第三章 非高斯白噪声中的信号检测(已校)

检测的步骤：
检测

求似然比 （x）
进一步化简似然比，确定门限。
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求 似 然 比 p ( x | H i ); 即 ： 求 N 个 数 据 点 的 联 合 p d f；
前 提 ： 联 合 p d f可 分 离 成 各 数 据 点 p d f的 连 乘 ； (能 不 能 求 ？ 由 自 相 关 函 数 或 功 率 谱 决 定 ??)

T 0
R n ( t ) h1 ( ) d s1 k 5R5 (5t 5 5 )5f5 (5F) d E
0 n k k fk ( t ) T



k 1
k
s
k 1
1k .
f k ( t ) s1 ( t )
h 1 (t ) * R n (t )
V a r [ xi / H 1 ] V a r [ xi / H 0 ]
p ( xk | H i ) n维 联 合 分 布 p ( xn | H i ) ( x k s ik ) 2 1 ex p 2k 2 k

n
k 1
( x k s ik ) 2 1 ( ) ex p 2 k 2k
jk 0 t
0
dt
2 T
T
g (t )e
jk 0 t
定 义 ： f k (t ) e g (t )
jk 0 t
k


a k f k ( t ) dt
*
显 然 ： f k (t )相 互 正 交

T
f i ( t ) f j ( t ) dt C ( i j )
2
(3) 若 R n ( ) 是 实 偶 f k ( t ) 是 实 的 。
（ 4） x(t) 的 K -L 展 开 步 骤 ： a. 按 （ 3.7） 求 出 正 交 函 数 集 f k ( t )， k ＝1， 2... b. 按 （ 3.4） 计 算 K-L系 数 x k
2、 高 斯 色 噪 声 中 的 确 知 信 号 检 测 二 元 检 测 ： H 0： x ( t ) = s 0( t ) + n ( t ) H 1: x ( t ) = s 1( t ) + n ( t ) n ( t ) 是 零 均 值 、 平 稳 、 高 斯 ， R n ( ) 如何检测？ 0 t T
*
所 有 f k ( t )的 结 合 ， 称 为 完 备 正 交 函 数 集
。
除 f k (t ) e
jk 0 t
（ k=1,2,...） 集 合 外 ，
还 有其 它 的 完 备 正 交 集 ，
只需满足

T 0
f i ( t ) f j ( t ) dt C ( i j )(3.1)即 可
3 .1 高 斯 色 噪 声 的 信 号 检 测
二 元 检 测 : H 0： x ( t ) s 0 ( t ) n ( t ) H 1： x ( t ) s1 ( t ) n ( t )
0tT
n (t ) : 零 均 值 高 斯 分 布 ， 平 稳 的 ，
相 关 函 数 R n ( ) 或 S n ( )
i 则 co v{ x i , x j } 0 即 不 相 关 xi , x j

j i j i
在 （ 3 . 7 ） 中 ， j 积 分 方 程 的 特 征 值 ， f j (t ) 积 分 方 程 的 特 征 函 数 ， R n (t 1 -t 2 ) 积 分 方 程 的 核 函 数 结论： 选 择 正 交 函 数 集 ｛ f k ( t )｝ 满 足 （ 3 . 7 ） ，
*

T 0
s (t ) f k (t ) d t
nk

T 0
n (t ) f k (t ) d t
*
K L 系 数 ： x k＝ s k n k
（ 2 ）Q n ( t ) 高 斯 零 均 值 平 稳 R n ( ), xi , x j不 相 关 独 立 ， 且 i V a r [ xi ] i
3.0 引言
第一章：建立了噪声中信号检测的理论基础 检测：利用概率和统计工具，在某一个最佳 准则下，设计检测器的数学模型，即设计最 佳接收机。 第二章：高斯白噪声背景的信号检测

基 于 和 信 号 与 噪 声 分 类 的 检 测
信号
确知信号 随机参量信号 随机信号
随相信号 随幅信号 随频信号 随机TOA 白噪声
( )
S n ( )
N0 2
其 中 ： 幅 度 分 布 为 高 斯 p d f确 知
实 际 情 况 ： 带 限 白 噪 声 ： R n ( )为 辛 格 函 数
以 t=
0
为 间 隔 采 样 ， x1 , x 2 , ..., x n 不 相 关 独 立 ，
p ( x | H i ) p ( x1 | H i )... p ( x n | H i ) 似 然 比 (x) p(x | H1) p(x | H 0 )
0
s1 ( t ) f k ( t ) d t
*
T 0
条件方差： V a r [ x i ] E { [ x i E ( x i )] } co v( x i , x i )
2
由 公 式 （ 3 － 6 ） an d （ 3 － 7 ） V a r[ xi ]

T 0
f i ( t1 ) i f i ( t1 ) d t1 i
要 检 测 ： 求 似 然 比 求 数 据 点 的 联 合 pdf
相关导致难求

去 相 关 求 各 点 pdf .
（ 注 意 :用 KL分 解 系 数 计 算 检 测 统 计 量 ）
处理步骤： 1、 由 R n ( )， 根 据 （ 3.7） 可 得 归 一 化 正 交 函 数 集 ｛ fk(t)｝ , 2、 可 由 （ 3.4） 得 K-L系 数 x k。 3、 求 pdf 因 为 x k是 高 斯 的 ， 且 相 互 独 立 ， 求 出 其 均 值 、 方 差 ， 可 得 条 件 pdf .
高斯
使 K - L 系 数 x i间 不 相 关 独 立 。
K-L分 解 的 结 论 ：
（ 1 ) 若 ｛ f i ( t )｝ 是 完 备 的 归 一 化 正 交 函 数 集 ， 对 x (t)= s(t)+ n (t) xk 0tT sk

