黑龙江省哈三中高一上学期期末考试试题(数学)
黑龙江省哈三中2025届高一上数学期末达标检测模拟试题含解析
f30来自，所以fAsin
A 2cos
A tan
A
1的零点位于区间
π 4
,
π 3
，
即满足
sin
A
2
cos
A
tan
A
1的角
A
π 4
,
π 3
，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是令 f A sin A 2cos A tan A 1，根据零点存在定理判断函数的零点
所在的区间. 4、B
xy2
xy 2 y x 2
yx 2
yx
3
3
故答案为： 9 2
13、 3 【解析】利用 sin(x ) [1,1]可求最大值.
6
【详解】因为 x 2k ，即 x 2k 2 ， k Z ， y sin(x ) 取到最小值 1；
6
2
3
6
所以函数 y 3sin(x ) 的最大值为 3 . 6
D.[5π , π] 6
5．如果两个函数的图象经过平移后能够重合，则称这两个函数为“互为生成”函数，给出下列函数：①f x sinx ；
②f
x
sinx
cosx
；③f
x
2cos
x
12
；④f
x
3sinx 2cos2 x ，其中“互为生成”函数的是 ( 2
)
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ③④
不同的交点，它们的横坐标分别为 x1, x2 , x3 ,则 x1 x2 x3 的取值范围是（
）
A. 2,6 2 3
B. 2, 3 1
C. 4,8 2 3
D. (0, 4 2 3)
黑龙江省哈尔滨市高一上学期期末学业质量检测数学试题(解析版)
黑龙江省哈尔滨市高一上学期期末学业质量检测数学试题一、单选题1．设，，，则（ ） U =R {}0A x x =>{}1B x x =≤-()U A B = ðA ． B ．C ．D ．{}10x x -≤<{}0x x >{}10x x -<≤{}1x x >-【答案】B【分析】先求出然后再求.C U B ()U A B ∩ð【详解】 {}(){}11U B x x B x x =≤-∴=>- ð又 {}(){}{}{}0010U A x x A B x x x x x x =>∴⋂=>⋂>-=> ð故选：B2．命题“，”的否定是（ ） R x ∀∈ðQ 3x ∉Q A ．， B ．， R x ∃∉ðQ 3x ∈Q R x ∀∈ðQ 3x ∈Q C ．， D ．，R x ∃∈ðQ 3x ∈Q R x ∀∉ðQ 3x ∈Q 【答案】C【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得答案. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是“，”. R x ∀∈ðQ 3x ∉Q R x ∃∈ðQ 3x ∈Q 故选：C.3．已知角的终边与单位圆的交点，则（ ）αP ⎛ ⎝sin cos αα+=A ．B ．CD 【答案】A【分析】利用角的终边与单位圆相交来定义任意角的三角函数值.【详解】因为角的终边与单位圆的交点， αP ⎛ ⎝令 x y ==所以，sin c os y x αα====所以sin cos αα+==故选：A.4．哈尔滨地铁某环线12月份地铁票销售总量与时间的关系大致满足()f t ()030t t <≤，则地铁3号线东南环线前天平均售出（如前10天的平均售出为）()22020100f t t t =++t ()1212f 的张数最少为（ ）. A ．2019 B ．2040 C ．2021 D ．2022【答案】B 【分析】求出，再根据基本不等式可求出结果. ()f t t【详解】地铁3号线东南环线前天平均售出的张数为, t ()1002020f t tt t=++(030)t <≤由基本不等式可得， 100202020202020202040t t ++≥=+=当且仅当时，等号成立.10t =所以地铁3号线东南环线前天平均售出的张数最少为张. t 2040故选：B5．已知函数，则的值是（ ） ()31,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩19f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A ．B ．CD ．42-12【答案】D【分析】根据的范围代入到对应的函数求值即可.x 【详解】由题意可得，，311log 299f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. ()2112422-⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f 故选：D.6．设，则“”是“”的（ ） x ∈R 1x <220x x --<A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不必要也不充分条件【答案】A【分析】解出不等式，结合充分条件不必要条件的概念可得到结果． 【详解】若，则， 1x <11x -<<若，则，220x x --<12x -<<∵ ，则“”是“”的充分不必要条件. {}|11x x -<<{}|12x x -<<1x <220x x --<故选：A.7．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（ ）43xy x =-A ． B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据函数的奇偶性可排除D,根据函数经过的特殊点可排除A,B,进而可求解C.【详解】由于定义域为,且，故为偶函数，故()43xf x x ，=-R ()()()43=x f x x f x --=--43x y x =-图象关于轴对称，故排除D, y 当时，，故排除A, 0x =1y =当时，，故排除B, 2x =9160y =-<故选：C8．计算（ ）)sin 40tan10︒︒=A ．1 B ．2C D ．3-【答案】A【分析】利用同角的商数关系、辅助角公式、两角和的余弦公式及二倍角公式化简即可得答案.【详解】解：因为)sin10sin 40tan10sin 40cos10︒⎫︒︒=︒⎪︒⎭sin 40=︒.2cos(1030)2sin 40cos 40sin 80sin(9010)cos10sin 401cos10cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒-︒︒=︒⋅=====︒︒︒︒︒故选：A.二、多选题9．下列说法中正确的有（ ） A ．奇函数的图象一定经过原点B ．若偶函数的图象不经过原点，则它与轴交点的个数一定是偶数 xC ．偶函数的图象关于轴对称 yD ．图象过原点的奇函数必是单调函数 【答案】BC【分析】通过反例可知AD 错误；根据偶函数的对称性可知BC 正确. 【详解】对于A ，为奇函数，但不经过原点，A 错误；1y x=对于B ，若偶函数图象不经过原点，则其与轴的交点必关于轴对称，则交点个数必为偶数个，x y B 正确；对于C ，由偶函数定义知其图象关于轴对称，C 正确；y 对于D ，图象过原点且为奇函数，但其在上不单调，D 错误. sin y x =R 故选：BC.10．将函数的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭6π标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） ()g x A ．函数的图象关于点对称B ．函数在区间上有4个零点 ()g x (),0π()g x []0,4πC ．函数是偶函数D ．函数在区间上最小值是23g x π⎛⎫+⎪⎝⎭()g x 30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-【答案】BC【分析】由已知变换得，利用整体法结合三角函数性质逐个比较判断即可.()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】的图象向右平移得，则()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭6π()sin 2sin 2666f x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.()1sin 2sin 266g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对A ，由，即，则函数的图象关于点 对称，ππ6x k -=()k ∈Z ππ6x k =+()g x ,06k ππ⎛+⎫ ⎪⎝⎭()k ∈Z A 错；对B ，，则，则函数在区间上的零点，共[]0,4x π∈ππ23,666πx éù-Î-êúêúëû()g x []0,4ππ7π13π19π,,,6666四个，B 对；对C ，，为偶函数，C 对； 22πsin sin cos 3362g x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭对D ，，则，则当时，函数在区间上取得最小30,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ4,663πx éù-Î-êúêúëûπ463πx -=()g x 30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦值，为D 错. 故选：BC11．已知实数，，满足，则下列结论正确的是（ ） a b c 10a b c >>>>A ． B ．C ．D ．b c a a >log log b c a a >1133b c --<log ab c b >【答案】ACD【分析】A 选项，根据单调递增，得到； x y a =()1a >b c a a >B 选项，根据单调性得到，，，结合换底公式得到B 错误； ln y x =0ln ln b c >>ln 0a >ln ln ln ln a ab c<C 选项，根据的单调性得到；13y x -=1133b c --<D 选项，根据和的单调性，结合中间值比较大小.log b y x =x y b =【详解】A 选项，因为单调递增，又，所以，A 正确； x y a =()1a >b c >b c a a >B 选项，因为在单调递增，因为， ln y x =()0,∞+10a b c >>>>所以，，故，，即，B 错误； 0ln ln b c >>ln 0a >110ln ln b c<<ln ln ln ln a ab c <log log b c a a <C 选项，在上单调递减，而，所以，C 正确； 13y x -=()0,∞+0b c >>1133b c --<D 选项，因为在单调递减，而，故， log b y x =()0,∞+0b c >>log log 1b b c b >=因为单调递减，而，故，所以，D 正确. x y b =0a >001a b b <<=log ab c b >故选：ACD12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）()22e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩A ．函数有两个零点()y f x x =-B ．若函数有四个零点，则()y f x t =-[]1,2t ∈C ．若关于的方程有四个不等实根，则x ()f x t =1234,,,x x x x 12342x x x x +++=D ．若关于的方程有8个不等实根，则x ()()230f x f x α-+=92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】CD【分析】A 选项，画出的图象，在同一坐标系内作出的图象，可看()22e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩y x =出两函数图象有3个交点，A 错误； B 选项，数形结合得到，B 错误；()1,2t ∈C 选项，可看出四个实根有两个根关于对称，另外两个根关于对称，从而得到=1x -2x =，C 正确；12342x x x x +++=D 选项，令，则要有2个不相等的实数根，， ()f x t =230t t α-+=12,t t ()12,1,2t t ∈得到两根之和，两根之积，化简得到，结合，求出221222239324t t t t t α⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭()21,2t ∈，结合，求出.92,4α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦940α∆=->92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【详解】A 选项，当时，单调递增，2x ≥()2e xf x -=当时，单调递减，02x <<()2e xf x -=画出的图象，可以看出关于对称，()22e ,021,0x x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩2e x y -=2x =当时，取得最小值为1，2x =2e x y -=在同一坐标系内作出的图象，可看出两函数图象有3个交点，y x =所以函数有3个零点，A 错误；()y f x x =-数形结合可得：函数有四个零点，则，B 错误；()y f x t =-()1,2t ∈由上图可知：若关于的方程有四个不等实根， x ()f x t =1234,,,x x x x 不妨设1234x x x x <<<其中关于对称，关于对称，则， 12,x x =1x -34,x x 2x =12342,4x x x x +=-+=所以，C 正确；12342x x x x +++=D 选项，令，则要有2个不相等的实数根，， ()f x t =230t t α-+=12,t t ()12,1,2t t ∈且，，123t t +=12t t α=，221222239324t t t t t α⎛⎫==-=--+ ⎪⎝⎭因为，所以，()21,2t ∈223992,244t α⎛⎫⎛⎤=--+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦由，解得：， 940α∆=->94α<综上：，92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若关于的方程有8个不等实根，则，D 正确.x ()()230f x f x α-+=92,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭三、填空题 13．已知，则______.3sin 2cos 7sin 3cos 6θθθθ-=+tan θ=【答案】3【分析】利用弦化切即可求出的值. tan θ【详解】由，3sin 2cos 7sin 3cos 6θθθθ-=+所以3sin 2cos 7cos sin 3cos 6cos θθθθθθ-=+即，3tan 27tan 36θθ-=+解得. tan 3θ=故答案为：3. 14．函数的定义域为______. ()ln 21y x =-【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据被开方数大于等0，分母不为0及对数函数的定义域列出不等式组，求解即可.【详解】由得，解得，10210x x ->⎧⎨->⎩112x x <⎧⎪⎨>⎪⎩112x <<所以函数的定义域为.()ln 21y x =-1,12⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：.1,12⎛⎫⎪⎝⎭15．已知函数R ，则实数a 的取值范围是______．()f x =【答案】04a ≤<【分析】依题意可得恒成立，再分和两种情况讨论，当时，210ax ax ++>0a =0a ≠0a ≠0a >⎧⎨∆<⎩即可得到不等式，解得即可求出参数的取值范围； 【详解】解：因为函数R ，即恒成立，()f x =210ax ax ++>当时恒成立；0a =10>当时，则，解得； 0a ≠240a a a >⎧⎨∆=-<⎩04a <<综上可得 04a ≤<故答案为：04a ≤<16．