压杆稳定典型习题解析

(λ ) 2
于是 ∆T
= π2 αλ 2
=
α
⋅
E
⋅
12.5
×10
π2 −61/
D
C
×142
2
= 39.2D C
安装时的温度为 20℃，故失稳时的温度为
T = 20° + ∆T = 59.2°
2 图示结构中，AB及AC均为圆截面杆，直径d = 80 mm，材料为Q235 钢，求此结构的临界
载荷Fcr。 解题分析：分别计算各杆可承担的临界载荷，取
6m
题1图
№20a
λc
=
µl i
=
0.5 × 6m 2.12 ×10−2 m
= 142
>
λp 2、求失稳时的温度
杆为细长杆，临界应力公式为 σ cr
=
π2E (λ ) 2
当温度上升∆T 时，杆内的应力 σ T = α ⋅ E ⋅ ∆T 若温度上升∆T 时，杆开始失稳，则有 σ cr = σ T
或
π 2 E = α ⋅ E ⋅ ∆T
Iz
4 A 9.397 ×10−4 m 2
根据上式可得每个角钢对组合截面形心轴 z 应有的惯性矩
Iz
≥
( 6m )2 84.5
× 9.397 ×10−4 m 2
=
473 ×10−8 m 4
3、确定 a 值
Iz= I zC +Ah2
57.35×10-8 m4+9.397×10-4 m2h2≥473×10-8 m4 h2 ≥ 44.2×10-4 m2，即h≥6.65×10-2 m 于是得 a≥2(2.19×10-2 m +6.65×10-2 m) = 0.177 m 可取 a = 0.177 m=177 mm 5 三角形木屋架的尺寸及所受载荷如图所示，F = 9.7 kN。斜腹杆 CD 为矩形截面，按构造 要求最小截面尺寸为 1 000 mm×100 mm，材料为松木，其顺纹抗压许用应力 [σ ] = 10 MPa ，
2、CD 杆的稳定性校核
压杆 CD 的柔度为
λ
=
µl i
=
1× 2.70m 100 ×10−3m
= 93.9
12
根据λ=93.9 利用内插法，求得ϕ =0.34，于是
［σ st］= ϕ ［σ］=0.34×10 MPa =3.4 MPa
σ CD=1.75 MPa<［σ st］=3.4 MPa
所以 CD 杆满足稳定性要求。
若按两端铰支考虑，试校核该压杆的稳定性。
F
K F1
F
F
F
F/2 F
C
F F/2
3m
α
Aα
B
H 1D
8×1.5m=12m
题5图
解题分析：本题用折减系数法。在工程中，桁架压杆的稳定校核非常重要，利用λ查ϕ可用 内插法。 解：1、计算 CD 杆的轴力及应力
以截面 1-1 以左为分离体。容易算出，CH = 3 m×3/4=2.25 m，HD = 1.5m ，
解题分析：本题结构中，应校核梁的强度和柱的稳定性，两者分别符合强度、稳定性条件才
能保障结构的安全。
q
DB
1m
4m
d
4m
q
A b
h
DB FB
A
(b)
FA
M
35.2 kN·m
C
(a)
(c)
题3图
解：1、校核梁的强度
∑ 根据图 b 所示 M A = 0 ，得 FB = 62.5 kN
作梁的弯矩图，如图 c 所示， M max = 35.2 kN ⋅ m
压杆稳定
典型习题解析
1 图示№20a工字钢，在温度 20℃时安装，这时杆不受力，试问：当温度升高多少度时，工
字钢将丧失稳定？钢的线膨胀系数α=12.5×10-61/℃。
解题分析：计算λ时，取 i 的最小值。此题是
一度静不定问题，利用变形协调方程求解。 解 ： 1 、 求 柔 度 λ ， 查 表 № 20a 工 字 钢 imi n = 2.12 cm 。
2
梁的最大弯曲正应力为
σ max
=
M max W
=
6M max bh 2
=
6 × 35.2 ×103 N ⋅ m 90 ×10 −3 m × (130 ×10 −3
m) 2
= 138.9 ×106 Pa = 138.9 MPa < [σ ]
所以梁的强度足够。
