微分方程基本概念(2)
微分方程的基本概念
第十二章 微分方程§12. 1 微分方程的基本概念函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程.例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程.解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程)x dxdy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件:x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2)把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解)⎰=xdx y 2, 即y =x 2+C , (3)其中C 是任意常数.把条件“x =1时, y =2”代入(3)式, 得2=12+C ,由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件y |x =1=2的解): y =x 2+1.例2 列车在平直线路上以20m/s(相当于72km/h)的速度行驶; 当制动时列车获得加速度-0.4m/s 2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米. 根据题意, 反映制动阶段列车运动规律的函数s =s (t )应满足关系式 4.022-=dt s d . (4) 此外, 未知函数s =s (t )还应满足下列条件:t =0时, s =0, 20==dtds v . 简记为s |t =0=0, s '|t =0=20. (5) 把(4)式两端积分一次, 得14.0C t dtds v +-==; (6) 再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2, (7)这里C 1, C 2都是任意常数.把条件v |t =0=20代入(6)得20=C 1;把条件s |t =0=0代入(7)得0=C 2.把C 1, C 2的值代入(6)及(7)式得v =-0.4t +20, (8)s =-0.2t 2+20t . (9)在(8)式中令v =0, 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间504.020==t (s ). 再把t =50代入(9), 得到列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).解 设列车在开始制动后t 秒时行驶了s 米,s ''=-0.4, 并且s |t =0=0, s '|t =0=20.把等式s ''=-0.4两端积分一次, 得s '=-0.4t +C 1, 即v =-0.4t +C 1(C 1是任意常数),再积分一次, 得s =-0.2t 2 +C 1t +C 2 (C 1, C 2都C 1是任意常数).由v |t =0=20得20=C 1, 于是v =-0.4t +20;由s |t =0=0得0=C 2, 于是s =-0.2t 2+20t .令v =0, 得t =50(s). 于是列车在制动阶段行驶的路程s =-0.2⨯502+20⨯50=500(m ).几个概念:微分方程: 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程, 叫微分方程. 常微分方程: 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程.偏微分方程: 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程.微分方程的阶: 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数, 叫微分方程的阶. x 3 y '''+x 2 y ''-4xy '=3x 2 ,y (4) -4y '''+10y ''-12y '+5y =sin2x ,y (n ) +1=0,一般n 阶微分方程:F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) )=0.y (n )=f (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅ , y (n -1) ) .微分方程的解: 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解. 确切地说, 设函数y =ϕ(x )在区间I 上有n 阶连续导数, 如果在区间I 上,F [x , ϕ(x ), ϕ'(x ), ⋅ ⋅ ⋅, ϕ(n ) (x )]=0,那么函数y =ϕ(x )就叫做微分方程F (x , y , y ', ⋅ ⋅ ⋅, y (n ) )=0在区间I 上的解.通解: 如果微分方程的解中含有任意常数, 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 这样的解叫做微分方程的通解.初始条件: 用于确定通解中任意常数的条件, 称为初始条件. 如x =x 0 时, y =y 0 , y '= y '0 .一般写成00y y x x ==, 00y y x x '='=. 特解: 确定了通解中的任意常数以后, 就得到微分方程的特解. 即不含任意常数的解. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如求微分方程y '=f (x , y )满足初始条件00y y x x ==的解的问题, 记为⎩⎨⎧=='=00),(y y y x f y x x .积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线, 叫做微分方程的积分曲线. 例3 验证: 函数x =C 1cos kt +C 2 sin kt是微分方程0222=+x k dt x d 的解.解 求所给函数的导数:kt kC kt kC dtdx cos sin 21+-=, )sin cos (sin cos 212221222kt C kt C k kt C k kt C k dt x d +-=--=. 将22dtx d 及x 的表达式代入所给方程, 得 -k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )+ k 2(C 1cos kt +C 2sin kt )≡0.这表明函数x =C 1cos kt +C 2sin kt 满足方程0222=+x k dtx d , 因此所给函数是所给方程的解. 例4 已知函数x =C 1cos kt +C 2sin kt (k ≠0)是微分方程0222=+x k dtx d 的通解, 求满足初始条件 x | t =0 =A , x '| t =0 =0的特解.解 由条件x | t =0 =A 及x =C 1 cos kt +C 2 sin kt , 得C 1=A .再由条件x '| t =0 =0, 及x '(t ) =-kC 1sin kt +kC 2cos kt , 得C 2=0.把C 1、C 2的值代入x =C 1cos kt +C 2sin kt 中, 得x =A cos kt .。
微分方程的基本概念
微分方程的基本概念微分方程的基本概念一、微分方程的定义微分方程是描述自变量和它的某些函数之间关系的方程，其中包含了这些函数在某一点上的导数或者微分。
二、微分方程的分类1.按照未知函数个数分类：(1) 一阶微分方程：只涉及一个未知函数及其导数。
(2) 二阶微分方程：涉及一个未知函数及其前两个导数。
(3) 高阶微分方程：涉及一个未知函数及其前n个导数。
2.按照系数是否含有自变量分类：(1) 常系数微分方程：系数不含有自变量。
(2) 变系数微分方程：系数含有自变量。
3.按照解析解是否存在分类：(1) 可解析求解的微分方程：存在精确解式。
(2) 不可解析求解的微分方程：不存在精确解式，需要采用近似方法求解。
三、常见一阶线性微分方程1. 标准形式：$$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$均为已知函数，$y=y(x)$为未知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出齐次线性微分方程的通解：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
(3) 通解为齐次通解加上特解。
四、常见一阶非线性微分方程1. 可分离变量的微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$$将式子两边同时积分即可求出通解。
2. 齐次微分方程：$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$其中，$f(u)$是关于$u$的已知函数，将$y=ux$代入原式中，化简后得到一个变量可分离的微分方程，进而求出通解。
3. 一阶线性微分方程：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$$其中，$P(x)$和$Q(x)$均为已知函数。
通过变量代换和积分可以求出其通解。
五、常见二阶线性微分方程1. 标准形式：$$y''+py'+qy=f(x)$$其中，$p(x),q(x),f(x)$均为已知函数。
2. 求解步骤：(1) 求出其对应的齐次线性微分方程的通解：$y''+py'+qy=0$(2) 求出非齐次线性微分方程的一个特解。
第七章微分方程详解
( c为任意常数 )
( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 )
三、齐次方程
一阶常微分方程
dy
dx
f
y x
(1)
称为齐次方程. 这里 f 是一元函数.
齐 次 方 程 的 求 解:
设 u y( x) u( x) x
则 y u x
dy dx
u
x
du dx
代 入(1) 式 得 :
u
x
du dx
y2x
2xy
c 可取任意实数,
包括负数和零.
例2 y y ln y x
解
dy dx
y ln y x
dy y ln y
dx x
积 分 得:
lnln y ln x lnc
ln y c x
y e cx . ( 通解)
结论 : 如果一个一阶常微分方程能化成
g( y) dy f (x) dx
(隐 式 通 解)
四、一阶线性微分方程
dy P( x) y Q( x)
(1)
dx
(1) 叫做一阶线性常微分方程;
dy P( x) y 0
(2)
dx
(2) 叫做齐次线性方程;
dy dx
P(x)
y
Q( x)
Q( x)/ 0
(3)
(3) 叫做非齐次线性方程;
(2) 叫做对应于(3) 的齐次线性方程.
的通解. 例如:
y x2 c 为 y 2x 的 通 解. y 4.9x2 c1 x c2 为 y 9.8 的 通 解.
y 4.9x2 c1 c2 不 是 y 9.8 的 通 解.
5. 用 来 确 定 任 意 常 数 的件条称 为 定 解 条 件.
