矢量与张量(续)
附录矢量与张量运算
附录 矢量与张量运算1标量﹑矢量与张量1.1大体概念在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。
咱们超级熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就能够够表示其状态。
例如质量、压强、密度、温度等都是标量。
矢量那么是在空间有必然取向的物理量，它既有大小、又有方向。
在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。
考虑直角坐标右手系，三个坐标轴别离以1、2和3表示，、2和3别离表示1、2和3方向的单位矢量。
若是矢量a 的三个分量别离为a 1、、a 2、a 3，那么能够表示为也能够用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3) 矢量a 的大小以a 表示a =(a 12+a 22+a 32)1/2咱们还会碰到张量的概念，可将标量看做零阶张量，矢量看做一阶张量，在此将要紧讨论二阶张量的概念。
二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。
张量w 可用矩阵的形式来表示：w其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。
假设w ij =w ji ，那么称为对称张量。
若是将行和列互彼此换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则w T =显然，假设w 是对称张量，那么有w =w T 。
另外，若是w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。
任何一个二阶张量都能够写成两部份之和，一部份为对称张量，另一部份为反对称张量。
w =(w +w T )+ (w -w T )单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量是最简单的对称张量。
张量对角分量之和称为张量的迹t r w =张量的迹是标量，若是张量的迹为零，称此张量为无迹张量。
1.2大体运算1.2.1矢量加法与乘法运算在几何上，矢量的加法知足平行四边形法那么和三角形法那么。
如图附-1所示，减法为加法的逆运算。
1e e e a 332211e e e a a a a ++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211w w w w w w w w w ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313322212312111w w w w w w w w w 2121δ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001δδ∑iiiw图附-1 矢量加减法在解析上，矢量加法（减法）为对应分量之和（差）。
电动力学——矢量和张量课件
矢量和张量vectors and tensors中山大学理工学院黄迺本教授(2005级,2007年3月)如果不理解它的语言,没有人能够读懂宇宙这本书,它的语言就是数学.——Galileo经典电动力学的研究对象——电磁相互作用的经典场论——狭义相对论——电动力学的相对论协变性主要数学工具微积分、线性代数、矢量与张量分析、数学物理方程、级数等.教材和参考书教材：郭硕鸿《电动力学》（第二版）高等教育出版社，1997参考书：[1]黄迺本，方奕忠《电动力学（第二版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004[2]J.D.杰克孙《经典电动力学》人民教育出版社，1978[3]费恩曼物理学讲义，第2卷，上海科技出版社，2005[4]朗道等《场论》人民教育出版社，1959[5]蔡圣善等《电动力学》（第二版），高等教育出版社，2003[6]尹真《电动力学》（第二版），科学出版社，2005[7]Daniel R Frankl,ELECTROMAGNETIC THEORY,Prentice-Hall,Inc.,1986矢量和张量目录(contens)1.矢量和张量代数(the algebra of vectors and tensors)2.矢量和张量分析(the analysis of vectors and tensors)3.δ函数(δ function)4.球坐标系和柱坐标系1 矢量和张量代数在三维欧几里德空间中，按物理量在坐标系转动下的变换性质，可分为标量（零阶张量），矢量（一阶张量），二阶张量，及高阶张量.（见郭硕鸿，电动力学，P258）分为：0 阶张量，即标量(scalar)，在3维空间中，只有30 = 1个分量.标量是空间转动下的不变量.例如，空间中任意两点之间的距离r ，就是坐标系转动下的不变量.温度、任一时刻质点的能量、带电粒子的电荷、电场中的电势，等等,都是标量.1阶张量，即矢量(vector)，在3维空间中，由31 = 3个分量构成有序集合.例如，空间中任意一点的位置矢量r ，质点的速度v 和加速度a ,作用力F 和力矩M ,质点的动量p 和角动量L 、电流密度J ,电偶极矩p ,磁偶极矩m ,电场强度E ,磁感应强度B ,磁场矢势A ，等等都是矢量.2阶张量(tow order tensor )，在3维空间中，由32 = 9个分量构成有序集合.例如，刚体的转动惯量→→I ,电四极矩→→D ,等.3阶张量，在3维空间中，由33 = 27个分量构成有序集合.矢量表示印刷——用黑体字母，如 r , A 书写——在字母上方加一箭头，如 A r ,正交坐标系的基矢量正交坐标系(如直角坐标系,球坐标系,柱坐标系)基矢量321,e e e ,的正交性可表示为⎩⎨⎧≠===⋅ji j i ij 01δj i e e (1.1) 一般矢量A 有三个独立分量A 1，A 2，A 3，故可写成∑==++=31332211i i i A A A A ee e e A (1.2)矢量的乘积两个矢量的标积与矢积，三个矢量的混合积与矢积分别满足A B B A ⋅=⋅ (1.3)A B B A ⨯-=⨯ (1.4))()()(B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ (1.5))()()(B A C A C B C B A ⋅⋅=⨯⨯- (1.6)并矢量与二阶张量两个矢量A 和B 并置构成并矢量j i e e e e e e e e AB j j i i B A B B B A A A ∑==++++=31,332211332211))(( (1.7)它有9个分量j i B A 和9个基j i e e ，一般地BA AB ≠.三维空间二阶张量也有9个分量ij T ，它的并矢量形式与矩阵形式分别为j i e e ∑=→→=31,j i ij T T (1.8)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211T T T T T T T T T T (1.9) 张量的迹是其主对角线全部元素(分量)之和：332211tr T T T T ++= (1.10)单位张量的并矢量形式与矩阵形式分别是332211e e e e e e ++=→→I (1.11)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100010001I (1.12)因此(Ⅰ.1)式中的符号ij δ实际上是单位张量的分量.对称张量与反对称张量 若ij ji T T =，称之为对称张量，它有6个独立分量，若对称张量的迹为零，则它只有5个独立分量.单位张量是一个特殊的对称张量. 若ij ji T T -=，称之为反对称张量，由于0332211===T T T ，反对称张量只有3个独立分量.任何张量ij T 均可写成一个对称张量ij S 与一个反对称张量ij A 之和，即ij ij ij A S T +=，只需使)/2(ji ij ij T T S +=，)/2(ji ij ij T T A -=.二阶张量与矢量点乘，结果为矢量.