2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷(一)(全国)(有答案解析)

2020年宁夏银川一中高考数学二模试卷（一）（全国）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知A={-1，0，1，2，3}，B={x|x＞1}，则A∩B的元素个数为（）
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
2.复数z=（i为虚数单位），则|z|=（）
A. 25
B.
C. 5
D.
3.函数f（x）=sin2x-2cos2x+1的最小正周期为（）
A. π
B. 2π
C. 3π
D. 4π
4.已知向量=（-1，2），=（3，1），=（k，4），且，则k=（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.已知双曲线C：-=1的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率为（）
A. 2
B.
C.
D.
6.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）
A. 3
B.
C. 2
D.
7.若x、y满足约束条件，则z=4x-3y的最小值为（）
A. 0
B. -1
C. -2
D. -3
8.已知x＝lnπ，y＝log52，，则( )
A. x＜y＜z
B. z＜x＜y
C. z＜y＜x
D. y＜z＜x
9.在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时
可类比正切的两角和公式．如：设是非零实数，且
满足，则 ( )
A. B. C. D.
10.我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺
之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木
棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此
规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）
A.
B.
C.
D.
11.从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1
张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（）
A. B. C. D.
12.已知点A（0，2），抛物线C：y2=ax（a＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相
交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则a的值等于（）
A. B. C. 1 D. 4
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知函数f（x）=2x-sin x，当x∈[0，1]时，函数y=f（x）的最大值为______．
14.已知函数y=f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=lg x，则的值为______．
15.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=，AC=，
AB⊥AC，AA2=2，则球O的表面积为______．
16.在△ABC中，已知（a+b）：（c+a）：（b+c）=6：5：4，给出下列结论：
①由已知条件，这个三角形被唯一确定；
②△ABC一定是钝三角形；
③sin A：sin B：sin C=7：5：3；
④若b+c=8，则△ABC的面积是．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.已知等差数列{a n}中，a3a7=-16，a4+a6=0，求：
（1）求{a n}的通项公式；
（2）{a n}的前n项和S n．
18.如图所示，四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，
AB∥CD，AD=AC=AB=3，SA=CD=4，为线段AB上一
点，AP=2PB，SQ=QC．
（1）证明：PQ∥平面SAD；
（2）求四面体C-DPQ的体积．
19.某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x（万人）与餐厅所用原材料数量
y
第一次第二次第三次第四次第五次参会人数x（万人）13981012
原材料y（袋）3223182428
（1）根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程．
（2）已知购买原材料的费用C（元）与数量t（袋）的关系为
，
投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加，根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L=销售收入-原材料费用）．
参考公式：，．
参考数据：，，．
20.已知椭圆的右焦点为F，设直线l：x=5与x轴的交点为E，过点F且
斜率为k的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．
（I）若直线l1的倾斜角为，|AB|的值；