T 0
x (t ) f k (t ) d t 分 隔
问 题 ： 如 何 判 决 H 0， H 1为 真 ？
1` 信 号 的 卡 亨 南 － 洛 维 展 开 （ Karhunen-Loeve） (K-L分 解 ) 若 g(t)： 以 T为 周 期 的 周 期 信 号 ， 则 可 展 开 为 FS： g(t)= ak 1
k＝ -

T

a ke
* 0 T
co v{ x i , x j } E { [ x i E ( x i )][ x j - E ( x j )] }
*
=E {
T 0

T 0
f i ( t1 ) f j ( t 2 )n (t 1 )n (t 2 )d t 1 d t 2 }
*
*
c o v { xi , x j }
2
1
似然比： ex p
n） = （x
p ( x n| H 1 ) p ( x n| H 0 )
(x
k 1 n
n
k
s1 k )
2

H 2k 1 2k H0
2 ex p ( x k s 0 k ) k 1
0
取对数：
*
若 同 时 满 足 C ＝1， 则 称 集 合 ｛ fk(t)}, k=1,2,...为 归 一 化 的 正 交 函 数 集
。
利 用 ｛ fk(t)},对 任 意 信 号 x(t),可 分 解 为
x ( t ) = x k . f k (t )
k
0 t T (3 .3 )
T 0
x ( t ) f i ( t ) dt
（第三章第一部分内容）
(2) 若 n ( t ) 是 非 高 斯 分 布 ， 且 非 白 x 1 , x 2 , ... , x n 不 可 能 相 互 独 立 且 pdf 未 知 或 部 分 已 知 即 ： n (t )分 布 未 知 时 如 何 检 测 信 号 ？ ？ 非参数检测。（第三章第二部分内容）

0
T
T 0
f i ( t1 ) f j ( t 2 )R n (t 1 -t 2 )d t 1 d t 2
T 0
*

T 0
f i ( t1 ) [
*
f j ( t 2 )R n (t 1 -t 2 )d t 2 ] d t 1 (3 .6 )
仅当
T 0
f j ( t 2 )R n (t 1 -t 2 )d t 2 j f j ( t1 )(3 .7 )
求 出 单 一 数 据 点 的 p d f；
（ 能 不 能 求 ?由 分 布 决 定 ？ ？ ）
问题： （ 1 ）若 n ( t ) 是 高 斯 分 布 但 非 白 ， R n ( ) N0 2
( )
即 ： S n ( w ) 常 数 x1 , x 2 , ..., x n 不 可 能 不 相 关 ； 此时如何对信号进行检测？ 高斯白噪声背景下信号的检测问题。
* 0
T
x
k k
*
f k ( t ) f j ( t ) dt x j
*
xk

T 0
x ( t ) f k ( t ) d t (3 .4 )
称 之 为 K L分 解
对 接 收 信 号 ： x (t)= s(t)+ n (t) 若 x(t)的 K-L分 解 系 数 为 xk , 观 察 （ 3.4） ， 因 n ( t ) 高 斯 分 布 x k为 高 斯 分 布 . 若 x k间 不 相 关 ， 则 x k间 相 互 独 立 。 下 面 观 察 x k的 相 关 系 数 协 方 差 ： A. B. E [ x k ] ＝ s (t ) f k (t ) d t

ln 0
（ 3.17）
Q 2 x k s1 k ＝ G1 ( n )
2 x ( t ) s1 ( t ) f k ( t ) d t 0
T

T 0
n s1 k 1 x ( t ) s1 ( t ) f k ( t ) d t (3 .1 9 ) 2 144442 44443 k 1 k h1 n ( t )
当 n : G 1 lim G 1 ( n )
n

T 0
1 x ( t ) s1 ( t ) h1 ( t ) d t 2
h1 ( t )


s1 k
k 1
k
f k (t )
（ 3.21）
观 察 ： h 1 (t ) * R n (t ) ＝ ＝
H1
ln ( x n )
1
144444442 4444 4 443
G1 ( n )
2
n
s1 k
k 1
k
( 2 x k s1 k )
1
144444442 444444 43 H 0
k 1 G0 ( n )
2
n
s0 k
k
( 2 x k s1 k )
加性噪声
高斯噪声
非高斯噪声
色噪声 白噪声
色噪声
第二章：所有假设均为高斯白噪声背景
即 ： n (t ) 高 斯 白 噪 声 : H 0 : x (t ) s0 (t ) n (t ) H 1 : x ( t ) s1 ( t ) n ( t ) R n ( ) N0 2
条件均值： 假 设 是 实 信 号 R n ( ) 实 偶 f k ( t ) 实 的 E [ x k / H 0 ] s 0 k ; E [ x k / H 1 ] s1 k s0 k s1 k

T 0 T
s0 (t ) f k (t ) d t
*

T 0
s 0 (t ) f k (t ) d t s1 ( t ) f k ( t ) d t