组合数学4章作业答案

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高中数学第4章计数原理4-3组合第2课时组合在实际问题中的应用分层作业湘教版选择性必修第一册

对于D,这5名毕业生分配到该山区的A,B,C三所小学,每所学校至少分配1
人,共有(C53AC2122C11
+
C 52
C
2 3
C 11
A
2 2
)A33
=150
种分配方案,故
D
错误.故选
AB.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
14.(2023全国甲,理9)有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天
同的位置的排列方法数有A44种,根据分步乘法计数原理,完成这件事共有 C52A44=240 种不同的分配方案.故选 C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
4.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,
其中一个路口3人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有( A )
A 必备知识基础练
1.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班中,要求每个班至少分到一人,则甲被分到A班的分法种数为( B )
A.6
B.12
C.24
D.36
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
解析 (方法 1)根据题意分 2 步进行分析:第一步,将甲、乙、丙、丁 4 名同学分为 3 组,有C42=6 种分组方法;第二步,将甲所在的组分到 A 班,剩下 2 组安排到 B,C 班,有A22=2 种情况.则由分步乘法计数原理可知共有 6×2=12 种分法. 故选 B. (方法 2)依题意,若 A 班只有 1 名同学,则这名同学一定是甲,然后将乙、丙、丁 3 人分到 B,C 两个班,则有C32A22=6 种不同的分法;若 A 班有 2 名同学,则问题转化为乙、丙、丁 3 位同学分到 A,B,C 三个班中,共有A33=6 种不同的分法, 由分类加法计数原理可知共有 6+6=12 种不同的分法,故选 B.

组合数学（卢开澄）第4章课后习题答案

组合数学（卢开澄）版第四章答案4.1，若群G 的元素a 均可表示为某一个元素x 的幂，即a=x m，则称这个群为循环群，若群的元素交换律成立。

即a ，b ∈G 满足，a ·b=b ·a证明：令a= x m ，b= x n ，则a ·b= x m ·x n = x n ·x m=b ·a ，因此是阿贝尔群4.2若x 是群G 的一个元素，存在一最小的正整数m ，使x m=e ，则称m 为x 的阶，试证： C={e,x,x 2,…x m-1}是G 的一个子群。

证明：一个群G 的不空集合H 作成G 的一个子群的充分必要条件是：1,a b H ab H a H a H-∈⇒∈∈⇒∈,a b 是H 的任意元素。

由题意知C 中的任意两个元素如,a b C ∈则ab C ∈；a C ∈则1a C -∈。

所以21{,,,,}m C e x x x -= 是G 的一个子群。

4.3设G 是阶为n 的有限群，则G 的所有元素的阶都不超过n 。

证明；因为G 中每有元素都能生成一个与元素等阶的子群，子群的阶当然不能超过群G 的阶；所以则G 的所有元素的阶都不超过n 。

4.4若G 是阶为n 的循环群，求群G 的母元素的数目，即G 的元素可表示a 的幂： a 1 ，a 2 。

a n 的元素a 的数目。

证明：若一个群G 的每一个元都是G 的某一固定元a 的乘方，我们就把G 叫做循环群；我们也说，G 是由元a 所生成的，并且用符号()G a =来表示。

所以就有一个这样的a ，即就有一个母元素。

4.5 试证循环群G 的子集也是循环群根据子群的定义，循环群G 的子群应满足循环群G 所满足的所有运算。

所以其子群页应该是循环群。

4.6若H 是G 的子群，x 和y 是G 的元素，试证xH ∩yH 或为空，或为xH=yHx,y ∉G若 xH ⋂yH ≠Φ可知：存在g ∈xH,g ∈yH 由g ∈xH,知存在h 1∈H,有g=xh 1;由g ∈yH,知存在h 2∈H,有g=yh 2; 从而有 xh1=yh2 ⇒x=y(h 2h 11-)------------式1任取z ∈xH,则存在h ∈H,有z=xh-------------------式2将-式1代入-式2： z=y(h 2h 11-)h=y(h 2h 11-h)--------- -式3H 是子群，有h 1，h 2，h ∈H 可推知，h 2h 11-h ∈H从而 y(h 2h 11-h) ∈yH.再由式3知 z ∈yH,这样我们就可推知xH ⊆yH 同理可推得 yH ⊆xH综上知道 yH=xH4.7若H 是G 的子群，H =k ，试证：xH =k ，其中x ∈GH =k设 H={n h h h h 32,1,} 同时对于i,j ∈{k ,3,2,1} 当i ≠j 时，有ah i≠ah j(否则，若有ah i =ah j ，由消去律得h i =h j ，矛盾) 表明{}n h h h h 32,1, 为n 个不同元而aH 恰有这些元组成，故 aH =k, ∴aH =H4．8有限群G 的阶为n ，H 是G 的子群，则H 的阶必除尽G 的阶。

