导数及其应用 ppt课件
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高中数学新人教B版选修1-1第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件
第三章 §3.1 导 数
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
12345
课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
3.1.3 导数的几何意义
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义. 2.会求简单函数的导函数. 3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程. 4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
解析 设点 P(x0,2x20＋4x0)，
则 f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2Δx2＋4Δx0x·Δx＋4Δx＝4x0＋4，
令4x0＋4＝16，得x0＝3，∴P(3,30).
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课堂小结
KETANGXIAOJIE
1.导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，即 k＝
线上，则以该点为切点的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在 切线上，则应先设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点.
∴x0＝2，∴P(2,8＋a). 将x＝2，y＝8＋a代入到8x－y－15＝0中，
得a＝－7.
反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图象中切线与割线 的倾斜角的大小确定数据的大小.
f2－f1 跟踪训练 4 (1)已知函数 f(x)在 R 上可导，其部分图象如图所示，设
2－1
＝a，则下列不等式正确的是
则12a－23a·|a3|＝16， 解得a＝±1.
核心素养之直观想象
HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG
求切线倾斜角的范围
典例 已知点 P 在曲线 y＝x3－x＋32上，直线 l 为曲线在 P 点处的切线，求直 线 l 的倾斜角的取值范围.
高中数学《导数及其应用》知识点讲解附真题PPT课件
- ln
k
k
1 k 1 k
b, -1
b
⇒
b k
1-ln 2.
2,
答案 1-ln 2
例5 设函数f(x)=x3+ax2,若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程为x+y=0, 则点P的坐标为 ( )
A.(0,0) B.(1,-1) C.(-1,1) D.(1,-1)或(-1,1)
=ln(x+1)的切线,则b=
.
解题导引 与例3的不同之处是:有两条曲线,且两切点未知,因此转化为求
两条曲线上两个点处的切线方程问题.第一步,先设出两个切点;第二步,用k
表示出两个切点的坐标;第三步,建立方程组,求解.
解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),
2
分别令x=1,x=0,得
f f
'(1) f '(0) f
'(1)-f '(0) 1, '(1)e-1-f '(0) 0,
解得
f f
'(0) '(1)
1, 2e,
因此f(x)=2e·ex-1-x+
1 2
x2=2ex-x+
1 2
x2.
方法总结 与含参数问题相结合,类似于抽象函数问题,用赋值法求解.
B(x2,y2),
由y=ln x+2得y'= 1 ,由y=ln(x+1)得y'= 1 ,
x
x 1
∴k=
1 x1
=
1 x2
1
,∴x1=
导数在经济学中的应用教学课件ppt
导数在生产函数研究中的应用
生产函数
描述生产过程中投入要素与产 出之间的关系。
弹性分析
研究产出对于各投入要素的弹 性变化。
总结词
生产函数、边际分析、弹性分 析、最优生产要素组合
边际分析
分析投入要素的边际产量与最 优要素组合。
最优生产要素组合
确定使生产成本最低或利润最 大的要素组合。
导数在时间序列分析中的应用
导数在经济学中的意义
导数可以描述函数的变化率和极限状态，可以帮助经济 学研究者更好地了解经济变量的变化规律和趋势，为政 策制定提供重要的参考依据。
导数在经济学中的未来研究方向
研究主题1
如何将导数与其他经济学理论相结合，进一步完善经济学理论框 架，更好地解释现实经济现象。
研究主题2
如何运用导数研究具有复杂特征的经济问题，例如金融市场波动 、能源供需变化等。
导数在弹性分析中的应用
01
02
03
弹性分析是经济学中用于研究函数因 变量对自变量敏感度的概念。
导数可以用于计算弹性和弹性系数， 研究经济变量的变化对经济整体的影 响。
例如，在国际贸易中，出口商品的弹 性系数可以帮助国家制定贸易政策。
导数在优化问题中的应用
优化问题是经济学中需要找到函数极值点的问 题。
导数在政策分析中的应用
01
政策分析是经济学中用于评估 政策效果和制定政策建议的工 具。
02
导数可以用于建立政策分析模 型，分析政策变动对经济的影 响。
03
例如，可以利用导数分析税收 政策变动对经济增长的影响。
03
导数的数学基础
导数的定义与运算规则
导数的定义
导数是由函数在某一点的斜率来定义的。对于给定的 函数f(x)，f'(x)表示函数在x点的斜率。
《导数及其应用》课件(复习课
存在性：在闭区间[a，b]上连续函 数f(x)在[a，b]上必有最大值与最 小值．
求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求 法：
1. 求出f(x)在(a，b)内的极值； 2. 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，
较小的一个是最小值.
