数论基础(张轩中)
第2章 数论基础
第2章 数论基础
a ＋ b a ＋ c modm a b a c modm 则b c modm 则b c modm （m为素数）
第2章 数论基础
四、中国剩余定理 1、同余方程 2、中国剩余定理
第2章 数论基础
五、欧拉定理与费马定理 1、费马定理 2、欧拉函数 3、欧拉定理
第2章 数论基础
六、离散对数 1、求模下的整数幂
21 mod9 2 2 4 mod9 7
31 m od19 3
2 2 mod9 4 2 5 mod9 5
2 3 mod9 8 2 6 mod9 1
3 4 m od19 5 3 8 m od19 6
3 2 m od19 9
a-b≡0modm
ak≡bkmodm
可加、可减、可乘、移项、乘方
第2章 数论基础
0 1 2 3 4 5 6 7
0
0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 0
2 2 3 4 5 6 7 0 1
3 3 4 5 6 7 0 1 2
4 4 5 6 7 0 1 2 3
5 5 6 7 0 1 2 3 4
第2章 数论基础
八、群、环、域 不严格地说，能与非0元素进行加、减、 乘、除操作的集合就是一个域
•实数集是一个域 •复数集是一个域 •有理数集是一个域 •模p下的整数集是一个域（p是素数）
第2章 数论基础
八、群、环、域
根据域所包含的元素是否有限，将域分为无 限域和有限域。 包含有限个元素的域称为有限域； 否则称为无限域。 域 F 中的元素个数也称为有限域 F 的阶。
第2章 数论基础
八、群、环、域
上述定义中，G 的运算“•”可以是通常的乘法或加法。 对乘法群而言，恒等元常记作1；对加法群而言，则恒等元 常记为 0；a 的逆元记为 - a。 群中元素的个数，称为群的阶。 若群中元素个数有限，称为有限群；否则，称为无限群。 若群 G 中，对任何 a，b∈G，有 a •b=b•a，则称 G 为交 换群或加法群或 Abel群。
数论基础知识
• 合数是指除1和它本身之外还有其他因数的整数
• 最大公约数是指两个或多个整数的最大公共因数
• 最小公倍数是指两个或多个整数的最小公共倍数
• 数论的应用领域广泛，包括密码学、计算机科学、组合数学等
数论的发展历程及重要成果
数论的发展历程可以追溯到古代希腊和古代印度
数论在古典密码学中的应用包括凯撒密
码、维吉尼亚密码等
• 替换密码：通过替换字符或字母来加
• 凯撒密码：通过将字母向右或向左移
密和解密信息
动固定的位数来进行加密和解密
• 换位密码：通过改变字符或字母的顺
• 维吉尼亚密码：通过将字母替换为其
序来加密和解密信息
他字母来进行加密和解密
• 简单密码：通过简单的数学运算来加
04
最大公约数与最小公倍数的计
算
最大公约数与最小公倍数的定义与性质
最大公约数（GCD）是指两个或多个整数的最大公共因数
• 最大公约数的性质：GCD(a, b) = GCD(b, a % b)
最小公倍数（LCM）是指两个或多个整数的最小公共倍数
• 最小公倍数的性质：LCM(a, b) = |a × b| / GCD(a, b)
题中具有重要
应用
最大公约数与
最小公倍数在
计算机科学和
密码学领域也
有应用
01
02
• 可以用于求解分数和比例问
• 可以用于数据压缩和文件加
题
密
• 可以用于求解最简分数和最
• 可以用于算法设计和密码破
大公因数问题
解
05
同余与模运算的性质及应用
同余的定义与性质
同余是指两个整数除以同一个数所得的余数相等
数论基础
M mi
i 1
对模M有唯一解
M M M x ( e1a1 e2 a2 ek ak ) mod M m1 m2 mk M ei 满足 ei 1 mod mi mi
费尔玛定理
• 费尔玛定理 若p是素数，a是正整数且gcd(a,p)=1，则ap-1≡1 mod p 证明： gcd(a,p)=1,则a×Zp=Zp, a×(Zp-{0})=Zp-{0} {a mod p,2a mod p,…,(p-1)a mod p} ={0,1,…,p-1} (a mod p) ×(2a mod p) ×…×(p-1)a mod p=(p-1)! mod p (p-1)! ×ap-1=(p-1)! mod p (p-1)!与p互素，所以乘法可约律，ap-1=1 mod p
＋ 0 1 2 3 4 5 6 7 × 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 2 0 2 4 6 0 2 4 6 3 0 3 6 1 4 7 2 5 4 0 4 0 4 0 4 0 4
0 0 1 2 3 4 5 6 7
1 1 2 3 4 5 6 7 0 2 2 3 4 5 6 7 0 1
离散对数
• 指标的性质
1. inda,p(1)=0 2. inda,p(a)=1 3. inda,p(xy)=[inda,p(x)+ inda,p(y)] mod j(p) 4. inda,p(yr)=[r×inda,p(y)] mod j(p)
后两个性质基于下列结论
若az≡aq mod p ,a和p互素，则z ≡q mod j (p)
数论基础
1948年，匈牙利的兰恩尼证明了"1+C"，其中C很大；