组合数学第四版答案

组合数学第四版答案组合数学第四版答案【篇一：组合数学参考答案(卢开澄第四版)60页】>1.1 题从{1，2，……50}中找两个数{a，b}，使其满足（1）|a- b|=5；（2）|a-b|?5；解：（1）：由|a-b|=5?a-b=5或者a-b=-5，由列举法得出，当a-b=5时，两数的序列为（6，1）（7，2）……（50，45），共有45对。

当a-b=-5时，两数的序列为（1，6），（2，7）……（45，50）也有45对。

所以这样的序列有90对。

（2）：由题意知，|a-b|?5?|a-b|=1或|a-b|=2或|a-b|=3或|a-b|=4 或|a-b|=5或|a-b|=0；由上题知当|a-b|=5时有90对序列。

当|a- b|=1时两数的序列有（1，2），（3，4），（2，1）（1，2）…（49，50），（50，49）这样的序列有49*2=98对。

当此类推当|a-b|=2，序列有48*2=96对，当|a-b|=3时，序列有47*2=94对，当|a-b|=4时，序列有46*2=92对，当|a-b|=0时有50对所以总的序列数=90+98+96+94+92+50=5201.2题5个女生，7个男生进行排列，(a) 若女生在一起有多少种不同的排列？(b) 女生两两不相邻有多少种不同的排列？(c) 两男生a 和b之间正好有3个女生的排列是多少？所以总的排列数为上述6种情况之和。

1.3题m个男生，n个女生，排成一行，其中m,n都是正整数，若(a)男生不相邻(m?n?1); (b)n个女生形成一个整体；(c)男生a和女生b排在一起；分别讨论有多少种方案。

解：(a) 可以考虑插空的方法。

n个女生先排成一排，形成n+1个空。

因为m?n?1正好m个男生可以插在n+1个空中，形成不相邻的关系。

则男生不相邻的排列个数为ppnnn?1m(b) n个女生形成一个整体有n！种可能，把它看作一个整体和m个男生排在一起，则排列数有(m+1)!种可能。

组合数学课后答案

作业习题答案习题二2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。

证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。

证明：方法一：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。

由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。

又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。

因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。

因此只需找以上2个情况相同的点。

而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。

证明成立。

方法二：对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。

2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。

2.9将一个矩形分成(m+1)行112mm+⎛⎫+⎪⎝⎭列的网格每个格子涂1种颜色，有m种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。

证明：（1）对每一列而言，有（m+1）行，m种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。

（2）每列中两个单元格的不同位置组合有12m+⎛⎫⎪⎝⎭种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有12mm+⎛⎫⎪⎝⎭种情况（3）现在有112m m +⎛⎫+⎪⎝⎭列，根据鸽巢原理，必有两列相同。

组合数学第4章答案

组合数学第4章答案4.1证明所有的循环群是ABEL 群证明：nn ,,**×x ,x m nm na b G G a b b a x xa b b a ++∈==∴=mmm 循环群也是群，所以群的定义不用再证，只需证明对于任意是循环群，有成立，因为循环群中的元素可写成a=x 形式所以等式左边x 等式右边x ＝，，即所有的循环群都是ABEL 群。

4.2x 是群G 的一个元素，存在一最小的正整数m ，使x m =e ，则称m 为x的阶，试证：C=｛e,x,x 2, …,x m-1｝证：x 是G 的元素，G 满足封闭性所以，xk 是G 中的元素 C ∈G再证C 是群：1、x i , x j ∈C , x i ·x j = x i+j 若i+j<=m-1,则x i+j ∈C若i+j>m,那么x i+j =x m+k =x m ·x k =x k ∈C 所以C 满足封闭性。

