为了引入导数的概念
导数的概念(教学设计)
导数的概念樊加虎导数是近代数学中微积分的核心概念之一，是一种思想方法，这种思想方法是人类智慧的骄傲.《导数的概念》这一节内容，大致分成四个课时，我主要针对第三课时的教学，谈谈我的理解与设计，敬请各位专家斧正.一、教材分析1.1编者意图《导数的概念》分成四个部分展开，即：“曲线的切线”，“瞬时速度”，“导数的概念”，“导数的几何意义”，编者意图在哪里呢？用前两部分作为背景，是为了引出导数的概念；介绍导数的几何意义，是为了加深对导数的理解.从而充分借助直观来引出导数的概念；用极限思想抽象出导数；用函数思想拓展、完善导数以及在应用中巩固、反思导数，教材的显著特点是从具体经验出发，向抽象和普遍发展，使探究知识的过程简单、经济、有效.1.2导数概念在教材的地位和作用“导数的概念”是全章核心.不仅在于它自身具有非常严谨的结构，更重要的是，导数运算是一种高明的数学思维，用导数的运算去处理函数的性质更具一般性，获得更为理想的结果；把运算对象作用于导数上，可使我们扩展知识面，感悟变量，极限等思想，运用更高的观点和更为一般的方法解决或简化中学数学中的不少问题；导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在在其它学科中同样具有十分重要的作用；在物理学，经济学等其它学科和生产、生活的各个领域都有广泛的应用.导数的出现推动了人类事业向前发展.1.3 教材的内容剖析知识主体结构的比较和知识的迁移类比如下表：对象内容本质符号语言数学思想现有认知结构曲线y=f(x)切线的斜率割线斜率的极限0limxykx∆→∆=∆极限思想物体运动规律S=s(t)物体的瞬时速度平均速度的极限0limtsvt∆→∆=∆极限思想函数思想最近发展区函数y=f(x)导函数（导数）平均变化率的极限0limxyyx∆→∆'=∆极限思想函数思想表2. 知识迁移类比（导数像速度）已有认知结构 最近发展区 相似点 物体在t 0时刻的速度．．0000()()limt s t t s t v t∆→+∆-=∆函数f(x)在x 0处的导数．．0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆特指常数物体的任意时刻．．．．t 的速度0()()lim t s t t s t v t∆→+∆-=∆函数f(x)在开．区间内．．．()()limx f x x f x y x∆→+∆-'=∆泛指 是函数（变量） 瞬时速度↓一般说成速度导函数 ↓一般说成导数名称对应 泛指 v=v(t) )(x f y '=' 关系对应 v 0=v|t=t 0 00|)(x x y x f ='='求法对应 位移对时间的变化率．．． 函数对自变量的变化率．．．本质对应通过比较发现：求切线的斜率和物体的瞬时速度，这两个具体问题的解决都依赖于求函数的极限，一个是“微小直角三角形中两直角边之比”的极限，一个是“位置改变量与时间改变量之比”的极限，如果舍去问题的具体含义，都可以归结为一种相同形式的极限，即“平均变化率”的极限.因此以两个背景作为新知的生长点，不仅使新知引入变得自然，而且为新知建构提供了有效的类比方法.1.4 重、难点剖析重点：导数的概念的形成过程. 难点：对导数概念的理解.为什么这样确定呢？导数概念的形成分为三个的层次：f(x)在点x 0可导→f(x)在开区间（a ，b ）内可导→f(x)在开区间（a ，b ）内的导函数→导数，这三个层次是一个递进的过程，而不是专指哪一个层次，也不是几个层次的简单相加，因此导数概念的形成过程是重点；教材中出现了两个“导数”，“两个可导”，初学者往往会有这样的困惑，“导数到底是个什么东西？一个函数是不是有两种导数呢？”，“导函数与导数是怎么统一的？”.事实上：（1）f(x)在点x 0处的导数是这一点x 0到x 0+△x 的变化率xy∆∆的极限，是一个常数，区别于导函数. （2）f(x)的导数是对开区间内任意点x 而言，是x 到x+△x 的变化率xy∆∆的极限,是f(x)在任意点的变化率，其中渗透了函数思想. （3）导函数就是导数！是特殊的函数：先定义f(x)在x 0处可导、再定义f(x)在开区间（a ，b ）内可导、最后定义f(x)在开区间的导函数. （4）y= f(x)在x 0处的导数就是导函数)(x f '在x=x 0处的函数值，表示为0|x x y ='这也是求f′(x 0)的一种方法.