1956年，中国的王元（1930~ ）证明了“3+4”；1957年，他 又先后证明了“3+3”和“2+3”；
11
1962年，中国的潘承洞（1934~ ）和苏联的巴尔巴恩证明了 “1+5”； 1962年，中国的王元证明了“1+4”；1963年，中国的潘承洞和苏 联的巴尔巴恩也证明了“1+4”； 1965年，苏联的布赫夕太勃和小维诺格拉夫及意大利的波波里 证明了―1+3‖； 1966后，中国的陈景润证明了"1+2"。
4
哥德巴赫猜想
哥德巴赫（1690-1764）是德国数学家；曾在英国牛津大学学
习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所
以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。1725年到俄国， 同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科 学院会议秘书；1742年移居莫斯科，并在俄国外交部任职。
最终将由哪个国家的哪位数学家攻克大偶数表为两个素数之和 （即"1+1"）的问题，现在还无法予测。
12
费马大定理
17世纪的一位法国数学家，提出了一个数学难 题，使得后来的数学家一筹莫展，这个人就是费 马(1601—1665)。
费马大定理，这个著名的猜想产生于1673年，费尔马在读
丢蕃图《算术》时，在第二卷问题8的页边写下如下的注解： “分一立方数为两个立方数，分一个四次幂（或者一般地，任 何次幂）为两个同次幂，这是不可能的，我确实找到了一个极 妙的证明，但是页边太窄，写不下．”费尔马是否真有此问题 的一个完善的证明，也许将永远是个谜！
数论基础
故
数论基础 ——§3 同余类
同余类 对于模m同余的数组成由模m决定的数类。 就是说，一个模决定了一个数类。因此，与同一个 类的所有数对应的是同一个余数r，而且只要在式子mq+r 里让q通过所有的整数，我们就得到这个类的所有数。 例 对于模5，数列…,-12,-7,-2,3,8,13,…属于同一个数 类。
证明
由这个定理，若c有素数因子p1,p2,..,pn，那么 c=p1α1p2α2…pnαn。 这个式称为c的标准分解式。
数论基础 ——§3 同余类
同余：若m|(a-b)，即a-b=km，我们就说a和b模m同余，记 为 a≡b mod m 有时记为 a≡b (mod m)。
例
将整数a和b用模m和余来表示 a=qam+r，b=qbm+r 这里，r<a，r<b，是关于模m的余。因此有 a-b=(qa-qb)m=km。
数论基础 ——§3 同余类
非负最小剩余：一个类的什意数，对于同一个类的所有数 而言，都叫作模m的剩余。我们得到的剩余正好等于余数r ，叫做非负最小盛余。 在上例中，每一个数都是模5的剩余；而3则是模5的 非负最小剩余。注意：0≤3<5。 对于余r的m个不同值，我们有m个由模m决定的数 类。就是说，当模m确定以后，有m个不同的余数r对应的 数类。
qs Ps Qs 1 0 q1 P1 1 q2 P2 Q2 … … … P s -2 Q s -2 P s -1 Q s -1 qs Ps Qs … … … P n -1 Q n -1 qn m a
数论基础 ——§4 线性同余式 例如 对于分数105/38，其各级近似的分子和分母：
qs Ps Qs 1 0
数论基础 ——§3 同余类
例 从上面两例的每一个数类中各任取一个数组成数组 –12，-11，2，1，10，称为组成模5的一个完全剩余组，其 中元素只有5个，它们对于模5是两两不同余的。 而数组0，1，2，3，4为模5的一个非负的最小剩余 组。
小升初数论必考知识点归纳
小升初数论必考知识点归纳数论是数学中研究整数性质的分支，对于小升初的学生来说，掌握数论的基础知识是非常重要的。
以下是一些小升初数论的必考知识点归纳：1. 整数和自然数：理解整数包括正整数、负整数和0，自然数则是从1开始的正整数。
2. 奇数和偶数：能够识别奇数（不能被2整除的整数）和偶数（能被2整除的整数）。
3. 质数和合数：质数是指只有1和它本身两个因数的大于1的自然数，合数则是有其他因数的自然数。
4. 最大公约数和最小公倍数：理解最大公约数（两个或多个整数共有约数中最大的一个）和最小公倍数（能够被几个整数整除的最小正整数）的概念，并掌握求法。
5. 因数和倍数：理解一个数的因数是能够整除该数的所有整数，倍数则是该数的整数倍。
6. 数的整除性：掌握整除的概念，即如果一个整数a除以另一个整数b（b≠0），得到的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，或b能整除a。
7. 分解质因数：将一个合数写成几个质数相乘的形式，这个过程称为分解质因数。
8. 完全平方数：如果一个数可以表示为某个整数的平方，那么这个数就是完全平方数。
9. 数位和位数：理解数位是指数字在数中的位置，位数是指一个数包含的数位的个数。
10. 带余除法：掌握带余除法的概念，即除法运算中除不尽时的余数。
11. 同余：如果两个整数除以同一个数得到的余数相同，那么这两个整数是同余的。
12. 等差数列：理解等差数列的概念，即每一项与前一项的差是一个常数。