第六章常微分方程
第六章 常微分方程一 基本概念定义1 微分方程： 含有自变量、未知函数及未知函数导数或微分的方程称为微分方程． 定义2 常微分方程：未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程． 一般形式：()(,,,,)0n F x y y y '= ；标准形式：()(1)(,,,,)n n y f x y y y -'= 定义3 方程的阶： 微分方程中的导数或微分的最高阶称为方程的阶。
定义4 方程的解 函数()y f x =满足微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= ，则称()y f x =是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= 的解．方程解分为显示解和隐示解．定义5 通解： 含有任意常数，任意常数的个数与方程的阶数相同的解称为方程的通解． 定义6 特解：满足某个初始条件的解称为方程的特解．二 基本方法1．变量可分离的方程 （1）d ()()d y p x q y x=，分离变量；则有d ()d ()y p x x q y =，两边积分d ()d ()y p x x q y =⎰⎰．（2）1212()()d ()()d 0M x M y x N x N y y +=， 分离变量；则有 2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-，两边积分2121()()d d ()()N y M x y x M y N x =-⎰⎰2．齐次方程d d y y x x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 基本解法：令y u x =，则y ux =，两边对变量x 求导，d d d d y ux u x x=+，于是有 d ()d uu x u xϕ=+，从而化为变量分离方程为d d ()ux u uxϕ=-．3．一阶线性非齐次方程 ()()y p x y q x '+=公式解：()d ()d e [()e d ]p x x p x xy q x x C -⎰⎰=+⎰4．伯努利方程 ()()ny p x y q x y '+=， 基本解法：令1nz y-=，则有(1)()(1)()z n p x z n q x '+-=-，从而方程化为一阶线性非齐次方程，所以该方程解为(1)()d (1)()d 1e [(1)()e d ]n p x x n p x xnyn q x x C ----⎰⎰=-+⎰5．全微分方程若方程(,)d (,)d 0M x y x N x y y +=满足M N yx∂∂=∂∂，则称该方程为全微分方程．解法1 特殊路径积分解法0(,)d (,)d x y x y M x y x N x y y C +=⎰⎰其中点00(,)x y 一般可以任意选取，只要有利于积分，通常情况下，选取00(,)x y 为(0,0)．解法2 凑微分（分组凑微分）(,)d (,)d d (,)M x y x N x y y u x y +=则方程的通解是(,)u x y C =．注1 凑微分方法对某些全微分方程是非常好用的，但对一些方程是不适用的。
微分方程
例2 设某次实验的测量数据如表
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
1
2.3 2.1 2
4.6 4.7 4.3 8.1
9.2
9.8
10.3
请给出实验数据的曲线拟合
0.267x3 1.55x2 2.583x 1 0 x3 3 y 0.3333x 5.25x2 27.0167x 40.8 3 x6 4 3 2 - 0.075x 2 . 6167x 34 . 175x 198.6333x- 425.2 6 x 10
F ( x , ( x ), ( x ), ( n ) ( x )) 0
那么，函数 ( x ) 就叫做微分方程在区间 I 上的解 通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 特解 — 不含任意常数的解,
引例1
dy dx
2x
x 1
d2y
y2引例2来自dx2 0.4
四、MATLAB介绍 1、 求解方程 2、曲线拟合
例1 设某次实验的测量数据如表 x 1 2 3 4 4 6 7 8 9 y 0 0.33 0.50 0.62 0.75 0.8 0.82 0.93 1.00 问题
（1）绘制测量数据的散点 图，并观察散点的走向， 预测一下应用什么样的数 学模型描述之；
y2 sin x 且 tan x 常数，它们是线性无关的． y1 cos x
故方程的通解为
二阶常系数齐次线性微分方程求通解的一般步骤:
(1) 写出相应的特征方程 2 a b 0;
(2) 求出特征方程的两个根 1 与 2；
(3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列 规则写出微分方程的通解
微分方程
微分方程一 基本概念定义 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程，未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程．微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为这个方程的阶．定义若 微分方程的解中所含(独立的)任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称这个解为方程的通解．在通解中给任意常数以确定的值得到的解，称为微分方程的特解．一阶微分方程一阶微分方程的一般形式：0),,(='y y x F 或),(y x f y ='．1．可分离变量的微分方程如果一阶微分方程能化为dx x M dy y N )()(=的形式，那么原方程称为可分离变量的微分方程．对上式两边积分，得⎰⎰=dx x M dy y N )()(，便可得到所求的通解．如要求其特解，可由初始条件00y yx x ==代入通解中定出任意常数C 的值，可得特解．例 求微分方程0)1()1(22=+-+dy x xy dx y 满足初始条件2)1(=y 的特解． 解 分离变量，得dx x x dy yy )1(1122+=+．即dx x x x dy y y⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+22111．两边积分，得C x x y ln 21)1ln(21ln )1ln(2122++-=+． 即)ln(1)(1ln(222Cx y x =++）．通解为222)1)(1(Cx y x =++．把初始条件2)1(=y 代入通解，可得10=C ．所求特解为22210)1)(1(x y x =++．2．齐次方程可化为形如⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy的微分方程，称为一阶齐次微分方程，简称为齐次方程． 齐次方程中，作变量替换xy u =就可以化为可分离变量的方程：dx x du uu f ⎰⎰=-1)(1求出积分后，将u 还原成xy ，便得所给齐次方程的通解．例如方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 例 解微分方程.tan2x y x y y =-' 解 原方程可写成：.tan 2xy x y y +='这是齐次方程．令xy u =，f (u ) = 2tan u + u ．代入原方程得.tan 2⎰⎰=xdx udu 积分得.ln ln ln 2sin ln 2cx c x u =+=得.sin 2cx u =将xy u =代入上式，便得原方程的通解为.sin 2cx xy =在微分方程中，一般习惯上把x 看作自变量，但有时若将y 看作自变量，求解时会很简便，如下例．例 求微分方程023(22=--xydx dy x y ）满足初始条件10==x y的特解．解 原方程可化为yx y x xyx y dydx ⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=23123222． 令yx u =，即uy x =，则dydu yu dydx +=，代入上式，得uu dydu y2512-=．分离变量，并两边积分，得dy ydu uu ⎰⎰=-15122．即C y u ln 51ln )51ln(512-=--．将yx u =代入，得到原方程的通解为C y x y =-3255将初始条件10==x y代入通解中，得到1=C ．所求特解为15325=-y x y ．与齐次方程类似，某些微分方程通过变量替换可化为可分离变量的方程，然后分离变量，经积分可求得通解．变量替换的方法是解微分方程最常用的方法．在后面，我们还会用到这种方法，这里再举一例．例6 求解微分方程11+-=yx dxdy ．解 令u y x =-，则u x y -=，dxdu dxdy -=1，于是 111+=-udxdu ． udxdu 1-=．分离变量，并两边积分，得C x u +-=22．以y x u -=代回，得C x y x +-=-2)(2．3．一阶线性微分方程 可化为形如)()(x Q y x P dxdy =+的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中)(),(x Q x P 均为x 的已知函数．当0)(≡x Q 时，称方程是齐次的.0)(=+y x P dxdy 称为对应于方程)()(x Q y x P dxdy =+的线性齐次微分方程．分离变量后，得dx x P ydy )(-=，两边积分得C dx x P y ln )(ln +-=⎰．于是，方程的通解为⎰=-dxx P Ce y )(.下面求方程)()(x Q y x P dxdy =+的通解的方法：1.先求对应的齐次线性微分方程()0dy P x y dx+=的通解⎰=-dxx P Cey )(；2.常数变易：令⎰=-dx x P e x C y )()(是)()(x Q y x P dxdy=+的解，将该解带入方程)()(x Q y x P dxdy =+，有)()()(x Q e x C dx x P =⎰'-，即 ⎰='dxx P e x Q x C )()()(． 两边积分，得C dx e x Q x C dxx P +⎰=⎰)()()(. 得通解⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P )()()(.上式右端第一项是对应的线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方程的一个特解. 