矢量与张量(续)

笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定 数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的 变换法则变换。n 阶张量满足以下的坐标变换规律：
T β β L β T iii2L in
i1 j1 i2 j2
in jn j1 j2L jn
张量有不同的阶和结构，这由它们所遵循的不同的变换法则来
• 矢量的旋度
算子与一个矢量V 的叉积可写成×V 的形式，称之为V 的
旋度，它的分量形式为：
e1 e2 e3 V ce1 (v1,3 v3,1)e2 (v2,1 v1,2)e3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
x2
xi 正方向的单位基矢量
e i
V v1e1 v2e2 v3e3 viei
W U V u1 v1 e1 u2 v2 e2 u3 v3 e3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
任意两矢量a和 b的点积: a b | a || b | cos(a, b)
由叉积定义,若 e1, e2 , e3 是直角坐标系的单位基矢量，则：
ei e j ei jkek
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矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
三矢量a,b,c的三重标量积或框积
[a,b,c] [b,c,a] [c,a,b] a (b c) aibjckeijk
aicibses aibicses (ac)b (ab)c
即
a(bc) (ac)b(ab)c
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
一个标量值，如温度，由空间中一点的位置决定，可以根据该点的坐 标表示为一个函数f(x1,x2,x3)，函数f(x1,x2,x3)=常数，表示三维空间中的一个 面，则该函数被认为是一个标量场，流体粒子的速度V (x1,x2,x3)是矢量场 的一个例子，它依赖于位置和方向。
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
三重矢量积
a (b c) aiei (bje j ckek ) aiei (bjcke ejkt t )
aibjcke ejkt itses aibjcke ejkt istes aibjck ( ji ks jski)es
分量关系为:
bij aij
并积：两个同维同阶（或不同阶）张量的并积（或称外积）是一个
阶数等于两个张量阶数之和的高阶张量，其分量由两个张量的分量
两两相乘而得。以αi为一阶，bij为两阶，可以由张量的乘法得到一
个新的张量为：
cijk aibjk
其中指标的顺序不能任意调换。
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矢量和张量
G= grad ，
xi
ei
eii
Hamilton 算子
算子矢量，其自身没有实际意义，而是一种方便的运算符号。
• 矢量的散度 算子与一个矢量的点积定义为这个矢量的散度。
V divV v1 v2 v3 矢量的散度为一标量场 x1 x2 x3
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矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
弹塑性力学与有限元
弹塑性力学与有限元 —矢量与张量（续）
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
主要内容
引言 指标记法与求和约定 克罗内克（Kronecker-δ）符号和ɛijk（交错张量） 坐标的变换 矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场 笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
➢ 张量的缩并
任意两矢量的点积 基矢量点积
a b aiei bje j aibjδij aibi a jbj
ei e j δij
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矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
任意两矢量U和 V的叉积:
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3 (u2v3 u3v2)e1 (u3v1 u1v3)e2 (u1v2 u2v1)e3
a1 a2 a3 b1 b2 b3
c1 c2 c3
aiei bjck e e jkl l aibjck e e jkl i el
aibjck e jkl il
aibjck e jki aibjck eijk
a,b,c为共点棱的平行六面体的体积，a,b,c构成右手系为正
《弹塑性力学与有限元》
• 标量场的梯度
假定在空间某区域定义一个标量φ， ( x1 , x 2 , x3 )
那 x1,么x2,可x其3的以中导得G数到i为，φ矢分即量别，G对的三分个量坐，标称为φ的G梯i=度x，i 是个,i 矢 量i。(i=1,i ,2,3x)i
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矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
aij bij
加(减)法:若两个同维同阶张量与之和（或差）是另一个同维同阶张量
，则和（或差）的分量是两个张量的对应分量之和（或差）。以二阶
张量为例：
cij aij bij
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矢量和张量
笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
➢ 乘法
张量和一个数（或标量函数）相乘得到另一个同维同阶张量，其
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矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
如下图，三维空间直角坐标系Oxyz,
x3
x1, x2 , x3
x, y, z
P
rV
e3
o
x1
e1
e2
任意两图矢2.量1 之和:
P点坐标（x,y,z）
(x1, x2 , x3 )
P点坐标可记为： xi (i 1,2,3)
区分。一般地，三维空间中的一个n 阶张量则有 3n 个分量。
而标量和矢量可分别看作为零阶和一阶张量 ，应力张量、应 变张量是二阶张量；还有三阶、四阶等高阶张量。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
➢ 相等和加(减)法
相等: 若两个张量和相等，则对应分量相等。以二阶张量为例：