已知函数满足，对任意的，都有恒()f x ()()0f x f x +-=()12,0,x x ∈+∞()()1221210x f x x f x x x -<-成立，且，则关于的不等式的解集为______. ()20f =()0f x <【答案】 ()()2,02,-+∞ 【分析】由题知以函数为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，再根()f x y x=()0,∞+(),0∞-据讨论求解即可.()20f =【详解】解：因为函数满足，即 ()f x ()()0f x f x +-=()()f x f x -=-所以函数为奇函数， ()f x 不妨设，21x x >因为对任意的，都有恒成立，()12,0,x x ∈+∞()()1221210x f x x f x x x -<-所以，，即， ()()12210x f x x f x -<()()2121f x f x x x <所以，函数在上单调递减，()f x y x=()0,∞+因为函数为奇函数， ()f x 所以函数为偶函数，且在上单调递增，()f x y x=(),0∞-因为，()20f =所以，当时，，； (),2x ∞∈--()0f x y x=<()0f x >当时，，； ()2,0x ∈-()0f x y x =>()0f x <当时，，；()0,2x ∈()0f x y x =>()0f x >当时，，；()2,x ∈+∞()0f x y x=<()0f x <所以，关于的不等式的解集为 ()0f x <()()2,02,-+∞ 故答案为：()()2,02,-+∞四、解答题17．（1）；()())2401133230.252217-⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⨯⨯-+⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）. ()2lg 2lg 5lg 20+⋅【答案】（1）；（2）.62-1【分析】（1）根据指数幂的运算法则直接求解即可； （2）根据对数运算法则直接化简求解即可.【详解】（1）原式；()())241130.52216462222⎫=--⨯-+-=-+=-⎪⎭（2）原式.()()()()()2222lg 2lg 52lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 5lg 2lg 51=+⋅+=+⋅+=+=18．已知函数.()21cos 2cos f x x x x =-++(1)求函数的最小正周期； ()f x (2)求函数图象的对称轴方程； ()f x (3)求函数的单调递减区间. ()f x 【答案】(1) π(2) ()ππ62k x k =+∈Z (3)，π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z【分析】（1）化简的解析式，然后求得的最小正周期.()f x ()f x（2）利用整体代入法求得函数图象的对称轴方程.()f x （3）利用整体代入法求得函数的单调递减区间.()f x【详解】（1）， ()π2cos 22sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以的最小正周期. ()f x 2ππ2T ==（2）令得， ()ππ2π62x k k +=+∈Z ()ππ62k x k =+∈Z 即函数图象的对称轴方程为. ()y f x =()ππ62k x k =+∈Z （3）令，， ππ3π2π22π262k x k +≤+≤+k ∈Z 解得，， π2πππ63k x k +≤≤+k ∈Z 所以函数的单调递减区间是，. π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 19．几年国家出台的惠民政策越来越多，政府出资的“旧房改造”工程使得许多老旧校区旧貌换新颜，从根本上提高了百姓的生活质量.如图，在改造某小区时，要在一处公共区域搭建一间背面靠墙（墙长7米）的房屋，图形所示为房屋俯视图，房屋地面面积为房屋正面的造价为600元224m ，侧面的造价为200元，顶部总造价为4800元，如果墙面高为3m ，不计房屋背面和地面2/m 2/m 的费用，设总造价为元.z(1)请将总造价表示为正面边长的函数，怎样设计房屋边长能使总造价最低？最低总造价是多z x 少？(2)如果所需总费用不超过22800元，求房屋正面边长的取值范围是多少？x 【答案】(1)，当正面墙长为4m 时造价最低，最低总造价为()161800480007z x x x ⎛⎫=++<≤ ⎪⎝⎭19200元.(2)[2,7]【分析】（1）写出函数后运用基本不等式可得结果.（2）解分式型不等式可得结果.【详解】（1）设房屋正面墙长为，侧面边长为，总造价为元，则，x m y m z 24xy =∴ 120024360023200480018004800z x y x x⨯=⨯+⨯⨯+=++ ()161800480007x x x ⎛⎫=++<≤ ⎪⎝⎭∴， 16180048001800480019200z x x ⎛⎫=++≥⨯= ⎪⎝⎭当且仅当即“”时上式取等号. 16x x=4x =答：当正面墙长为4m 时造价最低，最低总造价为19200元.（2）∵ 161800480022800z x x ⎛⎫=++≤ ⎪⎝⎭∴， 1610x x+≤又∵07x <≤∴不等式变为：，，210160x x -+≤07x <≤∴27x ≤≤答：房屋正面边长的取值范围是.x [2,7]20．已知函数（其中）.()22376f x x mx m =+-m ∈R (1)解关于的不等式；x ()0f x ≤(2)若不等式在内恒成立，求实数的取值范围.()2360f x m ++>()1,4x ∈m 【答案】(1)答案见解析(2) 6,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）分，，三种情况讨论，从而可得出答案；0m =0m >0m <（2）在内恒成立，即，利用函数的单调性求得的()2360f x m ++>()1,4x ∈2337x m x +>-2337x x +-最大值即可得解.【详解】（1）不等式，即，()0f x ≤223760x mx m +-≤当时，，不等式的解集为，0m =230x ≤{}0x x =当时，，可得，0m ≠223760x mx m +-≤()()3230-+≤x m x m 当，则，所以不等式的解集为， 0m >233m m >-23,3m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦若，则，所以不等式的解集为， 0m <233m m <-2,33m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦综上所述，当时，不等式的解集为，0m ={}0x x =当时，不等式的解集为， 0m >23,3m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，不等式的解集为； 0m <2,33m m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）不等式在内恒成立，即，()2360f x m ++>()1,4x ∈23730x mx ++>有在内恒成立，即求在的最大值， 2337x m x+>-()1,4x ∈2337+=-x y x ()1,4x ∈令，， ()1f x x x=+()1,4x ∈设，则， 1214x x <<<()()()121212121212111x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫--=+-+=- ⎪⎝⎭因为，所以，，1214x x <<<120x x -<121x x >所以，即， ()12121210--<x x x x x x ()()12f x f x <所以在上单调递增，， ()1f x x x =+()1,4x ∈()1724<<f x 所以在的最大值为， 2333177+⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭x y x x x ()1,4x ∈67-故，所以实数的取值范围是. 67m ≥-m 6,7⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭21．()()2cos cos sin f x x x x x =+-(1)若，求的值； ()1f x =2πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)若当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围. π0,2x ⎡⎤∈⎢⎣⎦x ()f x m ≥m 【答案】(1) 34(2)(],2-∞ 【分析】（1）先化简，再把待求式化为()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2πsin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入求值；（2）利用单调性求出，即可求解. 2π1sin 2π6sin32x x ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭+= ⎪⎝⎭()max fx 【详解】（1）()22cos cos sin f x x x x x =+-2cos2x x +122cos 22x x ⎫=+⎪⎪⎭ π2sin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭若，即 ()1f x =π1sin 262x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则. 2ππ2π1cos 21cos 262π3sin 322x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎣⎦+== ⎪⎝⎭π11sin 21362224x ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===（2）由题意可知，不等式有解，即， ()f x m ≥()max m f x ≤因为，所以， π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦因为在上单调递增，在上单调递减， 2sin y t =ππ,62t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π7π,26t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故当，即时取得最大值，且最大值 ππ262x +=π6x =()f x π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴. 2m ≤即实数的取值范围为.m (],2-∞22．已知函数，其中.()()2224f x ax a x =+--R a ∈(1)设.若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围；1a =[]0,1x ∈()243f x x n n >--+n (2)是否存在实数，使得且，若存在，求的取值范围；若不存在说0x 00ax <()00522f x x a +=-+0x 明理由.【答案】(1)()(),14,-∞-⋃+∞(2)存在，理由见解析 0112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭【分析】（1）问题转化为，，根据函数的单调性求()22min 243x x n n +->-+[]0,1x ∈224y x x =+-出最小值为-4，故得到不等式，求出实数的取值范围；n （2）考虑，，三种情况，前两种情况不合要求，时，转化为00x =00x >00x <00x <有负实数解，，分与()()2002110ax a x a +--+=()20002121a x x x +-=+200210x x +-=200210x x +-≠，求出的取值范围.0x 【详解】（1）依题，恒成立，[]0,1x ∀∈222443x x x n n -->--+∴，，()22min 243x x n n +->-+[]0,1x ∈∵在上单调递增， ()222415y x x x =+-=+-[]0,1∴时，，0x =()2min 244x x +-=-∴，即， 243n n ->-+()()410n n -+>∴或1n <-4n >故实数的取值范围是； n ()(),14,-∞-⋃+∞（2）①当时，与矛盾，∴舍去， 00x =00ax =00ax <00x =②当时，由，得，此时， 00x >00ax <a<0020x a ->∴，0022x a x a -=-∴， ()()()2000002006132231021x f x x a ax a x a a x x ++=-⇔+-+-=⇔=++∵，00x >∴， 02061021x x x +>++又，a<0∴时无解， 00x >()0032f x x a +=-∴时，不存在实数，使得且成立； 00x >0x 00ax <()0032f x x a +=-③当时，由，得，此时，∴，00x <00ax <0a >020x a -<0022x a a x -=-∴若有解有负实数解，()0032f x x a +=-()()2002110ax a x a ⇔+--+=设，()()()2000211g x ax a x a =+--+∵且，0a >()()010g a =-+<∴必有负实数解， ()()2002110ax a x a +--+=对于可化为，()()2002110ax a x a +--+=()20002121a x x x +-=+当，即时，不成立；200210x x +-=1x =-()20002121a x x x +-=+当时，可化为， 200210x x +-≠()20002121a x x x +-=+02002121x a x x +=+-∵，0a >∴，即， 020021021x x x +>+-()()200021210x x x ++->∴，且， ()((00021110x x x ⎡⎤⎡⎤+---->⎣⎦⎣⎦00x <∴， 0112x -<<-综上所述，存在实数，使得且. 0112x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭00ax <()0032f x x a +=-。