由(Ⅰ.1)式，有∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij j ij i j ki ij ji k k k ij ij k k T A e T A T A T e e e e A ji δ,, (1.13) ∑∑∑∑==⋅=⋅→→ij i ij j i ij k j i k k k k ij ij T A e T A A T T e e e e A jk j i δ,, (1.14)一般地A A ⋅≠⋅→→→→T T . 但单位张量与任何矢量点乘，均给出原矢量：A A A =⋅=⋅→→→→I I (1.15) 并矢量与并矢量、或二阶张量与二阶张量双点乘，结果为标量.运算规则是先将靠近的两个矢量点乘，再将另两个矢量点乘：))(()()(D A C B CD AB ⋅⋅=: (1.16)2 矢量和张量分析（1）算符∇和2∇物理量在空间中的分布构成“场”(field).表示“场”的物理量一般地是空间坐标的连续函数，也可能有间断点，甚至会有奇点.例如:温度T 、静电势ϕ的分布都构成标量场；电流密度J 、电场强度E 、磁感应强度B 、磁场矢势A 的分布都构成矢量场.∇是对场量作空间一阶偏导数运算的矢量算符，2∇=∇⋅∇是二阶齐次偏导数运算的标量算符，即拉普拉斯算符.在直角坐标系中z y x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e ，2222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ (2.1) 三个基矢量z y x e ,e ,e 均是常矢量.（2）标量场的梯度(gradient of a scalar field)标量场ϕ在某点的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e (2.2)是一个矢量，它在数值上等于ϕ沿其等值面的法向导数，方向沿ϕ增加的方向，即n dnd ϕϕ=∇ (2.3) 例如静电势ϕ的分布是一个标量场,E =-∇ϕ即变成矢量场——静电场.（3）矢量场的散度(divergence of a vector field)矢量场A 通过某曲面S 通量(flux)定义为⎰⋅=ΦSd S A (2.4) 其中n S dS d =是曲面S 某点附近的面积元矢量，方向沿曲面的法向n .对于闭合曲面(closed surface)，规定S d 的方向沿曲面的外法向.对于矢量场A 中包含任一点)(z y x ,,的小体积V ∆，其闭合曲面为S ，定义极限A S A ⋅∇=∆⋅⎰→∆Vd SV 0lim (2.5) 为矢量场A 在该点的散度，它是标量.在直角坐标系中zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (2.6) 若0≠⋅=Φ⎰S d S A , 则该点散度0≠⋅∇A ，该点就是矢量场A 的一个源点； 若0=⋅=Φ⎰Sd S A ，则该点散度0=⋅∇A ，该点不是矢量场A 的源点. 若处处均有0=⋅∇A ，A 就称为无散场(或无源场)，它的场线必定是连续而闭合的曲线.磁场B 就是无散场(solenoidal field ).高斯定理(Gaussl theorem ) 对任意闭合曲面S 及其包围的体积V ，下述积分变换定理成立⎰⎰⋅∇=⋅S V A S A dV d (2.7) 由此推知，若A 是无散场，即处处有0=⋅∇A ，则A 场通过任何闭合曲面的净通量均为零.（4）矢量场的旋度(curl of a vector field)矢量场A 沿闭合路径(closed contour)L 的积分⎰⋅Ld l A 称为A 沿L 的环量(circulateon)，其中l d 是路径L 的线元矢量.若对任意闭合路径L ，均有0=⋅⎰Ld l A (2.8) 则称A 为保守场（conservative field ）.当闭合路径L 所围成的面积元S ∆是某点P 的无限小邻域，我们约定：路径积分的绕行方向即d l 的方向，与其所围成的面积元S ∆的法向n 成右手螺旋关系，并定义极限n LS S d )()(lim 0A n A l A ⨯∇=⋅⨯∇=∆⋅⎰→∆ (2.9)为矢量场A 在该点的旋度A ⨯∇在n 方向的分量.在直角坐标系中z x y y z x x y z yA x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (2.10) 它是矢量.按上述约定若()0>⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成右手涡旋；若()0<⨯∇n A ，则A 线在该点周围形成左手涡旋；若()0=⨯∇n A ，A 线在该点不形成涡旋.如果所有点上均有0=⨯∇A ,A 就称为无旋场.例如静电场E 就是无旋场(irrotational field).斯托克斯定理(stokes theorem) 对任意的闭合路径L 所围的曲面S ，下述积分变换成立()S A l A Sd d L ⋅⨯∇=⋅⎰⎰ (2.11) （5） 矢量场的几个定理标量场的梯度必为无旋场：0=∇⨯∇ϕ (2.12)【证】对任意标量场ϕ的梯度zy x z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕe e e 取旋度，可得[]0)()(=∂∂∂∂-∂∂∂∂=∇⨯∇yx x y x ϕϕϕ， []0=∇⨯∇y ϕ，[]0=∇⨯∇z ϕ 逆定理：无旋场必可表示成某一标量场的梯度，即若0=⨯∇A ,必可令ϕ∇=A例如对于静电场强度E ，就可用标势ϕ的负梯度描写: ϕ-∇=E .矢量场的旋度必为无散场：0=⨯∇⋅∇A (2.13)【证】0)()()(=∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂=⨯∇⋅∇y A x A z x A z A y z A y A x x y z x y z A 逆定理：无散场必可表成另一矢量场的旋度，即若0=⋅∇B , 必可令A B ⨯∇=例如对于磁感应强度B ，就可用矢势A 的旋度描写.（6）算符运算标量函数ϕ的梯度ϕ∇是矢量，矢量函数f 的散度f ⋅∇是标量，旋度f ⨯∇是矢量，而f ∇是二阶张量：∑∑∑===∂∂=∂∂=∇31,3131j i i j j j i i x f f x j i j i e e e e f (2.14)若ϕ和φ是标量函数，f 和g 是矢量函数，有ϕφφϕϕφ)()()(∇+∇=∇ (2.15) ϕϕϕ)()()(f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇ (2.16) ϕϕϕ)()()(f f f ⨯∇+⨯∇=⨯∇ (2..17) f g g f g f ⋅⨯∇⋅⨯∇=⨯⋅∇)()()(- (2.18) f g g f g f f g g f )()()()()(⋅∇+∇⋅⋅∇-∇⋅=⨯⨯∇- (2.19) g f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇ (2.20) g f g f fg )()()(∇⋅+⋅∇=⋅∇ (2.21) f f f 2)()(∇⋅∇∇=⨯∇⨯∇- (2.22)上述运算不必采用化成分量的方法进行，只要抓住算符∇的微分作用及其矢量性质，便可快捷准确地写出结果.当∇作用于两个函数的乘积（或两个函数之和）时，表示它对每一个函数都要作微分运算，可以先考虑∇对第一个量的作用，并将这个量记为∇的下标，以示算符只对此量执行微分运算，第二个量则视为常数，再考虑∇对第二个量的作用，此时亦将第二个量记为∇的下标，第一个量则视为常数；必须注意的是，算符不能与其微分运算对象掉换次序.