13. 奇偶性规律：掌握一些基本的奇偶性规律，如奇数加奇数等于偶数，偶数加偶数等于偶数，奇数乘以奇数等于奇数等。
14. 数的进位制：了解不同进位制的基本概念，例如十进制、二进制等。
15. 约数个数的计算：掌握如何根据一个数的质因数分解来计算它的约数个数。
通过这些知识点的学习，学生可以更好地理解整数的性质，为进一步学习数学打下坚实的基础。
在实际的学习过程中，不仅要理解这些概念，还要通过大量的练习来加深理解并提高解题能力。
数论基础知识
数论基础知识数论是数学的一个分支，主要研究整数的性质和整数之间的相互关系。
数论的基础知识包括但不限于以下几个方面：1. 整数和自然数整数包括正整数、负整数和零，而自然数通常指的是从1开始的正整数。
在数论中，整数的性质和它们之间的运算是研究的重点。
2. 素数和合数素数是指只能被1和它本身整除的大于1的自然数，例如2、3、5、7等。
合数则是除了1和它本身之外，还能被其他自然数整除的数。
例如，4是合数因为它可以被2整除。
3. 因数和倍数一个数的因数是可以整除它的数，而倍数则是这个数的整数倍。
例如，6的因数有1、2、3和6，而6的倍数包括6、12、18等。
4. 最大公约数和最小公倍数两个或多个整数的最大公约数（GCD）是它们共有的最大的因数。
最小公倍数（LCM）是能被这些数整除的最小的正整数。
例如，8和12的最大公约数是4，最小公倍数是24。
5. 算术基本定理算术基本定理指出，每个大于1的自然数都可以唯一地分解为素数的乘积，不考虑因数的顺序。
例如，60可以分解为2^2 * 3 * 5。
6. 同余和模运算同余是指两个整数在除以某个数后余数相同。
模运算是数论中的一个重要概念，它涉及到整数除法的余数。
例如，5和10在模3的意义下是同余的，因为5除以3余2，10除以3也余2。
7. 二次剩余和勒让德符号二次剩余是指在模p（p为素数）的意义下，某个数的平方根存在的情况。
勒让德符号是一个用于判断一个数是否是某个素数模的二次剩余的符号。
8. 费马小定理费马小定理是数论中的一个基本定理，它指出如果p是一个素数，那么对于任何整数a，a^p - a是p的倍数。
特别地，当a不是p的倍数时，a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
9. 欧几里得算法欧几里得算法是一种用于计算两个整数最大公约数的算法。
它基于这样的事实：两个整数的最大公约数与它们的差的最大公约数相同。
10. 丢番图方程丢番图方程是一类特殊的多项式方程，它们通常涉及到整数解。
数论基础及应用
2．扩展的欧几里德算法
如果gcd(a,b)=d，一定存在整数x和y满足 gcd(a,b)=ax+by。
算法的理论根据： 由欧几里德转辗相除法 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)， 设整数x’、y’满足gcd(b,a mod b)=bx’+(a mod b)y’ 则ax+by=bx’+(a mod b)y’
ax+by= gcd(a,b)
②
根据上述扩展的欧几里德算法，一定存在整数x0和y0满足ax+by =gcd(a,b)。 显然，如果(x0,y0)是方程②的一组解，则(c’x0,c’y0)也是方程①的一
组解，即
a(c’x0)+b(c’y0)=(c’f)=c。
9
求二元一次不定方程ax+by=c一组整数解 （x0,y0）的算法
12
递推法求二元一次不定方程ax+by=c一组整数解（x0,y0）(续）
认真分析上面的规律，可以归纳出具体的求解方法。我 们先用下面的表格列出相应的关系：
i
0
1
2
3
4
S[i]
107 73
34
5
4
T[i]
73
34
5
4
1
Q[i] 1
2
6
1
4
R[i]
34
5
4
1
0
X[i]
0
1
2
13 15
y[i]
1
1
3
19 22
d:=1;t:=a; while b>0 do
begin if t=1 then begin f:=d;exit end ; if b mod 2 =1 then d:=d*t mod n;
基础数论ppt课件
11 扩展欧几里得
– void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y)
(x2,y2)，则有 – ax1 + by1 = ax2 + by2 = gcd(a, b) – 变形可以得到a(x1 – x2) = b(y2 – y1) – 两边同时除以gcd(a, b) – 得到a’(x1 – x2) = b’(y2 – y1) – 因为(a’,b’)=1，所以(x1-x2)一定是b’的倍
–int gcd(int a, int b) –{ – if (!b) return a; – return gcd(b, a % b); –}
精选ppt2015年信息学夏令营2015年信息学夏令营
7 扩展欧几里得
–
精选ppt2015年信息学夏令营2015年信息学夏令营
8 扩展欧几里得
– 解决这个问题之前，我们首先来学习扩展欧几 里得算法。
精选ppt2015年信息学夏令营2015年信息学夏令营
15 扩展欧几里得
–