线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程的通解与线性非齐次方程的一个特解之和．例 求解微分方程x x x y y sin 2cot =-'．解 对应齐次方程为.0cot =-'x y y 分离变量，得.cot 1xdx dy y=两边积分，得.sin sin ln cot x C CeCe y xxdx⋅==⎰=用常数变易法，把C 换成新的未知函数)(x C ，即令.sin )(x x C y = 代入原非齐次方程，得C x x C +=2)(．故所求通解为.sin )(2x C x y +=例 求微分方程 02)6(2=+'-y y x y 满足初始条件12==x y的特解．解 这个方程不是未知函数y 与y '的线性方程，但是可以将它变形为yy x dydx 262-=，即23y x ydydx -=-，将x 视为y 的函数，通解公式得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎰=⎰-C dy e y ex dy y dyy332⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C y y 213． 以条件2=x 时，1=y 代入，得23=C . 因此，所求特解为2232yy x +=．形如ny x Q y x P dxdy )()(=+ ( 1,0≠n ) 的方程，称为伯努利方程．这类方程可经过变换化为线性方程，方程两边同除以n y 得)()(1x Q yx P dxdy y nn=+--．再令nyz -=1，则上式化为)()(11x Q z x P dxdzn =+-．即)()1()()1(x Q n z x P n dxdz -=-+．1．可分离变量的方程：x x f y y g d )(d )(=，两边积分得通解．2．一阶齐次方程：)(xyy ϕ='，令u xy =，得⎰⎰=-xx uu ud )(d ϕ．注 形如)(c by ax f y ++='的方程可令u c by ax =++转化为可分离变量的方程．3．一阶线性方程：)()(x Q y x P y =+'的通解为]d e )([d )(d )(C x x Q e y x x P x x P +⎰⎰=⎰-．4．伯努利方程：n y x Q y x P y )()(=+'，令u y n=-1可转化为一阶线性方程．全微分方程全微分方程0pdx Qdy += 满足p Q yx∂∂=∂∂ ，则(,)u x y ∃使(,)du x y pdx Qdy =+此时，00(,)(,)(,)xyxyu x y p x y dx Q x y dy =+⎰⎰，方程解为：(,)u x y c =例 解微分方程()cos cos sin sin 0x y x y y x y '+-+= 解：()()cos cos sin sin 0x y x dy y x y dx ++-+=()sin sin ,()cos cos p x y x y Q x x y x =-+=+sin cos ,cos sin p Q x y y x yx∂∂=-+=-∂∂，所以p Q yx ∂∂=∂∂所以()00(,)sin sin 1xyu x y y x y dx dy =-++⎰⎰(,)cos sin cos sin u x y y x y x y y y x x y =-++=+，方程的解为cos sin x x y C +=.也可以直接求解：原方程为()()cos cos sin sin 0x y x dy y x y dx ++-+= 即()()cos sin cos sin 0x ydy ydx xdy y xdx ++-=()()sin sin cos cos 0xd y ydx xdy yd x +++=即sin cos 0dx y dy x +=，即()sin cos 0d x y y x +=，所以sin cos x y y x C +=. 例 解微分方程tan cos y y x x '+= 方法一：常数变易 tan 0y y x '+=，sin cos dy x dx y x=-⎰⎰ln ln cos ln y x c =+ cos y c x =，令()cos y c x x =是原方程的解，tan ()cos ()(sin )()sin cos y y x c x x c x x c x x x ''+=+-+= ()1c x '= 得()c x x c =+， 所以()cos y x c x =+.方法二（乘积分因子，将方程变为全微分方程）：由于sin cos cos x dy ydx xdx x+=，所以2cos cos cos xdy yd x xdx -= 2cos cos cos xdy yd xdx x -=，cos yddx x =.所以cos yx c x=+，()cos y x c x =+. 例 解微分方程2()20x y dx xydy -+=解：由2()20x y dx xydy -+=，有220xdx y dx xdy -+=所以取积分因子21x，有2220dx xdy y dxxx-+=即2ln 0yd x dx+=，所以原方程的解为2ln yx C x+=一阶线性微分方程)()(x Q y x P dxdy =+的积分因子为()P x dxe ⎰例 ()()y p x y Q x '+=解：方程变形为()()dy p x ydx Q x dx += 方程两端乘积分因子()p x dxe ⎰有()()()()()p x dxp x dxp x dxe dy ye p x dx Q x e dx ⎰⎰⎰+=即()()()p x dxp x dxdye Q x e dx ⎰⎰=所以()()()p x dxp x dx ye Q x e dx C ⎰⎰=+⎰所以()()()p x dx p x dx y e Q x e dx C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 我们看到，这正是一阶线性微分方程的公式解. 例 x x x y y sin 2cot =-' 解：我们选取cot ln sin 1sin xdxxe ex--⎰==做积分因子，方程变为21cos 2sin sin x dy ydx xdx xx-=，即2sin sin 2sin xdy yd xxdx x -=，所以2sin y ddx x=，即2sin y x C x=+，()2sin y x C x =+.其实我们通过观察就可以将方程凑成全微分方程cos 2sin sin x dy ydx x xdx x-=，则2sin cos 2sin xdy y xdx x xdx -=2sin sin 2sin xdy yd xxdx x -=，即2sin yddx x =所以2sin y x C x=+，即()2sin y x C x =+可降阶的高阶微分方程1．)()(x f y n = 型的微分方程（方程的右端仅含自变量x ） 方程两端积分便使它降为一个1-n 阶的微分方程()11d )(C x x f y n +=⎰-．再积分可得()[]212d d )(C x C x x f yn ++=⎰⎰-．继续下去，便得方程的含有n 个任意常数的通解．2．()y x f y '='',型的微分方程（方程中不显含未知函数y ） 设p y ='，则p xp y '==''d d ，方程变成),(p x f p ='．这是关于x 和p 的一阶微分方程，设其通解为()1,C x p ψ=． 由于xy p d d =，因此又得到一个一阶微分方程()1,d d C x xy ψ=．对它积分即得方程的通解()21d ,C x C x y +=⎰ψ．例 求方程()1212='+''+y x y x 的通解．解 所给方程不显含变量y ，令y p '=，则p y '=''，代入原方程得()1212=+'+xpp x ，是一阶线性微分方程，化为221112xp xx p +=++'，通解为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰++⎰=⎰++-x xC p xx xx x xd e11ed 1221d 1222211x C x ++=． 将y p '=代入上式，并做积分得方程的通解()212arctan 1ln 21C x Cxy +++=．3．()y y f y '='',型的微分方程（中不显含自变量x ） 令y p '=，两边对x 求导得y p p x y y p xp y d d d d d d d d =⋅==''，则方程变成),(d d p y f ypp =，得关于变量p 和y 的一阶微分方程，设它的通解为()1,C y p y ϕ=='． 分离变量并积分，即可得方程的通解()21d ,y x C y C =+ϕ⎰．例 求微分方程()02='-''y y y 的通解．解 设p y ='，则yp py d d =''，代入原方程得0d d 2=-pyp yp．如果0≠p ，那么方程中约去p 并分离变量得yy pp d d =．得y C p 1=，即y C y 1='．再分离变量并积分，得21ln ln C x C y +=，即x C C y 1e 2=．0=p ，C y =，已包含在上述解中(令01=C 即得)，所以原方程的通解为xC C y 1e 2=．常系数线性微分方程线性方程组解的理论：n 阶常系数线性微分方程()(1)11()()()()n n n n yf x yf x y f x y Q x --'++++= ⑴对应的齐次线性微分方程：()(1)11()()()0n n n n yf x yf x y f x y --'++++= ⑵①：⑴的解与⑵的解之和是⑴的解；②：⑴的两个解之差是⑵的解；③：⑵的解的线性组合是⑵的解；④：12()()()Q x q x q x =+，则()1()()n n y f x y q x ++= 与()2()()n n y f x y q x ++= 的解之和是()12()()()n n yf x y q x q x ++=+ 的解；⑤：⑴的通解可写成⑵的通解与⑴的特解之和；⑥：1(),()n h x h x 是⑵的线性无关解，则11()()n n c h x c h x ++ 是⑵的通解. 例：设线性无关函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 是任意常数，则该非齐次方程的通解为A 11223c y c y y ++B 1122123()c y c y c c y +-+C 1122123(1)c y c y c c y +---D 1122123(1)c y c y c c y ++--解：选择D二阶常系数齐次线性微分方程1．二阶常系数齐次线性微分方程设)(1x y y =与)(2x y y =为二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y 的相互独立的两个特解（线性无关）(即)()(12x y x y 不恒等于常数)，则2211y C y C y +=为方程(1)的通解，这里1C 与2C 为任意常数．