例如(2.16)式，)(f ϕ⋅∇是对矢量f ϕ求散度，故运算结果的每一项都必须是标量，我们有ϕϕϕϕϕϕ)()()()()(f f f f f ⋅∇+⋅∇=⋅∇+⋅∇=⋅∇f又如(2.20)式，)(g f ⋅∇是对标量g f ⋅求梯度，结果的每一项都必须是矢量，先把它写成)()()(g f g f g f ⋅∇+⋅∇=⋅∇g f再根据三矢量的矢积公式(1.6)式，但结果中必须体现f ∇对f 的微分作用，以及g ∇对g 的微分作用，故有f g f g g f )()()(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇fg f g f g f )()()(∇⋅+∇⨯⨯=⋅∇gg f g f f g f g g f )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇右方所得结果中第二项实际上是f g ∇⋅，第四项是g f ∇⋅.（7）积分变换⎰⎰⋅=⋅∇SV d dV S A A )( （高斯定理） (2.23.) →→→→⋅=⋅∇⎰⎰T d dV T SV S )( (2.24) ⎰⎰⋅=⋅⨯∇LS d d l A S A )( （斯托克斯定理） (2.25) ⎰⎰⋅∇=∇+∇SV d dV S )()(22φϕϕφφϕ（格林公式） (2.26) ⎰⎰⋅∇-∇=∇-∇SV d dV S )()(22ϕφφϕϕφφϕ（格林公式） (2.27) 3 δ函数一维δ函数定义为 ⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.1) 1)(='-⎰b adx x x δ ，当b x a <'< (3.2) 主要性质为：)(x x '-δ为偶函数，其导数是奇函数；又若函数)(x f 在x x '=附近连续，有)()()(x f dx x x x f ba '='-⎰δ，当b x a <'< (3.3) 这一性质由中值定理可以证明.三维δ函数定义为⎩⎨⎧'≠'=∞='-x x x x x x 0)(δ (3.4) 1)(='-⎰VdV x x δ，当x '在V 内 (3.5) 因此，位于x '的单位点电荷的密度可表示为)()(x x x '-=δρ. (4.3)式可推广到三维情形，若函数)(x f 在x x '=附近连续，便有)()()(x x x x '='-⎰f dV f V δ，当x '在V 内 (3.6)4.球坐标系和圆柱坐标系直角坐标系当坐标),,(z y x 变化时，三个基矢z y x e ,e ,e 的方向保持不变.常用的微 分运算表达式为z y x zy x e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.1) zA y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A (4.2) z x y y z x x y z y A x A x A z A z A y A e e e A )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⨯∇ (4.3) 2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕϕϕϕ (4.4)曲线正交坐标系任一点的坐标也可用曲线正交坐标系描述，沿三个坐标),,(321u u u 增加方向的基矢量321e ,e ,e 互相正交，随着坐标变化，一般地三个基矢量的取向将会改变.无限小线元矢量l d 、坐标i u 的标度系数i h ，以及微分算符分别为333222111332211e e e e e e l du h du h du h dl dl dl d ++=++= (4.5)21222])()()[(ii i i u z u y u x h ∂∂+∂∂+∂∂= (4.6) 333222111111u h u h u h ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e (4.7) )]()()([13321322132113213212u h h h u u h h h u u h h h u h h h ∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇ (4.8) 球坐标系r u =1，θ=2u ，φ=3u ；11=h ，r h =2，θsin 3r h =.三个基矢r e e =1，θe e =2，φe e =3的方向均与坐标θ和φ有关，而与r 无关.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x e e e e e e r 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin φφθφθφθθφθφθφθ (4.9) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡φθθθφφθφθφφθφθe e e e e e r 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin z y x (4.10)坐标变换为φθcos sin r x =，φθsin sin r y =，θcos r z = (4.11)常用的微分运算表达式为φϕθθϕϕϕφθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 11r r r re e e (4.12) φθθθθφθ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇A r A r A r rr r sin 1)sin (sin 1)(122A (4.13) φθθφθφθφθφθθθe e e A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=⨯∇r r r A A r r r A r r A r A A rsin -))-(1(sin 11)sin (1 (4.14) 2222222sin 1)sin (sin 1)(1φϕθθϕθθθϕϕ∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=∇r r r r r r (4.15) 立体角元、球面积元与体积元分别为φθθd d d sin =Ω (4.16) Ω===d r d d r dl dl dS r 2232sin φθθ (4.17) φθθd drd r dl dl dl dV sin 2321== (4.18)柱坐标系r u =1，φ=2u ，z u =3； 11=h ，r h =2，13=h .三个基矢量r e e =1，φe e =2 ，z e e =3中，r e 和φe 的方向均与坐标φ有关，z e 则为常矢量.与直角坐标系基矢的变换为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z y x z e e e e e e r 1000cos sin 0sin cos φφφφφ (4.19) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡z z y x e e e e e e r φφφφφ1000cos sin 0sin cos (4.20)坐标变换为φcos r x =，φsin r y =，z z = (4.21)常用的微分运算表达式为z r zr r e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇ϕφϕϕϕφ1 (4.22) z A A r A r r r z r ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇φφ1)(1A (4.23)z r z r r z A A r r r rA z A z A A r e e e A ]([1()1(φφφφφ∂∂-∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=⨯∇))-- (4.24)2222221)(1z r r r r r ∂∂+∂∂+∂∂∂∂=∇ϕφϕϕϕ (4.25) 体积元为dz rdrd dl dl dl dV φ==321 (4.26)例1．