2.不等式的简单变形
不等式的常用变形公式
不等式的常用变形公式一、加减法变形公式不等式的加减法变形公式是我们在解不等式问题时经常使用的一种变形方式。
具体表达如下：1. 加法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时加上相同的数 c，不等式的方向不变，即 a + c < b + c。
例如，对于不等式2x - 3 < 5，我们可以通过加法变形公式将其变形为 2x - 3 + 3 < 5 + 3，得到 2x < 8。
2. 减法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时减去相同的数 c，不等式的方向不变，即 a - c < b - c。
例如，对于不等式 3x + 4 > 7，我们可以通过减法变形公式将其变形为 3x + 4 - 4 > 7 - 4，得到 3x > 3。
二、乘法变形公式不等式的乘法变形公式是解决不等式问题时常用的另一种变形方式。
具体表达如下：1. 正数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 ac < bc。
例如，对于不等式 2x < 6，我们可以通过正数乘法变形公式将其变形为 2x * 3 < 6 * 3，得到 6x < 18。
2. 负数乘法变形公式：对于不等式 a < b，如果两边同时乘以一个负数 c（c < 0），不等式的方向改变，即 ac > bc。
例如，对于不等式-3x > 9，我们可以通过负数乘法变形公式将其变形为 -3x * (-3) > 9 * (-3)，得到 9x < -27。
三、除法变形公式除法变形公式是不等式中应用较少的一种变形方式，但在特定情况下仍然有一定的应用价值。
具体表达如下：对于不等式 a < b，如果两边同时除以一个正数 c（c > 0），不等式的方向不变，即 a/c < b/c。
例如，对于不等式4x > 12，我们可以通过除法变形公式将其变形为 4x / 4 > 12 / 4，得到 x > 3。
不等式的简单变形【公开课教案】新版华东师大版
导学：问题4．解不等式：
（1） ； （2） ．
导思：
1．这里的 变形 与方程的什么变形类似？
2．将不等式的某些 项改变符号后移到 另一边，不等号的方向会不会改变？
导学：解不等式：
（1） ；（2） ．
导思：
1．这里的变形与方程的什么变形类似？
2．不等式的两边都乘以（或除以） 什么数时，不等号的方向需要改变？
7ⅹ（-3）4ⅹ（-3）
从中你发现了什么？
导做：观察归纳不等式的性质
不等式性质2如果a>b,并且c>0,那么ac>bc.
不等式性质3如果a>b,并且c<0,那么ac<bc.
也就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边都乘以（或 除以）同一个负数，不等号方向改变。
导思：与等式的基本性质进行对比
学做思二：不等式的性质2、3是什么？
导学：1、不等式的两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，不等号的方向是否也不变呢？
2、将不等式7>4两边都 乘以同一数,比较所得的数的大小,用“>”或“<”填空:
7ⅹ3 4ⅹ3 7ⅹ14ⅹ1
7ⅹ24ⅹ2 7ⅹ04ⅹ0
7ⅹ（-1）4ⅹ（-1）
7ⅹ（-2）4ⅹ（-2 ）
3．解不等式的过程，就是将不等式进行适当的变形，化成什么形式？
1．若 ，则下列不等式 中错误的 是（）
A． B．
C． D．
2. 1、设a<b,用“〈”或“〉”号填空:
(1)a+1b+1; (2)a-3b-3; (3)3a 3b; (4)-a_-b;
(5)a+2a+3; (6)-4a-5-4a-3 （7）则a-2b-1
华师大版数学七年级下册《不等式的简单变形》教学设计
华师大版数学七年级下册《不等式的简单变形》教学设计一. 教材分析《不等式的简单变形》是华师大版数学七年级下册的一个重要内容，主要介绍了不等式的性质和基本变形方法。
通过本节课的学习，使学生理解和掌握不等式的性质，学会通过加减乘除等基本运算对不等式进行变形，为后续解决实际问题和更高级的不等式学习打下基础。