求微分方程0=+'+''qy y p y 通解中各项对照表：例 求微分方程043=-'+''y y y 的通解． 解 所给微分方程的特征方程为0432=-+r r ．特征根为121, 4.r r ==- 于是，所求微分方程的通解为x x C C y 421e e -+=．例 求微分方程044=+'-''y y y 的满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解． 解 所给微分方程的特征方程为0442=+-r r ． 特征根221==r r ．故所求微分方程的通解为)(e 212x C C y x+=．求导得xxC x C C y 22212e)(e2++='．将初始条件1|0==x y 及1|0='=x y 代入以上两式求得.1,121-==C C 故所求特解为)1(e2x y x-=．例 设函数)(x f 可导，且满足⎰⎰-++=xx t t f x t t tf x x f 0d )(d )(21)(．试求函数)(x f .解 方程两边对x 求导得：⎰-='x t t f x f 0d )(2)(．由此可得(0)2f '=．上式两边再对x 求导得：)()(x f x f -=''． 所以得到初值问题//0/012x x y y y y ==⎧=-⎪=⎨⎪=⎩，这是二阶常系数齐次线性方程，其特征方程为,012=+r特征根.,21i r i r =-=所求微分方程的通解为12()cos sin .f x C x C x =+ 由(0)1f =，(0)2f '=得.2,121==C C 所以.sin 2cos )(x x x f +=常系数齐次线性微分方程()(1)110n n n n y p y p y p y --'++++= 通解中各项对照表：例 求四阶微分方程08)4(='+y y 的通解．解 所给微分方程的特征方程为084=+r r ，即,0)42)(2(2=+-+r r r r 特征根为.31,2,04,321i r r r ±=-=方程的通解).3sin3cos(e e43221x C x C C C y xx+++=-例 下列方程哪个以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意数）为通解 A ．//////440y y y y +--=；B ．//////440y y y y +++=；C ．//////440y y y y --+=；D ．//////440y y y y -+-=.2．二阶常系数非齐次线性微分方程()y y x **=是二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''的一个特解，Y 为对应于方程(3)的齐次线性微分方程的通解，则y Y y *=+为)(x f qy y p y =+'+''的通解．由此结论可知，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，可按下面三个步骤来求： ①求其对应的齐次线性微分方程的通解Y ； ②求非齐次线性微分方程的一个特解y *；③原方程的通解为y Y y *=+． 只讨论)(x f 为以下两种形式的情形．I. )(x f qy y p y =+'+''，x m x P x f λe )()(=型)(x f qy y p y =+'+''的具有形如：()ekxm y x Q x *λ=的特解；其中)(x Q m 是与)(x P m 同次(m 次)的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2．例 求方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解． 解 先求对应齐次方程：065=+'-''y y y 的通解， 其特征方程是0652=+-r r ．特征根,3,221==r r 对应齐次方程的通解为x x C C Y 3221e e +=．所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，且右端函数形如xm x P λe)(，其中,0=λ.2106)(2+-=x x x P m因为0=λ不是特征根，因而所求方程有形如2y Ax Bx C *=++的特解． 由于()2,y Ax B *'=+()2,y A *''= 将它们代入原方程中得：.2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax比较上式两端x 的同次幂的系数可得.0,0,1===C B A 故所求方程的一个特解为2.y x *=从而所求方程的通解为.ee23221x C C y xx++=例 求方程xx y y y 2e 24'4=+-''的通解．解 右端函数形如xm x P λe)(，其中,2=λ.2)(x x P m =方程对应的齐次方程044=+'-''y y y 的通解为：).(e 212x C C Y x+=由于2=r 是二重特征根，设方程有形如22()e xy x Ax B *=+的特解．代入方程0,31==B A ．于是得所求方程的一个特解为：321e .3xy x *=最后得所求方程的通解为).31(e3212x x C C y x++=2010年考试题 求方程3'22e xy y y x ''-+=的通解（10分）II ．]sin )(cos )([e )(x x P x x P x f n l x ωωλ+=型特解可设为e [()cos ()sin ],k x m m y x Q x x R x x *λ=ω+ω其中),(x Q m )(x R m 是m 次多项式，},,max{n l m = 而k 按ωλi ±不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1．例 求方程)sin 7(cos e 2x x y y y x -=-'+''的通解．解 方程对应的齐次方程02=-'+''y y y 的特征方程为022=-+r r ， 特征根2,121-==r r ，齐次方程的通解为x x C C Y 221e e -+=．因为i i ±=±1ωλ不是特征根，方程具有形如(cos sin )x y e A x B x *=+的特解， 求得,1,2==B A 故e (2cos sin )x y x x *=+， 所求通解为.e e )sin cos 2(221x x x C C x x e y -+++=练习题解下列微分方程齐次方程1.222x e dy xy x y dy x y dx dx y x y e =⎧=+⎪⇒=+⎨⎪=⎩解：令y u x= 则y ux = dy udx xdu =+ ，dy du u xdxdx=+由dy x y dxyx=+，有1xdu dxu=，21ln 2uc x +=所以22ux ce = ，即222yxx ce= ，代入初始条件得1c e -=，所以2212yxx e-=2.2()dy x y dx=+，令u x y =+ (())dy x y dxϕ=+，21du u dx-=21du u dx-=21du u dx-=21du u dx=+，21du dx u =+ arctan()x c x y +=+3.解微分方程222222x yxx y yy ex x++'=+-解：令22x y u x+=，22xdu udx xdx ydy +=+222udy du yx u x e u x dxdx=+-=+-所以udu x e dx=，22ln x y xex C +--=+4：解微分方程15dy y x dxy x -+=++，令y Y a x x X b =+⎧=⎨=+⎩1()()15()()5y x Y a x b y x Y a x b -+=+-+-⎧⎨++=++++⎩ ∴1050a b a b --=⎧⎨++=⎩∴2,3a b =-=- ∴11YdY Y xx Y dxy xx--==++ 令Y u x = 12111udx xdu u du u x dx u dx u +-=⇒+=-++ ∴211du u xdxu +=-+∴2211ln(1)arctan ln 12u dx du u u x c u x+=-⇒++=-++2313arctanln 1()ln 2222y y x c x x ++⎡⎤++=-++⎢⎥++⎣⎦5.dy dxx=解：0x <时，dy y dxx=+，令yu x=，则y xu =，所以,dy udx xdu =+所以原方程变为：dy du u xu dxdx=+=+即dx x=，两边积分有1ln(ln ln u x c +=+所以1C x u =+0x <，所以y C x x=+()1C C =-所以2Cx y =-当0x >时dy ydxx =-dxx =-所以1ln(ln ln u x C +=-+即yx C x ⎛+⋅= ⎝，y C +=6：设L 是一条平面曲线，其上任一点(,)(0)p x y x >到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且过1(,0)2点⑴求L 的方程⑵求L 位于第一象限部分的一条切线，使该点切线与L 以及两坐标轴所围成图形的面积最小解：⑴(,)p x y 处的切线()Y y y X x '-=-，切线与Y 轴的交点0X Y y y x '=⇒=-1()02y y x y ⎧'-=⎪⎨=⎪⎩1()02dy dx xy ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 得214y x =-⑵(,)p x y 处的切线()(0,0)Y y y X x x y '=+->>且214y x =-，2y x '=-∴222Y y xX x =-+为切线，切线与X 轴的交点222y x X+=22Y y x =+∴122220121(2)()224y x S y x x dx x+=⋅+--⎰又 122222011111,()()42244y x s x x dx x =-=⋅+--⎰∴222211111()()244248s x x x x y xx '=-+++⋅⇒==一阶线性微分方程 1：求过1(,0)2且满足关系式arcsin 1y x '+=的曲线方程解：arcsin 1y x '+= 则arcsin arcsin xdy yd x dx +=arcsin y x c x =+，又120x y==，∴12c =-∴12arcsin x y x-=2. 求连续函数()f x 使它满足20()2()xf x f t dt x +=⎰解：()2()2(0)0f x f x x f '+=⎧⎨=⎩注意初始条件22(2)2xxedy ydx x e dx +=⋅练习：已知连续函数满足条件320()()3x xt f x f dt e =+⎰，求()f x 3.