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）sin的值为（）A．B．C．﹣D．﹣2．（5分）＝（）A．2B．﹣3C．7D．13．（5分）已知集合，B＝{α|0＜α＜π}，A∩B＝C，则C＝（）A．B．C．D．4．（5分）函数f（x）＝2x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．5．（5分）下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①，②y＝x2，③，④y＝x﹣1B．①y＝x3，②y＝x2，③，④y＝x﹣1C．①y＝x2，②y＝x3，③，④y＝x﹣1D．①，②，③y＝x2，④y＝x﹣16．（5分）函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，﹣3）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣3，﹣1）7．（5分）在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，，则A＝（）A．15°B．30°C．45°D．60°8．（5分）已知，则cos（α+β）＝（）A．B．C．D．9．（5分）已知f（x）＝tanωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值为，则ω＝（）A．B．C．D．10．（5分）已知sinα﹣cosα＝﹣，则tanα+的值为（）A．﹣4B．4C．﹣8D．811．（5分）记a＝log sin1cos1，b＝log sin1tan1，c＝log cos1sin1，d＝log cos1tan1，则四个数的大小关系是（）A．a＜c＜b＜d B．c＜d＜a＜b C．b＜d＜c＜a D．d＜b＜a＜c 12．（5分）已知函数f（x）＝cos x，若存在x1，x2，…，x n满足，且，则n的最小值为（）A．6B．8C．10D．12二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．（5分）在0°到360°范围内，与角﹣60°的终边相同的角为．14．（5分）先将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后，得到函数g（x）的图象，函数g（x）的解析式为．15．（5分）下列说法中，正确的序号是．①y＝|sin x|的图象与y＝sin（﹣x）的图象关于y轴对称；②若sinα+cosα＝1，则sin nα+cos nα（n∈N*）的值为1；③若，则cos（sinθ）＞sin（cosθ）；④把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为；⑤在钝角△ABC中，，则sin A＜cos B；⑥sin168°＜cos10°＜sin11°．16．（5分）若函数恰有4个零点，则a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知点P（1，1）在角α的终边上，求下列各式的值．（Ⅰ）；（Ⅱ）．18．（12分）已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．19．（12分）函数．（Ⅰ）若，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若是函数g（x）＝f（x）+λcos2x的一条对称轴，求λ的值．20．（12分）已知函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和．（Ⅰ）求f（x）解析式及x0的值；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若时，函数g（x）＝2f（x）+1+m有两个零点，求实数m的取值范围．21．（12分）设函数f（x）＝x2+|x﹣1|+2a，a∈R．（Ⅰ）若方程f（x）＝3x在（0，1）上有根，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）＝cos2x+2a sin x，若对任意的，x2∈（0，2）都有，求实数a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝sin x+cos x．（Ⅰ）把f（x）的图象上每一点的纵坐标变为原来的A倍，再将横坐标变向右平移φ个单位，可得y＝sin x图象，求A，φ的值；（Ⅱ）若对任意实数x和任意，恒有，求实数a的取值范围．2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：由特殊角的正弦函数值可得：sin＝．故选：A．2．【解答】解：＝﹣5+log636＝﹣5+2＝﹣3．故选：B．3．【解答】解：，B＝{α|0＜α＜π}；∴；又A∩B＝C；∴．故选：C．4．【解答】解：令＝0，可得，再令g（x）＝2x，，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（，1），从而函数f（x）的零点在（，1），故选：B．5．【解答】解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A故选：B．6．【解答】解：令t＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣3，或x＞1，故函数的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．根据f（x）＝log2t，复合函数的单调性可得，本题即求函数t＝（x+1）2﹣4 在定义域（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t＝（x+1）2﹣4 在定义域上的减区间为（﹣∞，﹣3），故选：A．7．【解答】解：∵，∴由正弦定理，可得：sin A＝＝＝，∵a＜b，可得A∈（0°，45°），∴A＝30°．故选：B．8．【解答】解：已知：，所以：，故：，，所以：，则：cos（α+β）＝cos[（）+（）]，＝﹣，＝，＝故选：D．9．【解答】解：∵0＜ω＜1，∴T＝＞π，故f（x）在区间上递增，故f（x）max＝f（）＝，故tan＝，解得：ω＝，故选：A．10．【解答】解：∵sinα﹣cosα＝﹣，∴两边平方可得1﹣2sinαcosα＝，∴sin2α＝﹣，∴tanα+＝＝﹣8，故选：C．11．【解答】解：∵tan1＞1＞sin1＞cos1＞0，a＝log sin1cos1，b＝log sin1tan1，c＝log cos1sin1，d＝log cos1tan1，∴a＝log sin1cos1＝＝log cos1sin1＞log sin1sin1＝1，∴a＞c＞0．又lg tan1＞0＞lg sin1＞lg cos1，b＝log sin1tan1＝＜＝log cos1tan1＝d＜0，∴0＞d＞b．综上可得：a＞c＞0＞d＞b．∴b＜d＜c＜a．故选：C．12．【解答】解：函数f（x）＝cos x，对任意x i，x j（i，j＝1，2，3，…，n），都有|f（x i）﹣f（x j）|≤|f（x）max﹣f（x）min|＝2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i＝1，2，3，…，m）取得最高点，x j（j＝1，2，3，…，m）取得最低点，由，且，则按下图取值即可满足条件，∴n的最小值为10．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13．【解答】解：∵与﹣60°角终边相同的角为：α＝k•360°﹣60°，（k∈Z）∵0°≤α＜360°，∴k＝1时，α＝300°．故答案为：300°．14．【解答】解：将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移个单位，得到：y＝sin[2（x﹣）]＝﹣cos2x，再向上平移1个单位后，得到函数g（x）＝1﹣cos2x．故答案为：g（x）＝1﹣cos2x15．【解答】解：①，y＝sin（﹣x）的图象关于y轴对称的函数为y＝sin x，而非y＝|sin x|，故①错误；②，若sinα+cosα＝1，两边平方可得1+2sinαcosα＝1，即sinα＝0，cosα＝1，或sinα＝1，cosα＝0，则sin nα+cos nα（n∈N*）的值为1，故②正确；③，若，则sinθ∈（0，1），cosθ∈（0，1），﹣cosθ∈（﹣1，），且sinθ+cosθ＝sin（θ+）＜，即有sinθ＜﹣cosθ，可得cos（sinθ）＞cos（﹣cosθ），即有cos（sinθ）＞sin（cosθ），故③正确；④，把函数的图象向左平移个单位长度后，所得y＝cos（2x+）的图象，由y＝cos（+）＝﹣，不为最值，则一条对称轴方程不为，故④错误；⑤，在钝角△ABC中，，可得A+B＜，即有A＜﹣B，则sin A＜sin（﹣B）＝cos B，故⑤正确；⑥，sin168°＝sin12°，cos10°＝sin80°，可得sin11°＜sin12°＜sin80°，即有sin11°＜sin168°＜cos10°，故⑥错误．故答案为：②③⑤．16．【解答】解：设g（x）＝sin（2x+），h（x）＝cos（2x+），分别令f（x）＝0，g（x）＝0，则：g（x）在[﹣π，]上的零点为﹣π，﹣π，﹣；h（x）在[﹣π，]上的零点为﹣π，﹣，．f（x）恰有4个零点，可得m∈（﹣π，﹣]∪（﹣π，﹣]∪（﹣，]．故答案为：（﹣π，﹣]∪（﹣π，﹣]∪（﹣，]．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：∵角α终边上有一点P（1，1），∴x＝1，y＝1，r＝|OP|＝，∴sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝1，∴（Ⅰ）＝＝＝﹣；（Ⅱ）＝＝＝﹣．18．【解答】解：（Ⅰ）∵已知，，∴sinα＝﹣＝﹣，∴＝sinαcos+cosαsin＝﹣•+•＝．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得tanα＝＝＝﹣，tan2α＝＝﹣，∴＝＝﹣．19．【解答】解：（Ⅰ）＝2sin（2x+）﹣1，若，则2x+∈[0，]，故2sin（2x+）∈[0，1]，故f（x）∈[﹣1，1]；（Ⅱ）g（x）＝sin2x﹣2sin2x+λcos2x＝sin（2x+θ）﹣1sinθ＝，cosθ＝，若是函数g（x）＝f（x）+λcos2x的一条对称轴，则2×+θ＝，故θ＝，故，解得：λ＝2．20．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和，∴A＝2，2sinφ＝﹣，即sinφ＝﹣，∴φ＝﹣，且•＝，ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x﹣）．令2x0﹣＝，求得x0＝．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅲ）若时，函数g（x）＝2f（x）+1+m有两个零点，即4sin（2x﹣）+1+m＝0有2个实数根，即方程sin（2x﹣）＝﹣有2个解．若时，2x﹣∈[﹣，]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴结合正弦函数的图象可得，应有≤﹣＜1，解得﹣5＜m≤﹣2﹣1，即实数m的取值范围（﹣5，﹣23﹣1]．21．【解答】（Ⅰ）解：（1）∵方程f（x）＝3x在（1，2）上有根，∴函数h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a在（1，2）上有零点．由于在（1，2）上，h（x）＝f（x）﹣3x＝x2﹣2x+2a﹣1是增函数，故有h（1）h（2）＝（2a﹣2）•（2a﹣1）＜0，得﹣＜a＜1．∴实数a的取值范围：（﹣，1）（Ⅱ）在（0，2）上，f（x）＝，∴f（x）的最小值为f（）＝2a+，对任意的，x2∈（0，2）都有，⇔对任意的，有g（x1）＜2a+1恒成立，∴cos2x+2a sin x＜2a+1在[﹣，]恒成立．⇒sin2﹣2a sin x+2a＞0在[﹣，]恒成立，⇒（sin x﹣a）2+2a﹣a2＞0在[﹣，]恒成立．①⇒a≥1．②⇒a∈∅，③⇒0＜a＜1综上实数a的取值范围为（0，+∞）．22．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sin x+cos x＝sin（x+），由题意可得A＝，φ＝；（Ⅱ）不等式等价于（3+2sinθcosθ﹣a sinθ﹣a cosθ）2≥，θ∈[0，]①，由①得a≥②，或a≤③，在②中，1≤sinθ+cosθ≤，＝（sinθ+cosθ）+，显然当1≤x≤时，f（x）＝x+为减函数，从而上式最大值为f（1）＝1+＝，由此可得a≥；在③中，＝（sinθ+cosθ）+≥2＝，当且仅当sinθ+cosθ＝时取等号，所以的最小值为，由此可得a≤，综上，a≤或a≥．。
哈三中2018-2019学年上学期期末高一数学考试试卷Word版含答案
哈三中2018-2019学年上学期期末高一数学考试试卷Word版含答案XXX2018-201年上学期期末高一数学考试试卷考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
1.选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 $A=\{y|y=x\}$，$B=\{x|y=ln(1-x)\}$，则$A\cap B=$A。
$\{x|\leq x<e\}$ B。
$\{x|\leq x<1\}$ C。
$\{x|1\leqx<e\}$ D。
$\{x|x\geq 0\}$2.函数 $y=tan(2x-\frac{\pi}{3})$ 的最小正周期是A。
$2\pi$ B。
$\pi$ C。
$\frac{\pi}{2}$ D。
$\frac{2\pi}{3}$3.若 $sin\alpha=\frac{1}{5}$，则 $cos2\alpha=$A。
$\frac{5}{23}$ B。
$-\frac{25}{232}$ C。
$-\frac{25}{525}$ D。
$\frac{5}{2525}$4.下列函数中，当 $x\in(0,\frac{\pi}{2})$ 时，与函数$y=x$ 单调性相同的函数为A。
$y=cosx$ B。
$y=sin^3x$ C。
$y=tanx$ D。
$y=sinxcosx$5.若 $a=ln\pi$，$b=log_{\frac{3}{2}}2$，$c=-2$，则它们的大小关系为A。
$a>c>b$ B。
$b>a>c$ C。
$a>b>c$ D。
$b>c>a$6.若函数 $y=log_3x$ 的反函数为 $y=g(x)$，则 $g(81)$ 的值是A。
$3$ B。
$4$ C。
$\frac{1}{4}$ D。
$\frac{1}{3}$7.函数 $f(x)=log_2x-\frac{1}{2}$ 的零点所在区间为A。
2025届黑龙江省哈尔滨市哈三中高一上数学期末综合测试试题含解析
3, b
log 1
2
1 3
,
c
1 2
0.3
，则
A. a b c
B. a c b
C. b c a
D. b a c
3．已知函数
f
(x)
2x
x2 ，则不等式
f
(2 cos x)
3,
x
2
,
2
的解集为（
）
A.
6
,
6
B.
3
,
3
C.
2
,
6
6
,
2
D.
2
,
3
11、[ 2, 2]
【解析】 f x
1 cosx
1 cosx
2sin2 x 2
2cos2 x 2
2
sin
x 2
cos
x 2
2sin
x 2
4
，
又
x
0
,
2
，∴
x 2
4
4
， 2
，∴
2sin
x 2
4
2, 2
故答案为 2, 2
12、
0,
1 6
1 3
,
2 3
【解析】根据正弦函数的图像与性质，可求得取最值时的自变量值，由 f x 在区间 , 2 上没有最值可知
，∵
x
R， x
12
R
，∴
1
sin
x
12
1 ，则
f
x 的最大值为 2 ；
∵ 1，∴周期T 2 ；当 x k k Z 时，f x 图象关于某一点对称，∴当 k 0 ，求出 x ，即 f x
黑龙江省哈尔滨市哈三中2022-2023学年高一上数学期末教学质量检测试题含解析
【解析】（1）利用指数幂运算和分数指数幂与根式的转化，化简求值即可；
（2）利用对数运算性质化简求值即可.
【详解】解：（1）原式 ；
（2）原式 .
19、（1）[－4，﹢∞)；（2）
【解析】（1）将原函数转化为二次函数，根据求二次函数最值的方法求解即可．（2）由题意得 ，求得 ，然后通过解对数不等式可得所求范围
12、D
【解析】由诱导公式及同角三角函数基本关系化简原式即可求解.
【详解】由已知
即
故选：D
【点睛】本题考查诱导公式及同角三角函数基本关系，属于简单题.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】根据所给的图象，可得到 ，周期的值，进而得到 ，根据函数的图象过点可求出 的值，得到三角函数的解析式
考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.
2、B
【解析】直接利用函数的性质奇偶性求出结果
【详解】函数的解析式满足 ，则函数为奇函数，排除CD选项，
由 可知： ，排除A选项.
故选B.
【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用．属中档题.
3、D
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系
17、（1）函数模型① ，函数模型②
（2）函数模型②更合适，从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500
【解析】（1）可通过已知条件给到的数据，分别带入函数模型①和函数模型②，列出方程组求解出参数即可完成求解；
（2）将第4天和第5天得到的数据与第（1）问计算出的函数模型①和函数模型②的表达式计算出的第4天和第5天的模拟数据对比，即可做出判断并计算.