设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u dudfu f ∇=∇)( (1) dud u u AA ⋅∇=⋅∇)( (2) dud u u AA ⨯∇=⨯∇)( (3) 【证】对于)(u f ∇，注意到du df u f =∂∂，有u drdf z u y u x u du df zf y f x f u f z y x z y x∇=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∇)()(e e e e e e在直角坐标系中将矢量A 写成分量形式，便可证明(2)式和(3)式.例2．从源点（即电荷电流分布点）x '到场点x 的距离r 和矢径r 分别为222)()()(z z y x y x x r '-+'-+'-= z y x z z y -y x -x e e e r )-()('+'+'=)(对源变数x '和场变数x 求微商的算符分别为z y x z y x'∂∂+'∂∂+'∂∂=∇'e e e ,zy x zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∇e e e 证明下列结果，并体会算符∇'与∇的关系：rr r r=∇'-=∇ (单位矢量) (1) 3=⋅∇'-=⋅∇r r (2) 0=⨯∇'-=⨯∇r r (3)→→=∇'-=∇I r r (单位张量) (4) 311rr r r-=∇'-=∇(5)033=⋅∇'-=⋅∇rrr r ，（0≠r ） (6) 033=⨯∇'-=⨯∇r r r r (7)【证】 将算符∇与∇'分别作用于r 和矢径r 的表达式，可得到(1)至(4)式的结果.利用前面1.2题的第一式和本题(1)至(4)式的结果，得3211)(1rr r r dr r d r rr -=-=∇=∇- 0)(333=⋅∇+⋅∇=⋅∇-r r r -r r r ，（当0≠r ） 0)(333=⨯∇+⨯∇=⨯∇-r r r -r r r同理可证31r r r =∇'；03=⋅∇'rr ，当0≠r ；03=⨯∇'r r.事实上，对任意的标量函数)(r f 和矢量函数r )(r f ，不难证明)()(r f r f ∇'-=∇；])([])([r r r f r f ⋅∇'-=⋅∇ ])([])([r r r f r f ⨯∇'-=⨯∇；])([])([r r r f r f ∇'-=∇即算符∇与∇'存在代换关系∇'-→∇.这种代换将会经常用到.。
向量 矢量 张量
向量矢量张量
向量、矢量、张量都是数学中常见的术语，它们都可以用来表示各种场景中的数据，这些术语可以帮助我们理解数据的概念和结构。
向量是一种最基本的数学结构，它可以用来描述单一的量，通常是一个数字和相关的方向。
它可以用来表达物理量，例如速度和加速度，也可以用来表示几何概念，例如位置和方向。
向量可以用来描述一维、二维或三维的数据。
矢量也是一种数学概念，它是一类特殊的向量，其元素具有相同的单位。
它经常用于描述物理量，如力、重力和重量等，也可以用于描述几何概念，例如距离、角度和旋转等。
矢量既可以用来描述一维、二维也可以用来描述三维的数据。
张量是一种多维数学结构，可以用来表示一组数据的多维特征。
它可以用来描述物理量，如弹性力、热质量和重量等，也可以用来描述几何概念，例如坐标系等。
张量可以用来描述二维、三维、四维和更高维度的数据。
- 1 -。
数学准备矢量分析与张量初步
注意：这里面法向或者面元方向 与线元绕向 成右手螺旋关系。
Gauss 定理和 Stokes 定理是矢量分析中的基本定理，必须熟练掌 握。
前面定义的矢量微分算符
Gw ei wxi 是个特殊的量，既是矢量，
又是算符。因此，在运算过程中，既要遵守微分的运算规则，也要遵 守矢量的运算规则。
因为 是线性算符，当 a, b 为常数时，有
电动力学
1
重视： 1) 重视课堂内容 2) 课后看书、看课件，把概念和知识点理解清楚； 3) 独立推导一些基本的公式，独立完成作业； 4) 阅读参考书和文献，掌握一些与教材内容密切相关的 课外知识； 5) 鼓励围绕课堂学习内容所撰写的问题讨论。
第一章 矢量分析与张量初步
2
第一章 数学准备：矢量分析与张量初步
取正号，在后面的取负号。
矢量的混合积满足
GGG 这是由矢量 A 、 B 、 C 构成的斜立方体的“体积”。
! （1.8）
记住方法： 9 这个混合积是一个标量，因此只可能是两个矢量的叉积与一 个矢量的标积； 9 当最后运算的矢量位于最前位置时，只要保持循环顺序，并 且叉与点积的位置不变。
GGG GGG GGG (B u C) A (A u B) C (C u A) B.
也是无旋场。
常用运算：
电动力学
9
球面上沿着矢径方向的梯度
还有：
G E
=EG0eikGxG
（
与位置矢量 无关）
G GG u E ik u E
易证明：任何标量场的梯度场都是无旋场：
u M { 0
! （1.17）
即标量场的梯度为无旋场。
易证明：矢量场的旋度为无源场
G ( u A) 0.
矢量和张量
手坐标系的轴，矢量V在两个坐标系中
的分量分别为vi 和 vi ，则有
vi lij v j
• lij cos(xi, xi ) 称为方向余弦，即 xi 与 x j
轴夹角的余弦。
方向余弦表
新坐标 轴
x1
x2
x3
老坐标轴
x1
x2
x3
l11
l12
l13
l21
• 根据线性变换的思想来定义张量。
• 标量不受坐标变换的影响，定义为零阶 张量，分量数=30=1。
• 满足 vi lijv j ，这些矢量称为一阶张量， 分量数=31=3。
• 满足 aij liml jnamn ，称为二阶张量，分量 数= 32=9。
• 满足aijk liml jnlkpamnp ，称为三阶张量， 分量数=33=27。
W U V
• W的大小等于由U和V组成的平行四边形 的面积。
• 矢量积的计算式为
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3
e1(u2v3 u3v2 ) e2 (u3v1 u1v3 ) e3(u1v2 u2v1)
• 矢量叉积不满足交换律和结合律：
U V (V U )
• 在下标中，用一个逗号表示微分，如：
vi ,i
v1 x1
v2 x2
v3 x3
V
1.3.2 ij符号（Kronecker符号）
•克罗内尔符号可看作是一个单位矩阵的 缩写形式，即
1 0 0
ij 0 1 0
0 0 1
•由求和约定可得到
ii 11 22 33 3
• 由于
ij v j vi
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
连续介质力学-例题与习题
《连续介质力学》例题和习题第一章 矢量和张量分析第一节 矢量与张量代数一、矢量代数令112233A A A =++A e e e ,112233B B B =++B e e e ,则有112233A A A αααα=++A e e e111222333()()()A B A B A B +=+++++A B e e e112233112233112233()()A A A B B B A B A B A B •=++•++=++A B e e e e e e112233112233111112121313212122222323313132323333()() A A A B B B A B A B A B A B A B A B A B A B A B ⨯=++⨯++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯A B e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e又因为: 11⨯=e e 0;123⨯=e e e ;132⨯=-e e e ;213⨯=-e e e ;22⨯=e e 0;231⨯=e e e ; 312⨯=e e e ;321⨯=-e e e ;33⨯=e e 0则: 233213113212213(_)()()A B A B A B A B A B A B ⨯=+-+-A B e e e 习题:1、证明下列恒等式：1）[]2()()()()⨯•⨯⨯⨯=•⨯A B B C C A A B C2) [][]()()()()⨯•⨯=•⨯-•⨯A B C D A C D B B C D A2、请判断下列矢量是否线性无关？1232=-+A e e e 23=--B e e 12=-+C e e .其中i e 为单位正交基矢量。
