最新八年级数学最短路径问题

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初二数学最短路径练习题及答案

初二数学最短路径练习题及答案导言：数学中的最短路径问题是指在网络图中寻找两个顶点之间路径长度最短的问题。

该问题在实际生活中应用广泛，比如在导航系统中为我们找到最短的路线。

对于初二学生而言，在学习最短路径问题时，题目练习是非常重要的。

本文将为初二数学学习者提供一些最短路径练习题及答案，帮助他们巩固知识和提高解题能力。

练习题一：某地有4个村庄A、B、C、D，它们之间的道路如下图所示。

要求从村庄A到村庄D，经过的道路距离最短，请你找出最短路径，并计算出最短路径的长度。

解答一：根据题目所给的道路图，我们可以使用最短路径算法来求解最短路径。

以下是求解过程：1. 首先，我们需要创建一个包含4个顶点的图，并初始化每条边的权值。

将A、B、C、D顶点分别标记为1、2、3、4。

村庄A到村庄B的距离为5，即A-5-B。

村庄A到村庄C的距离为3，即A-3-C。

村庄B到村庄C的距离为2，即B-2-C。

村庄B到村庄D的距离为6，即B-6-D。

村庄C到村庄D的距离为4，即C-4-D。

2. 接下来，我们使用迪杰斯特拉算法求解最短路径。

a) 首先，我们将起始顶点A的距离设置为0，其他顶点的距离设置为无穷大。

b) 然后，我们选择距离最短的顶点，并将其标记为已访问。

c) 然后，我们更新与该顶点相邻的顶点的距离。

如果经过当前顶点到达邻接顶点的距离比已记录的最短路径更短，就更新最短路径。

d) 重复上述步骤，直到找到最短路径为止。

3. 经过计算，最短路径为A-3-C-4-D，距离为7。

练习题二：某城市有6个地点，它们之间的交通图如下所示。

请你计算从地点A到地点F的最短路径，并给出最短路径的长度。

解答二：根据题目所给的交通图，我们可以使用最短路径算法来求解最短路径。

以下是求解过程：1. 首先，我们需要创建一个包含6个顶点的图，并初始化每条边的权值。

将地点A、B、C、D、E、F分别标记为1、2、3、4、5、6。

地点A到地点B的距离为4，即A-4-B。

人教版八年级数学上册13.4最短路径问题优秀教学案例

3.小组合作学习：教师将学生分成小组，鼓励学生进行合作交流，共同探讨最短路径问题的解决方法。通过小组合作，学生可以互相学习、互相借鉴，提高解决问题的能力，同时培养团队合作精神和沟通能力。
4.多媒体教学手段：利用多媒体教学手段，如图片、视频等，展示实际问题情境，让学生更直观地感受到问题的背景和意义，提高学习效果。
在现实生活中，最短路径问题具有广泛的应用，如道路规划、网络路由等。因此，本节课的教学案例将以实际问题为背景，引导学生运用数学知识解决实际问题，培养学生的数学应用意识。
为了提高教学效果，本节课将采用小组合作、讨论交流的教学方法，让学生在探讨最短路径问题的过程中，提高自主学习能力和合作意识。同时，教师将以引导者、组织者的角色参与教学，为学生提供必要的帮助和指导，确保教学活动的顺利进行。
（三）小组合作
1.教师将学生分成小组，鼓励学生进行合作交流，共同探讨最短路径问题的解决方法。
2.教师引导学生进行小组讨论，鼓励学生分享自己的思路和观点，培养学生的合作意识和团队精神。
3.教师巡回指导，参与小组讨论，为学生提供必要的帮助和指导，确保每个学生都能参与到教学活动中来。
（四）反思与评价
1.教师引导学生进行自我反思，总结自己在解决最短路径问题过程中的思路和方法，找出自己的不足之处。
3.教师介绍迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法，讲解这两种算法的原理和步骤，并通过示例进行演示。
4.教师引入动态规划思想，讲解如何运用动态规划解决最短路径问题，并给出动态规划解决最短路径问题的步骤。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成小组，并提出讨论问题，如“比较迪杰斯特拉算法和贝尔曼-福特算法的优缺点”、“如何运用动态规划解决最短路径问题？”等。
2.利用多媒体教学手段，展示实际问题情境，让学生直观地感受到最短路径问题的重要性和实用性。