设有微分方程2()y y x ϕ'-=，其中2(1)()0(1)x x x ϕ<⎧=⎨>⎩试求在(,)-∞+∞内连续函数()y y x =，使之在(,1)-∞和 (1,)+∞内都满足所给方程 且(0)0y =解：1x <，22(0)0y y y '-=⎧⎨=⎩ 21x y ce =- 1c = ，所以21x y e =-1x >时，20y y '-= 2x y ce =由于()y x 连续，且21lim 11xz x ee -→-=-，21lim ()1x y x e +→=-，所以221lim 1xx cee +→=-，即有21c e -=-，所以2221(1)()(1)(1)x xe x y x e e x -⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩17.设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5(1)2f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件111()()()xtx tf u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰求()f x解：两边对x 求导1()()()ttf xt tf x f u du =+⎰又5(1)2f =，上式取1x =有15()()2ttf t t f u du =+⎰再求导5()()()2f t tf t f t '+=+，所以5()25(1)2f t tf ⎧'=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得5()(ln 1)2f x x =+练习：1.()f x 连续，0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰，求()f x dx ⎰2.()f x 连续，20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x3.()f x 连续，1()sin ()f x x x f xt dt +=⎰，求()f x4.()f x 连续，20()2()xf x f t dt x +=⎰，求()f x18. ()f x 连续，21(2)arctan 2xtf x t dt x -=⎰，(1)1f =，求21()f x dx ⎰解：令2x t u -=，则221(2)(2)()arctan 2x x xtf x t dt x u f u du x -=--=⎰⎰即22212()()arctan 2x xxxx f u du uf u du x -=⎰⎰所以[]24122()22(2)()2(2)2()21x xxf u du x f x f x xf x xf x x+⋅--⋅+=+⎰24122()()21x xxf u du xf x x -=+⎰令1x =，有2112()(1)2f u du f -=⎰，所以213()4f u du =⎰练习：()f x 连续，0()1cos ,xtf x t dt x -=-⎰，求20()f x dxπ⎰19.设()()()F x f x g x =其中(),()f x g x 在(,)-∞+∞内满足()(),()()f x g x g x f x ''==且(0)0,()()2xf f xg x e =+=⑴求()F x 所满足的一阶微分方程 ⑵求()F x 的表达式解：（1）22()()()()()()()F x f x g x f x g x g x f x '''=+=+[]22()()2()()42()xf xg x f x g x eF x =+-=-⑵22224()()(0)0xx xy y e y x F x e e y -'⎧+=⇒==-⎨=⎩ 20.()F x 是()f x 的一个原函数，()G x 是1()f x 的一个原函数()()1,(0)0F x G x f ⋅=-=求()F x解：0F G G F ''+=，所以110()F F Ff x '-⋅+⋅= ，22()()f x F x = ∴()()F x F x '=±练习：设()F x 为()f x 的原函数,且当0x ≥时, 2()()2(1)xxef x F x x =+，且(0)1,()0F F x =>，求()f x21 设(,)f u v 具有连续偏导数，且满足(,)(,)u v f u v f u v uv ''+= 求2()(,)x y x e f x x -=所满足的一阶微分方程，并求其通解 解：[]2222()2(,)(,)(,)2xxxu v y x ef x x ef x x f x x y x e ---'''=-++=-+222222,2xx xy y x ee dy ye dx x dx -'+=+= 323xxdey d=∴32()3xxy c e-=+练习：设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f=满足等式22220z z xy∂∂+=∂∂(Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=.(Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式22.设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此方程满足ln 20x y==的特解解：()x x xe p x e x +=，所以()x p x xe x =- ，代入原方程即可求出解. 应用（几何）例1，设⑴函数(),(0)y f x x =≤≤+∞满足(0)0,0()1xf f x e =≤≤-⑵平行于Y 轴的动直线NW 与()y f x =和1xy e =-分别相交于12,p p⑶曲线()y f x =，直线NM 与X 轴所围封闭图形的面积S 恒等于线段12p p 的长度 求()y f x =的表达式解0()(1)()(0)0x x f x dx e f x f ⎧=--⎪⎨⎪=⎩⎰ 练习：设()y f x =是第一象限内连接(0,1),(1,0)A B的一段连续曲线，(,)M x y 为该曲线上任一点，点C 为M 在X 轴上的投影，O 为原点，若梯形O C M A 的面积与曲边三角形C B M 的面积之和为3163x+，求()f x 表达式.例2：在XOY 坐标平面中，连续曲线L 过点(1,0)M任意一点(,),(0)p x y x ≠处切线斜率与直线o p 的斜率之差等于ax ，常数0a > ⑴求L 的方程；⑵当L 与直线y ax =围成面积为83时，求a解：10x dy yax dx x y=⎧-=⎪⎨⎪=⎩ 2xdy ydx ax dx -=，2xdy ydxadx x-=，y ddax x=y ax c x=+2,0y ax cx a c =++= c a =-2y ax axy ax⎧=-⎨=⎩交点(0,0),(2,2)a 2208()3ax ax ax dx ⎡⎤--=⎣⎦⎰练习：.对任意0x >，()y f x =在(),()x f x 处切线在y 轴上的截距等于1()xf t dt x⎰，求()f x .。
微分方程
如方程
而 在具体问题中常数C的值总是根据 的值总是根据“ 在具体问题中常数 的值总是根据“预先给定的条 而确定的．这个“预先给定的条件” 件”而确定的．这个“预先给定的条件”叫初始条 件 定义6 定义 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般 称为初始条件． 称为初始条件．当通解中的各任意常数都取 得特定值时所得到的解，称为方程的特解． 得特定值时所得到的解，称为方程的特解．
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y′ + p( x) y = 0
可分离变量的微分方程:
先求一阶齐次线性微分方程 y′ + P(x) y = 0的通解. 的通解 该方程是一个可分离变量的方程，分离变量， 该方程是一个可分离变量的方程，分离变量，有 dy = −P(x)dx y 两端积分， 两端积分，得 ln y = −∫ P(x)dx + lnC， 故一阶齐次线性微分方程 y′ + P(x) y = 0的通解为 −∫ P( x)dx y = Ce 一阶非齐次线性方程的解的结构） 定理 （一阶非齐次线性方程的解的结构） 一阶非齐 次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程的通解与一 阶非齐次线性方程的一个特解之和. 阶非齐次线性方程的一个特解之和
y = b0 + b1 x + b2 x
*
2
y* = b2 x2 一定设成一个不缺项 ， （注意不要设成
的二次多项式） 的二次多项式）
( y*)′ = b1 + 2b2 + b2 x , ( y*)′′ = 2b2
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代入原方程， 代入原方程，得
b2 x2 + (b1 − 4b2 )x + b0 + 2b2 − 2b1 = x2 b2 = 1 解 b1 − 4b2 = 0 b0 + 2b2 − 2b1 = 0
微分方程
du 2 x e x dx
du x e dx
2x
du x e dx
2x
du x e dx du x e dx 1 1 2x 2x u x e d 2 x xde 2 2
2x
2x
1 2x 1 2x 1 2x 1 2x xe e dx xe e c 2 2 2 4 1 2x 1 2x 2 x y ( xe e c)e 2 4 ce
2 x
1 1 x 2 4
dy 2 y x 的通解 p( x) 2 例7 求 dx
微分方程 第一节 第二节 微分方程的基本概念 一阶微分方程
第一节
微分方程的基本概念
1. 微分方程的定义：含有自变量 x,
x 的未知函数 y，
y
的任意阶导数（或微分）的方程称为微分方程。
例如：
d y x y dx n ( x) ( y) C 2 d y dy dy 2 2 y sin x dx dx dx
2 x
e
由初始条件得 特解为
2 x
e
3 x
2 x
c 1
y e e
2 x
第二节 定义: 含有 x, y和 其一般形式为
一阶微分方程
y的方程 叫做 一阶微分方程。 dy x F ( y, y, x) 0 例如 dx y y f ( x)
的方程叫做特
三种一阶微分方程的解法 一、特殊类型的一阶微分方程 一阶微分方程中不含有 殊类型的一阶微分方程。
y 1 y 1 ln ln c 通解为 c 2 2 1 x 1 x
2
2
由初始条件得 c 2 特解为 2 x y 1
微分方程基本概念
differential equation).
