复变函数及保角变换

§1 复变函数的定义

由两个实数x，y确定的数z=x+i y称为复数。x，y分别称为复数z的实部和虚部，记作x=Re z 和y =Im z。

Re和Im分别为表示复数实部和虚部的符号。其中称为虚数单位。

显然z可以用直角坐标系（x，y）表示，x称为实轴，y称为虚轴。坐标平面称为复平面，或者z平面。

因此，z平面上的任一点可记作

称为复数z的模，称为z的幅角，其在[0，2 ]之间的值称为主幅角。

显然，复数可以写作极坐标表达形式。

设有一个复数z=x+i y的集合g。对于集合g中的每一个复数z都有对应的复数值，w=u+i v，则称w是z的复变函数，记作w = f (z)。

给定一个复变函数就是在点（x，y）与（u，v）之间给出了一一对应关系。因此，u，v均随x，y而确定，这就是说给定了一个复变函数和给定两个实变函数u=u（x，y），v=v（x，y）是等价的。而且

w=u（x，y）+i v（x，y）

复变函数和实变函数同样有单值函数和多值函数，应该注意到实变函数的性质对于复变函数可能是不成立的。例如复变函数中的对数函数w=ln z是多值的。

为了便于理解，以对数函数为例。设

。

上式对于z的所有不等于零的复数值定义了函数ln z。在公式中包含一个任意的整数k，这就是说ln z是一个多值函数。对于k的任一整数值，就有函数ln z的一个分支。通常取k=0的那一支叫做的主值，即

如果z的一个值对应着w的一个值，那么函数f（z）是单值函数；如果z的一个值对应着两个或两个以上的w值，则f（z）是多值函数。

集合g称为f（z）的定义集合。

§2 解析函数--复变函数的可导性

复变函数的导数与实变函数的导数定义是相同的。因此，关于实变函数的一系列微分公式与法则，可以完全照搬到复变函数上。不过应该注意的是，复变函数的变量是复变量，不是实变量。

值得指出的是，实变函数的可导性要求当x＝x0+∆x 由左右两方趋近x0时，∆y/∆x的极限都存在而且相等。复变函数的可导性则要求当点z＝z0+∆z 在复平面上沿任意路径趋近z0时，∆w/∆z的极限都存在，而且这些极限都相等。

讨论点z沿x轴和点z沿y轴方向趋近x0两种情况。

在第一种情况下，由于∆y=0，因此∆z =∆x，而

。

令，取极限, 则。

在第二种情况下，由于∆x=0，因此∆z =i∆y，而

。

令，取极限, 则。

因此，若复变函数的导数 f '(z

) 存在，则应有关

系。

上述关系称为柯西--黎曼（Cauchy--Riemann）条件。

对于解析函数w=u（x，y）+i v（x，y），由于满足柯西--黎曼条件，即解析函数实部和虚部之间满足关系

。

所

以，。

上式即平面上的拉普拉斯（Laplace）方程，这个方程的解称为调和函数。所以解析函数的实部和虚部都是调和函数。

§3 保角变换

映射:函数w=f（z）将z平面上点的集合变换到另一个平面（w平面）上的一个点的集合。

解析函数w=f（z）在点z0 所实现的变换，是把点z0 处的所有线素皆按

同一比例伸长，而且任意两条曲线之间的交角保持不变。具有这种性质的变换称为保角变换。

解析函数所实现的变换在其导数不为零的一切点处都是保角的。

函数w=f（z）的定义集合是z平面上的一个点的集合g，而把函数集合

G看成是另一个平面（w平面）上的一个点的集合，那么w=f（z）在几何上就

是把集合g变到集合G的一个变换（映射）。

设解析函数w=f（z）把z平面上的点z0变到w平面上的点w0=f（z0），把过点z0 的曲线C变到过点w0的曲线C1。点z0 +∆z为C上点z0 的邻近点，点w0+∆w为C1上点w0的邻近点，而且为z0 +∆z的对应点。这时∆z为从点z0 到z0 +∆z的矢量，而∆w为从点w0到w0+∆w的矢量。由w=f（z）的解析性可

知，当∆z→0，有∆w→0。而且，不论曲线C如何选取，这一关系都将成立，那么取模则有

上式表示了z平面上在所给点z0 的线素与对应的w平面上的线素的比值，这个

比值与从z0 点所引的曲线无关。代表平面上的线素对于z 平面上的线素的倍数。因此，称它为伸长系数。

考虑幅角可得

这里设f '(z0)≠0 ，否则幅角将无法确定。

因为商的幅角等于被除数的幅角减去除数的幅角，所以

。

因

为

当∆z→0

时，。所以

设α 和β 是曲线C1与C2在对应点的切线与实轴的交角。因此

。

上式表示在平面上过点z0 的任一条曲线的切线变到平面时都转过同一个角度，这个角度的大小就是arg f '(z0)。由于这个性质，将arg f '(z0) 称为变换的旋转角。

由此可见，如果C1与C2是从点z0出发的两条曲线，C'1与C'2为从w0出发的两条相应的曲线，

则C'

1与C'

2

在所成的交角必等于C

1

与C

2

在点z

所成的交角。曲线的交角在这个

变换下是不变的。

总之。当f '(z0)≠0 时，解析函数w=f（z）在点z0所实现的变换，是把点z0处的所有线素皆按同一比例伸长，而且任意两条曲线之间的交角保持不变。具有这种性质的变换称为保角变换。

解析函数所实现的变换在其导数不为零的一切点处都是保角的。

解析函数在导数为零处，保角性一般要受到破坏的。导数为零的点称为变换的驻点。

§4 复变函数的积分

复变函数沿曲线的积分与实变函数的线积分的概念相当。

设有从点a到点b的一条曲线C，复变函数f（z）在包含C的一个区域内有定义。将曲线用点

a = z0，z1，z2，…，z n-1，z n=b分成z0，z1，z2，…，z n-1，z n若干小段，而且z0

取和

数

如函数f（z）是连续的，曲线C是分段光滑的，则和数S n当n无限增大，而每两相邻分点的距离趋近于零时（即），有完全确定的极限

这个极限称为f（z）沿曲线C的线积分。

对于解析函数，如果f（z）=u+i v在单连域S内单值解析，则其应满足柯西--黎曼条件。而d z=d x+id y如果积分起点与终点重合时，即C为闭合曲线，则由格林积分公式