黑龙江省哈尔滨市第三中学高一数学上学期期末考试试题
黑龙江省哈尔滨市第三中学2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1．已知集合}|{x y y A ==，)}1ln(|{x y x B -==，则=⋂B AA ．}0|{e x x <≤B ．}10|{<≤x xC ．}1|{e x x <≤D ．}0|{≥x x 2．函数)32tan(π-=x y 的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2π D ．4π 3．若51sin =α，则=α2cosA ．2523 B. 252- C ．2523- D ．252 4．下列函数中，当(0,)2x π∈时，与函数13y x -=单调性相同的函数为A ．cos y x =B ．1cos y x=C ．tan y x =D ．sin y x = 5．若ln a π=，3log 2b =，13(2)c =-，则它们的大小关系为A ．a c b >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >> 6．若函数3log y x =的反函数为()y g x =，则1()2g 的值是A ．3B ．31log 2C ．3log 2D 37．函数11()lg f x x x=-的零点所在区间为 A ．(8,9) B ．(9,10) C ．(10,11) D ．(11,12)8．已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-，则下列说法正确的是A ．7(,0)12π是函数()y f x =的对称中心 B ．712x π=是函数()y f x =的对称轴 C ．(,0)12π-是函数()y f x =的对称中心 D ．12x π=-是函数()y f x =的对称轴9．函数2log cos()4y x π=+的单调减区间为A ．[2,2+()44k k k Z ππππ-∈) B ．5[2,2]()44k k k Z ππππ--∈C ．3[2,2+]()44k k k Z ππππ-∈ D ．32,2]()44k k k Z ππππ--∈(10．如图，圆A 的半径为1，且A 点的坐标为)1,0(，B 为圆上的动点，角α的始边为射线AO ，终边为射线AB ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，将BC 表示成α的函数()f α，则()y f α=在[0,2]π的在图像大致为11．设函数()sin()3)(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=++><的最小正周期为π，且)()(x f x f =-，则αxyO ABCx yO π2πxyO π2πxyOπ2πx yOπ2πA ．B ．C ．D ．2211A ．)(x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π单调递减 B ．)(x f 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减C ．)(x f 在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π单调递增 D ．)(x f 在()0,π单调递增 12．对于任意x R ∈，函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且当1322x -≤≤时，()21+1f x x =--．则函数()y f x =24x -≤≤（）与函数1()1g x x =-的图像所有交点的横坐标之和等于 A ．2 B ． 4 C ． 6 D ．8哈三中2016-2017学年度上学期 高一学年第二模块数学考试试卷 第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．=87cos 87sinππ ． 14．函数x x y sin cos 2+=的最大值为 ．15．当[]3,2∈x 时，012<+++a ax x 恒成立，则a 的范围是 ．16．已知0,0,32>>=+βαπβα，当βαsin 2sin +取最大值时θα=，则=θcos ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本题10分）已知cos 5α=，且)2,0(πα∈. （Ⅰ）求α2sin ；（Ⅱ）求)4tan(πα+．18．（本题12分） （Ⅰ）解方程3)6tan(=-πx ；（Ⅱ）求函数2()lg(25)f x x =-+的定义域．19．（本题12分）将函数()sin g x x =的图象纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），再将横坐标缩短为原来的21倍（纵坐标不变），最后把得到的函数图象向左平移8π个单位得到函数)(x f y =的图象． （Ⅰ）写出函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）用五点法作出函数)(x f y =（7[,]88x ππ∈-）的图象．20．（本题12分） 已知函数xx x f 4)(+=，()()32log 2+-=x x x g a ，其中0>a ，且1≠a . （Ⅰ）用定义证明函数)(x f 在[)+∞,2是增函数；（Ⅱ）若对于任意的[]4,20∈x ，总存在[]3,01∈x ，使得()()01g f x x =成立，求实数a 的取值范围．21．（本题12分）已知()23cos 33sin cos 6cos sin 32-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+=x x x x x x f ππ． （Ⅰ）当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时，求()x f 的值域；（Ⅱ）已知312παπ<<，()56=αf ，612ππβ-<<，()1013f β=，求()βα22cos -．22.（本题12分）函数()(01)xxf x k a a a a -=⋅->≠且是定义域为R 的奇函数．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）讨论不等式0)42()(2<-++x f x x f 的解集； （Ⅲ）若38)1(=f ，且2)(2)(22+⋅-+=-x f m a a xg xx 在[1,)+∞恒为正，求实数m 的取值范围．哈三中2016---2017学年度上学期高一学年第二模块数学考试答案一.选择题1. B 2. C 3.A 4. A 5. C 6. D 7. C 8. C 9. A 10. B 11. A 12. B 二.填空题13. 42-14. 45 15. )25,(--∞ 16. 721 三.解答题 17.（I ）54（II ）-3 18.（I ）)(2Z k k x ∈+=ππ（II ）]65,6[]67,5(πππY --19. （I ）)42sin(2)(π+=x x f（II ）证明略20.（I ）证明略（II ）]6,2[514121.（I ）)32sin(2)(π+=x x f ， 值域：]2,3(-（II ）6533-22.（I ）1=k（II ）当a >1时，)1,4(-当1> a > 0时，),1()4,(+∞--∞Y （III ）)1225,(-∞∈m。
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一(上)期末数学试卷解析版
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.sin的值为（）A. B. C. - D. -【答案】A【解析】解：由特殊角的正弦函数值可得：sin=．故选：A．由特殊角的正弦函数值即可解得．本题主要考查了三角函数求值，特殊角的三角函数值一定要加强记忆，属于基本知识的考查．2.=（）A. 2B. -3C. 7D. 1【答案】B【解析】解：=-5+log636=-5+2=-3．故选：B．利用对数的性质、运算法则直接求解．本题考查对数式化简求值，考查对数的性质、运算法则等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3.已知集合，B={α|0＜α＜π}，A∩B=C，则C=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，B={α|0＜α＜π}；∴；又A∩B=C；∴．故选：C．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，以及交集的运算，熟悉余弦函数的图象．4.函数f（x）=2x-的零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：令=0，可得，再令g（x）=2x，，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（，1），从而函数f（x）的零点在（，1），故选：B．令函数f（x）=0得到，转化为两个简单函数g（x）=2x，h（x）=，最后在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，进而可得答案．本题主要考查函数零点所在区间的求法．考查数形结合思想是中档题．5.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A. ①，②y=x2，③，④y=x-1B. ①y=x3，②y=x2，③，④y=x-1C. ①y=x2，②y=x3，③，④y=x-1D. ①，②，③y=x2，④y=x-1【答案】B【解析】解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A故选：B．通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项．本题考查幂函数的性质、考查幂函数的图象取决于幂指数．6.函数的单调减区间为（）A. （-∞，-3）B. （-∞，-1）C. （-1，+∞）D. （-3，-1）【答案】A【解析】解：令t=x2+2x-3=（x+3）（x-1）＞0，解得x＜-3，或x＞1，故函数的定义域为（-∞，-3）∪（1，+∞）．根据f（x）=log2t，复合函数的单调性可得，本题即求函数t=（x+1）2-4 在定义域（-∞，-3）∪（1，+∞）上的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t=（x+1）2-4 在定义域上的减区间为（-∞，-3），故选：A．令t=x2+2x-3＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=log2t、复合函数的单调性，可得本题即求函数t=（x+1）2-4 在定义域上的减区间，再利用二次函数的性质可得答案．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．7.在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，，则A=（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【答案】B【解析】解：∵，∴由正弦定理，可得：sin A===，∵a＜b，可得A∈（0°，45°），∴A=30°．故选：B．由已知利用正弦定理可求sin A的值，根据大边对大角可求A的范围，由特殊角的三角函数值可求A的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．8.已知，则cos（α+β）=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：已知：，所以：，故：，，所以：，则：cos（α+β）=cos[（）+（）]，=-，=，=故选：D．直接利用同角三角函数关系式的应用和角的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，角的变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9.已知f（x）=tanωx（0＜ω＜1）在区间上的最大值为，则ω=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵0＜ω＜1，∴T=＞π，故f（x）在区间上递增，故f（x）max=f（）=，故tan=，解得：ω=，故选：A．根据函数的周期，求出函数的单调性得到关于ω的方程，结合ω的范围，求出ω的值即可．本题考查了求三角函数最值，考查三角函数的性质，是一道常规题．10.已知sinα-cosα=-，则tanα+的值为（）A. -4B. 4C. -8D. 8【答案】C【解析】解：∵sinα-cosα=-，∴两边平方可得1-2sinαcosα=，∴sin2α=-，∴tanα+==-8，故选：C．先平方，可得sin2α=-，再切化弦tanα+=，可得结论．本题考查同角三角函数关系，考查学生的计算能力，比较基础．11.记a=log sin1cos1，b=log sin1tan1，c=log cos1sin1，d=log cos1tan1，则四个数的大小关系是（）A. a＜c＜b＜dB. c＜d＜a＜bC. b＜d＜c＜aD. d＜b＜a＜c【答案】C【解析】解：∵tan1＞1＞sin1＞cos1＞0，a=log sin1cos1，b=log sin1tan1，c=log cos1sin1，d=log cos1tan1，∴a=log sin1cos1==log cos1sin1＞log sin1sin1=1，∴a＞c＞0．又lgtan1＞0＞lgsin1＞lgcos1，b=log sin1tan1=＜=log cos1tan1=d＜0，∴0＞d＞b．综上可得：a＞c＞0＞d＞b．∴b＜d＜c＜a．故选：C．由tan1＞1＞sin1＞cos1＞0，得到a=log sin1cos1==log cos1sin1＞log sin1sin1=1；由lgtan1＞0＞lgsin1＞lgcos1，得到b=log sin1tan1=＜=log cos1tan1=d＜0，由此能求出结果．本题考查四个数的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质、三角函数知识的合理运用．12.