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x3 3x2 9x a . （Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若 f x 在区间2, 2 上的最大值为 20,求它在该
（II）由（I）知，
f
(x)
3mx2
6(m
1) x
3m
6
= 3m( x
1)
x
1
2 m
当 m 0 时,有1 1 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f (x) 的变化如下表： m
x
,1
2 m
1 2 m
1
2 m
,1
1
1,
f (x)
0
0
f (x)
极小值
极大值
故由上表知,当
m
0 时,
f
解： f/(x)=3x2－ 1，
∴k= f/(1)=2
∴所求的切 线方程为：
y－2=2(x －1),
即 y=2x
例1．已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2)求在点A处 的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0)
又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0，
第五章一元函数的导数及其应用课件(人教版)
则 f (1) 9a 4a 5 ，解得a 1，
3 典型例题讲与练
考点清单05已知切线的条数求参数 【考试题型1】已知切线的条数求参数
【典例 1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 f x x3 x ，
若过点 P2,t 存在三条直线与曲线 y f x 相切，则t 的取值范围
为
．
【答案】 2, 6
3 典型例题讲与练
考点清单06 单调性
【考试题型 2】已知函数 f x 在区间D 上单调，求参数 【典例 1】（2023 上·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校考阶
的有效部分（如：f
x
ex(x2
ax x2
2)
，则记
g(x)
x2
ax
2
为
f
( x)
的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该
部分决定 f x 的正负.
第四步：确定导函数有效部分 g(x) 的类型：
① g(x) 为一次型（或可化为一次型）② g(x) 为二次型（或可
化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论 y f (x) 的单调性
f
x0
2h
2h
f
x0
2 f x0 6
所以 . lim h0
f
( x0
h) h
f (x0
h)
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 )
f (x0 )
f (x0 h
2h)
3 f (x0 ) 9
3 典型例题讲与练
考点清单04导数的几何意义 【考试题型1】求在某一点出切线
求过点 B1,1 与曲线 y f x 相切的直线方程． 【详解】设切点坐标为x0, x03 1 ，
导数及其应用课件PPT
又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x＝9处取得最大值.
解析答案
12345
4.某公司生产某种产品，固定成本为 20 000 元，每生产一单位产品，成本增
加 100 元，已知总收益 r 与年产量 x 的关系是 r＝400x－21x2，0≤x≤400， 80 000， x＞400，
则总利润最大时，年产量是( )
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为
x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2，
问：x，y分别是多少时用料最省？(精确到0.001 m)
解 依题意，有 xy＋12·x·2x＝8，∴y＝8－x x42＝8x－4x(0＜x＜4 2)，
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省.
解析答案
题型二 面积、容积的最值问题 例2 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形 栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽 度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的高与宽的 尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
S′(x)＝6x2－24x＋16，
令
S′(x)＝0，得
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
导数在实际生活中的应用PPT教学课件
为定值V，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高
与底面半径比为多少？
解:设桶底面半径为R,
则 桶 高 为h
V
R2
桶的用料为
S(R)
2
R2
2
R
V
R2
2 R2 2V ,
R
S'(R)
4
R
2V R2
,
令S'(R)
4
R
2V R2
0,
解得R
V
2
h R
此时，h
V
R2
V
3
V
2
2
4V 2 V
2
即h 2R
因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值。
答：当罐高与底的直径想等时，所用材料最省。
例3.已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q,
价格p与产量q的函数关系式为 p 25 1 q. 求产量q为何值 8
时,利润L最大。
分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由此可得出 利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.
3、辨别真伪
我是历史 小专家
（1）汉武帝时大力推行儒学教育，在长安兴
办太学。（
）
X （2）董仲舒建议汉高祖，允许诸侯王把自己 的封地分给子弟，建立较小的侯国。（ ）
（3）汉文帝时，西汉在政治、经济、军事和
X 思想上实现了大一统，进入鼎盛时期（ ）
通过本课的学习你知道 了哪些历史人物?你最欣赏或 最钦佩谁?说说你喜欢或钦佩 他的理由。
在实际问题中，如果函数 f ( x )在某区间内 只有一个x0 使f ´(x0)=0,而且从实际问题本身又可 以知道函数在 这点有极大(小)值，那么不与端点 比较， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值. (所说区间的也适用于开区间或无穷区间)
高等数学与工程数学课件第四章导数应用.ppt
思考题 1.极值点与驻点的关系是什么? 2.说明极值与最值的区别. 3.极值存在的必要条件是什么?