例如：
dy 1, dx y xy ( y ),
(1.1) (1.2) (1.3)
( x y)dx ( x y)dy 0,
dx dt f 1 (t , x, y ) , dy f 2 (t , x, y ) dt
注1：判别一个微分方程是否线性，只要看其未知函数及 其各阶导数是否一次的即可，不需要考虑自变量的影响
5. 微分方程的解：
如果把已知函数
或函数矢量
及其导函数代
入相应的微分方程, 使得该微分方程在函数 的定义区间 I 上成为恒等式, 则称这种函数 为微分方程在区间 I 上的(显式)解. 这个区间 I 称为微分方程的解的定义区间.
I 上有恒等式 ( x) f ( x, ( x))
, 在它上面任一点
反之, 如果对于 D 中的任一条光滑曲线
处的切线斜率
刚好就是函数f (x, y) 在该点处的值
则此曲线就是方程的积分曲线.
2. 方向场
在 D 中每一点 ( x, y ) 处画上斜率为 f ( x, y) 的一个“小直线段”,
为该微分方程的阶数;
一般 阶常微分方程可写成如下隐方程形式
( n) F ( x, y, y ,, y ) 0
其中 F 是其变元的已知函数. 但在实际中常常讨论最高阶导数已解出的标准形式
y ( n) f ( x, y, y ,, y ( n1) ).
即方程的左边是未知函数的最高阶导数 (n 阶导数), 而方程的右边 为自变量、未知函数和未知函数低于 n 阶的导数的已知函数.
初值条件是指当自变量在某一给定点时, 未知函数以及它的
微分方程的基本概念
微积分Calculus微分方程的基本概念一问题的提出一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率为，求这条曲线的方程.(,) x y)2,1(x2例一解2y =其中1x =时，设所求曲线为()y y x =x y 2='2y xdx =⎰即2,y x C =+求得1,C =所得曲线方程为2 1.y x =+这里是从所建立的含有未知函数导数的关系式x y 2='来解出未知函数的，这种含有未知函数导数的关系式称为微分方程，求解未知函数的过程称为解微分方程．二微分方程的定义1定义凡含有未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程;未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程;未知函数为多元函数，同时含有多元函数的偏导数的微分方程，称为偏微分方程;23x y y y e '''+−=2()0t x dt xdx ++=z x y x ∂=+∂22220u ux y ∂∂+=∂∂常微分方程本章仅研究一元函数的常微分方程,简称微分方程.例如偏微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式．在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现，但必须含有未知函数的导数(或微分)．实质三微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。
例二是_________阶微分方程；3是______阶微分方程；2是______阶微分方程；1阶微分方程的一般形式：n ()(,,,,)0n F x y y y '=或()(1)(,,,,).n n y f x y y y −'=四微分方程的解如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称此函数为该微分方程的解．()(,(),(),,())0n F x x x x ϕϕϕ=且n 设有阶导数，()y x ϕ=()y x ϕ=则为该微分方程的解.例如22,(y x y x C C ==+为任意常数)xy 2='是该微分方程的解. 可见一个微分方程有无穷多个解．微分方程解的分类(1)通解:微分方程的解中含有独立的任意常数,且其个数与微分方程的阶数相同.阶微分方程n ()(,,,,)0n F x y y y '=通解的一般形式1(,,,,)0n x y c c Φ=或1(,,,)n y y x c c =通解并不一定包含微分方程的所有解.注意:微分方程：23dy y dx =通解为：27)(3C x y +=2()9x C y +'=223332()[]27()9x C y x C +=+=0y =显然也是解，但通解中由于找不到一个常数C ，0y =使得，所以通解中不包含。
第九章 微分方程
满足y(0)=1,y’(0)=-6的特解为： 的特解为： 满足 的特解为
y=-e2x+2e-2x
9.2 一阶微分方程
一般形式： 一般形式： 常见形式： 常见形式：
F( x, y, y′) = 0
y′ = f (x, y)
. 例4 求方程xydx + (1+ x2 )dy = 0 通解
解 分离变量 两端积分
x 1 dx + dy = 0 2 1+ x y
1 ln(1+ x2 ) + ln y = ln c 2 c 2 为所求通解 ⇒ y 1+ x = C ∴ y =
1+ x
2
已知某商品需求量Q,对价格 例5:已知某商品需求量 对价格 的弹性ε = −0.02 p 已知某商品需求量 对价格p的弹性 ， 且该商品的最大需求量为200，求需求函数 。 且该商品的最大需求量为 ，求需求函数Q。
y′′ + 2 y′ − 3 y = e , (t 2 + x)dt + xdx = 0,
x
∂x
常微分方程
偏微分方程
实质: 含有未知函数的导数(或微分)的等式. 实质: 含有未知函数的导数(或微分)的等式.
2、微分方程的阶: 微分方程的阶: 微分方程中所含的未知函数的导数的最高阶数称 微分方程中所含的未知函数的导数的最高阶数称 最高 为微分方程的阶. 为微分方程的阶.
正规型
一、可分离变量的微分方程 能化成： 能化成：f(x)dx=g(y)dy 的方程 称为可分离变量的微分方程 解法：分离变量，两边直接积分即可。 解法：分离变量，两边直接积分即可。 例1 求解微分方程 (2x −1)dx − dy = 0 的通解 . 解：分离变量，得 (2x-1)dx=dy 分离变量， 此即所求的通解. 两边积分得： 此即所求的通解 两边积分得：y=x2-x+C,此即所求的通解
微分方程的基本概念
利用后两式可得
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
4
二、微分方程的基本概念
1.微分方程：含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 实质：联系自变量，未知函数及其导数的式子 . 区别：与以往学习的代数方程的区别是：代数方程是含 未知数的等式，微分方程是含未知函数及其导数的等式 .
x
y
即 Fx cos x F sin x Fy y sin x F sin x
Fx y tan x
y
Fy
因此有
y y tan x y x0 1
y 1 , cos x
即y sec x
21
内容小结
1. 微分方程的概念 微分方程; 阶; 定解条件; 解; 通解; 特解 说明: 通解不一定是方程的全部解 .
分类 常微分方程：所含未知函数是一元函数. 偏微分方程
注：本章只讨论常微分方程 2.微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数 叫做微分方程的阶.
如：d y 2x dx
5
三、微分方程的主要问题-----求方程的解
1.微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数. 设y ( x)在区间 I 上有 n 阶导数, F( x,( x),( x),,(n)( x)) 0.
u
x
即 u lnCux
y
ln Cy
xy
故微分方程的解为 Cy e x .