精选ppt2015年信息学夏令营2015年信息学夏令营
16 唯一分解定理
– 任何一个大于1的自然数N，如果N不为质数，
则N可以唯一分解成有限个质数的乘积。
– 这个定理用处大大的——分解质因数。可以用 质数乘积的形式表示一些大数字，处理一类和 约数有关的问题。
数论初步精品文档
整除具有传递性、加减性、倍数性等基本性质。
最大公因数和最小公倍数
最大公因数
两个或多个整数共有约数 中最大的一个。
最小公倍数
两个或多个整数的公倍数 中最小的一个。
性质与关系
两数的乘积等于它们的最 大公因数与最小公倍数的 乘积。
素数与合数的概念及性质
素数
大于1的自然数，除了1和它本身 以外不再有其他因数的数。
近年来，随着计算机技术的飞速发展，数学家们得以对更大范围内的数进行验证 和计算。同时，一些新的数学方法和理论的提出也为解决这些未解之谜提供了新 的思路。虽然仍有许多问题等待解决，但数学家们对数论的研究热情从未减退。
THANKS
感谢观看
数论函数的应用
数论函数在数论、组合数学、密码学等领域 都有着广泛的应用，如利用欧拉函数可以求 解同余方程、利用莫比乌斯函数可以研究素 数的分布规律等。同时，随着计算机科学的 发展，数论函数也在算法设计和优化中发挥 着越来越重要的作用。
06
数论中的著名问题
哥德巴赫猜想与孪生素数猜想
哥德巴赫猜想
任一大于2的偶数都可表示成两个质数之和。虽然至今仍未被证明或证伪，但数学家们 已经验证了许多大偶数都符合这一猜想。
03
同余理论
同余式的定义与性质
定义
若两个整数a和b除以正整数m所得的余数相同，则称a和b对 模m同余，记作$a equiv b pmod{m}$。
性质
同余式满足自反性、对称性、传递性，以及加法、乘法等运 算性质。
剩余类与完全剩余系
剩余类
模m的剩余类是指模m同余的整数集合，即形如$bar{a} = { x mid x equiv a pmod{m} }$的集合，其中$0 leq a < m$。
数论初步精品文档
性质：最大公约数 与最小公倍数之间 存在一定的关系， 即最大公约数乘以 最小公倍数等于这 两个数的乘积。
求法：最大公约数 可以通过辗转相除 法或更相减损法求 得，最小公倍数可 以通过最大公约数 求得。
应用：最大公约数 与最小公倍数在数 论中有广泛的应用 ，如求解线性方程 、分解因式等。
同余与模运算
20XX
数论初步
汇报人：XX
目录
01
数论的基本 概念
02
数论中的重 要定理
03
数论的应用
04
数论的进一 步学习
1
数论的基本概念
整数的性质
整数的定义：自然 数、零和负整数的
统称
整数的分类：奇数、 偶数、质数、合数、
正数、负数等
整数的运算：加法、 减法、乘法、除法
等
整数的性质：整除 性、余数性、分配
数论在数学竞 赛中的重要性
数论在数学竞 赛中的常见题 型和解题方法
数论在数学竞 赛中的创新应
用
数论在数学竞 赛中的发展趋
势和挑战
在日常生活中的应用
密码学：数论在密码学中有广泛应 用，如RSA加密算法
游戏：数论在游戏中也有应用，如 数独游戏
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
计算机科学：数论在计算机科学中 也有广泛应用，如算法分析和设计
添加标题
添加标题
添加标题
数论与几何的联系：数论中的许多 问题可以通过几何方法来解决，例 如用几何方法求解面积、体积等。
数论与分析的析方法求解极限、导数等。
数论在物理学中的应用
数论在量子力学中的应用：量子数、角动量等概念与数论紧密相关
数论在弦理学中的应用：弦理学中的对称性与数论中的群论有密切联系
数论基础学习
数论基础学习一、课程目标知识目标：1. 理解数论的基本概念，掌握整数的基本性质，包括因数分解、最大公约数和最小公倍数的概念及求解方法。
2. 学会运用数论知识解决实际问题，掌握同余的概念，以及模运算的基本规则。
3. 掌握费马小定理和欧拉定理的基本原理，并能应用于特定问题的解决。
技能目标：1. 能够运用数论知识分析和解决实际生活中的问题，提升逻辑思维能力和问题解决能力。
2. 培养学生通过小组讨论和自主探究，运用数论原理发现规律，提出问题解决方案的能力。
3. 提高学生运用数学语言表达观点和论证推理的能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对数论学科的兴趣，激发学生学习数学的热情，增强学习的自信心。
2. 培养学生良好的合作精神，学会在团队中分享观点，互相学习，共同进步。
3. 通过数论的学习，引导学生认识到数学在科学发展和人类文明中的重要作用，培养学生的科学素养和理性思维。
二、教学内容本章节教学内容主要包括以下几部分：1. 数论基本概念：介绍整数、素数、合数、最大公约数和最小公倍数的概念，以及它们之间的关系。
2. 整数性质和因数分解：讲解整数的基本性质，如唯一分解定理，并举例说明如何进行因数分解。
3. 同余与模运算：引入同余的概念，阐述模运算的基本规则，并通过实例进行分析。
4. 费马小定理和欧拉定理：介绍费马小定理和欧拉定理的基本原理，以及它们在数论中的应用。
5. 数论在实际中的应用：分析数论在密码学、计算机科学等领域的应用，提高学生将理论知识应用于实际问题的能力。