2、柱的稳定性校核
柱的轴向压力为 F = FB = 62.5 kN ，柱两端铰支
小值。
解：1、计算在 F 力作用下各杆的轴力
B
FN1
=
F
cos 60D
=
1 2
F
，
F
=
2FN1
F
A
FN1
1
2 60O 30O
C 4m
题2图
F F N2
FN2 = F sin 60D =
3 F ，F= 2
2 FN2 = 1.15FN2 3
1
2、计算各杆的柔度
λ1
=
µll il
= 1× 4000mm× cos30D 80 mm / 4
µ = 1 ， i = d = 80 mm = 20mm ， λ = µl = 4000mm = 200
44
i 20 mm
λ>λp，故BC杆是大柔度杆。
Fcr
=
π 2 EI (µl) 2
=
π 2 × 200 ×109 (1× 4 m) 2
Pa × π × (80 ×10 −3 m) 4 64
= 248×103 N = 248kN
该结构的临界载荷取两者中较小者，即 Fcr=661.4 kN
3 图示结构中，分布载荷 q = 20 kN/m。梁的截面为矩形，b = 90 mm，h = 130 mm。柱的截
面为圆形，直径 d = 80 mm。梁和柱均为 Q235 钢，［σ］=160 MPa，稳定安全因数 ns t = 3 。
试校核结构的安全。
4
CD = (2.25m)2 + (1.5m)2 = 2.7m ，AK=AD×cosα= 4×1.5 m×2.25/2.70 = 5.0 m。
故由 ∑MA=0 有 -FN，CDAK-F×3×1.5-F×2×1.5-1.5F=0
于是得 FN，CD= - 9F /AK= - 9m×9.7 kN /(5.0 m) =17.5 kN σ CD= FN，CD/A= 17.5×103 N/(1×1×10-2 m2) =1.75 MPa
5
稳定校核

FB
= 62.5 kN <
Fcr nst
=
248 kN 3
= 82.7 kN
柱的稳定性足够，所以结构安全。
4 图示支柱由四根 80×80×6 的角钢所组成。支柱的两端为铰支，柱长 l = 6 m ，压力为
450kN。若材料为 Q235 钢，许用应力 [σ ] = 170 MPa 。试求支柱横截面边长 a 的尺寸。
= 173
λ2
=
µl2 i2
= 1× 4000mm × sin 30D 80 mm / 4
= 100
两杆均为大柔度杆
3、分别计算各杆的临界轴力，确定结构的临界载荷
FN1
=
π 2 EI (µl1 ) 2
π 2 200 ×109 Pa × π × (80 ×10−3 m) 4
=
64 (1× 4 m × cos 30D ) 2
= 330.7 ×103 N = 330.7 kN
Fcr1 = 2FN1 = 661.4kN
FN2
=
π 2 EI (µl2 ) 2
π 2 200 ×109 Pa × π × (80 ×10−3 m)4
=
64 (1× 4 m × sin 30D ) 2
= 990 ×103 N = 990 kN
Fcr2 = 1.15FN2 = 1139kN
3
1、根据稳定性条件确定 ϕ 值 [F ] ≤ ϕ[σ ] ⋅ A
450 ×103 N ≤ ϕ ×170 ×106 Pa(4 × 9.397 ×10−4 m2 )
从而要求 ϕ ≥ 0.704 ，由表可得相应λ≤84.5
2、确定组合截面形心轴 z 应有的惯性矩
λ = µl =
1× 6m
≤ 84.5
4I z
21.9
80×80×6
zC
h
z
a
a
题4图 解题分析：本题用折减系数法先确定ϕ值，再确定λ和Iz，根据Iz计算边长a。用折减系数法时 不用先判断压杆的类别。 解：查型钢表，80 mm×80 mm×6 mm角钢的横截面面积A=9.397×10-4m2，对于图示形心轴
zC 的惯性矩 I zC =57.35×10-8 m4