已知函数f（x）=cos x，若存在x1，x2，…，x n满足，且，则n的最小值为（）A. 6B. 8C. 10D. 12【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos x，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）-f （x j）|≤|f（x）max-f（x）min|=2，要使n取得最小值，尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，x j（j=1，2，3，…，m）取得最低点，由，且，则按下图取值即可满足条件，∴n的最小值为10．故选：C．由余弦函数的有界性可得，对任意x i，x j（i，j=1，2，3，…，n），都有|f（x i）-f（x j）|≤|f（x）max-f（x）min|=2，要使n取得最小值，应尽可能多让x i（i=1，2，3，…，m）取得最高点，x j（j=1，2，3，…，m）取得最低点，结合题意画出图象，利用图象求出满足条件n的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在0°到360°范围内，与角-60°的终边相同的角为______．【答案】300°【解析】解：∵与-60°角终边相同的角为：α=k•360°-60°，（k∈Z）∵0°≤α＜360°，∴k=1时，α=300°．故答案为：300°．利用与α终边相同的角度为k•360°+α（k∈Z）即可得到答案．本题考查与α终边相同的角的公式，考查理解与应用的能力，属于基础题．14.先将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位后，得到函数g（x）的图象，函数g（x）的解析式为______．【答案】g（x）=1-cos2x【解析】解：将函数f（x）=sin2x的图象向右平移个单位，得到：y=sin[2（x-）]=-cos2x，再向上平移1个单位后，得到函数g（x）=1-cos2x．故答案为：g（x）=1-cos2x直接利用函数的图象的平移变换求出函数的关系式．本题考查的知识要点：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15.下列说法中，正确的序号是______．①y=|sin x|的图象与y=sin（-x）的图象关于y轴对称；②若sinα+cosα=1，则sin nα+cos nα（n∈N*）的值为1；③若，则cos（sinθ）＞sin（cosθ）；④把函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一条对称轴方程为；⑤在钝角△ABC中，，则sin A＜cos B；⑥sin168°＜cos10°＜sin11°．【答案】②③⑤【解析】解：①，y=sin（-x）的图象关于y轴对称的函数为y=sin x，而非y=|sin x|，故①错误；②，若sinα+cosα=1，两边平方可得1+2sinαcosα=1，即sinα=0，cosα=1，或sinα=1，cosα=0，则sin nα+cos nα（n∈N*）的值为1，故②正确；③，若，则sinθ∈（0，1），cosθ∈（0，1），-cosθ∈（-1，），且sinθ+cosθ=sin（θ+）＜，即有sinθ＜-cosθ，可得cos（sinθ）＞cos（-cosθ），即有cos（sinθ）＞sin（cosθ），故③正确；④，把函数的图象向左平移个单位长度后，所得y=cos（2x+）的图象，由y=cos（+）=-，不为最值，则一条对称轴方程不为，故④错误；⑤，在钝角△ABC中，，可得A+B＜，即有A＜-B，则sin A＜sin（-B）=cos B，故⑤正确；⑥，sin168°=sin12°，cos10°=sin80°，可得sin11°＜sin12°＜sin80°，即有sin11°＜sin168°＜cos10°，故⑥错误．故答案为：②③⑤．由图象关于y轴对称的特点可判断①；由两边平方可得sinα=0，cosα=1，或sinα=1，cosα=0，可判断②；由正弦函数、余弦函数的单调性可判断③；运用图象变换特点和余弦函数的对称性可判断④；由A，B的关系，结合正弦函数的单调性可判断⑤；由诱导公式和正弦函数的单调性可判断⑥．本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的单调性和对称性，以及图象变换，考查化简变形能力和运算能力、推理能力，属于中档题．16.若函数恰有4个零点，则a的取值范围是______．【答案】（-π，-]∪（-π，-]∪（-，]【解析】解：设g（x）=sin（2x+），h（x）=cos（2x+），分别令f（x）=0，g（x）=0，则：g（x）在[-π，]上的零点为-π，-π，-；h（x）在[-π，]上的零点为-π，-，．f（x）恰有4个零点，可得m∈（-π，-]∪（-π，-]∪（-，]．故答案为：（-π，-]∪（-π，-]∪（-，]．设g（x）=sin（2x+），h（x）=cos（2x+），分别令g（x）=0，h（x）=0，求出零点，即可得到所求m的范围．本题考查函数的零点个数问题解法，注意运用转化思想和数形结合思想方法，考查观察和判断能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知点P（1，1）在角α的终边上，求下列各式的值．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【答案】解：∵角α终边上有一点P（1，1），∴x=1，y=1，r=|OP|=，∴sinα==，cosα==，tanα==1，∴（Ⅰ）===-；（Ⅱ）===-．【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义求得sinα，cosα，tanα的值，再利用诱导公式即可求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】解：（Ⅰ）∵已知，，∴sinα=-=-，∴=sinαcos+cosαsin=-•+•=．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得tanα===-，tan2α==-，∴==-．【解析】（Ⅰ）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinα，再利用两角和的正弦公式求得的值；（Ⅱ）先求得tanα，再求得tanα2α，再利用两角和的正切公式的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和的三角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．19.函数．（Ⅰ）若，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若是函数g（x）=f（x）+λcos2x的一条对称轴，求λ的值．【答案】解：（Ⅰ）=2sin（2x+）-1，若，则2x+∈[0，]，故2sin（2x+）∈[0，1]，故f（x）∈[-1，1]；（Ⅱ）g（x）=sin2x-2sin2x+λcos2x=sin（2x+θ）-1sinθ=，cosθ=，若是函数g（x）=f（x）+λcos2x的一条对称轴，则2×+θ=，故θ=，故，解得：λ=2．【解析】（Ⅰ）化简f（x），根据x的范围，求出函数的值域即可；（Ⅱ）化简g（x）的解析式，根据函数的对称轴，得到关于λ的方程组，解出即可．本题考查了函数值域问题，考查三角函数的性质，是一道常规题．20.已知函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和．（Ⅰ）求f（x）解析式及x0的值；（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；（Ⅲ）若时，函数g（x）=2f（x）+1+m有两个零点，求实数m的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵函数的图象与y轴的交点为，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x0，2）和，∴A=2，2sinφ=-，sinφ=，φ=-，且•=，ω=2，∴f（x）=2sin（2x-）．令2x0-=，求得x0=．（Ⅱ）令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．（Ⅲ）若时，函数g（x）=2f（x）+1+m有两个零点，即4sin（2x-）+1+m=0有2个零点，即方程sin（2x-）=-有2个解．若时，2x-∈[-]，sin（2x-）∈[-，1]，∴结合正弦函数的图象可得，应有≤-＜1，解得-5＜m≤2+1，即实数m的取值范围（-5，23+1]．【解析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ和x0的值，可得函数的解析式．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间，（Ⅲ）由题意可得若时，方程sin（2x-）=-有2个解，结合正弦函数的图象和性质，求得m的范围．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的单调性，正弦函数的图象和性质，属于难题．21.设函数f（x）=x2+|x-1|+2a，a∈R．（Ⅰ）若方程f（x）=3x在（0，1）上有根，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=cos2x+2a sin x，若对任意的，x2∈（0，2）都有，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）解：（1）∵方程f（x）=3x在（1，2）上有根，∴函数h（x）=f（x）-3x=x2+|x-1|-3x+2a在（1，2）上有零点．由于在（1，2）上，h（x）=f（x）-3x=x2-2x+2a-1是增函数，故有h（1）h（2）=（2a-2）•（2a-1）＜0，得-＜a＜1．∴实数a的取值范围：（-，1）（Ⅱ）在（0，2）上，f（x）=，∴f（x）的最小值为f（）=2a+，对任意的，x2∈（0，2）都有，⇔对任意的，有g（x1）＜2a+1恒成立，∴cos2x+2a sin x＜2a+1在[-，]恒成立．⇒sin2-2a sin x+2a＞0在[-，]恒成立，⇒（sin x-a）2+2a-a2＞0在[-，]恒成立．①⇒a≥1．②⇒a∈∅，③⇒0＜a＜1综上实数a的取值范围为（0，+∞）．【解析】（Ⅰ）由题意可得函数h（x）=f（x）-3x=x2+|x-1|-3x+2a在（1，2）上有零点，h（1）h（2）=（2a-2）•（2a-1）＜0，由此求得a的范围．（Ⅱ）在（0，2）上，f（x）的最小值为f（）=2a+，对任意的，x2∈（0，2）都有，⇔对任意的，有g（x1）＜2a+1恒成立，即cos2x+2a sin x＜2a+1在[-，]恒成立，分类讨论即可．本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，函数的恒成立问题，属于中档题．22.已知函数f（x）=sin x+cos x．（Ⅰ）把f（x）的图象上每一点的纵坐标变为原来的A倍，再将横坐标变向右平移φ个单位，可得y=sin x图象，求A，φ的值；（Ⅱ）若对任意实数x和任意，恒有，求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）f（x）=sin x+cos x=sin（x+），由题意可得A=，φ=；（Ⅱ）不等式等价于（3+2sinθcosθ-a sinθ-a cosθ）2≥，θ∈[0，]①，由①得a≥②，或a≤③，在②中，1≤sinθ+cosθ≤，=（sinθ+cosθ）+，显然当1≤x≤时，f（x）=x+为减函数，从而上式最大值为f（1）=1+=，由此可得a≥；在③中，=（sinθ+cosθ）+≥2=，当且仅当sinθ+cosθ=时取等号，所以的最小值为，由此可得a≤，综上，a≤或a≥．【解析】（Ⅰ）化简函数f（x）=sin（x+），由图象变换即可得到所求值；（Ⅱ）原不等式等价于（3+2sinθcosθ-a sinθ-a cosθ）2≥，θ∈[0，]①，从而可得a≥②，或a≤③，于是问题转化为求函数的最值问题加以解决，对上述分式进行合理变形，利用函数单调性、基本不等式即可求得最值．本题考查函数恒成立问题，转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法，解决本题的关键是先对不等式进行等价变形去掉x，变为关于θ的恒等式处理．。
黑龙江省哈三中2022年高一数学第一学期期末调研试题含解析
（1）若从第 3 ， 4 ， 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动，应从第 3 ， 4 ， 5 组各抽取多少名
志愿者？
（2）在（1）的条件下，该市决定在这 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验，求第 5 组志愿者有被抽中的
概率.
21．已知函数
f
(x)
A.2
C. 2 2
B.4
D. 4 2
9．已知 sin cos
5 ，则 tan 1 的值为（）
2
tan
A.－4
B.4
C.－8
D.8
10．若
cos
5 12
5 3
，则
sin
12
（
）
A. 5 3
B. 2 3
2
C.
D. 5
3
5
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11．已知
8
tan cos sin sin cos
故选：C.
【点睛】本题考查了同角三角函数关系，应用了 sin2 cos2 1以及切弦互化求值，属于基础题.
10、A
【解析】令 5 ，则 cos 12
5 3
，所以 sin
12
sin
2
，由诱导公式可得结果.
【详解】令
5 12
，则
5 12
对于 B，若 m / / , n , m 不一定与 n 平行，不正确；
对于 C，若 m // n , m , 则 n 正确；
对于 D，若 m , n , m // n ,则 / / 正确.
故选：B.
5、C
【解析】根据补集的定义可得结果.
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
[37 , 41 ) A. 2 2
B. [20 , 22 )
[37 , 41 ]
C. 2 2
D.
(20 , 22 )
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意列出周期应满足的条件，解得
4 41
T
4 37
，代入周期计算公式即可解得
的范围.
(9
1 )T 4
1
【详解】由题可知 (10
1 )T 4
1
，解得
【详解】
3 ，周期为： 2
故选：A
【点睛】本题考查两角和的正弦公式，三角函数的最小正周期，属于基础题.