教学内容安排如下：第一课时：数论基本概念，最大公约数和最小公倍数的求解方法。
第二课时：整数性质和因数分解，唯一分解定理的应用。
第三课时：同余与模运算，以及它们在数论中的应用。
第四课时：费马小定理和欧拉定理的基本原理及实例分析。
第五课时：数论在实际中的应用，讨论数论在科学和技术领域的作用。
教学内容与教材章节相对应，注重科学性和系统性，旨在帮助学生掌握数论基础知识，并学会将其应用于实际问题。
数学学科中的数论基础知识
数学学科中的数论基础知识数学学科中的数论是研究整数的性质和结构的学科。
它是数学的一个重要分支，具有广泛的应用价值。
数论的基础知识是数学学习的重要组成部分，掌握数论的基础知识对于深入理解数学的其他分支和解决实际问题都具有重要意义。
本文将介绍数学学科中的数论基础知识，包括素数、最大公约数、同余定理等内容。
一、素数素数是指只能被1和自身整除的正整数。
素数在数论中具有重要地位，它们是整数的基本构成单元。
素数的性质十分丰富，其中最著名的是费马小定理和欧拉定理。
费马小定理指出，如果p是一个素数，a是一个整数，那么a的p次方与a对p取余的结果相等。
欧拉定理则给出了一个更一般的结论，即如果a和n互质，那么a的φ(n)次方与a对n取余的结果相等，其中φ(n)表示小于n且与n互质的正整数的个数。
二、最大公约数最大公约数是指两个或多个整数中最大的能够同时整除它们的正整数。
最大公约数在数论中具有重要的作用，它是许多数论问题的关键。
最大公约数的计算可以使用辗转相除法，该方法通过连续除法的过程逐步缩小被除数和除数的差距，最终得到最大公约数。
最大公约数的性质也十分重要，其中最著名的是贝祖定理，它指出对于任意两个整数a和b，存在整数x和y，使得ax+by等于它们的最大公约数。
三、同余定理同余定理是数论中的一个重要概念，它描述了整数之间的一种特殊关系。
如果两个整数a和b除以一个正整数m所得的余数相等，那么我们称a和b对于模m同余，记作a≡b(mod m)。
同余关系具有一系列重要性质，例如同余关系具有传递性、对称性和反对称性。
同余定理在数论中有广泛的应用，例如在密码学中的RSA算法中，就是基于同余定理构建的。
四、数论的应用数论的应用非常广泛，它在密码学、编码理论、组合数学等领域都有重要的作用。
在密码学中，数论的基础知识可以用来构建安全的加密算法，保护通信的机密性。
在编码理论中，数论的基础知识可以用来设计高效的纠错码，提高数据传输的可靠性。
数论第01讲_基础判别法(学生版)A4
数论第01讲_基础判别法一．整除的定义如果整数a 除以整数b （0b ），除得的商是整数且没有余数，我们就说a 能被b 整除，也可以说b 能整除a ，记作|b a ．如果除得的结果有余数，我们就说a 不能被b 整除，也可以说b 不能整除a ．二．整除的一些基本性质1．尾数判断法能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除．能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除．能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．2．数字求和法能被3、9整除的数的特征：各位数字之和能被3或9整除．3．奇偶位求差法能被11整除的数的特征：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除．我们把一个数从右往左数的第1位、第3位、第5位、……统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2位、第4位、第6位、……统称为偶数位．我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇位和”，把“偶数位上的数字之和”简称为“偶位和”．重难点：熟记特殊数的整除特征，能利用整除特殊逐步解决问题，在计算的过程中，也可以利用整除进行简单的结果检验，理解并灵活掌握整除的定义，能解决基本整除问题．题模一：尾数判断法例1.1.1下面有9个自然数：14，35，80，152，650，434，4375，9064，24125．在这些自然数中，那么：（1）能被2整除的为__________________，能被4整除的为__________________，能被8整除的为__________________．（2）能被5整除的为__________________，能被25整除的为__________________，能被125整除的为__________________．例1.1.2如果三位数32□是4的倍数，那么□里能填的最小的数是___________，最大的数是___________．例1.1.320137□是一个六位数，小高在框中填了一个数字，使得它能被25整除；墨墨也在框中填了一个数字，而且填的数字比3小，这样该六位数就能被4整除．那么，他俩所填的数字相加，和为（）．A ．2B ．7C ．6D ．11例1.1.43719A B 是一个能被8整除的六位数，那把这个六位数所有可能的答案从小到大排成一排，第5个是___________．题模二：数字求和法例1.2.1六位数2013A A 能被3整除但不能被9整除，则A 是几？