答案 答案 答案
课堂练习题 1.求y = x2 2x 3的极值.
2.求出y x4 2x2 1的全部驻点.
答案 答案
第三节 函数的最大值和最小值
在工农业生产和科学实验中，常要遇到在一定条件下，怎 样用料最省、效率最高或性能最好等问题，这些问题归纳到 数学上，即为函数最大值或最小值问题.
在x 0处无极值以上三题中都有y'x0 0, y''x0 0,所以说情形(3)失 效,失效时必须用定理2来判定驻点是否为极值点.
例2 求函数f (x)(x2 1)3 1的极值.
解 因为f '(x) 6x(x2 1)2,令f '(x) 0,得驻点x 1,x 0,x 1
所以f ''(x) 6(x2 1)2 6x2(x2 1)2x 6(x2 1)(5x2 1). 又因为f ''(0)60,所以函数f (x)在x 0处取得极小值为f (0)0.
0
0
可导, 如果
(1)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极大值f (x0);
(2)当x x0时, f '(x)0;当x x0时; f '(x)0,则函数f (x) 在点x0处取得极小值f (x0);
(3)当x从x0时的左侧变化到右侧时, f '(x)不变号,则f (x) 在x0处无极值.
定理 设函数y f (x)在(a,b)内可导,若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在 (a,b)上为增函数;若f '(x)0,x(a,b)则f (x)在(a,b)上为减函数.( 一阶导数符号和函数单调性是否为充要条件?)
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数概念课件
02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率，它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导，可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本 质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$， 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。
导数的概念与计算课件
第4页/共32页
专题五 导数及其应用
考点一 导数的计算
求下列函数的导数：
(1)y＝x3+ex+1x ； (2)f(x)＝f ′(1)+x2sinx；
(3)y＝xl2n＋x1；
(4)y＝ln(2x－5)．
第6页/共32页
1-3答案
4答案
专题五 导数及其应用
导数计算的原则和方法 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函 数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提 高运算速度，减少差错． (2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次， 通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.
解析：由
f′(x)＝1－xl2n
x得
f′(2)＝1－ln 4
2 .
第24页/共32页
专题五 导数及其应用
5．(2014·高考江西卷)若曲线 y＝e－x 上点 P 处的切线平行于 直线 2x＋y＋1＝0，则点 P 的坐标是____(－__ln_2_，__2)_____． 解析：设 P(x0，y0)，因为 y＝e－x，所以 y′＝－e－x， 所以点 P 处的切线斜率为 k＝－e－x0＝－2， 所以－x0＝ln 2，所以 x0＝－ln 2， 所以 y0＝eln 2＝2，所以点 P 的坐标为(－ln 2，2)．
(3)y′＝exln x＋ex·1x＝ex1x＋ln x.
(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.
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专题五 导数及其应用
考点二 导数的几何意义(高频考点)
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择 题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小， 属中低档题． 高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知切点求切线方程； (2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．
专题五 导数及其应用
考点一 导数的计算
求下列函数的导数：
(1)y＝x3+ex+1x ； (2)f(x)＝f ′(1)+x2sinx；
(3)y＝xl2n＋x1；
(4)y＝ln(2x－5)．
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1-3答案
4答案
专题五 导数及其应用
导数计算的原则和方法 (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函 数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提 高运算速度，减少差错． (2)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次， 通过设中间变量，确定复合过程，然后求导.
解析：由
f′(x)＝1－xl2n
x得
f′(2)＝1－ln 4
2 .
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专题五 导数及其应用
5．(2014·高考江西卷)若曲线 y＝e－x 上点 P 处的切线平行于 直线 2x＋y＋1＝0，则点 P 的坐标是____(－__ln_2_，__2)_____． 解析：设 P(x0，y0)，因为 y＝e－x，所以 y′＝－e－x， 所以点 P 处的切线斜率为 k＝－e－x0＝－2， 所以－x0＝ln 2，所以 x0＝－ln 2， 所以 y0＝eln 2＝2，所以点 P 的坐标为(－ln 2，2)．
(3)y′＝exln x＋ex·1x＝ex1x＋ln x.