1 4.已知扇形的周长为 6cm ，圆心角为 4 ，则扇形面积为（ ）
A. 2cm2
【答案】B 【解析】 【分析】
8 cm2 B. 9
9 cm2 C. 8
D. 1cm2
R8
S 1 R2
周长为 6cm 则 2R l 6 ，代入扇形弧长公式解得 3 ，代入扇形面积公式 2
7.比较
log 1
3
3 2
b
,
(
1
)
1 5
3
c
,
(
2
)
1 5
3
的大小（
）
A. c b a
B. c a b
C. a b c
D. a c b
【答案】D
【解析】
【分析】
由对数函数的单调性判断出
a
log 1
3
3 2
0
，再根据幂函数
y
1
x5
在 (0, ) 上单调递减判
(
1
)
1 5
(
2
)
2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高三数学第一学期期末综合测试试题含解析
2024学年黑龙江省哈尔滨市第三中学高三数学第一学期期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，12BD DC =，则AD =（ ） A ．1344+AB AC B ．21+33AB ACC ．12+33AB ACD ．1233AB AC -2．已知抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，01,2M y ⎛⎫⎪⎝⎭为该抛物线上一点，以M 为圆心的圆与C 的准线相切于点A ，120AMF ∠=︒，则抛物线方程为（ ） A ．22y x =B ．24y x =C ．26y x =D ．28y x =3．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12xf x =⊕的图象是（ ）．A ．B ．C ．D ．5．在关于x 的不等式2210ax x ++>中，“1a >”是“2210ax x ++>恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，187．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．39．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离10．已知函数()2tan()(0)f x x ωω=>的图象与直线2y =的相邻交点间的距离为π，若定义{},max ,,a a ba b b a b ⎧=⎨<⎩，则函数()max{()h x f x =，()cos }f x x 在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．11．若集合{}(2)0A x x x =->，{}10B x x =->，则A B =A ．{}10x x x ><或B ．{}12x x <<C ．{|2}x x >D ．{}1x x >12．若函数()()2(2 2.71828 (x)f x x mx e e =-+=为自然对数的底数)在区间[]1,2上不是单调函数，则实数m 的取值范围是( )A ．510,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．102,3⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期期末考试数学试题Word版含解析
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高一上学期期末考试数学试题一、单选题1． （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】利用特殊角的三角函数值计算即可求出值．【详解】故选：A【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关角的的三角函数值是解题的关键.2．（ ）A ．2B ．-3C ．7D ．1【答案】B【解析】利用根式的性质及对数的运算性质直接化简求值即可.【详解】.故选：B【点睛】本题考查了根式的运算性质，考查了对数的运算性质，考查了计算能力.3．已知集合，，,则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，借助余弦图像即可得到结果．【详解】∵，∴即故选：Ｃ【点睛】本题考查交集概念及运算，考查余弦函数的图象与性质，属于基础题．4．函数的零点所在区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令函数f（x）＝0得到，转化为两个简单函数g（x）＝2x，h（x），最后在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，进而可得答案．【详解】令0，可得，再令g（x）＝2x，，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（，1），从而函数f（x）的零点在（，1），故选：Ｃ．【点睛】本题主要考查函数零点所在区间的求法．考查数形结合思想是中档题．5．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）① ② ③ ④A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④【答案】B【解析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法得到选项【详解】②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．【点睛】本题考查幂函数的图象与性质，幂函数的图象取决于幂指数．属于基础题．6．函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】先求出函数的定义域，再由复合函数的单调性求单调减区间．【详解】∵x2+2x﹣3＞0，∴x＞1或x＜﹣3；又∵y＝x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣1]上是减函数，在[﹣1，+∞）上是增函数；且y＝log2x在（0，+∞）上是增函数；∴函数y＝log2（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）；故选：A．【点睛】复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．7．在中,角所对的边分别为，,则A．B．C．D．【答案】B【解析】利用正弦定理，即可解得.【详解】∵∴，即，∴，又a＜b，A三角形的内角，∴故选:B【点睛】本题考查了正弦定理的应用，注意利用大边对大角进行角的限制，属于基础题.8．已知则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先利用同角三角函数基本关系式求出和，然后利用两角和的余弦公式展开代入即可求出cos（α+β）．【详解】∵∴，∴。
黑龙江省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
高一学年数学试题答题时间：120分钟 满分：150分一、单选题（本大题共8小题，共40.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若集合，，则（ ）{}1,2,3A ={}0,1,2B =A B = A. B.C.D.{}0,1{}2,3{}0,3{}1,2【答案】D 【解析】【分析】利用交集的定义，即得解 【详解】由题意，利用交集的定义，A B = {}1,2故选：D2. 设，则“”是“”的（ ） R a ∈2a <6a <A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】，则当时，必有，222a a <⇔-<<2a <6a <反之当时，不一定成立，如，满足，而不满足， 6a <2a <3a =6a <2a <所以“”是“”的充分不必要条件. 2a <6a <故选：A3. 已知函数，若，则（ ）()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩()21f f =⎡⎤⎣⎦=a A. B. C. D.2-7-15【答案】B 【解析】【分析】先计算出，然后得出，即可求出实数的值.()23f =-()()231f f f =-=⎡⎤⎣⎦a【详解】，，()()()()221log 030x x a x f x x -⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩ ()21233f -∴=-=-则，得，解得. ()()()223log 91f f f a =-=+=⎡⎤⎣⎦92a +=7a =-故选：B.【点睛】本题考查分段函数值的计算以及对数方程的求解，解题时要结合自变量的取值选择合适的解析式计算，考查计算能力，属于基础题.4. 已知角终边上一点，则的值为 α(2,3)P -cos()sin()2cos()sin(3)παπαπαπα++--A.B. C.D. 3232-2323-【答案】A 【解析】【详解】角终边上一点，所以. α()2,3P -32tan α=-.故选A. ()()()()()cos sin 32cos sin 32sin sin tan cos sin παπααααπαπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭==-=---5. 若两个正实数满足，且存在这样的使不等式有解，则实数的,x y 2x y xy +=,x y 228x y m m +<+m 取值范围是（ ） A.B.()1,9-()9,1-C. D.()(),91,∞∞--⋃+()(),19,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得满足，再利用基本不等式中“1”的妙用求得的最小值，最后,x y 211x y+=2x y +解不等式即可.【详解】由得， 2x y xy +=211x y+=，()212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立，3x y ==则使不等式有解，只需满足即可， 228x y m m +<+289m m +>解得. ()(),91,m ∞∞∈--⋃+故选：C. 6. 函数的定义域为（ ）y =A. B.C. D.[)1,+∞3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,14⎛⎤⎥⎝⎦30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】【分析】根据对数复合函数列不等式求解即可得函数定义域.【详解】解：函数，解得，y =()0.534304log 4301x x x x ⎧->⎧>⎪⇒⎨⎨-≥⎩⎪≤⎩314x <≤故函数定义域为.3,14⎛⎤⎥⎝⎦故选：C.7. 下列说法正确的是（ ） A. 第二象限角比第一象限角大 B. 角与角是终边相同角60︒600︒C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角D. 将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为 10π3【答案】D 【解析】【分析】举反例说明A 错误；由终边相同角的概念说明B 错误；由三角形的内角的范围说明C 错误；求出分针转过的角的弧度数说明D 正确．【详解】对于，是第二象限角，是第一象限角，，故A 错误； A 120︒420︒120420︒<︒对于B ，，与终边不同，故B 错误；600360240︒=︒+︒60︒对于C ，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或轴正半轴上的角，故C 错误； y 对于D ，分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨慢是逆时针旋转，602π钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为，故D 正确． ∴101π2π63⨯=故选:D ．8. 设奇函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足()f x [1,1]-(1)1f -=-[1,1]x ∈-[1,1]m ∈-，则t 的取值范围是（ ）2()21f x t mt ≤-+A.B. [2,2]-11,22⎛⎫-⎪⎝⎭C.D.11,,{0}22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭(,2][2,){0}-∞-+∞ 【答案】D 【解析】【分析】由奇函数在上是增函数，且得最大值为1，则有对任意()f x [1,1]-(1)1f -=-()f x 220t mt -≥的成立，将m 看成变量，得出不等式组，解之可得结果． [1,1]m ∈-【详解】因为奇函数在上是增函数，且， ()f x [1,1]-(1)1f -=-所以的最大值为1． ()f x 所以只需2211t mt -+≥即对任意的恒成立即可， 220t mt -≥[1,1]m ∈-令，2()2g m t mt =-则，即 (1)0(1)0g g ≥⎧⎨-≥⎩222020t t t t ⎧-≥⎨+≥⎩解得或或． 2t ≥2t ≤-0=t 故选：D ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，，则B. 若，则 0b a >>0m >a m ab m b+>+22a b c c >a b >C. 若，，则 D. 若，，则a b >c d <a c b d ->-22a b >0ab >11a b<【答案】ABC 【解析】【分析】利用作差法可判断A ，再根据不等式的性质判断BC ，举反例判断D 即可.【详解】对A ，若，，则，故A 正确； 0b a >>0m >()()0m b a a m a b m b b b m -+-=>++对B ，因为，故，故，故B 正确； 22a b c c>20c >a b >对C ，若，，则，则，故C 正确； a b >c d <c d ->-a c b d ->-对D ，若，则，，但，故D 错误； 2,1a b =-=-22a b >0ab >11a b>故选：ABC10. 已知，则下列不等式成立的有（ ） e e a b >A.B. C.D.11a b<31a b ->20212021a b >lg()1a b -<【答案】BC 【解析】【分析】先由，得，再根据不等式的性质，指数函数、幂函数的单调性及特殊值法即可判e e a b >a b >断．【详解】由，得．当，时，，故选项A 不正确； e e a b >a b >2a =1b =-11112a b=>-=，，又在上单调递增，，故选项B 正确；a b > 0a b ∴->3x y =R 0331a b -∴>=在上单调递增，，，故选项C 正确； 2021y x = R a b >20212021a b ∴>当，时，，故选项D 不正确． 101a =1b =lg()21a b -=>故选：BC11. 下列结论正确的是（ ） A. 是第三象限角 76π-B. 若，则tan 2α=sin cos 3sin cos αααα+=-C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为3ππ32πD. 终边经过点的角的集合是()(),0m m m >2,Z 4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】BCD 【解析】【分析】直接利用象限角的定义，同角三角函数关系式，扇形面积公式的计算来判断各选项的结论．【详解】，是第二象限角，故A 错误； 766πππ-=--若，则，故B 正确；tan 2α=sin cos tan 13sin cos tan 1αααααα++==--圆心角为的扇形的弧长为，扇形的半径为，面积为，故C 正确；3ππ33ππ=13322ππ⨯⨯=终边经过点，该终边为第一象限的角平分线，即角的集合是，故()(),0m m m >2,Z 4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D 正确； 故选：BCD12. 已知函数，方程有四个不同的实数根，从小()212,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩()()220(0)f x f x m m +-=>到大依次是则下列说法正确的有（ ） 1234,,,,x x x x A. B.C.D. 可以取到313x <-122x x +<-342x x =m 【答案】BD 【解析】【分析】由分段函数对应区间上指对数函数的性质画出函数图象，根据已知方程知两个零点、1()f x 分别在的两侧，结合图象及原方程根的个数确定、的范围，进而得到2()f x ()1f x =-1()f x 2()f x 的范围，即可确定答案.1234,,,x x x x 【详解】由题设，，其函数图象如下：2222,0()log ,01log ,1x x f xx x x x -⎧-≤⎪=-<<⎨⎪≥⎩而的对称轴为且，即，2()2()y f x f x m =+-()1f x =-440m ∆=+>1m >-所以必有两个零点、分别在的两侧， 0y =1()f x 2()f x ()1f x =-由上图知：且，满足原方程有四个实根， 10()1f x <≤23()2f x -≤<-故，则，D 正确； 123()()0f x f x m -≤=-<03m <≤所以：；且；13222x --≤-<-21log 52x -≤<-210x -<≤：；且：.；230log 1x <-≤3112x <≤240log 1x <≤412x <≤所以且，则， 212341log 5210122x x x x -≤<-<-<≤<≤<<≤341x x =122x x +<-故A 、C 错误，B 正确. 故选：BD【点睛】关键点点睛：根据分段函数上指对数函数的性质画出函数图象，由方程判断、的分1()f x 2()f x 布并结合函数图象确定它们的范围，进而确定根的范围.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若幂函数的图象不经过原点，则实数的值为________．