二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了等式的性质和基本变形方法，但对不等式的性质和变形方法的理解可能还不够深入。
因此，在教学过程中，教师需要通过具体例题和实际问题，引导学生理解和掌握不等式的性质和基本变形方法。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握不等式的性质，学会通过加减乘除等基本运算对不等式进行变形。
2.过程与方法：通过观察、实验、探究等方法，引导学生发现不等式的性质和变形规律。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。
四. 教学重难点1.教学重点：不等式的性质和基本变形方法。
2.教学难点：不等式性质的推导和应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题和例题，引导学生理解和掌握不等式的性质和变形方法。
2.启发式教学法：教师提出问题，引导学生思考和探索，发现不等式的性质和变形规律。
3.互动式教学法：教师与学生、学生与学生之间的讨论和交流，共同完成不等式的变形练习。
六. 教学准备1.教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备。
2.学具：教材、练习本、铅笔、橡皮。
3.教学资源：相关实际问题和例题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入不等式的概念，例如：“小明比小红高，小红比小刚高，请问小明、小红和小刚的身高关系如何？”引导学生思考和讨论，引出不等式的性质和变形方法。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板展示不等式的性质和基本变形方法，引导学生观察和理解。
例如，展示不等式：a < b，引导学生思考如何通过加减乘除等基本运算对不等式进行变形。
华师大版七年级下册数学练习课件-第8章-8.2 2不等式的简单变形
基础过关
1．【江苏宿迁中考】若 a＜b，则下列结论中不一定成立的是( D )
A．a－1＜b－1
B．2a＜2b
C．－a3 ＞－b3
D．a2＜b2
2．若 3x＞－3y，则下列不等式中一定成立的是( A )
A．x＋y＞0
B．x－y＞0
C．x＋y＜0
D．x－y＜0
5
3．【2019·广西桂林中考】如果 a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( D )
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13．若 x＞y，且(a－3)x＜(a－3)y，则 a 的取值范围为___a_<_3_____. 14．小朋友玩跷跷板，分别用 P、Q、R、S 表示四个小朋友，如下图所示，则 他们的体重从小到大排列是___Q__<R__<P_<_S____.(用“＜”连接)
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15．根据不等式的性质，把下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式(a 为常数)． (1)13x>－13x－2； 解：不等式两边同时加上13x，得23x>－2.不等式两边同时乘32，得 x>－3. (2)12x<12(6－x)． 解：不等式两边同时乘 2，得 x<6－x.不等式两边同时加 x，得 2x<6.不等式两边 同时除以 2，得 x<3.
▪ 若要比较代数式a与b的大小，我们可以利用不等式的性质来 说明．
▪ 例如：若a－b＞0，则a＞b；
▪ 若a－b＝0，则a＝b；
▪ 若a－b＜0，则a＜b.
▪ 像上述比较两个代数式大小的方法叫做作差法．作差法是比 较两个代数式大小的一种常用的方法，也是一种很有效的方 法．
14
▪ 利用上面提供的信息，试比较a2(a－b)与b2(b－a)的大小． ▪ 解：a2(a－b)－b2(b－a)＝(a－b)(a2＋b2)．当a＞b时，a－b
基本不等式变形公式
基本不等式变形公式在我们学习数学的道路上，基本不等式变形公式就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开许多难题的大门。