3、试判断[]816549782-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 是否有逆矩阵；如有，请求出其逆阵[]1-A 。
二、张量代数例1：令T 是一个张量，其使得矢量a ，b 经其变换后变为2=+Ta a b ，=-Tb a b ，假定一个矢量2=+c a b ，求Tc 。
张量补充
张量补充对称张量：ji ij TT →→→→=反对称张量：ji ij T T→→→→-=，必有0332211===T T T 1.张量代数1.1张量的加减：两个张量相加或相减时，是将它们对应的分量分别相加或相减，并服从交换律和结合律。
1.2张量与标量的乘积：标量与张量相乘，相当于用该标量乘张量的每一个分量。
即j i e e T ∑∑==→→=3131i j ij T ϕϕ1.3张量与矢量的乘积1.3.1矢量与张量的标积：当矢量与并矢点乘时，矢量仅与并矢中相邻的一个矢量点乘，运算结果为一个矢量。
即→→→→→→→→→⋅=⋅=⋅b a f b a f T f )()(，把并矢本身消掉了。
同理：)()(→→→→→→→→→∙=∙=∙f b a f b a f T ，所以→→→→→→∙≠∙f T T f 1.3.2矢量与并矢的矢积：矢量与并矢矢乘时，矢量仅与并矢中相邻的一个矢量矢乘，运算结果为一个新的张量。
即→→→→→→→→→⨯=⨯=⨯b a f b a f T f )()(，同理：)()(→→→→→→→→→⨯=⨯=⨯f b a f b a f T ，所以→→→→→→⨯≠⨯f T T f 由此可知，张量与矢量的乘积不满足交换律。
当然，如果对象是单位张量，就未必如此了。
因为单位张量与任意矢量的点乘，恒等于这个矢量本身。
即→→→→=⋅f I f ，所以任意矢量与单位张量的点乘积满足交换律，即f I I f ⋅=⋅→→→→1.4张量与张量的乘积1.4.1张量与张量的点积：当一个并矢与另一个并矢点乘时，两个并矢中相邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量构成并矢，其运算结果为一个新的并矢，同样，二阶张量与二阶张量的点积为一个新的二阶张量：→→→→→→→→→→→→⋅=⋅='⋅da cb dc b a T T )()()(1.4.2张量与张量的双点积：当一个二阶张量与另一个二阶张量二次点乘时，两个张量中相邻的两个矢量点乘，余下的两个矢量再进行一次点乘，其运算结果为一个标量。
张量分析(Tensor Analysis)
所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定数目的分量 的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。
张量有不同的阶和结构，这由 它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢 量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶等高 阶张量。 张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律 的方法。采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变
张量分析(Tensor Analysis)
Objectives
1）熟练运用符号与求和约定； 2）熟练掌握张量以及包括基矢量、度量张量等基本张量的定义； 3）熟练掌握张量的运算法则； 4）熟练运用张量表示力学的基本方程。
1 张量的概念
在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中， 有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些 分量按一定的变换法则变换。
r r i 变化时位置矢量r的变化，因此 i i 表征当 x i 的方向是沿坐标曲线 x x x r 的切线方向。矢量 i 可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）： x
r z j gi i i i j x x
注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基 矢量。 基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交； 基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；
设一个量的分量在曲线坐标系 xi （i=1,2,3）中定义，它们是坐标x1 、 x2 、
x3 的函数。若坐标系 xi作容许变换成另一新坐系标 yi （i=1,2,3） ，则可
以定义该量在新坐标系 yi 中的分量，并根据该量的分量在坐标变换时所 遵循的不同变换法则，给予该量以不同的名称。
A)标量、逆变矢量、协变矢量
矢量与张量[整理版]
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§1 向量代数1.1向量的定义从几何观点来看，向量定义为有向线段。
在三维欧氏空间中，建立直角坐标系，沿坐标方向的单位向量为，即其标架为。
设从坐标原点至点的向量为，它在所述坐标系中的坐标为，那么可写成(1.1)设在中有另一个坐标系，其标架为，它与之间的关系为（1.2）由于单位向量之间互相正交，之间也互相正交，因此矩阵(1.3)将是正交矩阵，即有，其中上标表示转置。
从(1.2)可反解出（1.4）向量在新坐标系中的分解记为(1.5)将(1.4)代入(1.1),得到(1.6)公式(1.6)是向量的新坐标和旧坐标之间的关系，它是坐标变换系数的一次齐次式。
这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。
可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。
这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组，如果在坐标变换下为关于变换系数由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。
1.2 Einstein约定求和用求和号，可将(1.1)写成(1.7)所谓Einstein约定求和就是略去求和式中的求和号，例如(1.7)可写成(1.8)在此规则中两个相同指标就表示求和，而不管指标是什么字母，例如(1.8)也可写成(1.9)有时亦称求和的指标为“哑指标”。
本书以后如无相反的说明，相同的英文指标总表示从1 至3 求和。
按约定求和规则，(1.2)、(1.4)可写成(1.10)(1.11)将(1.11)代入(1.8)，得(1.12)由此就得到了(1.6)式的约定求和写法，(1.13)今引入Kronecker记号，(1.14)例如。
应用，单位向量之间的内积可写成(1.15)向量和向量之间的内积可写成(1.16)上式中最后一个等号是因为只有时，才不等于零，在这里的作用似乎是将换成了，因而也称为“换标记号”。
再引入Levi-Civita记号，(1.17)其中分别取1，2，3中的某一个值。
标量、矢量（向量）、张量（tensors）的理解
标量、⽮量（向量）、张量（tensors）的理解
标量
⽤通俗的说法，标量是只有⼤⼩，没有⽅向的量。
如质量、密度、温度、功、能量、路程、速率、体积、时间、热量、电阻、功率、势能、引⼒势能、电势能等物理量。
⽆论选取什么坐标系，标量的数值恒保持不变。
⽮量(向量)
指具有⼤⼩（magnitude）和⽅向的量。
如，⼀个物体的位移
张量（tensors）
张量概念是⽮量概念的推⼴，⽮量是⼀阶张量。
张量是⼀个可⽤来表⽰在⼀些⽮量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函数。
张量，可理解为⼀个 n 维数值阵列