()222()1mmf x m m x+=--m 【答案】-1 【解析】【分析】根据函数是幂函数，由求得m ，再图象不经过原点确定. ()()2221m mf x m m x+=--211m m --=【详解】因为函数是幂函数，()()2221mmf x m m x+=--所以，解得或；211m m --=1m =-2m =当时，，图象不经过原点，满足题意；1m =-()1f x x -=当时，，图象经过原点，不满足题意；2m =()8f x x =所以. 1m =-故答案为：.1-14. 若“”的否定是假命题，则实数的取值范围是____．2000R,22x x x m ∃∈++=m 【答案】 [)1,+∞【解析】【分析】利用存在量词命题的否定是假命题得“”是真命题，再利用存在量词命2000R,22x x x m ∃∈++=题为真得关于x 的方程有实根，最后利用判别式计算得结论． 2220x x m ++-=【详解】因为“”的否定是假命题， 2000R,22x x x m ∃∈++=所以“”是真命题， 2000R,22x x x m ∃∈++=因此关于x 的方程有实根， 2220x x m ++-=所以，解得． 2241(2)0m ∆=-⨯⨯-≥1m ≥因此实数m 的取值范围是． 1m ≥故答案为：．[)1,+∞15. 已知函数是定义在上的偶函数，且()()2231f x ax b a x b =+--+23,2a a ⎡⎤-⎣⎦，则m 的取值范围的集合是______.()()2113f m f m -<+【答案】或. {|0m m >2}m <-【解析】【分析】利用已知求出，再利用函数的奇偶性和单调性得到，解不等式()25f x x =-|21||13|m m -<+即得解.【详解】解：由题得. 22320,132a a a a a⎧-+=∴=⎨-<⎩所以，()()2231f x x b x b =+--+因为函数是偶函数，所以.()()()22(),231231,2f x f x x b x b x b x b b -=∴---+-++=-∴=所以.()25f x x =-所以函数在单调递减，在单调递增. (,0)-∞(0,)+∞因为，所以， ()()2113f m f m -<+|21||13|m m -<+平方得或.220,0m m m +>∴>2m <-所以m 的取值范围的集合是或.{|0m m >2}m <-故答案为：或.{|0m m >2}m <-16. 已知，函数，，若0a ≠()2cos 2cos 1f x x x x a =+--()()2log 32g x a x =+-，，有，则实数a 的取值范围是______．1π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦[]21,5x ∀∈()()12f x g x =【答案】 1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，由三角函数的性质求得，由题意得()f x ()[]11,2f x a a ∈---的值域是的子集，结合的单调性分类讨论求解即可．()[]15,,g x x ∈[]1,2a a ---()g x 【详解】，()2cos 2cos 12cos22sin 26f x x x x a x x a x a π⎛⎫=+--=+-=+- ⎪⎝⎭∵，∴，∴，∴． 1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦1π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()[]11,2f x a a ∈---∵，，有，1π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦[]21,5x ∀∈()()12f x g x =∴的值域是的子集．()[]15,,g x x ∈[]1,2a a ---①当时，，则，此时，解得；0a >[]1,5x ∈()[]22,32g x a a ∈--1223220a a a a a --≤-⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩113a ≤≤②当时，，则，此时，无解．0a <[]1,5x ∈()[]32,22g x a a ∈--1322220a a a a a --≤-⎧⎪-≤-⎨⎪<⎩综合①②，． 1,13a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故答案为：．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题（本大题共6小题，共70.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 化简与求值． （1）若, 3π2π2α<<．（2）已知,求. 1tan 3α=-22sin cos cos ααα⋅-【答案】（1） 2sin α-（2） 32-【解析】 【分析】(1)根据,判断的正负,将原式进行化简,去绝对值即可; 3π2π2α<<sin α(2)将原式分母看为,分子分母同除以,原式即可化为关于的式子,将22sin cos αα+2cos αtan α1tan 3α=-代入即可求值. 【小问1详解】 解:由题知, 3π2π,sin 02αα<<∴<原式 ∴=+=1cos 1cos sin sin αααα-+=+1cos 1cos sin sin αααα-+=--; 2sin α=-【小问2详解】 由题知, 1tan 3α=-故原式 22222sin cos cos 2sin cos cos sin cos αααααααα⋅-⋅-=+22tan 1tan 1αα-=+ 53109-=.32=-18. 已知函数 ()2sin 23x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期()f x （2）求函数的对称轴方程和对称中心 ()f x （3）求的单调递增区间 ()f x 【答案】（1）T π=（2）对称轴方程为：，，对称中心为， 212k x π5π=+Z k ∈,026k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭Z k ∈（3） ， 511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈【解析】【分析】（1）化简得，利用正弦函数的周期公式，计算可得答()2sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭案；（2）根据正弦函数对称轴方程和对称中心的公式，直接计算可得答案； （3）根据复合函数的单调性，得到，计算可得函数的单调递增区间. 32k 22k 232x πππππ+≤-≤+()f x 【小问1详解】由题意知：()2sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由题意得函数的最小正周期为： 22T ππ==【小问2详解】 由得函数的对称轴方程为：， 232x k πππ-=+212k x π5π=+Z k ∈由得，∴对称中心为， 23x k ππ-=26k x ππ=+,026k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭Z k ∈【小问3详解】 由得，32k 22k 232x πππππ+≤-≤+5111212k x k ππππ+≤≤+Z k ∈∴函数的单调递增区间为： ， ()f x 511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦Z k ∈19. 已知函数． 21()cos cos 2f x x x x =+-（1）解不等式，其中． 1()2f x ≥ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）在锐角中，，求的取值范围． ABC A π3A =()()f B f C +【答案】（1） ,63ππ⎛⎤⎥⎝⎦（2） 1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为，根据得到()πsin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，然后解不等式，可得求解即可；ππ7π2,626x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+ππ5π2266x <+≤（2）利用已知条件求出角的取值范围，利用三角恒等变换化简得出，利B ()()πsin 26f B f C B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围. ()()f B f C +【小问1详解】()1cos 211π22cos 2sin 22226x x x x x x f +⎛⎫+-=+=+ ⎝=⎪⎭，ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ7π2,626x ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，即，1()2f x ≥sin 212π6x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭+，解得 ππ5π2266x ∴<+≤ππ,63x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故不等式的解集为. 1()2f x ≥ππ,63⎛⎤⎥⎝⎦【小问2详解】由题意可得且，可得，π02,π2B A B ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩π3A =ππ62B <<∵， π,π3A ABC =++=∴， 2π3C B =-πππ4π()()sin 2sin 2sin 2sin π266636f B f C B C B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π11sin 2cos 22cos 2cos 22cos 2622B B B B B B B ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭，πsin 26B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵，则， ππ62B <<ππ5π2666B <-<∴． 1()()sin 2,162f B fC B π⎛⎫⎛⎤+=-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦故的取值范围为. ()()f B f C +1,12⎛⎤⎥⎝⎦20. 已知. π0,,sin 2cos 2ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭（1）求的值；2sin24cos 2tan ααα-+（2）若，且，求的值. ()0,πβ∈πsin 4β⎛⎫-= ⎪⎝⎭αβ+【答案】（1） 2425-（2）π4【解析】【分析】（1）利用换元法及同角三角函数的平方关系，结合二倍角的正弦公式及同角三角函数的商数关系即可求解；（2）利用两角差的正弦公式及换元法，结合同角三角函数的平方关系及两角和的余弦公式即可求解. 【小问1详解】令则由于所以，cos ,t α=π0,,2α⎛⎫∈⎪⎝⎭(0,1)t∈sin α=从而，即于是有，即2t =2t =22154,t t-=+-2540t -+=解得 22)0,-=t ==所以，cos αα==所以，， 4sin 22sin cos 25ααα=⋅==sin 1tan cos 2ααα==所以. 244124sin 24cos 24555152tan 25222ααα-⨯-==-=-++【小问2详解】πsin cos )4βββ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭从而，所以，从而，sin cos ββ-=sin cos ββ<π0,,4β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3π0,4αβ⎛⎫ ⎪⎝∈⎭+令，则， sin t β=cos t β⎛=∈⎝从而，于是有，t =t +=22215t t ++=-即，即， 23205t +-=21030,Δ40410(3)160t +-==-⨯⨯-=从而（舍），t ===t ==即， sin ββ==所以. cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-==因为，所以. 3π0,4αβ⎛⎫ ⎪⎝∈⎭+π4αβ+=21. 已知函数. ()222sin 14f x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（1）当，且的最大值为，求的值；5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2sin 46g x mf x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭32m （2）方程在上的两解分别为、，求的值. ()32f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x ()12cos x x -【答案】（1）；（2）. 12m =()123cos 4x x -=【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，令()y f x =()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得，再令，可将问题转化为二次函数26s x π=-()22sin 4sin 1g x s m s =-++[]sin 0,1t s =∈在上的最大值为，利用二次函数的基本性质可求出实数的值；2241y t mt =-++[]0,1t ∈32m （2）设，由题意求得，12x x <123sin 2sin 2664x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的值，求出的取值范围，进而2cos 26x π⎛⎫-=⎪⎝⎭()12cos 22x x -12x x -利用二倍角余弦公式可求出的值. ()12cos x x -【详解】（1）()222sin 14f x x x π⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭， 1cos 21cos 22212cos 22sin 2226x x x x x ππ⎛⎫-+ ⎪-⎛⎫⎝⎭=+⨯-=-=- ⎪⎝⎭当时，令，则，则.5,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦220,63s x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦26x s π=+[]sin 0,1s ∈，()24sin sin 2cos 24sin 2sin 4sin 12g x m s s s m s s m s π⎛⎫∴=++=+=-++ ⎪⎝⎭令，令，该二次函数图象开口向上，对称轴为直线. []sin 0,1t s =∈2241y t mt =-++t m =①当时，二次函数在区间上单调递减， 0m ≤2241y t mt =-++[]0,1则，不合乎题意； max 312y =≠②当时，二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则01m <<2241y t mt =-++[]0,m [],1m ，解得或（舍）；2max 3212y m =+=12m =12m =-③当时，二次函数在区间上单调递增， m 1≥2241y t mt =-++[]0,1则，解得（舍）. max 3412y m =-=58m =综上所述，； 12m =（2）设，，则， 12x x <0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦由于正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， sin y x =,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由，得， ()32sin 262f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭3sin 264x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为方程在上的两解分别为、， ()32f x =0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 则，必有，， 123sin 2sin 2664x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10262x ππ<-<252266x πππ<-<所以，，同理 1cos 26x π⎛⎫-== ⎪⎝⎭2cos 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭()1212cos 22cos 2266x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2121231cos 2cos 2sin 2sin 2666648x x x x ππππ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+--=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝由于，且，，则，102x π≤≤202x π≤≤12x x <1202x x π∴-≤-<()12cos 0x x -≥由，可得.()()21212cos 222cos1x x x x -=--()123cos 4x x -==【点睛】本题考查利用二次型正弦函数的最值求参数，同时也考查了由正弦型函数的解求三角函数值，考查计算能力，属于中等题.22. 已知指数函数满足． ()f x ()()112f f --=（1）求的解析式；()f x （2）设函数，若方程有4个不相等的实数解()()()2g x f x kf x =+()()100g x g x +-+=1234,,,x x x x ．