近世代数复习题答案啊

《近世代数》复习题答案

一、填空题 1、256 24

2、x

x e ↔ x k x ↔

3、0ab ≠ 0ab ≥

4、{}[0,1]Q ⋂ {0,1,2,3,4,5,6,7,8

5、1n +

2n

c

6、4Z klein 四元群

7、（12345） （12345） （34） n ！ 8、mn 1 9、4 1p - 2 10、4 4

11、置换 变换

12、1113Z Z 或 不变子群 13、{0} G

14、{()1,}x f x x G A =∈= {}2m 15、m H 16、{,0a b a b Z c ⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

} {[0],[2],[4],[6]} 17、55

a b + 零因子

18、432

[3][4][4][2]x x x x ++-+ [0],[1],[3],[4]x =

19、（d ） {}dk k Z ∈

20、[3],[6][1],[2],[

p-

21、([0]),([1]),([2]),([3])[4]([0]),([1]),([2]),([3

22、{}

+∈∈

xq x p p Z q x Z x

∈{()2,()[]}

ar R

23、R的单位元1 I的零元Q

24、(2,)x素元

25、1,i

i i i i

+----

±±23,23,23,3

26、

1±1

二、单项选择

1、D

2、D

3、B

4、D

5、D

6、C

7、

D 8、D

9、D 10、D 11、B 12、B 13、C 14、D 15、

D 16、C

17、B 18、D 19、D 20、D

三．辨析题

1、×2.×3、√4、√5、×6、×7、×

8×9、×10、√

四，证明题：

1、①,s

∀∈、

f g G

+=+∈

f g x f x g x G

()()()()s

②,,s

∀∈

t g f G

[][]

++=++=++=++

()()()()()()()()()() t f g x t x f g x t x f x g x t f g x

③0:0f x →令

s f G ∀∈ 0()()

()

f f x f x += 0:0S f x ∴→是G 的左单位元 ④s f G ∀∈ （-f+f)(x)=-f(x)+f(x)=0 0∴-f+f=f f f ∴-有左逆元

(,)A ⇒+由①②③④是一个群

,s f g G ∀∈又因为

()()()()()()()()f g x f x g x g x f x g f x +=+=+=+

(,)A ∴+是一个加群

2、,,a b c Z ∀∈ ① a a ∈。b=+b-2Z

② 2a a a a (。b)。c=(+b-2)。c=+b-2+c-=+b+c-4 2a a a a 。(b 。c)=+b 。c-2=+b+c-2-=+b+c-4 (a a ∴。b)。c=。(b 。c) ③ a a a 2。=2+-2=

∴ 2是左单位元

④ a a a a (4-)。=4-+-2=2 a a ∴ 有左逆元 4-

(,)Z ⇒由①②③④。是一个群

,a b Z ∀∈又因为

22a a b b a b a =+-=+-=。b 。

(,)Z ∴。是一个加群

3.（1）证明：M n (R) 关于矩阵的乘法构成一个非交换群。 ①,()0,0n A B M R A B ∀∈⇒≠≠

∴n 0()A B AB AB AB M R =≠⇒⇒∈可逆

②矩阵的乘法适合结合律，所以M n (R)关于矩阵的乘法也适

合结合律。

∏设E 是单位矩阵 10E =≠, n ()E M R ∈ n ()A M R ∀∈ EA=A 所以M n (R)有左逆元E

④ 11n ()()n A M R A A M R --∀∈⇒⇒⇒∈可逆可逆 A 11()n A E A M R A --=⇒∀∈A 有左逆元 ⇒由①②③④M n (R)关于矩阵的乘法作成一个群 又因为 若取C=（） D=(2211) 则CD=(

4433

) DC=(

4623

)

所以CD ≠DC

所以M n (R)关于矩阵的乘法作成一个非交换群

（2）证明：H 是M n (R)的不变子群且 ()n M R H 和*R 同构，*R 里的运

算是普通乘法。

① 令 ∏：*n () M R R → ()A A A →=∏ n ,(), A B M R A B A B ∀∈=⇒= 所以∏是一个映射。

*0 (00)

1 0

0(0

0...0............00 (1)

a a R a A ∀∈⇒≠⇒∃=∈) M n (R)

0A A a →=≠ 所以∏是一个满射 又因为n ,()A B M R ∀∈

()()()AB AB A B A B ===∏∏∏

所以∏是M n (R)到*R 的同态映射 故M n (R)和*R 对于它们的乘法来说同态 所以*R 也是一个群，且M n (R)和*R 是同态 ②*****11r R r r r ∀∈⇒== 所以 1是*R 的单位元 Ker(∏)=H

③群M n (R)和群*R 是同态，Ker(∏)=H 所以 H 是不变子群且()n M R H 和*R 同构。 4、（1）① 证明G 关于变换的合成做成非交换群 定义变换的合成运算为()()()()f f g x f g x ∀∈=。:,g G,。 (a)

()()()()()()11221212121212112121,,,,0,,,0f g G f x a x b g x a x b a a a a b b Q a a a b b Q

f g x f g x a a x a b b G

∀∈=+=+⇒≠∈⇒≠+∈⇒==++∈且且。

(b)变换的合成运算适合结合律⇒G 关于变换的合成也适合结合律