（Ⅱ）设直线AM交直线l于点N，证明：直线BN⊥l．
21.已知函数f（x）=x-a ln（x+1）．
（1）当a=2时，求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，关于x的不等式kx2≥f（x）在[0，+∞）上恒成立，求k的取值范围．
22.以直角坐标系原点O为极点，x轴正方向为极轴，已知曲线C1的方程为（x-1）2+y2=1，
C2的方程为x+y=3，C3是一条经过原点且斜率大于0的直线．
（1）求C1与C2的极坐标方程；
（2）若C1与C3的一个公共点为A（异于点O），C2与C3的一个公共点为B，求|OA|-的取值范围．
23.已知a，b，c均为正实数，且，证明；
已知a，b，c均为正实数，且，证明．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：解：因为A={-1，0，1，2，3}，B={x|x＞1}，
所以A∩B=，
即A∩B的元素个数为2，
故选：B．
由集合的交集及其运算得：因为A={-1，0，1，2，3}，B={x|x＞1}，所以A∩B=，
即A∩B的元素个数为2，得解．
本题考查了集合的交集及其运算，属简单题．
2.答案：C
解析：解：因为复数z==，
所以|z|==．
故选：C．
化简复数z，然后求出复数的模即可．
本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．
3.答案：A
解析：解：函数f（x）=sin2x-2cos2x+1=sin2x-cos2x=sin（2x-）的最小正周期为=π，
故选：A．
利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．
本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．
4.答案：A
解析：【分析】
本题考查向量垂直的充要条件，向量的减法和数量积的坐标运算．
可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即
可求出k．
【解答】
解：；
∵；
∴；
∴k=1．
故选：A．
5.答案：B
解析：解：由渐近线方程为y=x，得b=a，由此可得e==．
故选：B．
利用双曲线的渐近线方程，推出a，b的关系，然后求解双曲线的离心率即可．
本题考查双曲线的离心率的求法，渐近线方程的应用，考查计算能力．
6.答案：D
解析：解：由三视图得空间几何体为倒放着的直三棱柱，
底面为直角三角形，
两直角边长分别等于1和，
棱柱高等于，
故几何体的体积V=×1××=．
故选：D．
根据已知中三视图及其标识的相关几何量，我们易判断这是一个直三棱柱，且底面为直角边长分别等于1和的直角三角形，高为，代入棱柱体积公式即可得到答案．
本题考查的知识点是由三视图答案求体积，其中根据三视图判断几何体的形状，及棱长等几何量，是解答的关键．
7.答案：C
解析：【分析】
本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划中的最值问题，属于基础题．
作出不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=4x-3y对应的直线进行平移，可得当x=1，y=2时，z取得最小值．
【解答】
解：作出x、y满足约束条件表示的平面区域，
得到如图所示的△ABO及其内部，其中A（1，2），B（3，0），
因为z=4x-3y，将直线l：4x-3y=0进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最小值，
所以z min=4×1-2×3=-2．
故选：C．
8.答案：D
解析：【分析】
本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．
利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．
【解答】
解：∵x=lnπ＞ln e=1，
0＜log52＜log5=，即y∈（0，），
1=e0＞=＞=，即z∈（，1），
∴y＜z＜x．
故选：D．
9.答案：D
解析：【分析】
本题主要考查三角函数中的恒等变换应用，属于基本知识的考查．
先把已知条件转化为tan==tan（+θ），利用正切函数的周期性求出，即可
求得结论．
【解答】
解：∵，
∴tan==tan（+θ），且tanθ=，
∴+θ=kπ+，k∈Z，
∴θ=kπ+，k∈Z，
∴tanθ=tan（kπ+）=．
∴=
故选：D．
10.答案：D
解析：解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第20次剩下，
可得①为i≤20？
②s=，
③i=i+1，
故选：D．
由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第20次剩下，结合程序框图即可
得出答案．
本题考查了程序框图的应用问题，程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义是解题的关键，属于基础题．
11.答案：C
解析：解：从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片包含的基本事件有15个，分别为：（1，1），（2，2），（2，1），（3，3），（3，2），（3，1），（4，4），（4，3），（4，2），（4，1），（5，5），（5，4），（5，3），（5，2），（5，1），