（i ）求实数的取值范围；k （i i ）证明：． 12344x x x x +++<【答案】（1）())1xf x =+（2）（i ）；（i i ）证明详见解析 (6,--【解析】【分析】（1）根据指数函数的知识求得的解析式.()f x （2）利用换元法，结合指数函数二次函数的性质以及基本不等式求得的取值范围.结合图象、对称性以k 及放缩法证得. 12344x x x x +++<【小问1详解】设（且），()xf x a =0a >1a ≠由于，所以， ()()112f f --=212,210a a a a -=--=由于且，所以解得，0a >1a ≠1a =+所以.())1xf x =+【小问2详解】（i ），()()()))2211xxg x f x kf x k=+=+++方程有4个不相等的实数解．()()100g x g x +-+=1234,,,x x x x即①有4个不相等的实数解．))))221111100xx x xkk --+++++=1234,,,x x x x令，则， ))11xxt -=++))222112x xt -=++++，))112x x t -=+++≥=当且仅当时等号成立.))11,0xxx -+==所以①化为②， 2221080t kt t kt -++=++=对于函数，，()))11xxh x -=++()))()11xxh x h x --=+++=所以是偶函数，图象关于轴对称，()h x y 当时，令，，，0x >)1xv =+1v >()1m v v v=+任取，， 121v v <<()()()()121212121212111v v v v m v m v v v v v v v ---=+--=其中，()()121212120,1,10,0v v v v v v m v m v -<>->-<，所以在上递增，()()12m v m v <()m v ()1,+∞根据复合函数单调性同增异减可知在上递增； ()h x ()0,∞+由于是偶函数，所以在上递减. ()h x ()h x (),0∞-所以的最小值是.()h x ()02h =所以方程②在上有两个不同的实数根，()2,+∞所以，解得22Δ320222280k k k ⎧=->⎪⎪->⎨⎪++>⎪⎩6k -<<-所以的取值范围是.k (6,--（i i ）由于是偶函数，图象关于轴对称， ()h x y 所以不妨设， 31420,0x x x x =->=->所以要证明， 12344x x x x +++<即证明，即证明.()3424x x +<342x x +<设方程②的两个不同的实数根为，则，12,t t 1212,8t t k t t +=-⋅=，()2222121212216t t t t t t k +=+-=-由整理得，))()110xxt x -=++>))()211100xxt x +-⋅++=>解得，)1x+=34,x x 所以，1x =则， 3411x x+=+ 1⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎣⎦1=⎣⎦1=⎣⎦ 1<⎣⎦ 1=⎣⎦1=，1=由于，()2632,36k k -<<-∈所以11<，()2111312==+==即，所以．342x x +<12344x x x x +++<【点睛】本题的主要难点有两个，一个是根据方程的根的个数求参数的取值范围，涉及到了二次函数的性质、指数型复合函数以及函数的奇偶性.第二个难点是不等式的证明，首先根据奇偶性将所证明的不等式简化，然后通过解复杂的指数方程，再结合基本不等式、放缩法等知识来证得结论成立.基本不等式的变形：，右侧部分还可变形为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭a b +≤。
(完整word)黑龙江省哈三中高一上学期期末考试试题(数学)
黑龙江省哈三中高一上学期期末考试试题（数学）考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 A ．2 B ． 3 C ．6 D ．9 2． 已知函数sin()3y x π=--，则函数的最小正周期为 A ．3 B ．π C ．2 D ．2π 3．已知ABC ∆中，a =，60B =o ，45A =o ，则b = A ．2 B． CD． 4．化简sin()cos()cos()22παπαπα+-+所得结果为A ．sin αB ．sin α-C ．cos αD ．cos α-5．已知cos sin 3αα=，则sin sin cos cos sin cos 3223αααααα-+= A ．13 B ．727 C ．19 D ．13276．函数log (sin 32y x =-的定义域为 A ．(,)2242k k ππππ++（k Z ∈） B ．(,)32244k k ππππ++（k Z ∈） C ．(,)32224k k ππππ++（k Z ∈） D ．(,)2244k k ππππ-+ （k Z ∈）7． 已知函数254m m y x -+=（m Z ∈）为偶函数且在区间(,)0+∞上单调递减，则m =A ．2或3B ．3C ．2D ．1 8． 已知函数sin sin 231y x x =-+（[,]6x ππ∈），则函数的值域为 A ．[1,1]- B ．1[,1]4-C ．1[1,]4-- D ．[1,5]-9．sin cos sin sin 44241αααα---=A ．32B ．2C ．3D ．1 10．设tan 1a =，tan 2b =，tan 3c =，tan 4d =，则,,,a b c d 大小关系为 A ．d a c b >>> B ．a d b c >>> C ．a d c b >>> D ．d a b c >>> 11． 已知sin()12413πα+=，且(,)042ππα+∈，则sin α=A B C ．- D ． 12． 已知,[,]22ππαβ∈-，tan ,tan αβ是关于方程2201120120x x ++=的两根，则αβ+= A ．4πB ． 34π-C ．4π或34π-D ．4π-或4π 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13． 函数sin sin 22xy x =+的值域为__________________.14. ABC ∆中，若5a =，3b =，23C π=，则c =________________.15． 已知(,)2πθπ∈，cos2a θ=+=________________. 16. 若函数()()221f x x m x m =+-+在区间[,]11-内有零点，则m 的取值范围是 ________________________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本大题10分）已知：函数()sin()32f x x ϕ=+（(,)0ϕπ∈-）的一条对称轴方程为712x π=， （1）求函数()y f x =的解析式；（2）利用五点作图法画出函数()y f x =在区间[,]433ππ内的图象.18．（本大题12分）求实数a 的取值范围使不等式sin cos sin cos 410x x x x a ++⋅+-≤恒成立. 19．（本大题12分） 已知函数()sin()6g x x π=+，()cos ()122f x xg x =⋅-（1）求函数()f x 的最小正周期及其对称中心坐标； （2）当[,]02x π∈时，求函数()f x 的值域；（3）由sin y x =可以按照如下变换得到函数()y f x =， sin y x =()1→sin()6y x π=+()2→sin()26y x π=+，写出（1）（2）的过程.20．（本大题12分）在ABC ∆中，sin()1C A -=，sin 13B = （1）求sin A 的值；（2）设AC =，求ABC ∆的面积.21．（本大题12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,0002A πωϕ>>≤≤）在(,)05π内只取到一个最大值和一个最小值，且当x π=时，函数取到最大值2，当4x π=时，函数取到最小值2-（1）求函数解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）是否存在实数m 使得不等式f f >成立，若存在，求出m 的取值范围.22. （本大题12分）已知函数()lg ||11f x x p =-，()lg(||)222f x x p =-+（x R ∈，,12p p 为常数） 函数()f x 定义为对每个给定的实数x （1x p ≠），()()()()()()()112221f x f x f x f x f x f x f x ≤⎧=⎨≤⎩（1）当12p =时，求证：()1y f x =图象关于2x =对称；（2）求()()1f x f x =对所有实数x （1x p ≠）均成立的条件（用1p 、2p 表示）； （3）设,a b 是两个实数，满足a b <，且1p ，2p (,)a b ∈，若()()f a f b = 求证：函数()f x 在区间[,]a b 上单调增区间的长度之和为2b a-. （区间[,]m n 、(,)m n 或(,]m n 的长度均定义为n m -）高一数学答案一、选择题112- DCBCB BAABC BB二、填空题13．[,]223- 14．7 15．21a - 16．2m ≥或312m ≤- 三、解答题20．（1）sin 3A =（2）62ABC S ∆= 21．（1）()sin()1236f x x π=+ （2）单调增区间为[,]626k k ππππ-+（k Z ∈） （3）122m <≤ 22（1）当12p =时x x x f x x x f x x f -=--=-=-+=+∴-=lg 22lg )2(,lg 22lg )2(,2lg )(111)2()2(21x f x f -=+∴，所以对称轴为2=x（2）若对任意实数)()(,),()(211x f x f R x x f x f ≤∈∀∴=均成立即()2lg lg 21+-≤-p x p x ，由对数的单调性可知221+-≤-p x p x 均成立212121,2p p p x p x p x p x ----≤---∴的最大值为又Θ所以21,p p 满足221≤-p p（3）① 当221≤-p p 时，由（2）可知11lg )()(p x x f x f -==由（1）可知函数)()(1x f x f =关于1p x =对称，由)()(b f a f =，可知21ba p +=而⎩⎨⎧<->-=))(lg())(lg()(11111p x x p p x p x x f 由单调性可知，单调增区间长度为22ab b a b -=+-故由()1y f x =与()2y f x =单调性可知，增区间长度之和为()()012x p b p -+-，由于()()f a f b =，得122p p a b +=++所以()()1201212p p x p b p b +-+-=-+2b a-=. 当12p p >时，同理可证增区间之和仍为2b a-.。
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黑龙江省哈三中高一上学期期末考试试题（数学）
考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分. 考试时
间为120分钟；
（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第I 卷（选择题,共60分）
、选择题（本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的） 6,扇形圆心角为2 rad ，则扇形的面积为
3 C . 6
cos (―
2
13 27
(2k ,2k
) (k Z ) B . (2k ,2k )(k Z )
4 2
4 4 (2k - ,2k 3 )(k Z ) D . (2k — ,2k -)(k Z )
2
4
4
4
已知函数
m 2 5m
4 Z )
）上单调递减，
则 y x
(m ）为偶函数且在区间（0,
2或3
B .
3
C
.
2
D . 1
已知函数
y sin 2
x 3sin x 1 (x
[
6,
］）,则函数的值域为
[1,1]
B . [
1
,1]
-2）的定义域
为
函数
A . 7. A . & C . A .
1. A . 已知一个扇形弧长为 2
2. 已知函数y
sin(
x 3），则函数的最小正周期为
3.已知
ABC 中，a
45。
,
4.化简
sin(
）cos （2 ）
所得结果为
A . sin
sin
C . cos
cos
5.已知COs
3si n .3
. 2
，则
sin
sin
cos 2 .
cos sin
3
cos
7 27
log 3(2sin x
6.
1
C . [ 1 2, 4]
4
4
1 sin cos 9
.
2
. 4
sin sin
A . -
B. 2 C .3
D . 1
2
10. 设 a tan1 , b tan2 , c tan3, d tan4 ,则a, b,c,d 大小关系为 A . d a c b B . a d b
c C .a
d c b D . dab
11.
12
已知sin(
-) 一，且
— (0，-
)，则 sin
三、解答题(本大题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 )
17. (本大题10分) 已知：函数f(x) 3sin(2x
) (
( ,0))的一条对称轴方程为 x 7 ,
12
2
求函数y f (x)的解析式；
4
1,5]
12. 17 2 26
B - 7262 *
C .
17
—2 26
7 2 26
已知
2,2]，tan
,tan
是关于方程
2011x 2012 0的两根,
3
B.
—
4 C . 一或
4
第口卷
(非选择题,共90 分)
(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上 )
13 .
函数y
的值域为
sin x 2
14. ABC
中，若 a 5, b 3, 15 .
已知
(, ), cos — a ,
2 2
16. 若函数 f(x)
2
x (2m 1)x
1 sin
m 在区间［1,1］内有零点，贝U m 的取值范围是
二、填空题
18. (本大题12分)
求实数a的取值范围使不等式sinx cosx 4sin x cosx 1 a 0恒成立•
19. (本大题12分)
、，1 已知函数g(x) sin( x —), f (x) 2cosx g(x)—
6 2
(1)求函数f (x)的最小正周期及其对称中心坐标；
(2) 当x [0,]时，求函数f (x)的值域；
2
(3) 由y si nx可以按照如下变换得到函数y f(x),
(1) (2)
y sinx y sin(x ) y sin(2x )，写出(1) (2)的过程.
6 6
20. (本大题12分)
1 在 ABC 中，sin(C A) 1 , sin B 3
(1)求si nA 的值；
(2)设AC 2 3，求 ABC 的面积.
(3)是否存在实数 m 使得不等式f(, m 2 2m 3) m 的取值范
围.
22. (本大题12分)
21. (本大题12分) 已知函数f (x) Asin( x 大值和一个最小值，且当 x
2
(1) 求函数解析式； (2) 求函数的单调递增区
)(A 0, 0,0
时，函数取到最大值2，
—)在(0,5 )内只取到一个最 当x 4时，函数取到最小值
f(, m 2 4)成立，若存在，求出
已知函数
f i (x) lg|x
P 1 |, f 2(x) lg(| X P 21 2) ( x R , 口，p ?为常数) 函
数f (x)定义为对每个给定的实数 x ( x p ), f (x)
(1)当P i 2时，求证：y f i (x)图象关于x 2对称;
(2)求f(x) f i (x)对所有实数x ( x p )均成立的条件(用 P i 、P 2表示)；
(3)设a, b 是两个实数，满足a b ，且p i ， p 2 (a,b)，若f (a) f (b)
求证：函数f(x)在区间［a,b ］上单调增区间的长度之和为
(区间［m, n ］、(m, n)或(m, n ］的长度均定义为n m )
高一数学答案
f l (x) f i (x) f 2(x) f 2(X )
f 2(X ) f l (x)
一、 选择题
1 1
2 DCBCB BAABC BB
二、 填空题
22
(1)当 P 1 2时
f 1 (x) g|x 2,
H2 x) lg 2 x 2 lg x, f 1 (2 x) Ig 2 x 2| lg x
仏(2
x) f 2(2 x),
所以对称轴为x 2 即 ig|x pj ig |x P 2 ，由对数的单调性可知
x
P
1
P 2 2均成立 x
P1I
x P2I
2,又
x P 1
x P 2的最大值为|p 1
P 2
13 [ 2
,3]
14. 7
15.
. 1 a 2
16. m 2或 m 1 -3
2
三、解答题
17. 〔 1) /(x) — 3sin.(2x
(2)图略
20. ( 1) sin A
(2) S ABC
21 .
(1)
f (X)
1
2sin(— x 3
(2) 单调增区间为［6k (3)
F
T = 7Tr 6)
2 ,6k
中心±标(挈-害卫)(A
(3)① 当 |p i P 2I 2时，由(2)可知 f(x) f i (x) lg|x
P i
由(1)可知函数f(x) f i (x)关于x
P i 对称，由f(a) f(b)，可知P i
ig(x P i )(x P i ) ig(P i x)(x P i )
②当丘-屮』＞ 2时.不妨设“ ＜Zi ＜Pi 即羽一們"
当工＜昼时！
二迈血一兀)cl 或刃一兀)c 成tr).
=
当x> p t 时，_AM=lg(x-d ft) = l£(x -j 1 +ft-ft) A /J IQ ， 所以此时/W = /2(x)
当円CX S 空时，图義V = fl®与尸三贞交点橫坐标垢盘三卫1
：乃十」・由(1 '＞可知!
故由y f i (x)与y f 2(x)单调性可知，增区间长度之和为
(X 。
P i ) (b P 2)，由于 f(a) f (b)，得 P i
P 2 a b 2
所以(X 0 P i ) (b P 2)b
当P i P 2时，同理可证增区间之和仍为(2) 利用五点作图法画出函数
y f (x)在区间［,——］内的图象•
3 3
所以P l , P 2满足
Pl P 2
而 f 1 (x)
由单调性可知，单调增区间长度为
i b a 2
b a 2 .
a <x <召/兀*乌〕
x (l < x <6。