(概率论与数理统计 茆诗松) 第5章 统计量及其分布(5.4)

当随机变量 2 2(n) 时，对给定 (01)， 称满足 P(2 12(n)) 的 12(n) 是自由度为 n1的卡方分布的 1 分位数. 分位数 12(n) 可以从附表3 中查到。
P{ X
2 1
(n)} ,
该密度函 数的图像 是一只取 非负值的 偏态分布
特别，若12 =22 ，则
F=sx2/sy2 F(m1,n1)
推论5.4.2 设 x1, x2,…, xn 是来自N(, 2) 的 样本，则有
n(x ) t ~ t (n 1) s
习题5.4：Q5
推论5.4.3
在推论5.4.1的记号下，设 12 =22 = 2 ，
前缀“p”
正态分布：pnorm(x,mean,sd)
t 分布： pt(x,df) 卡方分布：pchisq(x,df) F分布： pf(x,df1,df2)
Q13
Q5
R软件： 转换概率为分位数， 即：找到x值，使得P(X≤x)=p 前缀“q” 正态分布：qnorm(p,mean,sd)
5.4.4 一些重要结论
正态总体的抽样分布定理 设 x1, x2,…, xn 是来自N(, 2) 的样本
定理5.4.1 设 x1, x2,…, xn 是来自N(, 2) 的 样本，其样本均值和样本方差分别为 x = xi/n 和 s2= (xix)2/(n1) 则有 (1) x 与 s2 相互独立； (2) x N(, 2/n) ；
(3) (n1) s2/2 2(n1)。
习题5.4：Q1~Q3
推论5.4.1 设 x1, x2,…, xn 是来自N(1, 12) 的 样本，y1, y2,…, yn 是来自N(2, 22) 的样本， 且此两样本相互独立，则有
F
s / s /
2 x 2 y
2 1 2 2
~ F ( m 1, n 1)
由于 t 分布的密度函数关于0 对称, 故其分位数 间有如下关系
t(n1)= t1(n1)
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出
2. t 分布是类似正态分布的一种对称分布， 它通常要比正态分布平坦和分散 3. 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参 数。随着自由度的增大，分布也逐渐趋于 正态分布
t 分布： qt(p,df) 卡方分布：qchisq(p,df) F分布： qf(p,df1,df2)
如：
2 2 ( x x ) ( y y ) i i i 1 i 1 m n
并记
2 sw 2 2 (m 1) s x (n 1) s y
mn2mn2则 Nhomakorabea( x y ) ( 1 2 ) sw 1 1 m n
~ t (m n 2)
1 4 5 7 9 14 16
密度函数形状类似，
只是峰比标准正态
分布低一些,
尾部的概率比标准
正态分布的大一些。
标准正态分布
标准正态分布 t (df = 13)
t 分布
t (df = 5)
z
t 分布与标准正态分布的比较
x
t 不同自由度的t分布
• 自由度n=1的 t 分布就是标准柯西分布， 它的均值不存在； • n1时, t 分布的数学期望存在且为0；
• n2时，t 分布的方差存在，且为n/(n2)；
• 当自由度较大 (如n30) 时， t 分布可以用正态分布 N(0,1)近似。
当随机变量t t(n) 时，称满足 P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数.
注:
t (n) t1 (n)
E 2 n, Var( 2 ) 2n
习题5.4：
Q4
5.4.2 F 分布
定义5.4.2 设X1 2(m), X2 2(n), X1与X2独立， 则称 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度为 m 与 n 的 F分布，记为F F(m, n)，其中m 称为分子自 由度，n 称为分母自由度。
该密度 函数的 图象也 是一只 取非负 值的偏 态分布
定义 5.4.3 设随机变量X1 与X2 独立， 且X1 N(0,1), X2 2(n), 则称
t=X1/ X2/n
的分布为自由度为n 的t 分布，记为t t(n) 。
t 分布的密度函数 的图象是:
关于纵轴对称的分
布，
与标准正态分布的
§5.4 三大抽样分布
有很多统计推断是基于正态分布的假设的，
以标准正态变量为基石而构造的三个著名统 计量在实际中有广泛的应用，
这是因为这三个统计量不仅有明确背景，而 且其抽样分布的密度函数有明显表达式， 它们被称为统计中的“ 三大抽样分布 ” 。
定义5.4.1 设 X1, X2,…, Xn, 独立同分布于标准 正态分布N(0,1) ，则2= X12+… Xn2的分布称 为自由度为n 的2分布，记为 2 2(n) 。
由 F 分布的构造知 F(n,m) = 1/F1(m,n)
定义5.4.2 设X1 2(m), X2 2(n), X1与X2独立， 则称 F =(X1/m)/(X2/n) 的分布是自由度为 m 与 n 的 F分布，记为F F(m, n)，其中m 称为分子自 由度，n 称为分母自由度。

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调用分布函数，计算P(X≤x) 转换概率为分位数，
即：找到x值，使得P(X≤x)=p
R软件：
调用分布函数 计算P(X≤x) 前缀“p”
计算Q4：
P(10 ≤ Y≤20) pchisq(x,df)
R软件： 调用分布函数，计算P(X≤x)
t ( n)
t
(n)
当随机变量t t(n) 时，称满足 P(t t1(n)) =1 的 t1(n) 是自由度为 n 的 t 分布的1分位数. 分位数 t1(n) 可以从附表4中查到。 譬如 n=10,=0.05，那么从附表4上查得 t10.05(10) = t0.95(10)=1.812 .