每个张量的维度单位⽤阶来描述,零阶张量是⼀个标量,⼀阶张量是⼀个向量,⼆阶张量是⼀个矩阵
所以标量、向量(⽮量)和矩阵等都是特殊类型的张量。
张量
一、概论1.标量：最简单的物理量，是常量，是一个实数，例如：距离、时间、温度等2.矢量：有方向的，需要用空间坐标系中的三个分量来表示的物理量，如位移、速度、力等；3.张量：最复杂的物理量，需要用空间坐标系中的三个矢量，也即九个分量才能完整地表示出来。
例如：应力状态、应变状态等。
张量是矢量的推广，与矢量相类似，可以定义由若干个当坐标系改变时满足转换关系的分量所组成的集合为张量。
这表明张量的分量之间存在一定的函数关系，这些函数值与坐标选取无关。
即张量的不变量性质。
张量所带的下角标的数目称为张量的阶数。
标量为零阶张量，矢量为一阶张量，用矩阵表示的（张量）为二阶张量，三阶张量用图形无法表示出来。
二、张量1：张量（tensor)的理论来源。
亚瑟·凯莱( Arthur Cayley)着力研究的不变量理论( invariant theory)导致了矩阵理论的建立, 引进了现代意义上的行列式的代数表达, 这成为射影几何的重要工具。
凯莱的不变量理论产生于19世纪前半叶的英国着重对代数及代数在几何方面的应用研究这样的背景下。
矩阵理论对线性变换的研究引进了向量的代数定义, 而这是张量概念的先导。
另一方面, 格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼( Georg Friedrich Bernhard Riemann)提出的n维流形的概念, 这在客观上提出了深入研究代数形式的课题。
黎曼的几何思想在拓展几何学的同时,提高了代数在表达几何对象方面的抽象程度。
黎曼之后, 在克里斯托弗、里奇和列维-契维塔等人的努力下, 形成了张量分析这样的数学方法, 黎曼几何学也因此而建立起来了。
2：张量的定义、性质与应用价值从代数角度讲，它是向量的推广。
我们知道，向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排），矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列），那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。
张量的严格定义是利用线性映射来描述的。
标量矢量张量之间的关系
标量矢量张量之间的关系
标量、矢量和张量都是数学中常见的量，它们之间有以下关系：
1. 标量是一个单一的数值，没有方向和大小之分，它可以看作
是一个0阶张量。
2. 一个矢量具有大小和方向，用于描述物理空间中的位置和方向，是一个具有一条箭头的量。
矢量可以表示为一组有序数字的集合，也就是说，矢量是一个1阶张量。
3. 张量是一个多维数组，具有多个维度，可以描述物理空间中
的物理量和它们的变化。
可以看作是一种广义的矢量，它包含了不仅
仅是大小和方向，而是包含了有关物理过程中各种变化的所有信息。
张量的各维度表示的含义取决于不同的物理问题，可以是空间维度、
时间维度或其他物理量的维度。
因此，可以看出，矢量和标量都是张量的特例，当张量的阶数为
1时，就是矢量；当张量的阶数为0时，就是标量。
而张量可以用矩阵表示，因此矩阵也是一种特殊的张量。
矢量、并矢和张量
(
)
)
(
并矢 并矢
1）两并矢的一次点乘 ： AB ⋅ CD = A B ⋅ C D = A B ⋅ C AD ≠ CD ⋅ AB
( )
(
)
)
2）两并矢的二次点乘 AB : CD = B ⋅ C A ⋅ D
(
)(
)
3）单位张量与矢量、张量的点乘
反向定律： A × B
逆向交换定律： A ⋅ ( B × C ) = B ⋅ (C × A) = C ⋅ ( A × B) 逆向变换定律： A × ( B × C) = B ⋅ (C ⋅ A) − C ⋅ ( A ⋅ B) 4、矢量微分
ˆ dA ˆ dA dA =A +A dt dt dt d ( A ⋅ B) dB dA = A⋅ + ⋅B dt dt dt
i, j
( (
(
) )
)
(
)
C ⋅ AB = C ⋅ A B = B C ⋅ A = B A ⋅ C = BA ⋅ C
(
)
(
)
(
)
电动力学讲稿●附录
AB × C = C × AB =
(
A B ×C C×A B
电动力学讲稿●附录
矢量、并矢和张量的计算
一、矢量 1、矢量表示形式
3 ˆ x + Ay e ˆ y + Az e ˆ z = ∑ Ai e ˆi A = Ax e i =1 3 ˆx + By e ˆ y + Bz e ˆ z = ∑i , j =1
lecture7(II) 矢量与张量
ab b1ae1 b2ae2 b3ae3 biaei
i
SdS a VdV a
S dS abiei VdV abiei
S dS abiei VdV abiei
i
i
S dS ab VdVab
T11 T22 T33 0
张量代数
张量的加减
两个张量相加或相减时，是将它们对应的分量分 别相加或相减，并服从交换律和结合律。
张量与标量的乘积
标量与张量相乘，相当于用该标量乘张量的每一 个分量。即
3 3
T
Tijeie j
i1 j1
张量与矢量的乘积
* 矢量与张量的标积 当矢量与并矢点乘时，矢量仅与并矢中相邻的一
个矢量点乘，运算结果为一个矢量。即
f T f (ab) ( f a)b
显然，矢量与张量的标积不满足交换律，即
fT Tf ？
* 单位张量与矢量的标积
单位张量与任意矢量的点乘，恒等于这个矢量本 身。即
f I f
？即
f I If
张量与张量的乘积
T11 T22 T33 1 T12 T23 T31 T21 T32 T13 0
时，张量称为单位张量，用
I
表示。
二阶张量是否一定能表示成两个矢量的并矢形式？
* 两个张量相等是指它们所有的分量分别相等 * 当张量满足
Tij Tji
时，称为对称张量。 * 当张量满足
Tij Tji
时，称为反对称张量。此时有
二阶张量的9个分量可以用矩阵的形式表示为
或简写成
T11 T12 T13
T21
T22
T23
T31 T32 T33
Tij (i, j 1,2,3)
矢量和张量
称它为拉普拉斯算符(有些作者以符号△表示，特 别在早期德国文献中)。与梯度、散度和旋度一样， 拉普拉斯算符只具有分配律性质。
矢量场的拉普拉斯算符
虽然上式在直角座标系下成立，但不能应用于曲线 座标系，所以把矢量场的拉普拉斯算符定义为：
就可用于曲线座标系。
二阶张量
本节将给出一些与张量和并矢量相关的一些 运算方法。这些运算在传递现象的理论中 会遇到，特别是动量传递中。
• 矢量及其大小的定义： 矢量v定义为一个具有一定大小和方向的量。 矢量的大小记作| v | 。或以非黑体的斜体字 v来标记。二个矢量v和w如果大小相同，方 向亦相同，则此二矢量相等；它们不一定 是同线的，亦不一定具有同一原点。如果v 和w的大小相同，但方向相反，则v ＝-w。
矢量的加法和减法
两个矢量的加法可以用熟知的平行四边形 法则进行运算；矢量减法运算如下：改变 一个矢量的符号，然后与另一失量相加。
定义和符号 矢量v可以用一组分量v1，v2和v3来确定。相似地， 一个二阶张量τ可以用九个分量η11， η12 ，η13 ，η21 等等来确定。为简便起见，这些分量可以写成
不要把这一排列的数组与行列式相混淆；后者 亦可作这种排列，但在此只是一组有序的数， 而行列式是这些数的某一种确定的乘积的和。 两个下标相同的元素称为对角元素，而二下标 不同的元素为非对角元素。如果η12＝η21 ，η13 ＝η31 ， η23＝η32那么η称为对称张量。张量η的 转置是对每个元素的二个下标变换后所得的一 个张量记作η T：
式中nvw是单位长度的矢量(“单位矢量”)，它与v和 w组成的平面垂直，其方向是右螺旋的前进方向(矢 量v按最短路径旋转到w)。矢量积的几何表示如图 A．1—4所示。矢量积的大小正好等于矢量v和w组 成的平行四边形面积。按矢量积定义，我们有
矢量张量公式及推导
T ij k
;l
Tijk xl
T mj i k ml
T im j k ml
T ij m m lk
2. 由张量的协变导数和克里斯托夫的坐标转换公式可以证明协变导数是张量的分量。
3.
