哈尔滨工程大学 《线性代数》电子教案-总复习

线性代数总复习
第二部分 矩阵
矩阵概念
矩阵运算
单位矩阵
矩 阵
伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 初等变换 矩阵的秩
对角矩阵
初等矩阵 对称矩阵 几种常用的初等变换及对应的初等矩阵 行阶梯矩阵、行最简型、标准型
定义：非0子式的最高阶数
求法：初等变换或定义的 性质：经初等变换矩阵的秩不变
线性代数总复习
第二部分 矩阵
《线性代数与空间解析几何》
总复习
线性代数总复习
第一部分 行列式
第一部分 行列式
排列 概念 逆序 奇/偶排列
行 列 式
性质
展开式
计算 应用
• 一个排列中，某两个元素的 先后次序与标准次序不同时， 就说有1个逆序。 • 一个排列中所有逆序的总数 叫做该排列的逆序数。
线性代数总复习
第一部分 行列式
排列 概念
矩 阵
伴随矩阵
逆矩阵
特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换
为方阵A的伴随矩阵.
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第二部分 矩阵
矩阵概念
矩阵运算
矩 阵
伴随矩阵 逆矩阵 特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换
定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 AB = BA = E. 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 注意：A可逆detA≠0 运算性质 (A1)1 = A. (AT)1 = (A1)T. (kA)1 = k1A1. (AB)1 = B1A1. 逆阵的求法: 定义法 用伴随矩阵 用伴随矩阵 用初等行变换(AE) → (A-1A) 逆阵的证法: A≠0，R(A)=n, 反证法
性质2 行列式互换两行(列)，行列式变号。 推论: 行列式有两行(列)相同，则此行列式 为零。
性质3 行列式的某一行(列)的所有元素乘以 数k，等于用数k乘以该行列式。 推论: 行列式的某一行(列)所有元素的公因 子可以提到行列式符号外。 性质4 行列式中有两行(列)的元素对应成比 例，则此行列式为零。
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第三部分 向量组的线性相关性与线性方程组的解
向量组的线性相关性与非齐次方程组解的关系
是 否
向量b能由1, 2, …, n 线性表示？
有解
Ax=(1, 2, …, n)x=b
无解
是 R(A)＝R(A b)?
无 Ax=b有矛 盾方程? 有
方程组有解
方程组无解 否
注意：由基的不唯一性可知坐标不唯一
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第四部分 向量空间
定义
基、维数
基变换公式：
(1, 2, …, r) = (1, 2, …, r)P 称P为从基1, 2, …, r到1, 2, …, r的过渡矩阵. 注意： P可逆，且P的列向量pi是i 在1, 2, …, r这组基下的坐标。
A与B等价R(A)= R(B)
定理. 方阵A可逆的充要条件是A可写成有限个初等矩阵的乘积.
推论1. 方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵行等价。 推论2. m×n阶矩阵A与B等价的充要条件是存在m阶 可逆矩阵P 和n阶可逆矩阵Q，使得 PAQ=B。
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第三部分 向量组的线性相关性与线性方程组的解
第三部分 向量组的线性相关性与线性方程组的解 n 维 向 量
运算
k11+k22+…+knn= 0 • ki均为0，则1, 2, …, n线性无关
线性表示
线性相关性
• 只要有一个ki不为0，1, 2, …, n 线性相关
最大线性无关组：向量组A中，能 找到r个向量线性无关，任意r+1个 线性相关，则这r个向量构成的向量 组是A的一个最大线性无关组。 求法：非零子式法、初等变换法
第三章 线性方程组
§3.4.2 非齐次线性方程组
x1 x 2 x 4 1 / 2 x2 x2 可见原方程组有解, 且 x 2 x 4 1/ 2 3 x4 x4
由此可得原方程组的通解
x1 1 1 1/ 2 x2 1 0 0 x c1 0 c2 2 1/ 2 , (c1 ,c2 R ). 3 x4 0 1 0
第三部分 向量组的线性相关性与线性方程组的解
齐次方 程组 是
R(A)n
有无非零解
基础解系
线性方程组 Ax=b
b=0?
初等行 变换
行阶梯 形矩阵
有解判定
否
非齐次 方程组
R(A)＝ R(A b)
解的结构
第三章 线性方程组
§3.4.1 齐次线性方程组
x1 x2 x 3 x4 0 例. 求 2 x1 5 x2 3 x3 2 x4 0 的基础解系与通解. 7 x1 7 x 2 3 x3 x4 0
第三章 线性方程组
§3.4.2 非齐次线性方程组
x1 x 2 x 3 x4 0 例. 求方程组 的通解. x1 x 2 x 3 3 x4 1 x1 x 2 2 x 3 3 x4 1/ 2 0 1 1 1 1 1 初等行变换 解: 1 1 1 3 1 1 2 3 1/ 2 1 1 0 1 1/ 2 0 0 1 2 1/ 2 0 0 0 0 0 x1 x 2 x 4 1 / 2 x2 x2 可见原方程组有解, 且 x 2 x 1/ 2 4 3 x4 x4
1 a1
t
展开式
a12 计算 a1n
a11
an 2 (不同行、不同列元素乘积的代数和) ann
1 a1 p1 a2 p2 anpn
应用
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第一部分 行列式
排列 概念
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
行 列 式
性质
展开式 计算 应用
是
有无穷多 是 组解
有唯一解 否
R(A)＝R(A b)n ?
