高中数学必修4北师大版 弧度制 学案1

§3 弧度制

1．度量角的单位制 (1)角度制

规定周角的______为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫角度制． (2)弧度制

在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角称为__________，它的单位符号是______，读作______．这种以______作单位度量角的单位制，叫作弧度制．

预习交流1

角α＝3这种表达方式正确吗？ 2．弧度数的计算

预习交流2

(1)扇形弧长为18 cm ，半径为12 cm ，则圆心角的弧度数是__________． (2)一条弦的长度等于圆半径的

1

2

，则这条弦的圆心角的弧度数是( )． A.π6 B.π3 C.1

2 D ．以上都不对 3．角度与弧度的互化

预习交流3

填空．(记住下面一些特殊角的度数与弧度数的互化)

设扇形的半径为r ，弧长为l ，α为其圆心角，则

预习交流4

(1)在弧度制下的扇形面积公式S ＝1

2lr 可类比哪种图形的面积公式加以记忆？

(2)圆的半径为6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的弧长为______cm ，面积为______cm 2.

答案：1．(1)1

360

(2)1弧度的角 rad 弧度 弧度

预习交流1：提示：正确．角α＝3表示3弧度的角，这里将“弧度”省略了． 2．正数 负数 0

预习交流2：(1)3

2

(2)D

预习交流3：30° 45° 120° 0 π12 π3 5π12 3π4 5π6 5π4 3π

2

4.|α|πr 180 |α|r |α|πr 2

360 12lr 12

|α|r 2 预习交流4：(1)提示：此公式可类比三角形的面积公式来记忆． (2)π2 3π2

1．角度制与弧度制的互化

(1)把112°30′化成弧度；(2)把－5π

12

化成度；(3)将8化成度．

思路分析：(1)先把112°30′化成度，再利用1°＝π

180 rad 进行换算；(2)直接利用1 rad

＝⎝⎛⎭⎫180π°

≈57.30°进行换算．

把下列各角从度化成弧度或从弧度化成度．

(1)67°30′；(2)810°；(3)108°；(4)135°；(5)7π；(6)－5π2；(7)23π4；(8)－4π

5

.

1.角度与弧度的互化．

(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π

180

rad ， 1 rad ＝⎝⎛⎭⎫

180π°

进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则 α rad ＝⎝⎛⎭⎫α·180π°；n °＝n ·π

180

rad. 2．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π

180

rad 化为弧度即可．

以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式．如无特殊要求，不必把π写成小数．

2．用弧度表示终边相同的角及区域角

已知角α＝2 005°，

(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．

思路分析：(1)先将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，再根据β与α的终边相同来判断．

(2)由－5π≤β＋2k π＜0求出k 的取值再代入．

已知角α的终边与π3的终边相同，求角α

3

在[0,2π)内的值．

(1)用弧度表示终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2k π＋α，

k ∈Z }，这里α应为弧度数．

(2)在某个区间内寻找与α终边相同的角β ①首先表示β的一般形式．

②然后根据区间范围讨论k 的值．

③最后把k 的值代入β的一般形式求出． (3)判断角所在的象限

对于含有π的弧度数表示的角，我们先将它化为2k π＋α(k ∈Z ，α∈[0,2π))的形式，再根据α角终边所在的位置进行判断．对于不含有π的弧度数表示的角，取π＝3.14，化为k ×6.28＋α，k ∈Z ，|α|∈[0,6.28)的形式，通过比较α与π2，π，3π

2的大小估计出角所在的象限．

用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．

思路分析：先把角度化成弧度，然后分析边界角的大小，写出阴影区域的不等式关系，最后写成集合的形式．

用弧度表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示，包括边界．

解答此类题目的关键在于正确识图，以动态的观点分析阴影区域是由哪

些角所围成(其中不等关系的表示是分析此类题目的重要方式，应正确给出角的不等关系)，是否包含边界．

3．弧长公式及扇形面积公式的应用

已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角α各取何值时，扇形的面积最大？并求