2、存在单位元e.3、显然满足结合性。

4、存在逆元，设x a ·x b =e=x m x b =x m-ax a ∈C, (x a )-1= x b =x m-a4.3设G 是阶为n 的有限群，则G 的所有元素的阶都不超过n.证明：设G 是阶为n 的有限群，a 是G 中的任意元素，a 的阶素为k ，则此题要证n k ≤首先考察下列n+1个元素a a a a a n 1432,....,,,+由群的运算的封闭性可知，这n+1个元素都属于G ,，而G 中仅有n 个元素，所以由鸽巢原理可知，这n+1个元素中至少有两个元素是相同的，不妨设为aaji i+=（n j ≤≤1）aa ajii*=由群的性质3可知，a j是单位元，即a j=e ，又由元素的阶数的定义可知，当a 为k 阶元素时a k=e ，且k 是满足上诉等式的最小正整数，由此可证n j k ≤≤4.4 若G 是阶为n 的循环群，求群G 的母元素的数目，即G 的元素可表示a 的幂：a,a2……..an解：设n=p 1a1…….p k ak ，共n 个素数的乘积，所以群G 中每个元素都以用这k 个素数来表示，而这些素数，根据欧拉定理，一共有 Φ(n)=n(1-1/p 1)………(1-1/p k )所以群G 中母元素的数目为n(1-1/p 1)………(1-1/p k )个. 4.5证明循环群的子群也是循环群证明：设H 是G=<a>的子群，若H=<e>,显然H 是循环群，否则取H 中最小的正方幂元m a ，下面证明m a 是H 的生成元,易见m a ⊆H ，只要证明H 中的任何元素都可以表成m a 的整数次方，由除法可知存在q 和r,使得l=qm+r,其中0≤r ≤m-1,因此有r a =qm l a -，因为m a 是H 中最小的正方幂元，必有r=0,这就证明出la=mq a }{m a ∈证明完毕。

(完整word版)组合数学第四版卢开澄标准答案-第四章

习题四4。

1。

若群G的元素a均可表示为某一元素x的幂,即a= x m，则称这个群为循环群.若群的元素交换律成立，即a , b G满足a b = b a则称这个群为阿贝尔(Abel）群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。

［证］.设循环群（G，)的生成元是x0ÎG。

于是,对任何元素a ，b G，m,nÎN，使得a= x0m , b= x0n，从而a b = x0m x0n= x0m +n (指数律)= x0n +m (数的加法交换律)= x0n x0m(指数律)= b a故运算满足交换律；即(G, )是交换群.4.2。

若x是群G的一个元素,存在一个最小的正整数m，使x m=e，则称m为x的阶，试证：C={e，x，x2, ，x m—1}是G的一个子群。

［证].(1)非空性C ：因为eÎG；（2）包含性C G:因为xÎG，根据群G的封闭性，可知x2, ，x m—1,(x m=)eÎG,故C G；（3)封闭性 a , b C a b C: a , b C，k，lÎN (0k〈m，0l〈m),使a = x k，b = x l，从而a b = x k x l = x(k+l）mod m C(因为0 （k+l) mod m〈m) ；(4)有逆元 a C a —1C： a C，kÎN (0k<m)，使a = x k, 从而a -1= x m—k C（因为0 m-k < m）。

综合（1) (2）(3) (4），可知(C, )是(G, )的一个子群.4.3。

若G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过n。

[证］。

对任一元素xÎG，设其阶为m，并令C={e,x，x2，，x m-1},则由习题4.2.可知（C, )是（G, ）的一个子群，故具有包含性C G。

因此有m = ｜C｜£｜G｜= n所以群G的所有元素的阶都不超过n。

组合数学(第4章4.3)

一个偏序可以扩张为一个全序。
2021/4/9
23
定理4.5.2 令(X, )是一个有限偏序集, 则存在X上的线性序, 使得(X, )是(X, ) 的一个扩展.
证明：偏序的线性扩展算法，对集合
X={x1,x2,…,xn}的排序问题，满足：若xi xj, 则排序xi先于 xj 。
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例4：X={1,2,3,4,5,6,7,8}, “”定义为整除关系, 确定(X, )的一个线性扩展.
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2
35
7
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等价关系与划分
定义6: 对于X中每一个元素a, a的等价类定义为所有与a等价的元素构成的集合.记为[a]={x x∈X , x~a }.
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4.4 生成r-组合
集合{1,2,3,4}的2-组合： {1，2}； {1，3}; {2，3}; {1，4}; {2， 4}; { 3，4}
字典序：令S={1,2,…,n}, 设A，B是S的两个r组合，若AB\AB中的最小整数属于A，则称 A先于B。
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S的r-组合可写成如下形式：
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字典序r-组合生成算法
初始： a1a2…ar＝12…r 当a1a2…ar (nr+1) (nr+2)…n时，Do
1）确定最大整数k, 使得ak+1 n，且ak+1ai (i=1,2,…,r)
2) 用a1a2…ak-1 (ak+1)…(ak+rk+1)替换a1a2…ar.
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…
r)在始a，1a第2…r个ar后元面素存大在于an r1。ar 个组合，从a1a2…ar-1开

