高考数学 考点22 简单多面体与球练习 (2)

考点22 简单多面体与球

1.（2010·四川高考理科·Ｔ11）半径为R 的球O 的直径AB 垂直于平面α，垂足为B ，BCD ∆是平面α内边长为R 的正三角形，线段AC ,AD 分别与球面交于点M ，N ，那么M ,N 两点间的球面距离 是（ ）

（A ）

17arccos

25R （B ）18

arccos

25R

（C ）13R π （D ）4

15R

π

【命题立意】本题考查了两点间的球面距离（即求弧长）问题，解三角形，平行线等分线段成比例的知识，考查了学生利用平面几何知识解决空间几何体问题的能力.

【思路点拨】欲求M ,N 两点间的球面距离，根据弧长公式可知，需求MON ∠的弧度数，进而转化为求线段MN 的长度.∵题目中所给条件大多集中在BCD ∆内， 故探求MN 与CD 的数量关系. 【规范解答】选A . 连结BM ，∵AB 为球O 的直径，∴ BM AC ⊥，

在Rt ABC ∆中，

22

2,,5AB R BC R AC AB BC R ===+= 由射影定理可得22

5BC BC CM CA CM R CA =⋅⇒==.则45AM AC CM R

=-=.

同理，连结BN ,则△ABM ≌△ABN,则AN AM =,又AC AD =,

∴MN ∥CD .∴45MN AM CD

AC ==, 即44

55MN CD R ==. 在三角形MON ∆中, OM=OM=R,

4

5MN R

=

利用余弦定理可得：

22217cos =225OM ON MN MON OM ON +-∠=⋅，∴17

arccos

25MON ∠=,∴M,N 两点间的球面距离为17

R arccos

25.

2.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ12）已知在半径为2的球面上有A ，B ，C ，D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）

(A) 233 (B)433 (C) 23 (D) 833

【命题立意】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【思路点拨】当AB CD ⊥时体积最大，选择合适的底和高，利用三棱锥体积公式求解. 【规范解答】选B.方法一： 当AB CD ⊥时，体积最大，如图： 过CD 作平面PCD ，使AB PCD ⊥平面, 交AB 与点P ,设点P 到CD 的距离为h ,

则有

1112223323PCD ABCD h

V S AB h ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=

四面体,当直径通过AB 与CD 的中点时,

2

2

max 22123h =-=,故

max 43

3V =

.

方法二：如图：当异面直线AB 与CD 间的距离最大，且AB CD ⊥时， 四面体ABCD 的体积最大，分别取AB 与CD 的中点E ，F ， 连

结

EF

，此时球心

O

为线段

EF

的中点，则

222222123EF OA AE =-=-=.11143

22323323A BCD ECD V S AB -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=

.

3．（2010·湖北高考理科·Ｔ13）圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm. 【命题立意】本题主要考查圆柱和球的体积公式以及考生的运算求解能力．

【思路点拨】圆柱形容器的容积减去圆柱内高度为8cm 的水的体积即为3个球的体积和。

【规范解答】设球的半径为r ，则圆柱形容器的高为6r ，容积为2366r r r ππ⨯=，高度为8cm

的水的体积为28r π，3个球的体积和为3

3

4343r r ππ⨯=，由题意36r π-28r π=3

4r π解得4r =.

【答案】4

4. （2010·江西高考文科·Ｔ１６）长方体1111

ABCD A B C D -的顶点

均在同一个球面上，

11

AB AA ==，2BC =，则A ，B 两点间

的球面距离为 .

【命题立意】本题主要考查棱锥、球的基本知识，考查多面体与球体的内接问题，考查球面距离问题，考查空间想象力．

1

A B 1

C 1

D A

D

C

B

【思路点拨】先求体对角线长即为球的直径，再求球心角，最后由弧长公式求两点间的球面距离.

【规范解答】设球的半径为R ，则

.1,2)2(1122

221==++==R AC R 设球心为O ，则21121122cos 22222=⨯-=-=∠R AB R AOB ，所以

,3π=∠AOB 所求A,B 两点间的球面距离为.

3π

【答案】3π

5. （2010·上海高考理科·Ｔ１2）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O,剪去AOB ∆,将剩余部分沿OC,OD 折叠，使OA,OB 重合，则以A （B ）,C,D,O 为顶点的四面体的体积为 ．

【命题立意】本题考查立体几何中的折叠问题和几何体体积的求法． 【思路点拨】先确定折叠后的几何体的形状，再由体积公式求体积． 【规范解答】折叠后的图形如图所示,

∵,BO OC AO OD ⊥⊥，∴()A B O COD ⊥平面. ∴AO 为四面体()A B COD -的高，

∴

AO OC OD 21

31AO S 31OCD CDO -A ⨯⨯⨯⨯=⨯=

∆四面体V

32

82222222131=⨯⨯⨯⨯=

．

【答案】823

【方法技巧】折叠问题的关键是找到折叠前后，变与不变的量．一般在折线同侧的量（包括角和距离）不变，跨过折线的量要改变．

6.（2010·上海高考文科·Ｔ6）已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为6 的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且8PA =，则该四棱锥的体积是 ．

【命题立意】本题考查棱锥的体积公式的应用，属容易题． 【思路点拨】按棱锥的体积公式代入数值求解．

【规范解答】111

66896

333ABCD P ABCD V S h S PA -=⨯=⨯=⨯⨯⨯-正方形四棱锥底=96.

【答案】96

7. （2010·上海高考文科·Ｔ20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.