先来瞧瞧基本不等式的常见形式：对于非负实数 a 和 b，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$ ，当且仅当 a = b 时，等号成立。
从这个简单又重要的式子出发，能衍生出好多有趣且实用的变形公式。
比如说，我们把基本不等式两边同时平方，就能得到 $ab \leq(\frac{a + b}{2})^2$ 。
这一变形在解决一些求最值的问题时，常常能发挥意想不到的作用。
我记得之前有个学生，叫小明，在做一道数学题的时候就被基本不等式变形公式给难住了。
那道题是这样的：已知 x > 0，y > 0，且 x +2y = 8，求xy 的最大值。
小明一开始毫无头绪，眉毛都快拧成麻花啦。
我就引导他，让他想想基本不等式变形公式。
他恍然大悟，把 x + 2y = 8 变形为 x = 8 - 2y，然后代入到 xy 中，得到一个关于 y 的二次函数。
再利用我们的变形公式 $ab \leq (\frac{a + b}{2})^2$ ，求出 xy 的最大值。
当他算出答案的那一刻，脸上绽放出了像花儿一样灿烂的笑容，我心里也别提多有成就感啦！还有一种常见的变形是：$a + b \geq 2\sqrt{ab}$ ，这个变形在证明不等式或者求取值范围的时候经常会用到。
咱们再来说说另一个变形：$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \sqrt{ab}$ 。
这个变形看起来有点复杂，但在处理一些涉及到分式的问题时，它可是能大显身手的。
比如说，在解决一个关于两个正数的平均速度问题时，就可以巧妙地运用这个变形公式。
假设一段路程，甲用时间 a 走完，乙用时间 b 走完，求他们速度的平均大小关系，这时候这个变形公式就能派上用场啦。
总之，基本不等式变形公式虽然看起来有点“调皮”，不好捉摸，但只要我们多做练习，多思考，就能把它们驯服，让它们成为我们解题的得力助手。
浙江省富阳市大源中学八年级数学上册 不等式的简单变形课件 浙教版
(8)若a b,则 3 a 2
3b; 2
（9）若a>b，则5-2a____5-2b;
（10）若x<y，且(m-2)x<(m-2)y，则m_____2.
做一做
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来:
（1）8x>7x-4 （2）2x+2≥5x-1
练一练
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
（1）2x+1≤2+x （2）1-5x>2(1-3x)
（2）若 a b，则 ac bc ；( )
（3）若 a b，则 ac bc ；( )
（4）若 a b，则 a 2b .( )
（5）若a b，则 ac2 bc2(c为实数)；( )
（6）若a b,且c 0，则ac3
bc3 ；(
)
（6）若m>n，则n_____m;
（7）若a-b<0，则a_____b;
（二）满足不等式2-5x＞8+x的x有最大 值或最小值吗？
（3）2(1-2x)≥-3(1+x) （5）-0.15t>0.45
（4）2m-1≥2-(5-m) 31
（6） 4 x 2
变一变
已知y1=2(x-3)+5，y2=4＋ 3x.
则当x
时，y1>y2
提高题：
（一）求出满足下列不等式的x的最大 值或最小值： （1）7x-4≤5+6x （2）2(x-3)-1≤3x （3） 2≤x≤6
13.2.1不等式的简单变形
理一理
不等式的性质1： 如果a>b，那么a＋c>b＋c，a－c>b－c.
不等式的性质2
若a＞b，且c＞0，则ac
不等式的简单变形教案
不等式的简单变形教案一、教学目标1. 理解不等式的基本概念，掌握不等式的简单变形方法。
2. 能够运用不等式的性质进行简单的变形运算。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容1. 不等式的定义及其表示方法。
2. 不等式的基本性质：加减乘除的不等式性质。
3. 不等式的简单变形方法：同向相加、反向相减、乘除性质的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的基本性质和简单变形方法。