A ．3B ．6C ．3或6D ．3或9例1.2.2新学年开学了，同学们要改穿新的校服．萱萱收了9位同学的校服费（每人交的钱一样多）交给老师．老师给了小悦一张纸条，上面写着“交来校服费238□元”，其中的方格上有一滴墨水，把方格处的数字污染得看不清了．墨莫看了看，很快就算出了方格中的数字，则这个数是_______．题模三：奇偶位求差法例1.3.1多位数713A 能被11整除，则A 为多少？A ．0B ．5C ．9D ．以上都不对例1.3.2张华写了一个五位数，它能被9和11整除．如果去掉第一、三、五位，得到的数是35；如果去掉前三位，得到的数能被9整除；如果去掉后三位，得到的数也能被9整除．那么，这个数是__________．例1.3.3多位数618A B 能被11整除，则多位数有几个？A ．0B ．9C ．10D ．以上都不对例1.3.4已知多位数1234567a a a a a a a 能被11整除，求满足条件的整数．随练1.1判断下面11个数的整除性：23487，3568，8875，6765，5880，7538，198954，6512，93625，864，407（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？（4）哪些数能被11整除？随练1.2下面哪个数不能被9整除？A．468B．1314C．502D．234随练1.3有如下5个自然数：3124，3823，45235，5289，5588．其中能被11整除的有__________个．随练1.4已知一个8位数1234868能被11整除，则方框内应填入的数是多少？作业1下面有9个自然数：48，75，90，122，650，594，4305，7836，4100．其中能被4整除的数有__________个．作业2已知1949A是8的倍数，那么A是________．作业3判断以下各数的整除性：87324、7568、8075、6765、1800、7538、224400、93625、864、297（1）这些数中，有哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？（2）哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？（3）哪些数能被3整除？哪些数能被9整除？（4）哪些数能被11整除？作业43715AB是一个能被125整除的六位数，那这个六位数最小等于（）．A．371025B．371125C．371875D．371975作业54926A B是一个能被8整除的六位数，字母A和B各代表一个大于．．0的一位数．那把这个六位数所有可能的答案从小到大排成一排，第5个是___________．作业6六位数2035A A能被3整除但不能被9整除，则A是几？A．1B．4C．1或7D．以上都不对□□能被11整除，则所有满足要求的四位数为_____________．作业7四位偶数64作业8下面哪个数能被11整除？A．41031B．33044C．54321D．9876作业9173□是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9，11，8整除．”请问：王老师先后填入的3个数字的和是多少？作业10多位数190AB能被11整除，则多位数有几个？A．2B．7C．9D．以上都不对作业11已知整数54321a a a a a能被11整除，求所有满足这个条件的整数．作业12四位数235能被11整除，求出所有满足要求的四位数．。
第2章_数论基础
欧几里得算法
定理 若a,b是任意两个整数,则(a,b)就是(2.3)中 最后一个不等于零的余数,即 (a,b) rn.
证: rn gcd(0, rn ) gcd(rn1, rn ) gcd(rn, rn1) L gcd(r1,b) gcd(a,b)
欧几里得算法
例: 求gcd(1970, 1066)
欧几里得算法
定理：对任意非负整数 a 和正整数 b，有 gcd(a, b)=gcd(b, a-kb)=gcd(b,r)
证明：假设 a>b，根据带余除法，可将 a 表示为 a=kb+r， 所以 r =a-kb。 设 d 是 a，b 的公因子，即 d|a，d|b，所以 d|kb。由 d|a 和 d|kb 得 d|(a-kb)，因此 d 是 b 和(a-kb) 的公因子。
252 1198 54 18 198 4(252 198)
198 354 36 4 252 5198
54 1 36 18 18 54 (198 3 54)
36 218
198 454
18 54 36
欧几里得算法
✓ Euclid 算法描述： 因 gcd(a, b)=gcd(|a|, |b|)，因此可假定算法的输入
整除性
例：b 7, g 14, h 63, m 3, n 2
因为 7 14，7 63,所以7 314+2 63， 我们有314+2 63 =7 3 2+29， 显然 7 73 2+29.
整除性
例 证明：若 3 n且7 n, 则21 n. 由 3 n知 n 3m, 所 以 7 3m. 由 此 及 7 7m 得 7 (7m 2 3m) m. 因 而 有 2 1 n.