否
有效方程数 少于未知数 个数？
ห้องสมุดไป่ตู้
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第三部分 向量组的线性相关性与线性方程组的解
向量组的线性相关性与齐次方程组解的关系
是 R(A)n 有非零解 否 R(A)=n 只有零解 Ax=(1, 2, …, n)x=0
s
矩 阵
伴随矩阵
逆矩阵
特殊矩阵 矩阵的秩 初等变换
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第二部分 矩阵
第二部分 矩阵
矩阵概念 矩阵运算
转置： A=(aij), AT=(aji) 方阵的行列式：(AT)T = A, (kA)T = kAT, (A+B)T = AT + BT, (AB)T = BTAT. 设A = [aij]nn为方阵, 元素aij的代 数余子式为Aij, 则称如下矩阵
间V的一组基. r称为V的维数.
基变换与 坐标变换 向量内积
1, 2, …, r是向量空间V 的一组基.对
V, 唯一的一组有序实数k1, …, kr 使 = k11+k22+…+krr . 则称r维向量{k1, k2, …, kr}T 为 在 1, …, r 这组基下的坐标.
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第二部分 矩阵
第二部分 矩阵
矩阵概念 矩阵运算
m×n个数构成的m行n列的数表
加法：A+B=(aij+bij), A、B是同型矩阵 A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C), A + O = A, A + (A) = O, 数乘：kA=k(aij) k(lA) = (kl)A, (k + l)A = kA + lA, k(A + B) = kA + kB 矩阵乘法：AB=C，其中 cij = aikbkj. k=1 C是m×n矩阵. (AB)C = A(BC), A(B+C) = AB + AC, (A+B)C = AC+BC, (kA)B = k(AB).
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第一部分 行列式
排列 概念
性质5 若行列式中某一行(列)的元素都是 两数之和，即若
a11 a1i b1i D a1n a21 a2i b2i a2 n an1 ani bni ann
行 列 式
性质
则此行列式等于两个行列式之和，即
a11 a1i D a1n a11 b1i a1n a21 a2i a2 n an1 ani ann a21 b2i a2 n an1 bni ann
展开式
计算 应用
性质6 行列式某一行(列)的k倍加到另一 行(列)上，行列式值不变。
向量组1, 2, …, n线 性相关？
是 R(A)＝n?
否
只有零解 否 有无穷多组 是 非零解
有效方程数 少于未知数 个数？
注意：齐次线性方程组不会出现矛盾方程。
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第四部分 向量空间
第四部分 向量空间
定义 基、维数
V对于 +，k 封闭
向 量 空 间
坐标
1, 2, …, r是V中一线性无关向量组, V中任一向量都能由1, 2, …, r 线 性表示, 则称1, 2, …, r 是向量空
逆序
奇/偶排列
行 列 式
性质
展开式
计算 应用
• 逆序数为奇数的排列 叫奇排列。 • 逆序数为偶数的排列 叫偶排列。
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第一部分 行列式
排列 概念
a11 a21 an1 a22 an 2 an 2 ann
t
行 列 式
性质
D=
a21 an1 a22 an 2
a12 a1n
其它几个重要定理及结论：
定理. 对mn矩阵A进行一次初等行变换相当于在A的左边乘以相 应的初等矩阵; 对A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘以相应的初等 矩阵.
矩阵等价：若矩阵A经过有限次初等变换化为B, 则称A与B等价.记
为A ~ B. （注意与相似、 合同、正交相似的区别）
与等价有关的重要定理
1 0 2 / 7 3 / 7 1 1 1 1 2 5 3 2 初等行变换 0 1 5 / 7 4 / 7 解: 0 0 7 7 3 1 0 0
2 / 7 3 / 7 5 / 7 4/ 7 该方程组的基础解系可取为 1 , 2 , 1 0 0 1 x1 2 / 7 3 / 7 x2 5 / 7 4/ 7 通解为 c1 c2 , (c1 ,c1 R ). 1 0 x3 x4 0 1
最大无关组
向量组的秩
最大无关组包含的向量的个数
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第三部分 向量组的线性相关性与线性方程组的解
向量组与矩阵的关系
矩阵A = [1, 2, …, s]
列向量组: 1, 2, …, s
矩阵A的秩R(A)
向量组的秩RT
最高阶非零子式
最大线性无关组
注：行向量的问题与列向量相同
线性代数总复习
线性代数总复习
第一部分 行列式
排列 概念
• • • • • 三角化法 递推法 数学归纳法 展开法 拆项法
…
行 列 式
性质 展开式 计算 应用
• 克莱姆法则(求解齐次线性方程组的 一种方法) • 齐次线性方程组有非零解的充分条件
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第一部分 行列式
其它几个重要定理及结论：
定理 n阶行列式的某一行(列)元素与另一行(列)的对应的 代数余子式乘积之和为零. 即 ai1Aj1 + ai2Aj2 + … + ainAjn = 0 (i j) a1iA1j + a2iA2j + … + aniAnj = 0 (i j). 上(下)三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
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第一部分 行列式
排列 概念
a11
a12
a1n
代数余 子式
a D 21 an1
n n a22 a2 n aij Aij aij Aij j 1 i 1
an 2 ann
行 列 式
性质
展开式
计算 应用
一般地, 在n阶行列式中, 把元素 aij所在的第i行和第j列划去, 留下 来的n1阶行列式叫做元素aij的 余子式, 记作Mij, 令Aij = (1)i+jMij, 并称之为aij的代数余子式.