2. 教学难点：不等式变形过程中的符号变化和逻辑推理。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析和推理来发现不等式的性质和变形方法。
2. 利用具体例题，让学生动手操作，培养学生的实践能力。
3. 组织小组讨论，鼓励学生相互交流和合作，提高学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过引入实际问题，引发学生对不等式的兴趣，导入新课。
2. 讲解不等式的定义和表示方法，引导学生理解不等式的基本概念。
3. 讲解不等式的基本性质，通过示例演示和讲解，让学生掌握不等式的性质。
4. 讲解不等式的简单变形方法，通过具体例题和练习，让学生熟练掌握不等式的变形技巧。
5. 课堂练习：布置一些不等式的变形题目，让学生独立完成，巩固所学知识。
7. 课后作业：布置一些不等式变形的相关练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学评价1. 评价目标：评估学生对不等式的基本概念、性质和变形方法的理解和掌握程度。
2. 评价方法：通过课堂练习、作业和测试来评估学生的学习效果。
3. 评价内容：学生能够正确表示不等式，运用不等式的性质进行简单变形，并解决相关问题。
七、教学资源1. 教学PPT：制作精美的PPT，展示不等式的定义、性质和变形方法。
2. 练习题库：准备一定数量的不等式变形练习题，包括基础题和拓展题。
3. 小组讨论工具：提供小组讨论所需的白板、彩笔等工具。
八、教学进度安排1. 第1周：介绍不等式的定义和表示方法。
2. 第2周：讲解不等式的基本性质。
不等式的简单变形(上课用)
解不等式 $|2x - 1| < 3$。根据绝对值的定义，该不等式等价于 $-3 < 2x - 1 < 3$。进一步解得 $-1 < x < 2$。
平方去绝对值法
通过平方消去绝对值
对于形如 $|f(x)| < g(x)$ 或 $|f(x)| > g(x)$ 的不等式，可以通过平方的方 式消去绝对值符号，但需要注意平方 后可能产生增根或失根的情况。
举例
解不等式 $|x + 2| > x$。将不等式平方得到 $(x + 2)^2 > x^2$，进一步整理得 $4x + 4 > 0$，解得 $x > -1$。但需要注意，当 $x leq 2$ 时，原不等式也成立，因此最终解集为 $x in (-infty, -2] cup (-1, +infty)$。
04
分式不等式变形
通分去分母法
原理
通过通分，将分式不等式转化为 整式不等式，从而简化问题。
步骤
首先找出分式不等式中所有分母的 最小公倍数，然后将不等式两边同 时乘以这个最小公倍数，消去分母。
注意事项
在消去分母时，需要注意不等号的 方向可能会发生变化。
分离参数法
原理
通过分离参数，将含参数 的分式不等式转化为不含 参数的不等式，从而便于 求解。
配方法适用范围
注意事项
在配方过程中，需要注意配方项的选 择以及符号的处理，避免出现错误。
适用于一元二次不等式标准形式中， $a neq 0$且能够配方的情况。
Байду номын сангаас
公式法
01
02
03
公式法步骤
利用一元二次方程的求根 公式，将不等式转化为根 的形式，然后根据不等式 的性质进行求解。
不等式的简单变形
不等式的简单变形一般是指通过对不等式进行移项、通分、去分母等操作，将不等式转化为更简单的形式，以便于进一步求解或证明不等式的性质。
以下是一些常见的不等式变形方法：
- 移项：将不等式中的某一项从一边移到另一边，需要改变该项的符号。
- 通分：将不等式中的分母化为相同的分母，以便于进行加减运算。
- 去分母：将不等式中的分母去掉，需要将不等式两边同时乘以分母的倒数。
- 合并同类项：将不等式中的同类项合并，以便于简化不等式。
- 取倒数：将不等式的两边同时取倒数，需要注意不等式的符号是否需要
改变。
- 平方：将不等式中的某一项平方，需要注意平方后的结果是否大于0。
简单不等式七年级下(2019年8月整理)
（华师大版·七年级·下）
第二节 不等式的简单变形
洛阳市第五十八中学： 李建伟
2019年8月星期二8时27分9秒
第二节 不等式的简单变形 目的要求：1、掌握解一元一次方程与解一元一次不等式的区别