(4)y′＝2(1＋sin x)·(1＋sin x)′＝2(1＋sin x)·cos x.
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专题五 导数及其应用
考点二 导数的几何意义(高频考点)
导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择 题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小， 属中低档题． 高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度： (1)已知切点求切线方程； (2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标； (3)已知切线方程求参数值．
《高中数学导数讲解》课件
积分
导数是积分的基础，通过 求导可以推导出原函数的 表达式。
微分方程
导数在解决微分方程问题 中起到关键作用，如物理 中的动力学问题。
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பைடு நூலகம்
高中数学导数讲解
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的实际应用 • 导数的扩展知识
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，用于描述函数在某一点附近的变化率。对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处 的导数定义为$f'(x_0) = lim_{Delta x to 0} frac{Delta y}{Delta x}$，其中$Delta y = f(x_0 + Delta x) - f(x_0)$ 。导数表示函数在点$x_0$处的切线斜率。
01
02
03
起源
导数最初由牛顿和莱布尼 茨在17世纪分别独立发现 ，为微积分学奠定了基础 。
早期发展
18世纪，欧拉、拉格朗日 等数学家进一步发展了导 数理论，将其应用于函数 研究。
现代应用
随着数学的发展，导数在 物理、工程、经济等领域 得到广泛应用，成为解决 实际问题的重要工具。
导数的其他性质
导数的几何意义
详细描述
在物理中，导数具有实际意义。例如，物体运动的瞬时速度 可以由速度函数的导数表示，物质扩散的瞬时速度可以由扩 散函数的导数表示。导数可以描述物体或物质在极短时间内 速度或加速度的变化。
02
导数的计算
切线斜率与导数
切线斜率
导数描述了函数在某一点的切线斜率 ，即函数在该点的变化率。
函数导数及其应用PPT课件
记 法 y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映 射
[思考探究1] 映射与函数有什么区别？
提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个 集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须 是非空数集.
2.函数的相关概念 (1)函数的三要素是 定义域 、值域 和 对应关系 . (2)相等函数
[思路点拨] A中不存在元素与k对应⇔方程－x2＋2x＝k无解， 利用判别式可以求k的范围.
[课堂笔记] 由题意，方程－x2＋2x＝k无实数根，也就是x2 －2x＋k＝0无实数根. ∴Δ＝(－2)2－4k＝4(1－k)＜0，∴k＞1. ∴当k＞1时，集合A中不存在元素与实数k∈B对应. [答案] A
分段函数是高考的热点内容，以考查求分段函数的 函数值为主，属容易题，但09年山东高考将函数的周 期性应用到求分段函数函数值的过程中，使试题难度 陡然增加，这也代表了一种新的考查方向.
[考题印证] (2009·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝
则f(2 009)的值为 ( ) A.－
设函数f(x)＝
若f(－4)＝f(0)，f(－2)
＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为
()
[思路点拨] 求b，c 求f(x)的解析式
解方程f(x)＝x
[课堂笔记] 法一：若x≤0，f(x)＝x2＋bx＋c. ∵f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∴
解得
∴f(x)＝
当x≤0时，由f(x)＝x，得x2＋4x＋2＝x，
的对应关系f，使对
对应关系
于集合A中的 任意
应关系f，使对于集合A 中的任意 一个元素x，
f：A→B
一个数x，在集合B 中都有唯一确定的
导数在实际生活中的应用教学课件
数值模拟与仿真
数值模拟
导数可以用于数值模拟中的偏微分方程求解，例如在物理学、化学和生物学 等领域中，利用导数求解偏微分方程可以模拟自然现象的规律。
计算机仿真
导数可以用于计算机仿真中的参数优化和模型验证，例如在金融、交通和生 态等领域中，利用导数进行参数优化和模型验证可以提高仿真结果的准确性 和可靠性。
2023
《导数在实际生活中的应 用教学课件》
目录
• 导数概述 • 导数在物理中的应用 • 导数在经济学中的应用 • 导数在工程中的应用 • 导数的进一步应用
01
导数概述
导数的定义
1 2
定义
导数是函数值随自变量变化的速度，即函数在 某一点的导数表示函数在这一点变化率的大小 。
数学表达
如果函数y = f(x)在x = x0处可导，则称f'(x0)为 函数f(x)在x0处的导数。
稳定性
在船舶设计中，导数可以帮助分析船体的稳定性。例如，通过分析船体的重心以 及浮力的变化，利用导数可以确定最优的船体设计以实现稳定的航行。
05
导数的进一步应用
