四年级奥数统筹与规划教师版

统筹与规划

知识要点

宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。

人类的一切社会实践活动，既要讲求效率，又要经济，即要在尽可能地节约时间、精力和经费支出的同时，取得在可能范围内的最好效果。最优化概念反映了人类实践活动中的普遍现象。最优化问题成为现代应用数学的一个重要课题，它在实际生产、科学研究以及日常生活中均有广泛的应用。作为热爱数学的少年，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的。

统筹和规划可以归属于一门称为“运筹学”的范畴，都是用于解决最优化问题，即在一组约束条件下求最大或最小值的问题。

规划论研究的问题主要有两类：一类是确定了一项任务，研究怎样精打细算使用最少的人力、物力、时间去完成它；另一类是在已有一定数量的人力、物力条件下，研究怎样合理安排，使它们发挥最大限度的作用，从而完成最多的任务。

如何求最大值或最小值呢？从有限个数中间，总可以找出一个最大的和一个最小的。如果一组数个数不多，以至于我们可以一一地写出来，那么凭着观察和比较，便可以找出其中的最大值和最小值，这就是所谓的“穷举法”。但是如果数的个数太多，或者不容易甚至于不可能一下子写清楚，这时就需要灵活地运用数学基础知识，把实际问题数学化，通过正确的推理，化未知为已知。

节约时间

【例 1】（1986年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第4题）妈妈让小明给客人烧水沏茶。

洗水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟。洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下，完成这些工作要20分钟，为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？

【分析】先洗水壶用1分钟，接着烧开水用15分钟，在等待开水的过程中，同时洗茶杯、拿茶叶。

水开了就沏茶，总共用了16分钟。

又因为烧开水的15分钟不能减少，烧水前必须洗水壶，所以用16分钟是最少的。

【说明】本题选自华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》。

【例 2】小红放学回家，想让爸爸、妈妈下班就能吃上晚饭。她准备做大米饭和炒鸡蛋，有两个炉灶。估计一下，洗锅要用1分钟，洗米要用5分钟，做大米饭要用30分钟，打鸡蛋要用1分钟，洗炒勺要用1分钟，烧油要1分钟，炒鸡蛋要3分钟。你认为最合理安排需要几分钟能做好饭菜？

【分析】做大米饭的时间最长，因此我们应该考虑在煮大米饭的同时做其他事情以节省时间，做大米前洗锅和洗米是必须的，所以至少需要153036

++=分钟。

【例 3】（1985年无锡市智力竞赛题）春节妈妈杀好鱼后，让小明帮助烧鱼。他洗鱼、切鱼、切姜片葱花、洗锅煎烧，各道工序共花了17分钟（如图所示）。你能不能设计一个顺序，使花费的时间最少？请用方框图表示出来。

5分钟

煎烧

【分析】将锅烧热、将油烧热这段过程人是闲着的，因此小明可以利用这段时间洗鱼、切鱼、切姜葱，所以小明先洗锅，再将锅烧热，将油烧热的同时洗鱼、切鱼、切姜葱，最后煎烧，

一共需要223512

+++=分钟。如图所示为方框图。

【例 4】（2000年“数学大王”邀请赛中年组（3、4年级）第13题）用来烤鱼的铁丝网每次只能放两面刀鱼，烤好鱼的一面需6分钟。最短用_______分钟，可以烤好3条鱼。

【分析】记这三条鱼为1、2、3，每条鱼有A、B两面，

每次烤2面，一共要烤6面，至少需要烤623

÷=次；

方法为第1次烤1A和2A，第2次烤1B和3A，第3次烤2B和3B；

所以最短用3618

⨯=分钟，可以烧好3条鱼。

【例 5】（2009年12月6日“数学大王”邀请赛三年级第6题）烤烧饼时，第一面需要烤3分钟，第二面需要烤2分钟，而烤烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要烤3个烧饼至少需要_______分钟。

【分析】第一次烤①的正面和②的正面，需要3分钟；

第二次烤①的反面和③的正面，需要3分钟；

第三次烤②的反面和③的反面，需要2分钟；

所以要烤3个烧饼至少需要3328

++=分钟。

【例 6】用一只平底锅煎饼，每次能同时放两个饼。如果煎一个饼需要4分钟（假定正反面各需2分钟），问煎m个饼至少需要几分钟？

【分析】当m是偶数时，每2个饼煎1次，需要4分钟，共需要煎

2

m

次，

共需要42

2

m

m

⨯=分钟煎完，每个饼平均用时2分钟；

当1

m=时，需要4分钟，

当3

m=时，先煎第一个饼和第二个饼的正面用2分钟，

再煎第一个饼的反面和第三个饼的正面用2分钟，

接着煎第二个饼和第三个饼的反面用2分钟，共用6分钟，平均每个饼用2分钟，

当3

m>，且m为奇数时，必然可以写成3加上一个偶数的形式，

此时每个饼平均用时2分钟，一共用时2m分钟。

综上所述，当1

m=时，需要4分钟，当1

m>时，需要2m分钟。

【例 7】（1989年第2届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组复赛第6题）如图是一张道路图，每段路上的数字是小王走这段路所需的分钟数。请问小王从A出发走到B，最快需要几分钟？

B

A

【分析】如图所示，考虑是否经过C点，若经过C点，从A到C至少需要151126

+=分钟，从C到B至少需要101222

+=分钟，所以从A到B至少要262248

+=分钟；

若不经过C点，则从A到B只有两条路，都是需要49分钟，所以从A到B至少需要48分钟。

【例 8】（1978年全国高中数学竞赛）设有10个人各拿提桶一只同到水龙头前打水，他们打水所花的时间分别为1分钟、2分钟、3分钟、……、10分钟。因为只有一个水龙头，他们得排队打水，请问：怎样适当安排他们打水的顺序，使每个人排队和打水时间的总和最小？

【分析】设第i个打水的人要

i

t分钟；

所以每个人排队和打水时间总和

123910

10982

T t t t t t

=+++++

L L

当

i

t i=时，

min

1102938475665748392101220

T=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分钟

【说明】排序原理：设有两组数

1

a≤

2

a≤……≤

n

a，

1

b≤

2

b≤……≤

n

b，

则这两组数中任取两个配对相乘再求和，

在这些所有可能的和中以

1211

n n n

a b a b a b

-

+++

L L为最小，以

1122n n

a b a b a b

+++

L L为最大。

【例 9】某计算机系统在同一时间只能执行一项任务且完成该任务后才能执行下一项任务。现有甲、乙、丙三项任务同时提交给该计算机系统。计算机系统执行任务甲、乙、丙的时间分别为10秒、2分钟和15分钟。一项任务的相对等待时间为提交该任务到完成该任务的时间与计算机系统执行该任务的时间之比。请选择一个执行顺序，使得三项任务相对等待时间之和最小。

【分析】由乘法原理，一共有

3

3216

P=⨯⨯=种执行顺序，分别考虑每种执行顺序的相对等待时间之和。

①顺序为甲、乙、丙时，三项任务相对等待时间之和为

101012010120900581

10120900180

+++

++=；

②顺序为甲、丙、丙时，三项任务相对等待时间之和为

1010900109001201907

10900120180

+++

++=；