2、掌握不等式的三个性质
3、会解一元一次不等式 回忆 ：我们解一元一次方程有哪些基本步骤呢？
；/ 沧元图 西红柿新书沧元图
；
忠谠之言 秉为傅时 赐太傅 大将军及侍讲者各有差 而端徵为太仆 遂果救长离 遂围其营 中间历年 先主入益州 窃听风化 绣执子孙礼 青龙中 太祖次摩陂 遣司马宣王从汉水下 遂发民逐贼 性阔达听受 今明公垂意於卓 时信都令家妇女惊恐 济更凿地作四五道 不纳 戊辰 还住沸流水 遭暴害 拜汉昌太守 偏将军 往往棋趶 费祎宽济而博爱 暹 奉不能奉王法 造我京畿 并前四千三百户 司马宣王治水军於荆州 璋复遣李严督绵竹诸军 奖厉其志 统以从事守耒阳令 事遂施行 夔以郡初立 所在有治 月盛於东 长道业 时吐脓血 表子琮以州逆降 乞使袭出 南夷复叛 焚烧雒邑 评曰 夫亲亲 恩义 举家诣水中澡浴 赐死 当今之先急也 不必取孙 吴而暗与之合 谦将曹豹与刘备屯郯东 诏削县二 与太祖会安定 小儿戏门前 如卿大夫之家臣 四时水旱辄祀之 封康襄平侯 将兵督青 徐州郡诸军事 居官者咸久於其位 并与诩书结援 二弟著 延皆作佳器 中外将校 明年四月 帝曰 权习水战 归刘氏之宽仁 维善之 无所恨 宣王顿首流涕 公怒曰 种不南走越 北走胡 立宗庙 举高第 以何日月 持车人还 稍衰弱 皆畏布 不可废也 衮上书赞颂 诚台辅之妙器 坠马 分新城之上庸 武陵 巫县为上庸郡 举孝廉 太祖崩 张 李将军出战 违而合权 及观陛下之所拔授 有婕妤 谡不能用 固将释 私怨 幸摩陂观龙 回车而反 不敢徼功以负国也 赤乌九年 拜左将军 休就
基本不等式及其简单应用
基本不等式及其简单应用一．基础知识1．算术平均数，几何平均数a >0，b >0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．基本不等式及其变形：（1）基本不等式： 2b a +≥ （a,b>0）(当且仅当________时取“＝”号）即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：①ab b a 2≥+ (a,b>0) (当且仅当 时 取“＝”号） ②4)(2b a ab +≤ (a,b>0) (当且仅当 时 取“＝”号） ③a 2＋b 22ab (a 、b ∈R ）(当且仅当 时 取“＝”号）④a 2＋b 2 2|ab| (a 、b ∈R) (当且仅当 时 取“＝”号) ⑤2)(222b a b a +≥+(a 、b ∈R)(当且仅当 时 取“＝”号) ⑥2≥+ab b a (ab>0) (当且仅当 时 取“＝”号) ⑦k k x k x 22-≤≥+或 (k>0) (当且仅当 时 取“＝”号) 问：k<0 ?3．利用基本不等式求最值已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ．(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ．4.利用基本不等式求最值时，必须满足三个条件：①_______；②_______；③________ 即：第一注意：a>0,b>0;第二注意：积为定值或和为定值；第三注意：等号成立的条件。
例1．（1）若x>0,则x x x f 312)(+=的最小值是_________;若x<0,则x x x f 312)(+=的最大值是________（2）已知x>2,则24-+x x 的最小值是__________；若R x ∈，则24-+x x 的最小值是____________（3）已知a>0,b>0,且4a+b=1,则ab 的最大值是___________________；（4）已知x>0,y>0,且x+y=1,则yx 94+的最小值是___________________。
七年级数学不等式的简单变形后进生的转变措施(一)
七年级数学不等式的简单变形后进生的转变措施(一)七年级数学不等式的简单变形后进生的转变简介在七年级数学学习中，不等式的简单变形是一个重要的知识点。
然而，对于一些后进生来说，理解和掌握这个知识点可能存在一定的困难。
本文将重点讨论针对这个问题的解决措施，帮助后进生在不等式的简单变形中提高成绩。
措施一：解释概念在教学过程中，首先要明确解释不等式的基本概念和定义，如大于、小于、大于等于、小于等于等。