2xl'
为了证明这点，先注意
x jxi
x k x l '
x i ' x k
2 xl' x jxi
k i' l' k
gig j
Tijk xl
gig jgk
T ij k
iml
g
mg
j
g
k
T ij k
jml g
i
g
mg
k
T ij k
lkmg
i
g
j
g
m
( Tijk xl
T mj k
mi l
Timk mjl
Tijmlmk )gig jg k
分量表现形式的导数，协变导数：
1.
由张量的导数，定义张量的协变导数：lTijk
克里斯托夫符号：
1.
g j
第二类克里斯托夫符号：
x i
ikj g k ， ikj 称为第二类克里斯托夫符号
2.
g j
第一类克里斯托夫符号：
x i
ij,k g k ， ij,k 称为第一类克里斯托夫符号
3. 两类克里斯托夫符号的关系，由 gij 和定义可知 ij,k grk irj
4. 克里斯托夫符号不是张量，仿射坐标中为 0，曲坐标中不为 0，其分量不可能满足坐标 变换关系。
imnijk为度量张量的分量显然jiij所以ijkjikkjik两类克里斯托夫符号的关系由ijijrk克里斯托夫符号不是张量仿射坐标中为0曲坐标中不为0其分量不可能满足坐标变换关系
(参考资料)矢量与张量常用公式的证明
矢量与张量常用公式的证明并矢的常用公式有（1）()()()AB A B A B ∇⋅=∇⋅+⋅∇K K K K K K（2）()()()AB A B A B ∇×=∇×−×∇K K K K K K设S 为区域Ω的边界曲面，n K为S 的法向单位矢量（由内指向外），有 （3）d ()d ()S S AB V AB Ω⋅=∇⋅∫∫K K K K Kv（4）d d S S A V A Ω×=∇×∫∫K K Kv（5）d d S S u V u Ω=∇∫∫Kv（6）d ()d ()S S AB V AB Ω×=∇×∫∫K K K K Kv（7）d d SS A V A Ω=∇∫∫K K Kv设L 为曲面S 的边界，L 的方向与S 的法线方向成右手螺旋关系，有（8）d d LSl u S u =×∇∫∫K Kv说明：以下的证明都是在直角坐标系下进行的，在直角坐标系下，kk e x ∂∇=∂K ，k e K为常矢量，可放在k x ∂∂前或后。
常把k x ∂∂记为k ∇，所以k k e ∇=∇K。
在证明过程中注意d d i i S S e =K K，d d i i l l e =K K ，时刻不忘爱因斯坦求和约定。
并且在证明过程中，经常利用公式i j i j k k e e e ε×=K K K ，ijk i j k A B A B e ε×=K K K ，ijk i j k A A e ε∇×=∇K K，()A B C ×⋅K K Kijk i j k A B C ε=等。
下面是证明过程：（1）()()()()k k i i j j k i j k i j AB e Ae B e A B e e e ∇⋅=∇⋅=∇⋅K K K K K K K K()()k i j ki j k k j j A B e A B e δ=∇=∇K Kj k kk k j j j j k k k k j j B A A B e B e A A B e ⎡⎤⎡⎤=∇+∇=∇+∇⎣⎦⎣⎦K K K ()()()()()()j j k k k k j j B e A A B e B A A B =∇+∇=∇⋅+⋅∇K K K K K K()()A B A B =∇⋅+⋅∇K K K K（2）()()()()k k i i j j k i j k i j AB e Ae B e A B e e e ∇×=∇×=∇×K K K K K K K K()i k j j k i kip p j A B B A e e ε=∇+∇K K（k i kip p e e e ε×=K K K ） kip i k j p j j kip k i p j A B e e B Ae e εε=∇+∇K K K K()()()()ikp i k p j j kip k i p j j A e B e Ae B e εε=−∇+∇K K K K （ijk i j k A B A B e ε×=K K K ，ijk i j k A A e ε∇×=∇K K ）()()()()A B A B A B A B =−×∇+∇×=∇×−×∇K K K K K K K K在后面的几个公式的中，要利用Gauss 公式d d S A S A V Ω⋅=∇⋅∫∫K K Kv ，Gauss 公式也可以写成d d SS A V A Ω⋅=∇⋅∫∫K K Kv ，或者d d i i i i SS A V A Ω=∇∫∫v 。
矢量和张量
在柱坐标系中，对应(r，θ，z)的拉梅系数h为(1，
r，1)故有
在球坐标系中，对应(r，θ，φ)的拉梅系数h为(1，
r，rsin θ)故有
称它为拉普拉斯算符(有些作者以符号△表示，特 别在早期德国文献中)。与梯度、散度和旋度一样， 拉普拉斯算符只具有分配律性质。
矢量场的拉普拉斯算符
虽然上式在直角座标系下成立，但不能应用于曲线 座标系，所以把矢量场的拉普拉斯算符定义为：
就可用于曲线座标系。
二阶张量
本节将给出一些与张量和并矢量相关的一些 运算方法。这些运算在传递现象的理论中 会遇到，特别是动量传递中。
两个矢量的加法可以用熟知的平行四边形 法则进行运算；矢量减法运算如下：改变 一个矢量的符号，然后与另一失量相加。
矢量和标量的乘法
用一标量乘一矢量，仍为一矢量，它的大 小改变，但方向不变。下述定律适用；
二矢量的标量积(或点积)
二矢量v和w的标量积为一标量，定义如下：
v w vwcosvw
a31 a32 a33
矢量及其大小的定义：单位矢量
一矢量v可以完全地用其在 座标抽I，2，3上的投影 v1,v2,v3来描述(见左图)。因 此一矢量可以解析地表示为：
3
v 1v1 2v2 3v3 ivi i 1
一矢量的大小如下式所给：
上面介绍过的单位矢量具有了下述几个性质 它们可归纳如下； 式中δij和εijk分别是前边介绍过的克罗内克符号和交错 单位张量。
v v 0
矢量运算的解析表示
克罗内克符号(Kronecker delta)δij和交错单位张量εijk， 可把许多公式表达得更为简单。它们的定义如下：
ij 1 若i j
张量和矢量的关系
张量和矢量的关系哎呀，我来和你们唠唠这张量和矢量的关系呀，可真是把我折腾得够呛呢，不过现在也算是摸着点门道啦，就和你们说说呗。
我刚开始学这俩玩意儿的时候呀，脑袋那叫一个懵，完全搞不懂张量是啥，矢量又是啥，更别说它们之间的关系啦。
就瞅着那些个公式呀，符号呀，感觉就像看天书似的，心里直犯嘀咕，这都啥呀，咋这么让人迷糊呢？我记得有一回上课，老师在讲台上讲得那叫一个带劲，又是在黑板上画那些箭头呀，又是写一堆复杂的式子。
我呢，就瞪着眼睛努力听，可还是听得云里雾里的。
下了课，我实在忍不住啦，就跑去找老师问：“老师呀，您能再给我讲讲张量和矢量到底咋回事儿不？我咋就听不明白呢？”老师瞅了我一眼，笑着说：“嘿，这矢量呢，简单来说呀，就是有大小有方向的量，就好比你在操场上跑步，从这头跑到那头，跑的距离就是大小，而跑的方向就是方向啦，这就是个矢量呀。
”我听了，似懂非懂地点点头，心里想着，哎呀，这说得好像也不难呀，可咋就理解起来这么费劲呢？老师又接着说：“那张量呢，它可就更复杂点儿啦。
张量可以看成是好多矢量按照一定规则组合起来的东西呢。
比如说呀，你想象一下，有好多不同方向、不同大小的矢量，它们就像一群小蚂蚁似的，按照某种方式排排队，组合在一起就变成了张量啦。