高中数学第4章计数原理4.3组合第1课时组合与组合数练习湘教版选择性必修第一册

4.3 组合第1课时组合与组合数A级必备知识基础练1.(2022天津河西高二期中)学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试,规定先从物理和历史中任选1科,然后从其他4科中任选2科,不同的选法种数为()2.某新农村社区共包括n个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,共需建公路的条数为28,则n=()3.(2022湖北鄂东南教改联盟高二期中)某中学招聘5位老师,其中安排2位老师去高一,安排2位老师去高二,安排1位老师去高三,则不同的安排方法有()4.国庆期间,甲、乙等6人计划分两组(每组3人)去旅行,每组将在云南丽江、广西桂林、河北石家庄、内蒙古呼和浩特选1个地方,且每组去的地方不同.已知甲不想去云南,乙只想去广西,其余4人这4个地方都想去,则他们分组旅行的方案种数为()5.(2022重庆南开中学高二期中)在某社会实践活动中,某班有一个7人小组参加烧烤活动,老师将从小组成员中选出2名同学整理烧烤架,再选出3名同学生火.若小组中的甲、乙两位同学至多有1人生火,则不同的安排方案种数为()6.若=12,则n= .7.方程中的解x= .8.(2022北京西城高二期末)生物兴趣小组有12名学生,其中正、副组长各1名,组员10名.现从该小组选派3名同学参加生物学科知识竞赛.(1)如果正、副组长2人中有且只有1人入选,共有多少种不同的选派方法?(2)如果正、副组长2人中至少有1人入选,且组员甲没有入选,共有多少种不同的选派方法?B级关键能力提升练9.(多选题)(2022安徽铜陵高二期末)已知+0!=4,则m的值可以是()10.(2022福建龙岩高二期中)=()A. B. C. D.11.(2022山东济宁高二期末)2名老师和4名学生共6人参加两项不同的活动,每人参加一项活动,每项活动至少有2人参加,但2名老师不能参加同一项活动,则不同的参加方式的种数为()12.有10台不同的电视机,其中甲型3台,乙型3台,丙型4台.现从中任意取出3台,若其中至少含有两种不同的型号,则不同的取法共有()13.某省派出5个医疗队去支援4个灾区,每个灾区至少分配一个医疗队,则不同的分配方案共有种.(用数字填写答案)14.(2022山东滕州高二期中)要从6名男生4名女生中选出5人参加一项活动.(1)甲当选且乙不当选,有多少种不同的选法?(2)至多有3名男生当选,有多少种不同的选法?C级学科素养创新练15.按照下列要求,分别求有多少种不同的方法?(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子;(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球;(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有1个空盒.参考答案4.3组合第1课时组合与组合数1.B第一步,从物理和历史中任选1科,有=2种选法;第二步,从其他4科中任选2科,有=6种选法.根据分步乘法计数原理,共有2×6=12种选法.故选B.2.B由于“村村通”公路的修建,是组合问题,故共需要建公路的条数为=28,解得n=8或n=-7(舍去).3.A根据题意,不同的安排方法可以分三步完成:第一步,在5个老师中选出2人,安排去高一,有=10种选法;第二步,在剩下3人中,选出2人,安排到高二,有=3种选法;第三步,将最后1人安排到高三,有1种选法.根据分步乘法计数原理,共有10×3×1=30种不同的安排方法.故选A.4.A若甲和乙都去广西桂林,则有=12种方案;若甲不去广西桂林,则有=12种方案.故他们分组旅行的方案种数为12+12=24.故选A.5.C小组中的甲、乙两位同学都生火,共有=30种,故甲、乙两位同学至多有1人生火的不同的安排方案种数为-30=180.故选C.6.8由题得,=n(n-1)(n-2),n(n-1),所以n(n-1)(n-2)=12×n(n-1).因为n∈N+,且n≥3,解得n=8.7.2原式可化为.∵0≤x≤5,∴x2-23x+42=0,解得x=21(舍去)或x=2,即x=2为原方程的解.8.解(1)正、副组长2人中有且只有1人入选,则选派方法数为=90.(2)正、副组长2人都入选,且组员甲没有入选,选派方法数为=9.正、副组长2人中有且只有1人入选,且组员甲没有入选,选派方法数为=72.故正、副组长2人中至少有1人入选,且组员甲没有入选的选派方法数为9+72=81.9.BC∵+0!=4,∴=6.当m=2时,等式成立;当m=3时,等式成立.故选BC.10.A由题可得,=1+5+15=21.对于A,=21,故A正确;对于B,=6,故B错误;对于C,=7,故C错误;对于D,=6×5×4×3=360,故D错误.故选A.11.B由题意参加方式分为两类:第一类,一项活动有1名老师和1名学生,另一项活动有1名老师和3名学生,有种参加方式;第二类,一项活动有1名老师和2名学生,另一项活动有1名老师和2名学生,有种参加方式.根据分类加法计数原理,不同的参加方式的种数共有=28.故选B.12.C根据题意,从10台不同的电视机中任意取出3台,有=120种取法,其中只有甲型电视机的取法有=1种,只有乙型电视机的取法有=1种,只有丙型电视机的取法有=4种,则其中至少含有两种不同的型号的取法有120-1-1-4=114种.故选C.13.240派出5个医疗队去支援4个灾区,每个灾区至少分配一个医疗队,则其中有一个灾区安排两个医疗队,剩下的3个灾区各安排一个医疗队,可以分两步:第一步,先选出一个灾区分配两个医疗队,有种分配法;第二步,为剩下的3个灾区各分配一个医疗队有种分配法.根据分步乘法计数原理,不同的分配方案有=240种.14.解(1)若甲当选,乙不当选,则从剩余8人选4人即可,即有=70种选法.(2)至多有3名男生当选,则有1男4女,2男3女,3男2女三种情况,共有=6+60+120=186种选法.15.解(1)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个小球都有3种可能,利用分步乘法计数原理可得不同的方法有35=243种.(2)5个不同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,先把5个小球分组,分法有2,2,1和3,1,1两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有=150种.(3)5个相同的小球放入3个不同的盒子,每个盒子至少一个小球,类似于在5个小球间的空隙中,放入2个隔板,把小球分为3组,故不同的方法共有=6种.(4)5个不同的小球放入3个不同的盒子,恰有一个空盒,先把5个小球分2组,分法有3,2,0和4,1,0两种,再放入3个不同的盒子,故不同的方法共有(=90种.。

