝ ， ＝ ，… 分
所以 ＝ ＝ ．… 分
【考点】
正弦定理
两角和与差的三角函数
【解析】
（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得 ，结合范围 ，可求 的值．
（2）在 中，由正弦定理可得 的值，利用同角三角函数基本关系式可求 的值，利用二倍角公式可求 ， 的值，根据三角形的内角和定理可求 的值．
（2）当 ， ＝ 时，求 到平面 的距离．
【答案】
证明：图 中，在四边形 中， ， ＝ ＝ ，∴四边形 为平行四边形．
又∵ ＝ ＝ ，∴四边形 为菱形，∴ ， ，∴在图 中， ， ，又 ＝ ，∴ 面 ．∵ 平面 ，∴ ．又在四边形 中， ， ＝ ＝ ，∴四边形 为平行四边形，∴ ，∴ ；
法一：由（1）可知 面 ，且 ，∴ 平面 ， 的长度即为点 到平面 的距离，
【解答】
由 ，得 ，
∴函数 在 上为增函数．
又 ＝ ， ，
∴函数 的零点所在区间是 ．
故选： ．
5.在 中，若 ，则 的为（）
A. 或
B.
C. 或
D.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
【解析】
由 的度数求出 的值，再由 与 的值，利用正弦定理求出 的值，由 大于 ，根据三角形中大边对大角可得 大于 ，进而确定出 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出 的度数．
若 在 上的值域为 ， ，∴ ，
12.把函数 ＝ 的图象向右平移一个单位，所得图象与函数 的图象关于直线 ＝ 对称；已知偶函数 满足 ＝ ，当 时， ＝ ；若函数 ＝ 有五个零点，则 的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【考点】
函数与方程的综合运用
函数的图象与图象的变换
【解析】
求出 的解析式，判断函数 的性质，利用函数 ＝ 有五个零点，列出不等式组转化求解 的范围即可．
D.
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象的变换
函数的求值
求函数的值
【解析】
由图象的顶点坐标求出 ，根据周期求得 ，再由 ＝ 以及 的范围求出 的值，从而得到函数的解析式，进而求得 的值．
【解答】
由函数的图象可得 ＝ ，根据半个周期 ，解得 ＝ ．
由图象可得当 时，函数无意义，即函数的分母等于零，即 ＝ ．
（2）设函数 ，若存在 使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】
∵幂函数 为偶函数，且在区间 上是单调增函数．
∴ ，解得 ＝ ， ， ，
且 为偶数，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ；
函数 ＝ ，
，化为 ＝ ，
∵存在 使得 ，
∴ ＝ ，当且仅当 ＝ 时取等号，
∴实数 的取值范围是 ．
【考点】
函数单调性的性质与判断
【解析】
∴函数单调递增区间是 .
故答案为： ．
已知 ， ，且 在区间 上有最小值，无最大值，则 ________．
【答案】
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】
根据 ＝ ，且 在区间 上有最小值，无最大值，确定最小值时的 值，然后确定 的表达式，进而推出 的值．
【解答】
解：∵ ，且 ，
11.已知函数 对任意的 ， ，都有 ，若 在 上的值域为 ，则实数 的取值范围为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的图象
两角和与差的三角函数
【解析】
利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用函数的最值，列出不等式转化求解即可．
【解答】
，其中 ，
又题意 的最大值为 ， ＝ ， ，∴ ＝ ，
【解答】
函数 ，
所以 ，
解得 ，且 ，
所以 的定义域为 ．
函数 的单调递增区间是________．
【答案】
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
对数函数的定义域
【解析】
由 ，解得 或 ，根据当 时 单调递减， 单调递增，
可得函数单调递增区间是 ．
【解答】
解：由 ，可得 ，
∴ 或 ．
又 ，
当 时 单调递减， 单调递增，
＝ 的定义域为 ，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
7.已知函数 在 上是增函数，则 的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【考点】
函数单调性的性质与判断
【解析】
根据分段函数的性质， 在 上是增函数，二次函数开口向下，∴ 是增函函，故得对称轴 ，那么反比例函数 在 必然是增函数．从而求解 的取值范围．
【解答】
∵ ，
∴根据正弦定理 得：
，
又 ，∴ ，
∴ ，
则 为 或 ．
6.下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（）
A. ＝
B. ＝
C.
D. ＝
【答案】
B
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
容易看出选项 ， 的函数都是奇函数，选项 的函数是偶函数，从而只能选 ．
【解答】
＝ 和 都是奇函数， ＝ 是偶函数；
函数 ＝ ，
，化为 ＝ ，
∵存在 使得 ，
∴ ＝ ，当且仅当 ＝ 时取等号，
∴实数 的取值范围是 ．
在 中， ．
（1）求角 的大小；
（2）设 的角平分线 交 于 ， ＝ ， ＝ ，求 的值．
【答案】
∵ ，
∴ ，… 分
可得： ，
可得： ，
∴ ，可得： ，… 分
又∵ ，
∴ ，可得 ．… 分
在 中，由正弦定理可得： ，
2.设 ，向量 ， ，则 ＝（）
A.
B.
C.
D.
【Hale Waihona Puke 案】D【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】
根据 即可得出 ＝ ，解出 即可．
【解答】
∵ ，
∴ ＝ ，
∴ ．
3.曲线 处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
同角三角函数间的基本关系
法一：由（1）可知 面 ，且 ，∴ 平面 ， 的长度即为点 到平面 的距离，
由（1）已证四边形 为平行四边形，所以 ，
因此，点 到平面 的距离为 ；
解法二：连接 ，∵ ＝ ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ．
又 ＝ ，∴ 平面 ．设点 与面 的距离为 ，
∵ ，
即 ，
∴ ， ，
∴ ．
定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆 与椭圆 是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆 的长轴长是 ，椭圆 短轴长是 ，点 ， 分别是椭圆 的左焦点与右焦点，
【解答】
若 在 ＝ 取得极小值，
＝ ＝ ．
令 ＝ ，得 ＝ 或 ＝ ．