”我听了，眼睛瞪得老大，惊讶地说：“啥？这么复杂呀，那它们之间到底啥关系呢？”老师就耐心地解释说：“你看啊，矢量其实可以看成是一种特殊的张量呀，就像是张量这个大家庭里的一个小分支啦。
张量的概念更宽泛，它可以包含各种各样的情况，而矢量就是其中比较简单、有明确方向和大小的那一种情况呢。
”我听了，还是有点迷糊，就挠挠头说：“老师，我还是不太明白呀，能不能再举个例子呢？”老师想了想，说：“行嘞，那我再给你举个例子吧。
你看咱们生活中的力呀，力就是矢量，它有大小，比如说你推一个箱子，用了多大的力，这就是力的大小，还有方向，你是往左边推还是往右边推，这就是力的方向啦。
那要是我们考虑好多不同的力，在不同的情况下，怎么去描述它们呢？这时候就可能会用到张量啦，张量就像是一个大口袋，把这些不同的力矢量呀，还有其他相关的量呀，都装在里面，按照一定的规则来处理它们呢。
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笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定 数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的 变换法则变换。n 阶张量满足以下的坐标变换规律：
T β β L β T iii2L in
i1 j1 i2 j2
in jn j1 j2L jn
张量有不同的阶和结构，这由它们所遵循的不同的变换法则来
• 矢量的旋度
算子与一个矢量V 的叉积可写成×V 的形式，称之为V 的
旋度，它的分量形式为：
e1 e2 e3 V ce1 (v1,3 v3,1)e2 (v2,1 v1,2)e3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
x2
xi 正方向的单位基矢量
e i
V v1e1 v2e2 v3e3 viei
W U V u1 v1 e1 u2 v2 e2 u3 v3 e3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
任意两矢量a和 b的点积: a b | a || b | cos(a, b)
由叉积定义,若 e1, e2 , e3 是直角坐标系的单位基矢量，则：
ei e j ei jkek
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
三矢量a,b,c的三重标量积或框积
[a,b,c] [b,c,a] [c,a,b] a (b c) aibjckeijk
aicibses aibicses (ac)b (ab)c
即
a(bc) (ac)b(ab)c
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
一个标量值，如温度，由空间中一点的位置决定，可以根据该点的坐 标表示为一个函数f(x1,x2,x3)，函数f(x1,x2,x3)=常数，表示三维空间中的一个 面，则该函数被认为是一个标量场，流体粒子的速度V (x1,x2,x3)是矢量场 的一个例子，它依赖于位置和方向。
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
三重矢量积
a (b c) aiei (bje j ckek ) aiei (bjcke ejkt t )
aibjcke ejkt itses aibjcke ejkt istes aibjck ( ji ks jski)es
分量关系为:
bij aij
并积：两个同维同阶（或不同阶）张量的并积（或称外积）是一个
阶数等于两个张量阶数之和的高阶张量，其分量由两个张量的分量
两两相乘而得。以αi为一阶，bij为两阶，可以由张量的乘法得到一
个新的张量为：
cijk aibjk
其中指标的顺序不能任意调换。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
G= grad ，
xi
ei
eii
Hamilton 算子
算子矢量，其自身没有实际意义，而是一种方便的运算符号。
• 矢量的散度 算子与一个矢量的点积定义为这个矢量的散度。
V divV v1 v2 v3 矢量的散度为一标量场 x1 x2 x3
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
弹塑性力学与有限元
弹塑性力学与有限元 —矢量与张量（续）
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
主要内容
引言 指标记法与求和约定 克罗内克（Kronecker-δ）符号和ɛijk（交错张量） 坐标的变换 矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场 笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
➢ 张量的缩并
任意两矢量的点积 基矢量点积
a b aiei bje j aibjδij aibi a jbj
ei e j δij
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
任意两矢量U和 V的叉积:
e1 e2 e3 W U V u1 u2 u3
v1 v2 v3 (u2v3 u3v2)e1 (u3v1 u1v3)e2 (u1v2 u2v1)e3
a1 a2 a3 b1 b2 b3
c1 c2 c3
aiei bjck e e jkl l aibjck e e jkl i el
aibjck e jkl il
aibjck e jki aibjck eijk
a,b,c为共点棱的平行六面体的体积，a,b,c构成右手系为正
《弹塑性力学与有限元》
• 标量场的梯度
假定在空间某区域定义一个标量φ， ( x1 , x 2 , x3 )
那 x1,么x2,可x其3的以中导得G数到i为，φ矢分即量别，G对的三分个量坐，标称为φ的G梯i=度x，i 是个,i 矢 量i。(i=1,i ,2,3x)i
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
aij bij
加(减)法:若两个同维同阶张量与之和（或差）是另一个同维同阶张量
，则和（或差）的分量是两个张量的对应分量之和（或差）。以二阶
张量为例：
cij aij bij
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
➢ 乘法
张量和一个数（或标量函数）相乘得到另一个同维同阶张量，其
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
如下图，三维空间直角坐标系Oxyz,
x3
x1, x2 , x3
x, y, z
P
rV
e3
o
x1
e1
e2
任意两图矢2.量1 之和:
P点坐标（x,y,z）
(x1, x2 , x3 )
P点坐标可记为： xi (i 1,2,3)
区分。一般地，三维空间中的一个n 阶张量则有 3n 个分量。
而标量和矢量可分别看作为零阶和一阶张量 ，应力张量、应 变张量是二阶张量；还有三阶、四阶等高阶张量。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
笛卡尔张量的定义、张量的性质、各向同性张量
➢ 相等和加(减)法
相等: 若两个张量和相等，则对应分量相等。以二阶张量为例：