韩信点兵类数学问题的独特解法

3
5
已知 , , 均为整数且均大于等于 1，因此 也为大于等于的 1 的整数，将（5）式 带入（3）可得下式
21 2
6
由（2）（6）可解出
4 因为 为大于 1 的整数，所以
1 6
5 1须能被 5 整除，因此 必有如下形式
51
7
这里 为整数，从而由（6）（7）可得 有如下形式
105 23
6
当 n 0 时即为满足条件的最小的数是 23。利用 Excel 表格计算功能可以直接求出 一系列满足条件的解，这里列出 0,1,2,3,4 ⋯ 10时的数据供大家参考。
233
77
46
33
2
338 112
67
48
2
443 147
88
63
2
548 182 109
78
2
653 217 130
93
2
758 252 151 108
2
863 287 172 123
2
968 322 193 138
2
1073 357 214 153
2
除数5 余数
R2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
‫ ݔ‬ൌ 3ܽ ൅ 2
ሺ1ሻ
‫ ݔ‬ൌ 5ܾ ൅ 3
ሺ2ሻ
‫ ݔ‬ൌ 7ܿ ൅ 2
ሺ3ሻ
这里有四个变量‫ݔ‬, ܽ, ܾ, ܿ，但只能列出 3 个方程，从方程组解的判据来说该方程组 可能有无限个解，如果再结合整数的性质，应该是可以求出可能的解。
首先，由方程（1）（3）可得式（4）
7
3
4
因为 为整数，所以由可知 必满足以下条件
采用逐步求解法几乎可直接求出该类问题的最小解，但还是比较费时费力。实际 上在两千多年《孙子算经》已经给出了简便的算法，明代的数学家程大位还把这个基 本算法编成了四句歌诀：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；
七子团圆正半月，除百零五便得知。
用现在的通俗的话来说就是把这个数除以 3 的余数乘 70；除以 5 得到的余数乘 21；除以 7 得到的余数乘 15，把这些乘积累加起来再减去 105 的倍数即可得该物至 少有 23 个，具体可写为：
除数7 余数
R3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
பைடு நூலகம்
类似的题还有，某数三三数之剩二；五五数之剩三，七七数之剩四，求某数。有 兴趣的可以用类似的方法试一试。
韩信点兵数学问题的独特解法
《孙子算经》记载有一个题目：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩 三，七七数之剩二，问物几何?”。 据说汉代名将韩信每次集合部队也用类似的方法， 他要求士兵第一次按 1～3 报数，第二次按 1～5 报数，第三次按 1～7 报数，每次都 要求最后一个士兵向他报告所报的数是几，这样就知道共多少人，这种巧妙算法被称 为韩信点兵，也常称为“鬼谷算”、 “隔墙算”等。
x=3a+R1 x=5b+R2 x=7c+R3
整数
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x=3a+2 a=35n+7
x=5b+3 b=21n+4
x=105n+23
x=7c+2 c=15n+3
可能 除数3的 除数5的 除数7的 除数3
的数
商
商
商
余数
x
a
b
c
R1
23
7
4
3
2
128
42
25
18
2
70ൈ2＋21ൈ3＋15ൈ2＝233
233－105－105＝23
上述四句歌诀，实际上是特殊情况下给出了一次同余式组解的定理，在民间流传 较广。1247 年秦九韶著《数书九章》，首创“大衍求一术”，给出了一次同余式组的一 般求解方法。在西方数学著作中就将一次同余式组的求解定理称为“中国剩余定理”。
从以上的方法可得满足条件的最小的数是 23，也可知 128，233 其实也是满足条 件的解。这种方法虽然简便易用，但从数学的完备性上讲并不严谨。下面采用代数的 方法来进行探讨分析解的可能性和解具备的结构。假设要求的整数为‫ݔ‬，设‫ݔ‬除以 3 , 5, 7 的商分别为ܽ, ܾ, ܿ，则可列出如下三个方程
这种问题比较原始的方法是采用逐步排除法，首先找出“用 7 除余 2”的自然数，有 1ൈ7൅2ൌ9，2ൈ7൅2ൌ14，3ൈ7൅2ൌ23……；再找出“用 5 除余 3”的自然数，有 1ൈ5൅3ൌ8，2ൈ5൅3ൌ13，3ൈ5൅3ൌ18，4ൈ5൅3ൌ23，5ൈ5൅3ൌ28……；对比这两组可 以发现一个重叠的数 23，验算可知 23 用 3 除余 2，可知 23 即为满足条件最小数。