2023-2024学年人教版八年级数学上学期：课题学习最短路径问题(附答案解析)

第1页（共9页）
2023-2024学年人教版八年级数学上学期13.4课题学习最短路
径问题
一．选择题（共6小题）
1．如图，点P 为∠AOB 内一点，分别作点P 关于OA ，OB 的对称点P 1，P 2，连接P 1，P 2
交OA 于M ，交OB 于N ，若P 1P 2＝6，则△PMN 周长为（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2．如图，直线L 是一条输水主管道，现有A 、B 两户新住户要接水入户，图中实线表示铺
设的管道，则铺设的管道最短的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，直线l 是一条河，P ，Q 是两个村庄．计划在l 上的某处修建一个水泵站M ，向P ，
Q 两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，直线m 表示一条河，M ，N 表示两个村庄，欲在m
上的某处修建一个给水站，向。

八下数学最短路径问题典型题

八下数学最短路径问题典型题好嘞，今天我们聊聊八下数学里的最短路径问题。

听起来有点高大上，但其实就是想在迷宫里找到最快的路。

想象一下，你在一个热闹的游乐园里，周围都是五彩斑斓的游乐设施。

你想去坐过山车，但不知道该走哪条路。

这个时候，最短路径问题就像是你的游乐园导航，让你快速找到目的地，省时又省力，真是个好帮手。

最短路径问题啊，简单来说，就是在一堆点和线中，找到从一个点到另一个点的最短路线。

比如说你在学校，老师让你去图书馆借书。

你知道从教室到图书馆的路，但你得想想，走哪个小道能更快到达。

这里面就涉及到一个数学概念，叫做“权重”。

每条路的长度就像是给每个小道打了分，越短的路，分数越低，明白吧？这就像你在买东西，看到打折的信息，总想着哪个更便宜，哪个更划算。

再说说实际应用。

咱们的生活中到处都有最短路径的问题。

想象一下，你周末想和朋友约着去吃火锅，结果发现从家里到火锅店的路上堵车，那可是让人心急如焚。

你就得琢磨琢磨，换条路走，甚至还得看看哪个路口有新开的餐厅。

这个时候，最短路径的问题就变得尤为重要。

怎么解决这个问题呢？有几种方法，其中一种叫“Dijkstra算法”。

别听名字复杂，其实就是个聪明的家伙，能帮助你一步一步找到最短路径。

你可以把它想象成一个耐心的导游，带着你从起点出发，看到每一个可以选择的方向，挑最短的走。

一路上还会给你提示，“嘿，这条路不错，快来试试！”可爱得不行。

还有一种叫“FloydWarshall算法”，听起来是不是更厉害？这家伙更全能，可以同时计算出多个点之间的最短路径。

就像你跟朋友一起出去吃饭，大家都想找离餐厅最近的路。

这个算法就像是个超级GPS，能一口气帮你们规划好所有的路线。

可以说，FloydWarshall算法简直是个“多面手”，在复杂的网络中游刃有余。

不过，最短路径问题可不是只有数学家才能玩哦，咱们生活中其实也常常在用。

比如说，当你在手机上查地图的时候，系统就会运用这些算法来帮你找到最快的路线。

13.4课题学习最短路径问题课件 2024—2025学年人教版数学八年级上册

A' M C
EA E'
【理由简要分析】
O F' F D N 图2 A''
如图2，在OM上任取一个异于E的点E′，在ON上任取一个异于F的点
F′，连接AE′，A′E′，E′F′，A″F′，AF′，则AE′＝A′E′，AF′＝A″F′，且
A′E′＋E′F′＋F′A″＞A′A″=A′E＋EF＋FA″= AE＋EF＋FA，所以△AEF
道最短的是（ D ）
Q
P l
Q
P
AM
l
、
Q
P
C
l
M
、
Q
P
B
l
M
、
Q
P
D
l
M
、
巩固练习
2、如图，在 RtABC 中，A 30, C 90 且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直
线MN上任一点，PB+PC的最小值为 2
M
B
P
1
P
A 30
C
N
巩固练习
3、如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上， BM＝2，N为AC上的一动点，则BN+MN的最
13.4课题学习最短路径问题
复习回顾
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
①
②最短，因为两点之间，线段最短
②
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
问题4. 如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN的某一处牧马，再到河边l 饮马，然后回到帐篷B. 请你帮他确定马这一天行走的最短路线.