初学者最难理解导数的概念，是因为初学者最容易忽视或混淆概念形成过程中几个关键词．．．．．的区别和联系，会出现较大的分歧和差别，要突破难点，关键是找到“f(x)在点x 0可导”、“f(x)在开区间的导函数”和“导数”之间的联系，而要弄清这种联系的最好方法就是类比！用“速度与导数”进行类比.二、目的分析2.1 学生的认知特点. 在知识方面，对函数的极限已经熟悉，加上两个具体背景的学习，新知教学有很好的基础；在技能方面，高三学生，有很强的概括能力和抽象思维能力；在情感方面，求知的欲望强烈，喜欢探求真理，具有积极的情感态度.2.2 教学目标的拟定. 鉴于这些特点,并结合教学大纲的要求以及对教材的分析,拟定如下的教学目标:知识目标：①理解导数的概念.②掌握用定义求导数的方法.③领悟函数思想和无限逼近的极限思想.能力目标：①培养学生归纳、抽象和概括的能力.②培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.情感目标：通过导数概念的学习，使学生体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点.接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度.三、过程分析设计理念：遵循特殊到一般的认知规律，结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成,发展和应用过程，帮助学生主动建构概念.引导激趣 概括抽象 互动导标 类比拓展3.1 引导激趣设计意图：创设情景，提出课题.演示曲线的割线变切线的动态过程，为学生提供一个联想的“源”，从变量分析的角度，巧妙设问，把学习任务转移给学生.pxyo△x △y Y=f(x)M割线切线演示：曲线的切线x 0y 0△x→→△y 00问题：割线的变化过程中， ①△x 与△y 有什么变化？②xy ∆∆有什么含义？③x y ∆∆在△x→0时是否存在极限？3.2 概括抽象设计意图：回顾实际问题，抽象共同特征，自然提出：f(x)在x 0处可导的定．义．，完成“导 数”概念的第一层次.曲线的切线的斜率 抽象⇓舍去问题的具体含义归结为一种形式相同的极限0lim x yx∆→∆∆ 即f′(x 0)= 0lim x yx ∆→∆∆=0000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆（在黑板上清晰完整的板书定义，并要求学生表述、书写，以培养学生的数学符号表示和数学语言表达能力.）3.3 互动导标设计意图：设置两个探究问题，分析不同结果的原因，并引导学生提出新的问题或猜想，鼓励学生进行数学交流，激发学生进一步探究的热情，从而找到推进解决问题的线索——提出：f(x)在开区间（a ，b ）内可导的定义，完成“导数概念”的第二个层次..①研究：函数y=2x+5在下列各点的变化率：（1）x=1，（2）x=2，（3）x=3 ②研究：函数y=x 2 在下列各点的变化率： （1）x=1，（2）x=2，（3）x=3 定义：函数f(x)在开区间．．(a ，b)内每一点可导．．．．．．，就说f(x)在开区间．．．．(a ，b)内．可导．．. 3.4 类比拓展设计意图：回顾“瞬时速度的概念”，渗透类比思想和函数思想．．．．．．．．．．．.让学生产生联想，拓展出：f(x)在开区间（a ，b ）内的导函数的定义，完成“导数”概念的第三层次. 已有认知：物体在时刻t 0的速度： 00000()()limlim .t t s t t s t sv t t∆→∆→+∆-∆==∆∆物体在时刻t 的速度．．00()()lim lim .t t s s t t s t v t t∆→∆→∆+∆-==∆∆新认知：函数f(x)在开区间．．(a ，b)内每．．一点可导．．．．，就说f(x)在开区间．．．．(a ，b)内可导．．．. ⇓点拨：映射→函数对于（a ，b ）内每一个确定的值x 0，对应着一个确定的导数值)(0x f '，这样就在开区间（a ，b ）内构成一个新函数⇓导函数（导数）00()()()limlimx x y f x x f x f x y x x∆→∆→∆+∆-''===∆∆ 3.5 概念导析设计意图：引导学生用辨析和讨论的方式，反思导数概念的实质，从而突破难点，促成学生形成合理的认知结构.