组合数学第四章习题解答

4.19 试说明S5群的不同格式及其个数， • 9.解：5的拆分共有：00005,00014,00023, 00113,00122,01112,11111共七种，根据讲义4.4 节定理1可得S5中： (1)5共轭类有5!/5!=1个置换； (1)1(4)1共轭类有5!/4=30个置换； (2)1(3)1共轭类有5!/(2· 3)=20个置换； (1)2(3)1共轭类有5!/(2!3)=20个置换； (1)1(2)2共轭类有5!/(2!2 )=15个置换； (1)3(2)1共轭类有5!/(3!2)=10个置换； (5)1共轭类有5!/5=24个置换； ∴共有不同格式7种，如上所示。
旋转 12345
12345 13524 14253 15432
5
2
翻转
12534 21345 32415 51423 41235
4
3
c ( a1 ) c(a2 ) 1 c ( ag ) l [m m ... m ] G
Байду номын сангаас
8( g r b y ) ]
3 3 3 3 2
1 P(G ) [( g r b y ) 6 6 ( g r b y ) 2 ( g 4 r 4 b 4 y 4 )] 24 3 ( g r b y ) 2 ( g 2 r 2 b 2 y 2 ) 2 6( g 2 r 2 b 2 y 2 )3 8( g 3 r 3 b3 y 3 ) 2 ]
G×G’的单位元素是(e,e’),试证G×G’是群 (1)封闭性显然 (2)结合律显然 (3)逆元素显然
(4)单位元显然
4.27 一个项链由7颗珠子装饰成的，其中两颗珠子是红的，3颗是蓝的，其余两颗是绿的，问有多少种装饰方案，试列举之。

组合数学答案第四章作业

解：依题意可得：
法1：（采用Burnsinde公式）
每个格子有两种颜色可以选择，且规定红为2，蓝为7，则该题可等同于在3X3的透明方阵里任选2格来着色，则共有C（9,2）以下36种可能方案：
因为，棋盘只能做刚体运动，
所以，当每个图都绕过中心点的轴按逆时针方向旋转00、900、1800、2700以及绕东西方向的中线、南北方向的中线、西北对角线和东北对角线进行翻转时，得到36种图像的又一种排列，分别讨论如下：
（C10C12）（C11）（C13C15）（C14）（C22C27）（C23）（C24C33）（C25C32）
（C26C31）（C28C30) (C29 ) (C34C36) (C35) =6
（7）西北对角线翻转时：
P7 = (C1C33) (C2C21) (C3C36) (C4C30) (C5C15) (C6C35) (C7C26) (C8) (C9C18)
（2）关于中心旋转正负720时：（12345）（15432），共轭
类2个，循环节数：1；
（3）关于中心旋转正负1440时，（13524）（14253），共轭
类2个，循环节数：1；
（4）关于xy对折，对应的置换分别为：（14）（23）（5），共轭类5个，循环节数：3；
则由Polya计数定理得：
L= 1/10 X (35+2X31+5X33)= 39
（C5C26）（C13C20）（C7C15）（C31C16）（C8）(C19) (C10C32) (C25C12)
(C11C29) (C22C27) (C14) (C23) = 4
（4）旋转2700时：
P4= (C1C18C36C24) (C2C21C35C6) (C3C9C33C34) (C4C17C30C28) (C5C20C26C13)