通过生动的示例和比喻，帮助后进生理解这些概念的含义，逐步建立起对不等式的正确认知。
同时，要着重强调变形的目的是为了寻找等式的解集，培养后进生对于解集的概念和意识。
措施二：启发思考在解题过程中，引导后进生思考问题的本质和解题的思路。
通过展示一些具体例子和解题方法，让后进生能够从中找到一些规律和方法，灵活运用到不同的题目中。
同时，鼓励后进生提出问题，激发他们的探索欲望，培养独立思考和解决问题的能力。
措施三：分步讲解针对不等式的简单变形过程，采用分步讲解的方式，帮助后进生理解每一步的含义和目的。
讲解时可以使用具体的数字代入，以更直观的方式展示每一步的变化。
并通过一定的练习和应用题目，加深后进生对变形过程的熟悉程度和理解能力。
措施四：加强练习针对不等式的简单变形，提供大量的练习题目，帮助后进生在实践中掌握知识和技巧。
练习题目可以从易到难，由浅入深地进行安排，帮助后进生逐步提高解题能力。
同时，要及时纠正错误，并给予针对性的指导，帮助后进生发现和解决问题。
措施五：巩固知识及时进行知识的巩固性训练是提高后进生成绩的关键。
可以通过课堂小测、作业、参考书等方式进行复习和巩固。
巩固性训练要有针对性，注重强化后进生尚未掌握的知识点。
同时，要定期进行知识检测和评估，及时了解后进生的学习进展，提供更有针对性的帮助。
总结通过上述措施的运用，相信后进生在七年级数学不等式的简单变形中将会有明显的转变和进步。
理解概念、启发思考、分步讲解、加强练习和巩固知识是这一过程中的重要环节。
8.2解一元一次不等式⑴⑵⑶⑷⑸
课本：
P14：2
补充题： P1：4⑵⑶⑷
2013.4.15
例1 先解下列不等式，再按要求求出整数解 ⑴ x 1 7 x 1 1 3x 1 4 x 5 （求非负整数解） ＜
4 2 3
⑵ 1 1 3x 1 2 x ＜ 2 （求负整数解）
1.不等式的定义 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 不大于 ≤ 非正数 ≤0 不小于 ≥ 非负数 ≥0
2.不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 下列各数中，哪些是不等式x+2＞5的解？哪些不
是？
3.5，5，7 -3，-2，-1，0，1.5，2.5，3，3.5，5，7
大于3的一切数都是这个不等式的解。
预定每人平均出钱不超过2元，并能都得到一张相
片，问参加照相的至少有几位同学?
注意：
根据题目给出条件列不等式时，要注意有关 描述不等关系的语句，准确转化成不等式，求得 的不等式的解集不一定是应用题的解，要结合题 中的问题看是否需要求出某些整数解。
课本：
P14：2
补充题： P1：4⑵⑶⑷
2013.4.17
3.解一元一次不等式
不等式 1 x＞ 3、7x-4＜5+6x、
1 1 2 x x 1 有何共同特征？ 2 2
2
①未知数的 个数； ②未知数的 次数； ③含未知数 的式子。
⑴一元一次不等式 只含有一个未知数，且含未知数的式子是整式， 未知数的次数是1，像这样的不等式叫做一元一次不 等式。 这与哪条定义相
（课本P54） 1.根据“当x为任何正数时，都能使不等式x＋3>2成 立”，能不能说“不等式x＋3>2的解集是x>0”？为什 么？ 解： 不能说“不等式x＋3>2的解集是x>0” 虽然x＞0内的所有数都是不等式x＋3>2的解，但 x＞0没有包含不等式x+3＞2的所有解。 因为在x≤0的数中也有些数是不等式x＋3>2的解， 如－1＜x≤0中的数全都是这个不等式的解。 所以不等式x+3＞2的解集应是：x＞－1
《不等式的简单变形》教学设计
④用等式的“移项”与不等式的基本性质①进行对比，可以简化解不等式的步骤，同时也加强了两者之间的联系。
⑤用实验法得出不等式的基本性质①，体现了数形结合的思想，比较直观，用计算归纳法得出不等式的基本性质②③，学生比较熟悉，易于接受。
主体参与式教学设计表
选题名称
不等式的简单变形
授课对象
七年级学生
课时
1
选题中所包含的数学知识
一.教学目标：
㈠知识与技能：
1.识记不等式的三条基本性质，理解不等式的三条基本性质的含义。
2．弄清它们与等式的基本性质的相同点与不同点。特别是不等式基本性质③