∴抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是p==．
故选：C．
基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片包含的基本事件有15个，由此能求出抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率．
本题概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：D
解析：解：依题意F点的坐标为（，0），
设M在准线上的射影为K，
由抛物线的定义知|MF|=|MK|，
∴|KM|：|MN|=1：，
则|KN|：|KM|=2：1，
k FN==-，
k FN=-=-2
∴=2，求得a=4，
故选：D．
作出M在准线上的射影，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得a．
本题主要考查了抛物线的简单性质．抛物线中涉及焦半径的问题常利用抛物线的定义转化为点到准线的距离来解决．
13.答案：2-sin1
解析：解：函数f（x）=2x-sin x，
可得f′（x）=2-cos x＞0恒成立，
所以函数f（x）=2x-sin x，当x∈[0，1]时，函数是增函数，函数的最大值为：2-sin1．
故答案为：2-sin1．
求出导函数，判断函数的单调性，然后求解函数的最大值．
本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查计算能力．
14.答案：-lg2
解析：解：∵当x＞0时，f（x）=lg x，
∴f（）=lg=-2，
则=f（-2），
∵函数y=f（x）是奇函数，
∴=-f（2）=-lg2，
故答案为-lg2；
根据题意先求出f（）=-2，再根据奇函数的性质知=-f（2），代入解析式进
行求解．
本题考查了利用函数奇偶性求函数的值，对于多层函数值问题，需要从内到外的顺序进行逐层求解，结合奇函数的关系式进行求解，考查了分析和解决问题能力．
15.答案：36π
解析：【分析】本题考查直三棱柱的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．底面△ABC为直角三角形，把直三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球球O的直径，由此能求出球O的表面积．
【解答】
解：∵直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，
AB=，AC=，AB⊥AC，AA1=2，
∴底面△ABC为直角三角形，把直三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱，
则四棱柱的体对角线是其外接球球O的直径，
所以外接球球O半径为R==3，
∴球O的表面积S=4πR2=36π．
故答案为：36π．
16.答案：②③
解析：【分析】
本题主要考查命题的真假判断，结合三角形的边长关系，属于基础题.
根据边长比例关系，求出a，b，c的关系，结合正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式分别进行计算，判断即可．
【解答】
解：∵（a+b）：（c+a）：（b+c）=6：5：4，
∴设a+b=6k，c+a=5k，b+c=4k，（k＞0），
得a=k，b=k，c=k，
则a：b：c=7：5：3，
则sin A：sin B：sin C=7：5：3，故③正确，
由于三角形ABC的边长不确定，则三角形不确定，故①错误，
cos A===-＜0，则A是钝角，即△ABC是钝角三角形，故②正确，
若b+c=8，则k+k=4k=8，
则k=2，即b=5，c=3，
由②知A=120°，
∴△ABC的面积S=bc sin A==．故④错误，
故正确的是②③，
故答案为：②③．
17.答案：解（1）设{a n}的公差为d，a3a7=-16，a4+a6=0=a3+a7，
解得a3=4，a7=-4或a3=-4，a7=4．
∴a1+2d=4，a1+6d=-4，或a1+2d=-4，a1+6d=4．
解得或．
∴a n=8-2（n-1）=10-2n，或a n=-8+2（n-1）=2n-10．
（2）由（1）可得：或．
因此S n=-8n+2=n（n-9），或S n=8n+×（-2）=-n（n-9）．
解析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）利用等差数列的求和公式即可得出．
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.答案：（1）证明：由已知得，，
如图，取DS中点T，连接AT，TQ，
由N为PC的中点，知TQ∥DC，TQ=．
又AB∥DC，∴TQ∥AP，TQ=AP，
∴四边形APQT为平行四边形，则PQ∥AT，
∵PQ⊄平面SAD，AT⊂平面SAD，
∴PQ∥平面SAD；
（2）解：∵SA⊥平面ABCD，Q为SC的中点，
∴Q到平面ABCD的距离为，
如图，取DC中点E，连接AE，
由AD=AC=3，得AE⊥DC，则AE=．
故．
∴四面体C-DPQ的体积V C-DPQ=V Q-DCP==．
解析：（1）由已知得，，取DS中点T，连接AT，TQ，可证四边形APQT 为平行四边形，得PQ∥AT，再由线面平行的判定可得PQ∥平面SAD；
（2）SA⊥平面ABCD，Q为SC的中点，则Q到平面ABCD的距离为，取DC中点E，
连接AE，可得AE⊥DC，且AE=．由此可得三角形DCP的面积，再由V C-DPQ=V Q-DCP 求解．