最大公约数定义和性质
初中二年级数学数论基础知识
初中二年级数学数论基础知识数论是数学的一个分支，主要研究整数及其性质。
在初中二年级的数学学习中，数论作为一个重要的基础知识点，帮助学生理解整数的特性和运算规律。
本文将介绍初中二年级数论基础知识的几个重要方面。
一、正整数和自然数在数论的学习中，我们首先需要明确正整数和自然数的概念。
正整数包括0、1、2、3等，而自然数则是从1开始的无限集合。
正整数和自然数在数论中经常用来进行计数和运算。
二、整除和倍数在数论中，整除和倍数是两个重要的概念。
如果一个整数a可以被另一个整数b整除，我们可以说a是b的倍数，b是a的约数。
表示为b|a，读作“b整除a”。
例如，4是8的倍数，8可以被4整除。
三、最大公约数和最小公倍数在数论中，最大公约数和最小公倍数是两个重要的概念。
给定两个整数a和b，最大公约数（Greatest Common Divisor，简称GCD）是能够同时整除a和b的最大正整数。
最小公倍数（Least Common Multiple，简称LCM）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
通过求解最大公约数和最小公倍数，我们可以简化分数和整数的运算。
四、素数和合数在数论中，素数和合数是两个重要的概念。
素数是只能被1和自身整除的正整数，比如2、3、5、7等。
而合数则是至少有一个因数能够整除它的正整数，比如4、6、8、9等。
素数和合数的概念在数论中起着重要的作用，用于分解和求解最大公约数等计算。
五、质因数分解质因数分解是将一个正整数表示为若干个质数的乘积。
任何一个正整数都可以唯一地进行质因数分解。
质因数分解在数论中被广泛应用，用于求解最大公约数、最小公倍数等计算。
例如，将28进行质因数分解得到2^2 * 7。
六、互质数互质数是指两个或多个正整数的最大公约数等于1的情况。
两个互质数之间没有其他共同的约数，也就是说它们没有除了1以外的公共因子。
互质数在数论的学习中经常被用来进行分数化简和求解最简分数等计算。
七、同余和模运算同余和模运算是数论中重要的概念。
基础数论概念
基础数论概念
杜德利所著的《基础数论》对初等数论的大多数论题进行了介绍。
推导了整数和同余式的基本性质，给出了费马定理和威尔逊定理的证明，介绍了几个数论函数以及丢番图方程和素数等知识，推出了重要的二次互反性定理。
全书共收进了一千多道练习和习题，且练习插在文(和一些证明)中，习题则附在各章末尾。
《基础数论》适用于高等学校数学类专业作为教材使用，也适用于对数学特别是数论知识感兴趣的读者使用。
《基础数论》，第一章至第五章中，推导了整数和同余数的基本性质，第六章给出了费马定理和威尔逊定理的证明，第七章至第九章介绍了数论函数d，σ和φ，在第十章至第十二章中，推出了重要的二次互反性定理。
接下去是多少有点互不相关的三部分材料：关于数的表示式(第十三章至第十五章)，丢番图方程(第十六章至第二十章)和素数(第二十一章至第二十二章)。
我认为，在数论中，习题和练习特别重要，也很有趣，因此，在第二十三章中收进了105道杂题。
它们大致上是按照难度而未考虑论题排列起来的。
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海王星-弦论(46532789) 下午 20:39:56 等一下，我插一下。共形场论中 标量素场的关联函数是正比于 1/ln (z1-z2)
海王星-弦论(46532789) 下午 20:40:31 selberg 还是 Serlberg？？
张轩中(56516127) 下午 21:04:15 Szemeredi 猜想是对的，我们也无法证明素数中一定含有任意长等差数列
张轩中(56516127) 下午 21:05:04 我们先来说，Szemeredi 猜想被谁证明了
张轩中(56516127) 下午 21:06:13 这与 ergodic 理论有点关系
海王星-弦论(46532789) 下午 21:01:21 M 中的因素的个数，除以 N，就是 M 在 N 中的密度，这个和你下面说的偶数的密度定义不 一样。应该是：M 中对 N 同余数为零的数的个数，除以 M 就得到这种因数的密度。
张轩中(56516127) 下午 21:02:18 大家自己体会这里面密度的意思：）
数论基础
张轩中
phybi(41438252) 下午 20:29:14 各位准备好了
phybi(41438252) 下午 20:29:27 ) 下午 20:30:10 今天报告人为张轩中老师，主持人为我
张轩中(56516127) 下午 20:30:14 人好少…… 张轩中(56516127) 下午 20:30:36 再去拉几个过来…… 张轩中(56516127) 下午 20:30:51 否则没有激情了……
张轩中(56516127) 下午 20:50:01 5，17，29，41，53 是一个由 5 个素数构成的等差数列
张轩中(56516127) 下午 20:50:29 我们说，这个数列的长度是 5
张轩中(56516127) 下午 20:50:49 一个基本的问题是，有没有任意长的等差数列在素数中
张轩中(56516127) 下午 20:51:11 到目前为止，已知的素数等差数列的长度为 23，即由 23 个素数构成的等差数列，而且这还 是在当今最先进的计算机上找到的，这个数列的第一个数是 56211383760397，数之间的间 隔常数为 44546738095860，最后一位数是 56211383760397+44546738095860×22.