组合数学(西安电子科技大学(第二版))习题4答案

习题四（容斥原理）1．试求不超过200的正整数中素数的个数。

解：因为2215225,13169==，所以不超过200的合数必是2,3,5,7,11,13的倍数，而且其因子又不可能都超过13。

设i A 为数i 不超过200的倍数集，2,3,5,7,11,13i =，则22001002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，3200663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，5200405A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，7200287A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦， 112001811A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，132001513A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，232003323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 252002025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，272001427A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2112009211A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 2132007213A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，352001335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，37200937A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 3112006311A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，3132005313A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，57200557A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 5112003511A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，5132003513A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，7112002711A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 7132002713A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，111320011113A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，2352006235A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 2372004237A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231120032311A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，231320022313A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦ 2572002257A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251120012511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，251320012513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 271120012711A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，271320012713A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦， 21113200021113A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，3572001357A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，351120013511A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦351320013513A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，371120003711A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，…， 235720002357A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⎣⎦，…，23571113200023571113A A A A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦，所以 23571113200(1006640281815)(3320149713965533221)(6432211110111i i j i j k i j k lii ji j ki j k li j k l m i j k l m ni j k l mi j k l m nA A A A A A S A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A <<<<<<<<<<<<<<<=-+-+-+=-++++++++++++++++++++-+++++++++++++∑∑∑∑∑∑0)00041+-+=但这41个数未包括2,3,5,7,11,13本身，却将非素数1包含其中，故所求的素数个数为：416146+-=2．问由1到2000的整数中：（1）至少能被2，3，5之一整除的数有多少个？（2）至少能被2，3，5中2个数同时整除的数有多少个？（3）能且只能被2，3，5中1个数整除的数有多少个？解：设i A 为1到2000的整数中能被i 整除的数的集合，2,3,5i =，则2200010002A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，320006663A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦，520004005A ⎢⎥==⎢⎥⎣⎦， 23200033323A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，25200020025A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦，35200013335A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⎣⎦， 235200066235A A A ⎢⎥==⎢⎥⨯⨯⎣⎦，（1）即求235A A A ++，根据容斥原理有：235235232535235()1000666400(333200133)661466A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-+++=（2）即求232535A A A A A A ++，根据容斥原理有：232535232535235235235235()333200133266534A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A ++=++-+++=++-⨯=（3）即求[1]N ，根据Jordan 公式有：1112233235232535235[1]2()310006664002(333200133)366932N q C q C q A A A A A A A A A A A A =-+=++-⨯+++⨯=++-⨯+++⨯=3．求从1到500的整数中能被3和5整除但不能被7整除的数的个数。

组合数学答案2-5

2. Prove that for any n+1 integers a1, a2, …, an+1 there exist two of the integers ai and aj with i ≠ j such that ai - aj is divisible by n.
Proof: Suppose that we divide all the integers by n, the remainders are {0, 1, …, n-1}.不是 1 到 n-1. According to Pigeonhole Principal, for n+1 integers, there exit two integers have the same remainders when divided by n. Assume that they are ai and aj, it is obvious that ai - aj is divisible by n, because they have the same remainder.
第一次作业第二章鸽巢原理
1. Show that if n+1 integers are chosen from the set {1, 2, …, 3n}, then there are always two which differ by 1 or 2.
Proof: Suppose that we partition set {1, 2, …, 3n} into {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, …, {3n-2, 3n-1, 3n} and choose n+1 integers from the n sets. According to the Pigeonhole Principal, there are at least two integers from the same set. And elements in the same set differ by 1 or 2. Therefore, we concluded t hat if n+1 integers are chosen from the set {1, 2, …, 3n}, there are always two which differ by 1 or 2.

组合数学习题答案.