本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
19.答案：解：（1）由所给数据可得：，
，，
，
则y关于x的线性回归方程为．
（2）由（1）中求出的线性回归方程知，当x=15时，y=36.5，即预计需要原材料36.5袋，
因为
当t=36时，C=380，L=700×36-380×36=11520．
当t=37时，C=400，L max=700×36.5-380×37=11490．
综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元．
解析：（1）由题中所给的数据结合线性回归方程计算公式求解线性回归方程即可；（2）由题意得到利润函数，然后结合函数的解析式讨论利润的最大值即可．
本题考查线性回归方程及其应用，利润最大化问题等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
20.答案：解：（I）由题意可知：椭圆，a=，b=2，c=1，则F（1，0），E（5，0），M（3，0），
由直线l1的倾斜角为，则k=1，直线l的方程y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，整理得：9x2-10x-15=0，
则x1+x2=，x1x2=-，
则丨AB丨=•=，
|AB|的值；
（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，整理得：（4+5k2）x2-10k2x+5k2-20=0，
则x1+x2=，x1x2=，
设N（5，y0），由A，M，N三点共线，
有=，则y0=，
由y0-y2=-y2=-k（x2-1）=，
==0，
∴直线BN∥x轴，
∴BN⊥l．
解析：（I）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|AB|的值；
（Ⅱ）设直线l1的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，由A，M，N三点共线，求得N
点坐标，y0-y2=-y2=-k（x2-1），代入，利用韦达定理即可求得y0=y2，则直线
BN⊥l．
本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．
21.答案：解：（1）当a=2时，f（x）=x-2ln（x+1）（x＞-1），
∴f'（x）=1-=，令f'（x）=0，则x=1，
当x＞1时，f'（x）＞0,
当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，
∴f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．
（2）当a=1时，f（x）=x-ln（x+1），
kx2≥f（x）在[0，+∞）上恒成立，即kx2-x+ln（x+1）≥0在[0，+∞）上恒成立，
令g（x）=kx2-x+ln（x+1），x≥0，只需g（x）≥0，在[0，+∞）上恒成立即可，
∵g（0）=0，g'（x）=，
∴①当k≤0时，g'（x）≤0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）≤g（0）=0，与题设矛盾；
②当0＜k＜时，令g'（x）=0，则x=0或x=，
∴当x∈（0，）时，g'（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g'（x）＞0，
∴g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
又g（0）=0，∴在x∈（0，）上g（x）＜0，与题设矛盾；
③当k≥时，g'（x）≥0，此时g（x）在[0，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（0）=0在[0，+∞）上恒成立，∴k≥；
综上，k的取值范围为[，+∞）．
解析：本题考查了求函数的单调区间和最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属中档题．
（1）求出当a=2时函数的导数，令f'（x）=0，由f'（x）＞0得到增区间，由f'（x）＜0得到减区间；
（2）求出函数的导数，构造函数g（x）=kx2-f（x），通过讨论k的范围，判断函数的单调性，从而求出满足条件的k的具体范围即可．
22.答案：解：（1）曲线曲线C1的方程为（x-1）2+y2=1，
转换为极坐标方程为：ρ=2cosθ．
C2的方程为x+y=3，转换为极坐标方程为：
．
（2）C3是一条过原点且斜率为正值的直线，
C3的极坐标方程为θ=α，
联立C1与C3的极坐标方程，
得ρ=2cosα，
即|OA|=2cosα．
联立C1与C2的极坐标方程，
得，
即
所以：=
又，
所以．
解析：（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
23.答案：证明：（1）因为a，b，c均为正实数,
++=++
=++1+++1+++1
=++++++3≥9，当a=b=c时等号成立；
（2）因为a，b，c均为正实数,
++=（+++++）≥×（2+2+2），
又因为abc=1，所以=c，=b，=a，
∴．
当a=b=c时等号成立，即原不等式成立．
解析：（1）根据a+b+c=1，利用基本不等式即可证明；
（2）根据++=（+++++），利用基本不等式即可证明．
本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式，考查推理能力和运算能力，属于中档题．。