数学中的类比思想

小议数学中的类比思想

王 安 平

关键字：类比的思想 数形之间、数数之间的类比

所谓类比，是指两种事物之间存在着相互类似的性质或特点。这个词来源于希腊文“analogia ” 原意为比例，后来引申为某种类似的事物。

类比的思想方法在科学发展中占有着十分重要的地位。例如，著名科学家牛顿的万有引力定律就是把天体运动与自由落体运动做类比而发现的；著名的生物学家达尔文把植物的自花受精与人类的近亲结婚相类比，从而发现了自己子女体弱多病的原因。

类比的思想涉及了对知识的迁移。所谓迁移就是一种学习对另一种学习的影响。在教学中我们应当注意对学生迁移意识的培养，也就是说要注重运用类比的思想。

在我们平时的数学教学中，经常发现在数学中有一些相类似的概念，可以利用类比法进行学习；另外，在教学中也可以利用类比的思想进行教学。的确，类比法是学习数学的一种常用方法。

数学的类比主要体现在以下几个方面：

㈠ 几何图形之间的类比

（1） 几何形体数量关系的类比 平面图形

立体图形 三角形面积公式：ah S 21

= 三棱锥体积公式：Sh V 31=

梯形的面积公式：h b a S )(21+= 棱台的体积公式：

h S S S S V )(3

12211++= 在以往的高考题目中，也出现了类似题目。

例如：在某年上海的高考模拟题中的一道题：

已知：在平面几何有勾股定理：“假设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则有关系：222BC AC AB =+。”当我们拓展到空间，类比平面几何的勾股定理并研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系时，我们可得到相应结论：假设三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两

两垂直，则2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++

（2） 几何性质之间的类比

例如，几何体中的椭圆与双曲线就有很多的相似之处： 焦点类型

在x 轴或在y 轴上 焦点坐标

（1）在x 轴上)0,(c ±

（2）在y 轴上),0(c ±

离心率 a c e = 准线 （1） 在x 轴上c

a x 2±= （2） 在y 轴上c

a y 2±= 在平面几何与立体几何中也存在性质之间的类比，例如：

三角形存在唯一的

外接圆和内切圆

三棱锥存在唯一的外接球和内切球 三角形的三条中线三棱锥的四条中线

交于一点，且该点分每条中线的比为1:2

相交于一点，且该点分

每条中线的比为1:3 三角形的三条角平分线交于一点，这个点是三角形内切圆的圆心。 三棱锥的六个二面

角的平分面相交于一

点，这个点是三棱锥内

切球的球心。

同样是在某年上海的高考模拟题中的一道题：

已知：在三角形中存在余弦定理：A bc c b a cos 2222-+=，

那么，在三棱柱111C B A ABC -中存在关系（假设α表示平面11B BCC 与平面11A ACC 所成的二面角）：

αcos 2111111111

1222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S -+= ㈡ 数与形之间的类比

众所周知，初等数学可分为代数与几何。在数学发展的初期，代数与几何是相互独立的两个学科,但随着解析几何的产生，代数与几何实现了统一。数形结合的思想也是我们在平时教学过程中需重点培养学生所具备的一种数学思想。下面我们看几道例题： 例1：求函数x

x y sin 2cos 3+-=的最值 分析：这道题如果我们按照代数运算的常规解法，只能作出如下解答： 2222222min max 3cos 2sin 3cos sin cos 322sin 1sin()32sin()111|32|1(32)1312806362363633333

x y y y x x y x x y x

y x y x y y y y y y y y y y y θθ-=⇒+=-⇒+=-⇒+++=-⇒+=⇒≤++⇒-≤

+-≤+⇒-+≤⇒-+-+≤≤⇒==

但是本题，我们若利用数形结合的思想，则会使解答过程大幅度简化。当我们考虑到题目所给形式与直线的斜率公式

)(211

212x x x x y y k ≠--=有些类似时，我们可以认为原题为：过动点)cos ,sin (x x -与定点)3,2(的连线的斜率的最值，很明显，点)cos ,sin (x x -是单位圆上的点。假设过点)3,2(的直线方程为)2(3-=-x k y ，则求原题的最值就转化为求上面这条直线与单位圆相切时k 的值。由原点到直线的距离为1，所以通过点到直线的距离可得，6233

k ±=

。 所以，原题min max 62362333y y -+==。 例2 求函数22()4131026f x x x x x =-+-+

分析：对于这道求函数最值的问题，我们可以利用判别式的方法或其它一些代数方法进行求解，但是它们的计算量都较大。当我们观察到题目中只含有二次根式，并且在二次根式中含有二次式，同学们可以联想一下，在高中阶段我们所学的公式中，两点间的距离公式是满足这种形式的。所以，可以将原函数配凑成两点间距离公式的形式2222)10()5()30()2()(++-+-+-=x x x f 。可见，这里面包含着三个点(x ,0),(2,3)和(5,-1)。依次设三点为A,B,C ，其实本题就是在求AB AC +的最小值。在坐标系内画出这三点，其中A 点在x 轴上移动，当这三点共线时AB AC BC +=；当A 点不在BC 上时，这三点构成三角形，由三角形的知识我们知道AB AC BC +>。不难看出，只有当三点共线时AB AC +有最小值BC 。 所以，min min ()()5f x AB AC BC =+==