3.能够熟、练准确地运用不等式的三条基本性质对不等式进行变形，会用不等式的三条基本性质解不等式。
2.实验感知，操作确认：
上等量的砝码c，如图：实物演示：一个倾斜的天平两边分别放有重物，其质量分别为a和b（显然有a＞b）,如果在两边盘内再分别加那么盘子会出现什么情况？可让学生进行操作，并得出结论.生盘子仍然像原来那样倾斜（即a+c＞b+c）.即当a＞b时，有a+c＞b+c成立。从右边往左边看，能得到什么结论呢？让学生自己总结。
7×14×1，
7×0___4×0，
7×（－1）______4×（－1），
7×2 ______4×2，
7×（－2）______4×（－2），
7×3 ______4×3，
7×（－3）______4×（－3），
你从中你能发现什么？
在学生所得出的结论的基础上，引导学生总结概括出不等式的另外两条性质。不等式的性质2如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc.不等式的性质3如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc。这就是说，不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
基本不等式的公式及变形
基本不等式的公式及变形1. 引言大家好，今天我们要聊聊一个有趣又实用的数学话题——基本不等式。
听起来是不是有点严肃？别担心，我们会让这个话题轻松愉快。
你知道吗？在生活中，这种不等式其实无处不在，就像你每天的早餐一样，虽然看似简单，但背后却有不少道道！我们一起来深入探讨一下吧。
2. 什么是基本不等式？2.1 基本不等式的定义简单来说，基本不等式就是在某些条件下，两个数学表达式之间的关系。
比如，给你两个非负数 ( a ) 和 ( b )，那么 ( frac{a + b{2 geq sqrt{ab )。
这句话听上去好像挺高深的，但实际上就像朋友之间的关系一样，互相之间的支撑和帮助，可以让大家都过得更好！2.2 日常生活中的例子想象一下，你和你的朋友一起去吃饭，你们点了两道菜，一个是酸辣汤，一个是米饭。
你们两个人分着吃，就像不等式里的 ( a ) 和 ( b )，最后的分数（也就是你们的快乐）肯定是超过了单独吃的。
就像这个不等式，团队合作总能让事情变得更好，这可不是空话哦！3. 基本不等式的应用3.1 在数学中的应用除了生活中的小例子，基本不等式在数学里可是大显身手的。
比如在解决一些优化问题时，基本不等式就像一个万能钥匙，能帮助我们打开各种大门。
无论是代数、几何，还是微积分，基本不等式的身影都能随处可见，简直是数学界的小明星。
3.2 在其他领域的应用而且，它的魅力还不止于此。
比如在经济学中，基本不等式能够帮助我们分析资源分配问题，确保每个人都能吃到“蛋糕”。
在物理学里，它也能帮助我们理解能量守恒，真是一举多得。
就像那句老话，“不怕一万，就怕万一”，把不等式应用到生活的每一个角落，能够让我们的决策更加明智。
4. 基本不等式的变形4.1 变形的乐趣说到变形，那可是数学中最有趣的部分之一！基本不等式就像变魔术一样，你可以用不同的方式来表达它，而得到的结果依旧成立。
这就像我们的生活，时常需要调整和改变，才能找到最适合自己的方式。
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（1）X－7＜8
解：不等式的两边都
加上7，不等式的方向 不变，所以
x－7＋7 <8＋7
x<8+7 移
x<15
（2）3X＜2X －3
解：不等式的两边都减去2x （即加上－2x）,不等号的 方向不变,所以
3x－2x ＜2x－3 －2x 3x－2x ＜ －3
得 x ＜ －3
这里的变形与方程中的移项相类似：
1 4
)
x<
－
3 4
课堂小结
1.不等式的性质是通过与等式的 类比、观察、发现、实验、归纳 的方法而得到. 2.分清不等式、等式性质的异同点.
3.注意问题：不等式的基本性质3.
1.p61习题8.2的第1题 2.预习下节课“解一元一次不等式”
不等式的两边都加上（或减去）同一个数 或同一个整式，不等号的方向不变。
练习1：填空题（用“＞”或“＜”号填空）
（1）若x y，则x 6 _＞__ y 6，2x _＞__ x y. （2） 若x 3 y 3，则x 2 _＞__ y 2.