最优控制与决策
最优控制
导数可以用于求解最优控制问题，例如在工程、经济和金融 等领域中的最优控制策略，以实现系统性能的最优。
决策分析
导数可以用于决策分析中的最优选择问题，例如在风险评估 和预测分析中，利用导数求解最优投资组合或最优路径选择 等。
边际成本与边际收益
边际成本
导数可以用来描述成本的变化率，即边际成本。在经济学中 ，边际成本是指增加一单位产量所增加的成本。通过导数， 我们可以分析不同生产规模下的边际成本，从而优化生产决 策。
边际收益
与边际成本相对应，导数也可以用来描述收益的变化率，即 边际收益。在经济学中，边际收益是指增加一单位产量所增 加的收益。通过导数，我们可以分析不同生产规模下的边际 收益，从而优化销售决策。
《导数的应用举例》课件
导数的未来发展前景
导数在数学、物理、工程等领域的应用将更加广泛 导数在机器学习、人工智能等领域的应用将逐渐增多 导数在金融、经济等领域的应用将逐渐深入 导数在教育、科普等领域的应用将逐渐普及
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汇报人：
导数与极值
导数在几何中的应用：求曲线的斜 率、切线、拐点等
极值的判断：利用导数判断函数在 某点处的极值
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极值的定义：函数在某点处的导数 为0，且该点两侧的导数符号相反
极值的应用：求函数的最大值和最 小值，解决实际问题
导数在物理中的 应用
导数与速度、加速度
导数与速度：导 数是描述函数在 某一点处变化率 的概念，可以用 于描述物体在某 一点的速度。
添加标题
导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的微分值
导数的性质
导数是函数在某一点的切线斜率
导数是函数在某一点的局部线性近 似
添加标题
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导数是函数在某一点的瞬时变化率
导数是函数在某一点的局部线性逼 近
导数与函数关系
导数描述了函数在某一点的 变化率
导数是函数的局部线性逼近
导数与最优化问题
导数在经济学中的应用：求解最优化问题 导数在经济学中的应用：求解边际效益 导数在经济学中的应用：求解边际成本 导数在经济学中的应用：求解边际利润
导数在其他领域 的应用举例
导数与计算机科学中的算法优化
导数在计算机科学中的作用：优化算法，提高计算效率 导数在算法优化中的应用：梯度下降法、牛顿法等 导数在机器学习中的应用：神经网络、深度学习等 导数在图像处理中的应用：图像平滑、边缘检测等
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栏目 导引
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
二、辨明易错易混 1．求曲线的切线，分清是“在某点处的切线”，还是 “过某点的切线”． 2．对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极 值的必要条件．例如f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0不 是 极值点．
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
栏目 导引
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
[即时练]
1．(2014·嘉兴二模)已知函数 f(x)＝1xcos x，则 f(π)＋f′(π2)
＝( C )
A．－π32
B．－π12
C．－π3
D．－π1
解析：∵f′(x)＝－x12cos x＋1x(－sin x)，∴f(π)＋f′(π2)＝
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
一、活用公式结论 1．导数公式及运算法则 (1)基本导数公式：c′＝0(c 为常数)； (xm)′＝mxm－1(m∈Q)； (sin x)′＝cos x； (cos x)′＝－sin x； (ax)′＝axln a(a>0 且 a≠1)；(ex)′＝ex；(logax)′＝xln1 a(a>0 且 a≠1)；(ln x)′＝1x.
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
导数及其应用
专题一 集合、常ห้องสมุดไป่ตู้逻辑用语、不等式、函数与导数
考向导航
历届高考 考点扫描 导数的几 何意义
利用导数 研究函数 的性质
利用导数 解决与不 等式有关 的问题
利用导数 解决与方 程的解有 关的问题
2014 Ⅰ文T21Ⅱ文
T21
Ⅰ理T21、Ⅱ 理T21
最小，为－9.又 f′(m)＝－3m2＋6m，令 f′(m)＝0 得 m＝0
或 m＝2，所以当 m＝0 时，f(m)最小，为－4.故 f(m)＋f′(n)
的最小值为－9＋(－4)＝－13，故选 A.
栏目 导引
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
考点一 导数的几何意义 (1)(2014·高考江西卷)若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切
栏目 导引
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
考点二 利用导数研究函数的性质 (2014·高考江西卷)已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)
ln 2)在直线 y＝12x＋b 上可得 b＝ln 2－12×2＝ln 2－1.