第一章答案第二章答案第三章答案第四章答案第一章答案1．(a) 45 ( {1,6},{2,7},{3,8},…,{45,50} )(b) 45⨯5+(4+3+2+1) = 235( 1→2~6, 2→3~7, 3→4~8, …,45→46~50, 46→47~50, 47→48~50, 49→50 ) 2．(a) 5!8!(b) 7! P(8,5) (c) 2 P(5,3) 8! 3. (a) n!P(n+1, m) (b) n!(m+1)!(c) 2!((m+n-2)+1)! 4. 2 P(24,5) 20!5. 2⨯5⨯P(8,2)+3⨯4⨯P(8,2)6. (n+1)!-17. 用数学归纳法易证。

8. 41⨯319. 设 n=p 1n 1p 2n 2…p kn k , 则n 2的除数个数为 ( 2p 1+1) (2p 2+1) …(2p k+1).10．1）用数学归纳法可证n 能表示成题中表达式的形式；2）如果某n 可以表示成题中表达式的形式，则等式两端除以2取余数，可以确定a 1；再对等式两端的商除以3取余数，又可得a 2；对等式两端的商除以4取余数，又可得a 3；…；这说明表达式是唯一的。

11．易用C(m,n)=m!/(n!(m-n)!)验证等式成立。

组合意义：右：从n 个不同元素中任取r+1个出来，再从这r+1个中取一个的全体组合的个数；左：上述组合中，先从n 个不同元素中任取1个出来，每一个相同的组合要生复 C(n-1,r) 次。

12．考虑,)1(,)1(101-=-=+=+=∑∑n nk k k n nnk kknx n x kC x x C 求导数后有令x=1, 即知.210-==∑n nk kn n kC13. 设此n 个不同的数由小到大排列后为a 1, a 2, …, a n 。