17
例1 求解微分方程 y2 x2 d y xy d y . dx dx
另解 原方程可变为：d x x ( x )2 dy y y
微分方程的基本概念与解法
微分方程的基本概念与解法微分方程是数学中重要的一部分，它描述了一个或多个变量之间的关系以及变量的变化率。
一、微分方程的基本概念微分方程是含有导数或微分的数学方程。
它包含未知函数及其导数，通常用“y”表示未知函数，如y(x)。
微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
1. 常微分方程常微分方程是只涉及一个自变量的微分方程。
常微分方程可以分为一阶和高阶两类。
（1）一阶常微分方程一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x, y)其中，dy/dx 表示 y 关于 x 的导数，f(x, y) 表示未知函数 y 关于自变量 x 和 y 自身的函数关系。
（2）高阶常微分方程高阶常微分方程涉及到多个导数。
例如：d²y/dx² + p(x)dy/dx + q(x)y = g(x)其中，d²y/dx²表示 y 的二阶导数，p(x)、q(x)、g(x) 是与自变量 x 有关的一阶函数。
2. 偏微分方程偏微分方程是涉及多个自变量的微分方程，它包含未知函数及其偏导数。
例如，二维空间中的波动方程可以表示为：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = c²∂²u/∂t²其中，u(x, y, t) 表示未知函数，c 是常量，x、y、t 分别表示空间坐标和时间。
二、微分方程的解法微分方程的解法主要包括解析解和数值解。
解析解是通过对微分方程进行变量分离、变量替换、积分等数学处理得到的解，而数值解则是借助计算机等工具使用数值方法进行近似计算得到的解。
1. 解析解对于一阶常微分方程，常见的解法包括分离变量法、齐次方程法、常数变易法等。
通过适当的变量变换和数学操作，可以将微分方程转化为可直接求解的形式，得到解析解。
对于高阶常微分方程和偏微分方程，解法更加复杂。
常用的解法包括变量分离法、齐次方程法、常数变易法、特征方程法、叠加原理法等。
第十章第二节典型一阶微分方程
方程的主要特征：等式左端为一阶导数，等式右端
可分解成变量 x 的函数与变量 y 的函数之积. 4 4 dy 2 2 5 5 y dy 2 x dx 2 x y 例 dx
一、可分离变量的微分方程
dy 对于可分离变量的微分 方程 f ( x ) g( y ) （ 2） dx
若函数 g ( y )和 f ( x ) 均为连续函数, 且g( y ) 0, 1 dy f ( x )dx 分离变量 则由（2）可得， g( y ) 1 两端积分得， dy f ( x )dx g( y ) 1 和f ( x )的原函数, 设函数G ( y ) 和 F ( x ) 分别为
M M 0e
t
衰变规律
第二节 一阶微分方程 二、齐次微分方程
x dy y f 或y ( ) 的微分方程， 定义 形如 dx x y 称为齐次微分方程. 齐次微分方程的特点： 微分方程的右端为齐次函数.
（齐次函数是指： 若 F (tx, ty) t n F ( x, y ) 这里t为任意 实数，则称 F ( x , y )为齐次函数）．
第二节 一阶微分方程 一阶微分方程的基本形式为 F ( x,y,y' ) 0 或 y' f ( x , y )
或 M ( y )dy N ( x )dx
一阶微分方程的初值问题为
F ( x , y , y ) 0 y y x x 0 0
第二节 一阶微分方程
dx cos udu , x
微分方程的通解为
sin u ln x C ,
y sin ln x C . x
二、齐次方程
x y x y
x 例5 求(1 2e ) dx 2e (1 )dy 0满足条件y x 0 1的特解. y x/ y dx 2 ( x / y 1 ) e Solution. 原方程可化为齐次方程
微分方程
微分方程1.微分方程的基本概念（1）定义：凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程叫做微分方程。
简单讲就是：方程0),,,,()(='''n y y y x f 、0),,,,,()(='''n y y y y x f 是微分方程，其中n 取任意正整数。
注意：存在n 阶时，小于n 阶的导数项可以不存在，如01)(=+n y 也是微分方程。
（2）具体的问题还涉及到初值问题、边界问题等。
（3）微分方程的解一般为通解+特解。
2.线性方程与非线性方程的区别：一个方程有自变量（一般为x）和因变量（一般为y），只看因变量，不看自变量。
若因变量的最高次幂为1，则为线性方程，若因变量的最高次幂大于1，则为非线性方程。
判定最高次幂的时候，方程中因变量不变，因变量的导数看为因变量本身，然后计算因变量的最高次幂。
例如)()(,,,,,,,,,n n n n n n y x y x y x y x y y y y ''''''均为一次幂，2222,,,,,y x y x y y x y y y y n n n ''''均为二次幂，其中n 取正整数。
3.微分方程的分类NO.1一阶微分方程分类给出的方程能够转化到如下形式4.1可分离变量的微分方程dxx f dy y g )()(=4.2齐次方程【独立于下面所提到的…（非）齐次…微分方程】)(x y dx dy ϕ=、222111c y b x a c y b x a dx dy ++++=)(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++=4.3一阶齐次线性微分方程0)(=+y x P dx dy 4.4一阶非齐次线性微分方程)()(x Q y x P dxdy =+1,0,)()(≠=+n y x Q y x P dx dy n （伯努利方程，n=0得到)()(x Q y x P dx dy =+，n=1得到0)(=+y x P dxdy ）NO.2可降阶的高阶微分方程4.5)()(x f y n =型的微分方程4.6),(y x f y '=''型的微分方程 4.7),(y y f y '=''型的微分方程NO.3高阶线性微分方程A.常系数齐次线性微分方程分类给出的方程能够转化到如下形式4.8二阶（变系数）齐次线性微分方程（在此不讨论该种情况）0)()(=+'+''y x Q y x P y 4.9二阶常系数齐次线性微分方程0=+'+''qy y p y ，q p ,为常数4.10n 阶常系数齐次线性微分方程1)2(2)1(1)(=+'++++---y p y p y p y p y n n n n n B.常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+'+''分类给出的方程能够转化到如下形式4.11C x f =)(型（C qy y p y =+'+''）4.12)()(x P e x f m x λ=型（)(x P e qy y p y m x λ=+'+''）4.13]sin )(cos )([)(x x Q x x P e x f n l x ωωλ+=型（]sin )(cos )([x x Q x x P e qy y p y n l x ωωλ+=+'+''）4.14欧拉方程：)(1)1(11)(x f y p y x p y x p y x n n n n n n =+'+++--- 4.15常系数线性微分方程组4.求解微分方程4.1可分离变量的微分方程：略4.2齐次方程(1)xdx u u du u dx du x u dx du x u dx dy ux y x y u x y dx dy =-⇒=+⇒+=⇒=⇒=⇒=)()()(ϕϕϕ，求出u 的表达式之后，把x y u =代入得到y 的表达式即可。
常微分方程2
作变换 u y ,化为可分离变量型。 x
2、可化为齐次方程
当a1 b1 时，作变换 ab
y f ax by c a1 x b1 y c1
x y
X Y
h k
,
其中h,
k满
足aa1hhbb1kk
x u[ f (u) g(u)]
通解为
ln
|
x
|
u[
f
g(u) du (u) g(u)]
C
.
例3
求解微分方程
y
2x3 3x2
3 xy2 y 2y3
7x 8y
.