栏目 导引
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
4．已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－4 在 x＝2 处取得极值，若 m，
n∈[－1,1]，则 f(m)＋f′(n)的最小值为( A )
A．－13
B．－15
C．10
栏目 导引
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
1．(2014·河北保定高三调研)已知曲线 y＝ln x 的切线过原
点，则此切线的斜率为( C )
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且 y′＝1x，设切点为
(x0，ln x0)，则 y′|x＝x0＝x10，切线方程为 y－ln x0＝x10 (x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得 x0＝e， 故此切线的斜率为1e.
线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标是__(_e，__e_)__．
(2)(2014·辽宁省五校上学期联考)曲线 y＝log2x 在点(1,0)处 1
的切线与坐标轴所围三角形的面积等于__2_l_o_g_2e__． [思路点拨] (1)先求函数的导数,再利用导数的几何意义 确定切点的坐标． (2)先求函数的导数,写出切线方程,最后求三角形的面积.
D．15
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，因为函数 f(x)＝－x3＋ax2－4 在 x
＝2 处取得极值，所以－12＋4a＝0，解得 a＝3，所以 f′(x)
＝－3x2＋6x，f(x)＝－x3＋3x2－4.易知 f′(n)＝－3n2＋6n，f(m)
＝－m3＋3m2－4.又 m，n∈[－1,1]，所以当 n＝－1 时，f′(n)
[即时练]
3．设直线 y＝12x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实
数 b 的值为( A )
A．ln 2－1
B．ln 2－2
C．2ln 2－1
D．2ln 2－2
解析：由已知条件可得切线的斜率 k＝12，y′＝(ln x)′＝1x＝
12，得切点的横坐标为 2，则切点坐标为(2，ln 2)．由点(2，
－π1＋π2·(－1)＝－π3.
栏目 导引
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
2．设函数 f(x)＝2x＋ln x，则( D ) A．x＝12为 f(x)的极大值点 B．x＝12为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点 解析：∵f(x)＝2x＋ln x，∴f′(x)＝－x22＋1x(x>0)，由 f′(x) ＝0 得 x＝2.当 x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当 x∈ (2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x＝2 为 f(x)的极 小值点．
三年考情统计 2013
2012
Ⅰ文T20 Ⅰ文T20、Ⅱ
理T10 Ⅱ理T21、Ⅱ
文T12
全国卷文T13 全国卷理T21 全国卷文T21
Ⅰ理T21 Ⅰ文T21
Ⅰ理T21、Ⅱ 全国卷理T21
理T21
全国卷文T21
Ⅱ文T21 Ⅱ理T21
2015考向预测
高考对该部分内容的考查 主要有三个方面：(1)导数 的概念、求导公式与法 则、导数的几何意义；(2) 导数的简单应用，包括求 函数极值、求函数的单调 区间、证明函数的单调性 等;(3)导数的综合考查, 包 括导数的应用题以及导数 与函数、不等式等的综合 题．从形式上看，考查试 题有选择题、填空题、解 答题，有时三种题型会同 时出现.
栏目 导引
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
[方法归纳] 利用导数几何意义解题的转化关系及 求参 思 路 (1)转化关系：利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切 点坐标、切线斜率之间的关系来转化． (2)求参思路：以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数 的值，则根据平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导 数 联 系起来求解．
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
二、辨明易错易混 1．求曲线的切线，分清是“在某点处的切线”，还是 “过某点的切线”． 2．对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极 值的必要条件．例如f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0不 是 极值点．
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
[即时练]
1．(2014·嘉兴二模)已知函数 f(x)＝1xcos x，则 f(π)＋f′(π2)
＝( C )
A．－π32
B．－π12
C．－π3
D．－π1
解析：∵f′(x)＝－x12cos x＋1x(－sin x)，∴f(π)＋f′(π2)＝
专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
一、活用公式结论 1．导数公式及运算法则 (1)基本导数公式：c′＝0(c 为常数)； (xm)′＝mxm－1(m∈Q)； (sin x)′＝cos x； (cos x)′＝－sin x； (ax)′＝axln a(a>0 且 a≠1)；(ex)′＝ex；(logax)′＝xln1 a(a>0 且 a≠1)；(ln x)′＝1x.