【最新版】八年级数学上册课件：13.4 课题学习最短路径问题

能力提升题
如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
C
D
C′ D ′
E E′
B
课堂检测
13.4 课题学习最短路径问题/
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连 A
（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点
组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，
使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于 B′
点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′
E
的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等
腰直角三角形即可．
探究新知方法点拨
13.4 课题学习最短路径问题/
求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长最小时动点的位置.
课堂检测
13.4 课题学习最短路径问题/
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为 500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离100是0 米.
C

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计 (新版)新人教版

八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计（新版）新人教版一. 教材分析“课题学习最短路径问题”是人教版八年级数学上册第13.4节的内容。

这部分内容主要让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

教材通过引入一个实际问题，引导学生探讨并找出解决问题的方法，从而培养学生解决问题的能力和兴趣。

二. 学情分析八年级的学生已经掌握了图论的基本知识，如图的定义、图的表示方法等。

但是，对于图的最短路径问题，学生可能还没有直观的理解和认识。

因此，在教学过程中，教师需要结合学生的已有知识，通过实例讲解、动手操作等方式，帮助学生理解和掌握最短路径问题。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过探讨实际问题，培养学生解决问题的能力和兴趣。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的热爱，提高学生解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的实际应用，图论中的最短路径算法。

2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出最短路径问题，并运用图论知识解决。

五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.实例讲解法：通过具体的实例，讲解最短路径问题的解决方法，帮助学生理解和掌握。

3.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对最短路径问题的理解。

六. 教学准备1.教学素材：准备一些实际问题的案例，以及相关的图论知识介绍。

2.教学工具：多媒体教学设备，如PPT等。

3.学生活动：让学生提前预习相关内容，了解图论的基本知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入最短路径问题，激发学生的学习兴趣。

例如，讲解从一个城市到另一个城市，如何找到最短的路线。

2.呈现（15分钟）讲解最短路径问题的定义，以及图论中最短路径算法的基本原理。

通过PPT等教学工具，展示相关的知识点，让学生直观地了解最短路径问题。

初二数学精要最短路径问的求解

初二数学精要最短路径问的求解在初二数学的学习中，最短路径问题是一个重要且有趣的知识点。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，还能培养我们的逻辑思维和解决实际问题的能力。

最短路径问题，简单来说，就是在给定的条件下，找到从一个点到另一个点的最短路线。

这听起来似乎很简单，但实际求解过程中却需要我们运用多种数学知识和方法。

我们先来看看常见的几种最短路径问题类型。

第一种是“两点之间，线段最短”。

这是最基本的原理，比如在平面上有两个点 A 和 B，那么连接 A 和 B 的线段就是它们之间的最短路径。

这个原理看似简单，却在很多问题中都是关键的解题思路。

第二种是“将军饮马”问题。

有一条直线 l 和直线同侧的两个点 A、B，要求在直线 l 上找一点 C，使得 AC ＋ BC 的值最小。

解决这类问题的关键是作其中一个点关于直线的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线的交点就是所求的点 C。

第三种是“造桥选址”问题。

有一条河，河的两岸分别有两个点 A 和B，要在河上建一座桥（桥必须与河岸垂直），使得从 A 到 B 的路径最短。

这类问题需要我们将桥的长度平移，然后利用“两点之间，线段最短”的原理来求解。

接下来，我们通过具体的例子来看看如何求解这些最短路径问题。

例 1：在平面直角坐标系中，已知点 A（1，3）和点 B（4，5），求点 A 到点 B 的最短路径长度。

我们可以直接使用两点之间的距离公式：d ＝√（x₂ x₁)²＋（y₂y₁)²，其中（x₁，y₁）和（x₂，y₂）分别是两个点的坐标。

将 A（1，3）和 B（4，5）代入公式，得到：d ＝√（4 1)²＋（5 3)²＝√3² ＋ 2²＝√13所以点 A 到点 B 的最短路径长度为√13 。

例 2：如图，直线 l 同侧有 A、B 两点，在直线 l 上求作一点 C，使AC ＋ BC 最短。

我们作点 A 关于直线 l 的对称点 A'，连接 A'B 交直线 l 于点 C，点C 即为所求。

人教版数学八年级上册第13章课题学习最短路径问题(18页)