张轩中(56516127) 下午 20:36:01 这个应该是欧几里德证明的，可以用反证法
A la Connes(384095684) 下午 20:36:17 当数论遭遇物理以这个为主题吧 （这种群友随时有被踢的危险…）
张轩中(56516127) 下午 20:36:34 其次，我们要知道素数在正整数里面的密度
光学(250963935) 下午 20:30:54 来了
phybi(41438252) 下午 20:30:58 张老师来自北师大，学术兴趣广泛，主要 focus 在数论，相对论等
phybi(41438252) 下午 20:31:08 很多人潜水吧？
灰度 18%－理论(3321223) 下午 20:31:17 嗯
张轩中(56516127) 下午 20:39:03 素数定理的证明有一些传奇
Part2 素数的经典力学
张轩中(56516127) 下午 20:39:03 素数定理的证明有一些传奇
张轩中(56516127) 下午 20:39:16 1949 年左右有初等的证明
张轩中(56516127) 下午 20:39:45 2 个证明的人，其中一个是 erdos，一个是 serlberg？
张轩中(56516127) 下午 20:33:42 1，素数 2，素数中的等差数列
张轩中(56516127) 下午 20:34:07 其中第 2 点可能讲不完全，实际上这个是 green-tao 定理
张轩中(56516127) 下午 20:34:41 tao 是陶哲轩，是华人数学神童
张轩中(56516127) 下午 20:35:16 首先，我们来说一下素数，我们知道素数有无限多个
张轩中(56516127) 下午 21:11:32 总之，furstenburg 用这些证明了 Szemeredi 猜想
张轩中(56516127) 下午 21:11:52 之前别人也证明过，用的不是这种方法
张轩中(56516127) 下午 21:12:36 但是，素数中到底存在不存在任意长等差数列，还是没有答案，一步之遥
phybi(41438252) 下午 20:31:42 大家亮明真身吧
灰度 18%－理论(3321223) 下午 20:31:54 我只是喜欢，
张轩中(56516127) 下午 20:32:16 好吧 ，我们开始了
phybi(41438252) 下午 20:32:26 开始 灰度 18%－理论(3321223) 下午 20:32:30
张轩中(56516127) 下午 20:41:39 erdos 一辈子没有结婚，浪迹天涯
张轩中(56516127) 下午 20:42:23 他有一个猜想，等一下我再说明
张轩中(56516127) 下午 20:43:18 素数理论一开始有一些传统的定理
张轩中(56516127) 下午 20:43:35 比如 ，华林证明了所谓 wlison 定理 海王星-弦论(46532789) 下午 20:43:59 Wilson？
张轩中(56516127) 下午 20:46:53 大致就是在圆周上放几个珍珠做一个项链，看等价类的个数
张轩中(56516127) 下午 20:47:14 无所谓，这些定理构成了素数理论的传统部分
张轩中(56516127) 下午 20:47:30 这也许可以被看成是素数的经典力学
Part3 素数的量子力学
张轩中(56516127) 下午 20:47:45 接下来就是要看看素数的量子力学
张轩中(56516127) 下午 20:48:20 基本思想是：素数在整数中的出现，是一个随机现象
张轩中(56516127) 下午 20:48:54 这也就是我要讲的第 2 部分
张轩中(56516127) 下午 20:49:58 我们要寻找素数中的等差数列
张轩中(56516127) 下午 20:37:25 素数定理告诉我们，比 n 小的素数，大约有 n/ln n 个
张轩中(56516127) 下午 20:38:11 因此，第一个重要的结论是：素数在正整数中的密度，就是 1/ln n
张轩中(56516127) 下午 20:38:32 这个结论等一下要用到
张轩中(56516127) 下午 20:52:05 这些数字都是素数……
张轩中(56516127) 下午 20:52:25 数学家猜想，存在任意长度的等差数列
张轩中(56516127) 下午 20:52:46 但这个猜想很不好做
灰度 18%－理论(3321223) 下午 20:52:52 随机出现为什么又有这个规律
张轩中(56516127) 下午 20:40:31 是的，关联函数等等，与所谓量子混沌以及素数有关系
张轩中(56516127) 下午 20:40:41 selberg
海王星-弦论(46532789) 下午 20:40:48 OK，continue
张轩中(56516127) 下午 20:41:22 Selberg 是大师，也来过中国，不过今天我们要关注 erdos
张轩中(56516127) 下午 20:53:46 于是，人们开始使用随机的观念，把概率和测度，动力系统等等，引进到数论
张轩中(56516127) 下午 20:54:16 人们首先把素数看成是一个集合
张轩中(56516127) 下午 20:54:43 也可以把任意正整数看成一个集合
张轩中(56516127) 下午 20:54:58 比如 {1 2 3 8 90 1223 ……}
张轩中(56516127) 下午 20:44:26 wilson 定理 表达如下：（p-1）！+1=0 同余 p
张轩中(56516127) 下午 20:44:38 我这里=表示同余
张轩中(56516127) 下午 20:44:55 ！表示阶乘
张轩中(56516127) 下午 20:45:07 如果 p 是素数，这个是满足的
张轩中(56516127) 下午 20:55:12 这个集合看上去很乱
张轩中(56516127) 下午 20:55:52 但是，1975 年，开始有人猜想乱糟糟的集合里有一些规律
张轩中(56516127) 下午 20:56:36 我们把任意集合写成 M={1，2 ……90……}
张轩中(56516127) 下午 20:57:25 M 中的因素的个数，除以 N，就是 M 在 N 中的密度
怪球(1365478322) 下午 20:57:52 是因数吧~
张轩中(56516127) 下午 20:57:57 比如偶数的密度，应该就是 1/2
张轩中(56516127) 下午 20:58:16 元素个数之比
张轩中(56516127) 下午 20:58:34 再求一个极限
张轩中(56516127) 下午 20:59:17 那么，有一个匈牙利数学家
量子信息-车长<jwhu3.14@> 下午 21:12:46 哦
Part4 素数中等差数列之证明
张轩中(56516127) 下午 21:13:09 2002 年，两位 20 多岁的数学家着手证明施米列迪定理在某种特定性质的素数子集中也成
立，他们希望能证明：有无穷多个由 4 个素数构成的等差数列。为了证明这个问题，陶和格 林用了两年多的时间分析证明施米列迪定理的 4 个完整证明的背后因素。
张轩中(56516127) 下午 20:59:21 他叫 Szemeredi
张轩中(56516127) 下午 20:59:46 他猜想，如果 M 的密度大于 0，则 M 中一定存在任意长等差数列