当第二组最大数为a k 时，第二组共有2k-1种不同的可能，第一组有2n-k -1种不同的可能。

高二数学组合4

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[填空题]因承运人责任致使旅客在到站退票时，退还已收票价与（）票价差额。（）不足起码里程按起码里程计算。 [单选]解肌宁嗽丸的功能是（）A.解表宣肺，止咳化痰B.清热解暑，清利头目C.发散风寒，疏肝行气D.疏散风热，宣肺平喘E.发散风寒，健脾益肾 [单选,A2型题,A1/A2型题]带状疱疹病的病因下列哪项是正确的（）A.初次或原发感染水痘-带状疱疹病毒引起B.再次或继发感染水痘-带状疱疹病毒引起C.由单纯疱疹病毒Ⅰ型引起D.由腺病毒引起E.由单纯疱疹病毒Ⅱ型引起 [单选]下列关于IDN和ISDN的比较.途述错误的（）A.ISDN和IDN的最大区别在于它能够提供端到端的数字连接B.ISDN是IDN为基础发展演变而成的通信网C.ISDN提供的业务比IDN多 [单选,A1型题]27岁初产妇，胎儿娩出后无阴道流血，胎盘娩出后阴道流血不断，时多时少，1小时内阴道流血量超过600ml，血压70／50mmHg，脉搏126次／分。紧急措施应是（）A.为宫颈裂伤，立即缝合B.为阴道血肿，立即处理C.检查凝血功能，并输纤维蛋白原D.静注麦角新碱加强宫缩E.手入宫 [问答题,简答题]女性，37岁，10小时前被锐器割伤左前臂（伤口长5cm，深达皮下组织，污染严重），前来急诊。请为患者行清创术。 [判断题]河流选取标准通常不是一个固定值,而是一个范围值；通常在高密度区采用高标准，低密度区采取低标准。A.正确B.错误 [单选]经济增长论的基本观点是，（）是一个国家或地区经济活动的中心内容。A.工业化B.经济增长C.社会化D.信息化 [单选]从完整意义上来说，知情同意权不包括（）。A.了解权B.被告知权C.告知权D.同意权E.拒绝权 [单选,A1型题]膀胱肿瘤最常见的临床表现是（）A.尿频、尿急、尿痛B.疼痛+血尿C.镜下血尿D.排尿困难E.全程肉眼血尿 [单选]《企业劳动争议处理条例》和（）的相继制定与实施，形成了以协商、调解、仲裁、诉讼为主要环节的劳动争议处理制度。A.《劳动合同法》B.《劳动法》C.《劳动争议调解仲裁法》D.《国营企业实行劳动合同制暂行规定》 [单选,A1型题]下列一组病案中，没有明显不当的是（） [单选]建筑物的定位轴线是用（）绘制的。A．粗实线（b）B．中实线（b/2）C．细实线（b/4）D．细点画线（b/4） [单选]人们沿着不同的方向思考，探索问题答案的思维是（）A．发散思维B．辐合思维C．再造思维D．创造思维 [单选]19世纪70年代，各种物理技术和发明不断出现，科学家已经和商业相联系，大大改进了人们的生活。发明电话的科学家是（）A．格雷和贝尔B．爱迪生C．爱因斯坦D．安曼 [单选,A2型题]人类文化的产生与发展是世代努力的结果，这指的是文化的（）A.历史性B.现实性C.渗透性D.继承性E.社会性 [多选]传统的施工组织设计与施工项目管理规划的本质性区别在于()。A．文件的性质不同B．文件的范围不同C．文件产生的基础不同D．文件的实施方案不同 [单选]修船质量的好坏，关系着船舶的使用寿命和经济性，因此，必须抓好修理前的()、修理时的监修和修理后的验收三个主要工作环节，以确保短修期、低修费、高质量的船舶修理。A.安排B.人员分工C.计划D.准备 [单选]具有泻下，清肝，杀虫功效的药物是（）A.番泻叶B.大黄C.芒硝D.甘遂E.芦荟 [单选]甲烷化催化剂的设计装填量是（）m3。A.10B.12C.20D.6 [单选]肺结核的治疗原则是（）A.早期、规律、适量、全程、联合B.早期、规律、适量、短程、联合C.早期、规律、足量、全程、联合D.中期、规律、适量、全程、联合E.中期、规律、足量、全程、联合 [单选,A1型题]隐形义齿基托增厚，咬合升高，最常见原因为（）A.人工牙打磨过薄B.上下型盒之间有石膏或杂物填充C.灌注机套筒壁残留树脂D.铸道角度不当E.灌注压力不足 [单选]同申请复议的具体行政行为有利害关系的公民、法人或其他组织，经（）的批准，可作为第三人参加复议。A.复议申请人B.原行政机关C.复议机关D.人民法院 [单选]下列关于氨合成催化剂的描述，哪一项正确的（）A、温度越高，内表面利用率越小；B、氨含量越大，内表面利用率越小；C、催化剂粒度越大，内表面利用率越大；D、催化剂粒度越小，流动阻力越小。 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于黄曲霉毒素的结构和理化特性的描述，错误的是（）。A.二呋喃环末端有双键的毒性大B.耐热，一般烹调方法不能破坏C.在紫外光照射下产生荧光D.皆溶于水E.在碱性条件下，其内酯环易破坏 [多选]关于基础设施项目融资的经济特征和需求的叙述中，正确的有（）。A．属于低风险低回报的行业B．其经营项目产品或服务的价格是未来政府或市民支付费用的重要依据C．价格竞争类型取决于特许经营项目融资招标类型和招标方案策划D．招标人制作投标文件的前期投入费用较少E．基础 [单选]腹壁听诊，哪种声音与胎心音频率一致？（）A.胎盘血流杂音B.腹主动脉音C.脐带杂音D.胎动杂音E.子宫杂音 [单选,A1型题]青霉紊G最适于治疗（）。A.伤寒、副伤寒B.肺炎杆菌性肺炎C.布氏杆菌病D.溶血性链球菌感染E.细菌性痢疾 [单选]正常的舌色为()A．淡白舌、红舌B．紫舌C．淡黄ห้องสมุดไป่ตู้D．淡红舌E．绛舌 [多选]在编制施工项目实施大纲时，追求的主要目标是()。A．中标B．施工效率C．效益D．质量 [单选]留取脑脊液进行细胞学分析时，一般取（）A.第一管B.第二管C.第三管D.第一管、第三管混合E.哪管都行 [单选]在边际产量发生递减时，如果要增加同样数量的产品，应该（）A.增加变动生产要素的投入量；B.减少变动生产要素的投入量；C.停止增加变动生产要素；D.同比例增加各种生产要素。 [单选]弥散性血管内凝血(DIC)指的是()A．心、肝、肾等重要器官中有较多的血栓形成B．全身小动脉内有广泛性的血栓形成C．全身小静脉内有广泛的血栓形成D．小动脉和小静脉内均有广泛性的血栓形成E．微循环内有广泛的微血栓形成 [多选]下面哪些协议是数据链路层协议（）A.PPPB.HDLCC.IPXD.IEEE802.3 [单选]建筑业企业资质证书有效期为（）。A．1年B．3年C．5年D．10年 [填空题]所谓支路电流法就是以（）为未知量，依据（）列出方程式，然后解联立方程得到（）的数值。 [判断题]活期储蓄存款不论何时存入，在存入期间如遇利率调整，应分段计息。A.正确B.错误 [名词解释]糌粑 [问答题,案例分析题]男性，40岁。主诉：间断上腹部隐痛伴呕吐3年，加重1周入院。请针对该案例，说明问诊内容与技巧。 [单选]当发现接触网导线断落要远离（）米以外，并将该处加以防护。A、2B、5C、10D、20