A
D
解：如图，连接 BM，
M
交 AC 于点 P，点 P 即为所求．
P
B
C
3.(广州校考)如图，在长度为1个单位长度的小正方形组
成的正方形中，点 A，B，C 在小正方形的顶点上.
l
(1) 在图中画出与△ABC 关
于直线 l 成轴对称的△A′B′C′；
A
A′
(2) △ABC 的面积是__1_2_._5_；
学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求
教一个百思不得其解的问题：
从图 1 中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，
然后到 B 地.到河边个么地方饮马可使他所走的路线全
程最短?
A B
l
探究新知知识点1:将军饮马问题
你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
A B
l C
实际问题
数学问题
通过轴对称将同侧点转化为异侧
B 利用两点之间，线段最短，化折为直
练一练
1.如图 (1) 是示意图，游船从湖岸 l₁ 的码头 D 将游客送往
亭子 M 停留观赏，然后将游客送往湖岸 l₂ 的码头 C，最
后再回到码头 D.请在图 (2) 中画出游船的最短路径，并确
定两个码头的位置.
再新建一座观赏亭 N，且游船路线为湖岸 l₁ 的码头 D→
亭子 M→亭子 N→湖岸 l2 的码头 C→湖岸 l₁ 的码头 D.请在图(2)中画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置.(
提示：思考最短路线是由哪几条线段相加).
湖岸 l₁
M'
湖岸 l₁
M
D M 解：如图(2)示.
D
N

人教版初中数学八年级上册13.4最短路径问题(教案)

（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与最短路径相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示最短路径的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“最短路径在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《最短路径问题》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过如何找到两点间最短距离的情况？”（如从家到学校的最短路线）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索最短路径的奥秘。
（3）在复杂图形中寻找最短路径时，可以引导学生从简单图形出发，逐步增加难度，让学生掌握解题方法；
（4）结合实际应用，可以设计一些案例，如旅行商问题、工程选址问题等，指导学生如何将所学知识运用到实际中。
在教学过程中，教师应针对这些难点和重点，运用生动形象的语言、具体实例和操作演示，帮助学生理解、掌握和运用相关知识。同时，注意关注学生的反馈，适时调整教学方法和进度，确保学生透彻理解本节课的核心内容。
（3）在实际图形中寻找最短路径，如三角形、四边形等；
（4）将现实生活中的问题转化为数学模型，利用数学知识求解。
举例：讲解最短路径概念时，可以通过实际生活中的例子（如地图上两点间的最短距离）进行说明，使学生理解并掌握这个核心概念。
2.教学难点
（1）如何将实际问题抽象为数学模型，找到最短路径；

【初二】最短路径问题归纳(最新整理)

最短路径问题专题学习【基本问题】【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．B ．C ．3D2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（）A ．2B ．C ．D ．43232 3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD2和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (，0)．36DEABC ADE PBCAB第2题第3题第4题第5题第6题第7题OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在轴上，D 在轴上，则四边形ABCD 的周长最小值y x 为，此时 C 、D 两点的坐标分别为．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；x （2）P 为轴上一动点，求的值最大时P 点的坐标；x PB PA （3）CD 为轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；x 10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．。

八年级数学上册20.4最短路径问题优秀教学案例

4.培养学生正确的价值观，使他们认识到数学在实际生活中的重要性，培养他们的社会责任感。
三、教学策略
（一）情景创设
为了激发学生的学习兴趣，我将以现实生活中的实例为导入，创设有趣的问题情境。例如，我可以向学生讲述一个关于寻宝的故事，故事中主人公需要通过寻找最短路径来到达宝藏所在地。这样的情景创设能够激发学生的求知欲，使他们能够主动参与到课堂活动中。
在教学过程中，我还将运用多媒体教学手段，展示图论基础和最短路径算法的动画演示，让学生更直观地理解知识，提高他们的学习兴趣。
（二）问题导向
问题导向教学法是一种有效的教学方法，通过问题的提出和解决，引导学生主动探究知识。在本节课中，我将设计一系列由浅入深的问题，引导学生逐步深入理解最短路径问题。
例如，我可以先提出一个简单的问题：“如何在平面直角坐标系中找到两点间的最短距离？”让学生通过讨论和思考，得出答案。然后，我再提出一个更复杂的问题：“在给定一个图的情况下，如何找到图中两点间的最短路径？”引导学生运用图论知识和最短路径算法解决问题。
八年级数学上册20.4最短路径问题优秀教学案例
一、案例背景
八年级数学上册20.4节主要讲述最短路径问题，这是初中数学中较为重要的知识点，也是学生难以理解的部分。在实际教学中，我发现学生对于最短路径问题的理解存在一定的困难，主要是由于他们对图论基础和欧几里得距离概念掌握不牢固。因此，在教学过程中，我需要设计一系列的教学活动，帮助学生建立清晰的概念，培养他们的空间想象能力和解决问题的能力。
2.问题导向：本节课以问题为导向，引导学生主动探究知识。通过设计一系列由浅入深的问题，让学生在解决问题的过程中，逐步深入理解最短路径问题。这种教学方法有助于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.小组合作：组织学生进行小组合作活动，让学生在讨论、交流中共同解决问题。这种教学策略能够培养学生的团队合作能力和沟通能力，提高他们的解决问题的能力。