解
ydy xdx
2x2 3x2
3 2
y2 y2
7 8
,
d( d(
y2 x2
) )
2x2 3x2
dx y3 x , dy y
即 dx 1 x y2, dy y
x
e
1 y
dy
y2
e
1 dy
y dy
C
y
y2
1 y
dy
C
y3 2
Cy
四、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式 dy P( x) y Q( x) yn (n 0,1)
一阶线性微分方程的解法： 1. 一阶线性齐次微分方程 (使用分离变量法)
微分方程基本概念与解法
微分方程基本概念与解法微分方程是数学中重要的分支之一，广泛应用于自然科学、工程领域以及经济学等各个领域。
本文将介绍微分方程的基本概念和解法。
一、微分方程的基本概念微分方程是描述函数及其导数之间关系的方程。
一般形式为：dy/dx = f(x)其中y表示未知函数，x表示自变量，f(x)为已知函数。
这种形式的微分方程称为一阶常微分方程。
二、微分方程的分类根据微分方程中未知函数和自变量的阶次，微分方程可以分为一阶、二阶、高阶等不同类型。
1. 一阶微分方程一阶微分方程是指未知函数的导数只与自变量x的一阶有关的微分方程。
一般形式可以写为：dy/dx = f(x, y)其中f(x, y)为已知函数。
常见的一阶微分方程有可分离变量、线性微分方程、齐次微分方程等。
2. 二阶微分方程二阶微分方程是指未知函数的二阶导数出现在方程中的微分方程。
一般形式可以写为：d²y/dx² = f(x, y, dy/dx)其中f(x, y, dy/dx)为已知函数。
常见的二阶微分方程有常系数二阶齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。
三、微分方程的解法解微分方程的方法有很多种，下面介绍几种常见的解法。
1. 可分离变量法对于可分离变量的微分方程，可以通过分离变量的方式将方程化简为两个独立变量的微分方程，再进行求解。
2. 线性微分方程的求解对于线性微分方程，可以使用常数变易法或特征方程法来求解。
常数变易法将未知函数表示为一个待定函数与一个特解的和，特征方程法则通过寻找特征方程的根来求解。
3. 齐次微分方程的求解对于齐次微分方程，可以使用同类相除法或变量替换法等求解方法。
同类相除法通过将分子与分母同除以未知函数的幂次，得到一个关于新变量的一阶微分方程。
变量替换法则通过引入新的变量，将原微分方程转化为一个更简单的形式。
四、应用实例微分方程在各个领域都有广泛的应用，下面以物理学中的弹簧振动为例来说明。
考虑到弹簧的弹性特性和质点的运动方程，可以建立如下的二阶微分方程：m(d²x/dt²) + kx = 0其中m表示质点的质量，k表示弹簧的劲度系数，x表示质点的位移。
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布莱克—舒尔斯期权定价模型
• 假设条件： 1）市场的无摩擦性 2）从时刻t=0到t=T，都可以以一相同不变的
利率借贷，利率按连续复利r计算 3）从时刻t=0到t=T股票不分红 4）标的物股票价格的变化遵循对数正态分布
的随机过程
伊藤过程
• 在以上假设条件下，股票价格的运动遵循 一种称之为带漂移的几何布朗运动的规律 ，在数学上则表现为称作伊藤过程的一种 随机过程
dt
(t2x)dtxdx0,
z x y, x
微分方程的实质: 体现自变量,函数以及函 数的某些导数(或微分)之间关系的等式
2.微分方程的分类:
分类(1): 根据未知函数是一元或多元来分
常微分方程, 偏微分方程.
dY Y yxy, y2y3yex,
dt
(t2x)dtxdx0,
z x y, x
ftrfS S f 1 2 S 2f22S2rf f
既然可以认为资产收益率服从正态分布，那么通过考 察资产价格与收益率之间的关系，便可探求资产价格的变 化规律
lo g
~
S (T
)
~
N
( T ,
2T
)
S (0)
E
~
S (T
)
T
S (0)
Var
~
S
(T
)
2T
S (0)
~E (S (T来自)) S (0) exp( T
1
2T
)
2
利用连续计息方式计息的连续复
利
rt 365
log1
~
Rt
365
log
~
St
~
St1
r
log1
R~
log1
~
R1
365
log1
~
R2
365
L
log1
~
R365
365
3165r1 r2 L r365
推
广
连续计息的年利率
r1 n
r1r2Lrn
股票价格运动方式的基本假设
• 第三个方程表示储蓄等于投资. Y ( 0 ) Y 0
• 由（1）中前三个方程消去S(t)和I(t)，
• 可得关于Y(t) 的微分方程:
dYY, 0
dt
二、基本概念
1.微分方程:含有自变量、关于自变量的未知函 数以及函数的导数或微分的方程，叫做微分方程.
如：dY Y yxy,
这个必须有！
y2y3yex,
股票价格运动的规律
• 证券价格可能取任何值 • 研究股票价格运动规律—得出二叉树定价
的合理性
随机过程
• 一族无穷多个相互有关的随机变量{S(t)} • 如果t>=0，则是随机过程 • 如果t的变化是离散的，则是随机序列或随
机链 • S(t)可以是一维的变量，也可以是多维的向
量
股票价格运动规律
~~
~~
S0 S1S2L S364 S365
~
S1
S0
~
S2
~
S1
L
~
S364
~
S363
~
S365
~
S364
~
~
13R6t5SS~ tt1
每天的收益率
1R ~ SS3~ ~605SS~10SS~ ~12LSS33~ ~664513R6~1513R6~25L13R63~655
年利率
小于1股
• 2）
f
S
• 3）套头比不停的变化，所以为了复制一份期权， 需要随时调整复制组合中股票的头寸，但这种调 整是自融资的
二叉树定价的合理性
• 二叉树各个阶段股票价格的变化是互相独立的， 而且变化的概率分布是同分布的，因此满足条件1
• 二叉树定价中所分阶数越来越多，适当的选择二 叉树中的u和d，使他们都足够快的趋于1，当所 分阶数趋于无穷大时，股票的价格变化就趋向于 对数正态分布（收益率变化趋于正态分布）
• 适当选择参数，二叉树无限细分确实能够描述股 票价格的运动规律
dY
dt
(1)
S (t) I (t) Y (0 ) Y0
其中、 均为正的常数，Y 0为初期国民收入，Y0 0 .
• • •
第一个方程表示储蓄与国民收入
成正比（称为储蓄率），
第二个方程表示投资与国民收入
S (t) Y (t)
I ( t )
dY
dt
• 的变化率成正比（ 称为加速数） S ( t ) I ( t )
伊藤引理
• 如果 f f (S,t) 是衍生品的价格（取决于标的物 股票的价格S和时间t），则有以下的关系
d f ( S f * S ft 1 2 S 2f2
2 S 2 )d t f S d z S
显然，f f (S,t)可以统一地表示买权或买权的价格
动态复制过程
• 1）与复制1份欧式买权相对应，股票的头寸始终
• 1）所有的 r t 都是独立同分布的；
• 2）股票的价格变化是连续的。
• 由假设条件可知：当时间间隔取很小，即n可以取 很大数值时r（股票的连续复利收益率）服从正态 分布，价格的年变化就服从对数正态分布
• 说明：鉴于正态分布是统计学上最常见的现象，人们自然
会设想金融资产的价格服从正态分布，然而这种假设会带 来若干问题，最明显的就是服从正态分布的随机变量可以 取负值，但负的资产价格却没有意义；
(布莱克—舒尔斯随机微分方程)
课外阅读（从第8页至第28页均为课外阅读）
布莱克—舒尔斯期权定价模型
• 深化第五章中期权定价的概念，尤其是二 叉树定价方法
• 期权的风险实际上在标的物的价格及其运 动中就得到反应，而且标的物的价格还反 映了市场对未来的预期，因此，要研究期 权的定价必须首先刻画标的物股票价格运 动的规律
d S * S d t S d z ( 1 2 )S d t S d z 2
漂移率 波动率
布朗运动
• 连续计算收益率的股票在单位时间内收益 的自然对数实际就是单位时间连续计息的 复利收益率
• 满足上述伊藤过程的股票的连续计息复利 收益率服从正态分布，所以这一伊藤过程 的数学模型确实描绘了股票价格的连续变 化规律（附录中证明）
第一节 微分方程的基本概念
一、引例 二、微分方程基本概念 三、小结 思考题
一、引例
为什么要学习微分方程？
多马(Domar, E.D.)经济增长模型
多马(Domar, E.D.)经济增长模型的基本假设:
• 全社会只生产一种产品，可以是消费品，也可以是 投资品；
• 储蓄是国民收入的函数； • 生产过程中只用两种生产要素，即劳动力和资本，
这两种要素之间相互不能替代； • 劳动力按照一个固定不变的比率增长； • 不存在技术进步，也不存在资本折旧问题； • 生产规模报酬不变。
设S(t)为 t 时刻的储蓄，I(t)为t时刻的投资，Y(t)为t 时刻的国民收入，多马曾提出如下的简单宏观经济 增长模型：
S (t) Y (t)
I (t )