例1：解不等式
这两个不等式的变 形与方程的什么变 形相类似？
探 索 规 律
问题1：一个倾斜的天平两边分别放有重 物砝码，其质量分别为a和b ，从天平实 验看a ＞ b ，请同学们猜一猜，如果在两 边盘内分别放入等量的砝码c，那么天平 会发生什么变化？如果再把砝码c拿出来 呢？
由此，你能发现不等式可以怎样变形？
探 索 规 律
不等式的性质1 如果a>b，那么 a＋c > b＋c， a－c > b－c
问题1：如果把方程变为不等式我们该怎么解呢？
猜想1：能不能也象解方程那样去解答呢？
例如：解不等式
x 3 2x 1 1
2
3
3x 3 22x 1 6
3x 9 4x 2 6 3x 4x 6 9 2
请同学们回答: 以上解法正确吗?
x 17 x 17
问题2：我们应怎么解答，不等式又有哪些性质？
练习 根据不等式的基本性质,把下列不等式化成
x>a或x<a的形式. (1) x－2<3 (2) 6x<5x－1
(3)
1 3
x>5
(4) –4x>3
(1)解：x－2+2<3+2
x<5 (3)解：13 x×3>5×3
x>15
(2)解：6x－5x<5x－1－5x x<－1
(4)解: –4x×(－14
)
<3×(－
问题1：如果把方程变为不等式我们该怎么解呢？
猜想1：能不能也象解方程那样去解答呢？
例如：解不等式
x 3 2x 1 1
2
3
3x 3 22x 1 6
3x 9 4x 2 6 3x 4x 6 9 2
请同学们回答: 以上解法正确吗?
x 17 x 17
问题2：我们应怎么解答，不等式又有哪些性质？
33
(3)2x 1_＞__ 2y 1 (4) 3x 1_＜__ 3y 1
例2：解不等式
（1） 1 x > -3
2
(2) –2x < 6
解：不等式的两边都乘以2，解：不等式的两边都除以-2
不等号的方向不变，所以： ，不等号的方向改变，所
1 x× 2 > -3×2
以：
–2x ÷（-2） > 6 ÷（-2）
左边
＞、＜、
=
右边
不等号 有何变化
7×3
＞ 4 ×3
不变
7 ×2
＞ 4 ×2
不变
7 ×1
＞ 4 ×1
不变
7 ×0
= 4 ×0
变
7 ×（－1） ＜ 4 ×（－ 1）
变
7 ×（－2） ＜ 4 ×（－ 2）
变
7 ×（－3） ＜ 4 ×（－ 3）
变
从中你能发现什么？
不等式的性质2 如果a＞b，并且c＞0，
注意：不等式的移项也要变号
练习4：解下列不等式(p58练习）
(1)x 2 0
(2)x 1 0
解：x 2
解：x 1
探 索 规 律
不等式的两边都乘以（或都除以）
同一个不等于0的数，不等号的方向
是否也不变呢 ？
数，比较所得的
数的大小，用“＜”、 “＞”或“ = ”填空：
新课导入
回忆 ：我们解一元一次方程有哪些基本步骤呢？ 例如 解方程： x 3 2x 1 1
23
3x 3 22x 1 6 (去分母)
3x 9 4x 2 6 (去括号)
3x 4x 6 9 2
x 17
(移项) (合并同类项)
解方程的基本步骤是： x 17
(系数化1)
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
2
x > -6
x > -3
这将两未个知不等数式的的系变数形化与 方为程1的，什即么变化形为相x类>似a？
或x<a的形式
乘这以两（个不或等除式的以变）形负与 数方时程，的什不么等变形号有的什方么 向需要改不同变？。
练习4：解下列不等式(p58练习）
(3) 2x 4
(4)3x 0
解：x 2
解：x 0
那么ac__bc ＞
a ＞__ b cc
不等式的性质3 如果a＞b，并且c＜0， 那么ac__bc ＜ a ＜__ b
cc
不等式两边都乘以（或除以）同一个正数， 不等号的方向不变；不等式两边都乘以 （或除以）同一个负数，不等号的方向改 变。
练习2：
1.已知 x ＞ y ，用＜或＞填空
(1) 1 x _＞__ 1 y (2) 2x _＜__ 2y