动点最短路径问题初二数学

动点最短路径问题初二数学动点最短路径问题听上去挺高大上的，但其实它就像我们生活中的很多小烦恼，稍微想一想就能搞明白。

想象一下，你在一个新城市里，满脑子都是“去哪儿吃好吃的”这种问题，哦，真的让人头疼！如果有个地图指引你走最短的路，那该多好啊。

这个问题就是这么回事儿，咱们的目标就是找到最短的路径，让自己不再像无头苍蝇一样乱转。

先说说这动点，听上去好像很抽象，其实就是你在地图上的各种位置。

比如说，家、学校、商店、电影院，简直就是“点”的大集合。

我们要做的就是在这些点之间找到一条最短的路。

听起来是不是简单？不过，事情往往没有那么简单。

因为有时候你会发现，尽管你想去A点，但要经过B点和C点，而这条路可能比直接走A点更绕。

不过，这就是生活，谁不是在不停地绕圈子呢？咱们就要引入一个很有趣的概念了——最短路径。

就像你去超市买零食，结果发现货架上的薯片比你想的贵，心里不禁嘀咕：“这不是我想要的最短路径啊！”在数学里，最短路径就是让我们以最少的距离、时间，甚至是金钱，达到目的地。

哦，这听上去就像是人生的哲学，越简单越好，干嘛非得绕圈子呢？这时候，你可能会想：那到底要怎么计算最短路径呢？别急，咱们可以用一些简单的数学方法。

比如说，大家都知道的“图”就能帮到你。

把所有的点都画出来，然后连线，就像拼图一样，把所有可能的路径都罗列出来。

然后再一个个比对，找出那条最短的。

你说，是不是很像咱们在游戏中找捷径？每次冲刺都想找那条最短的路，哈哈，生活其实就是一个大游戏，谁不想多拿几分呢？最短路径的问题也可以带来一些有趣的变体。

想象一下，如果你有一个小队伍，大家一起出发，要怎样才能让每个人都走得快、走得好呢？这时候就需要考虑团队的协作。

像是排队一样，每个人都得把自己的位置搞清楚，才能不耽误时间。

生活中也是如此，团队合作能让我们事半功倍，达到最终的目标，大家一起享受胜利的喜悦。

动点最短路径问题，不仅仅是一个数学题，它更像是我们生活中的一面镜子。

八下勾股定理最短路径问题的做题方法

八下勾股定理最短路径问题的做题方法哎呀，说到勾股定理，这可是数学里的老朋友了。

记得我上初中那会儿，勾股定理可是让我头疼了好一阵子。

不过，现在回头看看，其实它也没那么难嘛，尤其是用它来解决最短路径问题，简直就是小菜一碟。

来来来，让我给你细细道来。

首先，咱们得知道勾股定理是啥。

简单来说，就是在一个直角三角形里，斜边的平方等于两直角边的平方和。

用数学公式表示就是：a² + b² = c²。

这里的a和b是直角边，c是斜边。

好了，现在咱们来聊聊怎么用勾股定理解决最短路径问题。

想象一下，你站在一个直角三角形的直角顶点，想要走到斜边的对面顶点。

你可以选择沿着直角边走，也可以直接走斜边。

显然，斜边是最短的路径，因为两点之间线段最短嘛。

但是，有时候问题会复杂一些。

比如，你面前的不是一条直线，而是一条曲线，或者有障碍物挡着。

这时候，勾股定理就派上用场了。

举个例子，假设你在一个长方形的操场上，从A点出发，想要到达对角线的B点。

但是，操场中间有一条河，你过不去。

这时候，你可以先走到河边的C点，然后沿着河走到D点，最后从D点走到B点。

这样，你就找到了一条最短的路径。

具体怎么计算呢？首先，你需要测量AC和CD的距离。

然后，用勾股定理计算出AD的距离。

最后，把AC、CD和AD的距离加起来，就是你的最短路径长度。

这里有个小技巧，就是尽量让直角三角形的直角边垂直或平行于障碍物。

这样，你就可以直接用勾股定理计算出最短路径了。

当然，实际情况可能会更复杂。

有时候，你需要用到一些辅助线，或者把问题分解成几个小问题来解决。

但是，只要你掌握了勾股定理，并且善于观察和思考，就一定能找到最短的路径。

最后，我想说的是，勾股定理不仅仅是一个数学公式，它其实是一种思维方式。

当你遇到问题时，不妨换个角度思考，也许就能找到意想不到的解决方案。

就像最短路径问题，看似复杂，其实只要用对了方法，就能迎刃而解。

好了，今天的分享就到这里了。

13.4 最短路径问题人教版数学八年级上册堂堂练(含答案)