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导数及其应用
专题一 集合、常ห้องสมุดไป่ตู้逻辑用语、不等式、函数与导数
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利用导数 研究函数 的性质
利用导数 解决与不 等式有关 的问题
利用导数 解决与方 程的解有 关的问题
2014 Ⅰ文T21Ⅱ文
T21
Ⅰ理T21、Ⅱ 理T21
最小，为－9.又 f′(m)＝－3m2＋6m，令 f′(m)＝0 得 m＝0
或 m＝2，所以当 m＝0 时，f(m)最小，为－4.故 f(m)＋f′(n)
的最小值为－9＋(－4)＝－13，故选 A.
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
考点一 导数的几何意义 (1)(2014·高考江西卷)若曲线 y＝xln x 上点 P 处的切
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
考点二 利用导数研究函数的性质 (2014·高考江西卷)已知函数 f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)
ln 2)在直线 y＝12x＋b 上可得 b＝ln 2－12×2＝ln 2－1.
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4．已知函数 f(x)＝－x3＋ax2－4 在 x＝2 处取得极值，若 m，
n∈[－1,1]，则 f(m)＋f′(n)的最小值为( A )
A．－13
B．－15
C．10
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
1．(2014·河北保定高三调研)已知曲线 y＝ln x 的切线过原
点，则此切线的斜率为( C )
A．e
B．－e
1 C.e
D．－1e
解析：y＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且 y′＝1x，设切点为
(x0，ln x0)，则 y′|x＝x0＝x10，切线方程为 y－ln x0＝x10 (x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得 x0＝e， 故此切线的斜率为1e.
线平行于直线 2x－y＋1＝0，则点 P 的坐标是__(_e，__e_)__．
(2)(2014·辽宁省五校上学期联考)曲线 y＝log2x 在点(1,0)处 1
的切线与坐标轴所围三角形的面积等于__2_l_o_g_2e__． [思路点拨] (1)先求函数的导数,再利用导数的几何意义 确定切点的坐标． (2)先求函数的导数,写出切线方程,最后求三角形的面积.
D．15
解析：f′(x)＝－3x2＋2ax，因为函数 f(x)＝－x3＋ax2－4 在 x
＝2 处取得极值，所以－12＋4a＝0，解得 a＝3，所以 f′(x)
＝－3x2＋6x，f(x)＝－x3＋3x2－4.易知 f′(n)＝－3n2＋6n，f(m)
＝－m3＋3m2－4.又 m，n∈[－1,1]，所以当 n＝－1 时，f′(n)
[即时练]
3．设直线 y＝12x＋b 是曲线 y＝ln x(x>0)的一条切线，则实
数 b 的值为( A )
A．ln 2－1
B．ln 2－2
C．2ln 2－1
D．2ln 2－2
解析：由已知条件可得切线的斜率 k＝12，y′＝(ln x)′＝1x＝
12，得切点的横坐标为 2，则切点坐标为(2，ln 2)．由点(2，
－π1＋π2·(－1)＝－π3.
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
2．设函数 f(x)＝2x＋ln x，则( D ) A．x＝12为 f(x)的极大值点 B．x＝12为 f(x)的极小值点 C．x＝2 为 f(x)的极大值点 D．x＝2 为 f(x)的极小值点 解析：∵f(x)＝2x＋ln x，∴f′(x)＝－x22＋1x(x>0)，由 f′(x) ＝0 得 x＝2.当 x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当 x∈ (2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．∴x＝2 为 f(x)的极 小值点．
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2012
Ⅰ文T20 Ⅰ文T20、Ⅱ
理T10 Ⅱ理T21、Ⅱ
文T12
全国卷文T13 全国卷理T21 全国卷文T21
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Ⅰ理T21、Ⅱ 全国卷理T21
理T21
全国卷文T21
Ⅱ文T21 Ⅱ理T21
2015考向预测
高考对该部分内容的考查 主要有三个方面：(1)导数 的概念、求导公式与法 则、导数的几何意义；(2) 导数的简单应用，包括求 函数极值、求函数的单调 区间、证明函数的单调性 等;(3)导数的综合考查, 包 括导数的应用题以及导数 与函数、不等式等的综合 题．从形式上看，考查试 题有选择题、填空题、解 答题，有时三种题型会同 时出现.
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
[方法归纳] 利用导数几何意义解题的转化关系及 求参 思 路 (1)转化关系：利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切 点坐标、切线斜率之间的关系来转化． (2)求参思路：以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数 的值，则根据平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导 数 联 系起来求解．