13.4最短路径问题—2023-2024学年人教版数学八年级上册堂堂练1.如图，在中，，，面积是10.AB的垂直平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则周长的最小值为( )A.5B.7C.10D.142.如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC的长和BD的长，且，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是( )A.750米B.1000米C.1500米D.2000米3.如图，在四边形ABCD中，，，P是CD边上的动点，要使的值最小，则点P应满足的条件是( )A. B. C. D.4.如图,直线是一条河,是两个村庄,计划在上的某处修建一个水泵站,向两村庄供水,现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道,则所需管道最短的是( )A. B.C. D.5.如图，在△ABC中，,AD,CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是( )A.BCB.CEC.ADD.AC6.如图，是两个蓄水池，都在河流的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到两地，问该站建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）7.如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M,N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M,N的距离相等？（用圆规和直尺作图，写出作法并保留作图痕迹）8.如图，在平面直角坐标系中，.(1)在图中作出关于y轴对称的；(2)写出点的坐标：________，________，________；(3)求的面积；(4)在y轴上画出点P，使的值最小.答案以及解析1.答案：B解析：如图，连接AF，AP.，，，，，，DE垂直平分线段AB，，的周长，，的最小值为5，的周长的最小值为7.故选B.2.答案：B解析：作A关于CD的对称点，连接交CD于P，则，，，在和中，，，，，P为CD的中点，米，米.3.答案：D解析：如图所示，作点A关于CD的对称点，连接，交CD于点P，连接AP，则的最小值为的长，点P即为所求.点与点A关于CD对称，，，，故D符合题意.由图可知，选项A和选项B不成立，而C只有在时才成立，故选项C不一定成立.故选D.4.答案：D解析：作点关于直线的对称点,连接,交直线于点,则点即水泵站的位置.故选D.5.答案：B解析：连接PC.因为AD是△ABC的中线，所以.因为，所以，易得，所以.因为，所以当点P,C,E共线时，的值最小，最小值为CE的长度.故选B.6.答案：7.答案：如图，①连接MN；②作线段MN的垂直平分线l，交直线AB于点C，则点C即所求位置.8.答案：(1)如图所示.(2)(3)的面积.(4)如图，连接，与y轴交于点P，P点即为所求.。

人教版八年级数学上册1最短路径问题教学课件

最短路径问题
如图，在直线上求作一点，使得 + 最短.

、在直线异侧
′
、在直线同侧
例：造桥选址问题
例
如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
. 桥造在何处可使从到的路径最短（假定
河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）?

作 ′ 关于直线的对称点 ′′.
′

′
′

′′

连接 ′′，与直线交于一点即
为所求点 .
问题
在直线上求作两点，，使
得四边形的周长最小.
练习已知线段，点、在直线的同侧，在直线上求
作两点，（点在点的左侧）且 = ，使得
四边形的周长最小.
思考

哪些点是定点？

哪些点是动点？

思考
问题是否可以简化？
问题转化为：
当点在什么位置时， + + + 最小.
问题转化为：当点在什么位置时， + 最小.

′
思考
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），
座桥．桥造在何处可使从到的路径
最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
当点在直线的什么位置时，
+ + 最小？

实际问题用数学语言表达.

最新八年级数学最短路径问题

初二数学最短路径练习题及答案