辨析：（1）f′(x 0)与0(())f x '相等吗？ （2）000(2)()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆与f′(x 0) 相等吗？试讨论:f′(x 0)与)(x f '区别与联系.反思：“f(x)在点x 0处的导数”，“f(x)在开区间（a ，b ）内的导函数”和“导数”之间的区别和联系.板书：导数概念主体结构示意图f(x)在点x 0处可导↓f(x)在开区间（a ，b ）内可导↓f(x)在开区间（a ，b ）内的导函数↓ 导数3.6 回归体验——体现“导数”的应用价值设计意图：通过随堂提问和讨论例题，增强师生互动，让学生在 “做”中“学”，体验求导的结果表示的实际意义，体验导数运算的作用,体会用导数定义求导的两种方法,产生认可和接受“导数”的积极态度,并养成规范使用数学符号的习惯.想一想：（1）导数的本质是什么？你能用今天学过的方法去解决上次课的问题吗？（第109页练习1、2，第111页练习1、2）有什么感想？（2）“切线的斜率”、“物体的瞬时速度”的本质都是什么？怎样表示？k=00|)(x x y x f ='='或k=)(x f 'v 0＝00|)(t t s t s ='=' 或 v=)('t s（3）导数还可以解决实际生活中那些问题？你能举例说明吗？例题A 组：①已知S=πr 2，求r S '②已知V=34π3R ，求R V '③已知y=x 2+3x 求（1）y '；(2) 求y '︱x=2例题B 组：④已知y x =y '，并思考y '的定义域与函数在开区间可导的意义3.7引导小结设计意图：引导学生进行自我小结，用联系的观点将新学内容在知识结构、思想方法等方面进行概括，巩固新知，形成新的认知结构.知识结构：（1）导数的概念（语言表达；符号表示；“f(x)在点x 0处的导数”，“导函数”和“导数”之间的联系和区别.）；（2）主要数学思想：极限思想、函数思想；（3）用定义求导的方法，步骤； （4）导数的作用. 3.8分层作业设计意图：注意双基训练与发展能力相结合,设计递进式分层作业以满足不同学生的多样化学习需求，使他们得到最全面的发展.把教材的第112页的关于“可导必连续”的命题调整为选做题既不影响主体知识建构,又能满足学生的进一步的探究需求.必 做 题:1.教材第114页，第2，3，4题. 2．若f′(x 0)=a ， （1）求0000()()limx f x x f x x∆→-∆-∆的值.（2）求000()()lim x f x x f x x x∆→+∆--∆∆的值.思 考 题：1.已知y=x 3 求 （1）y '；（2）y '︱x=0；（3）求曲线在（0，0）处的切线方程.2.讨论y=|x|在x=0处是否可导？ 选 做 题：求证：如果函数y=f(x)在x 0处可导，那么函数y=f(x)在点x 0处连续. 四、教法分析依据：循序渐进原则和可接受原则.设计理念:把教学看作是一个由教师的“导”、学生的“学”及其教学过程中的“悟”为三个子系统组成的多要素的和谐整体.教法：支架式过程法，即：a ×b=学习a ：教师启发、诱导、激励、评价等为学生的学习搭建支架，把学习的任务转移给学生.b ：学生接受任务，探究问题，完成任务.a ×b ：以问题为核心，通过对知识的发生、发展和运用过程的演绎、揭示和探究，组织和推动教学.图3：a ×b=“导”×（“学”+“悟”）=“教”ד学”=学习 图4：“学”启 接 发 受 | | 诱 探 导 究|激 完 励 成可接受原则 认知规律4.1 “导” ——引导学生用变量观点去认识△x ，△y 和xy ∆∆, ——引导学生用函数的思想去认识f′(x 0)向 f′(x)拓展的过程. ——引导学生联系的观点弄清导数概念之间的区别和联系 “学”——通过具体的导数背景提出问题．．．．. ——通过类比、联想分析问题．．．．. ——通过交流，体验，反思解决问题．．．．“悟”——通过教师的“导”，学生的“学”，“悟”出导数的本质.4.2 借助多媒体显示直观、体现过程的优势来展示割线的动态变化，向学生渗透无限逼近的极限思想，为抽象出导数的概念作必要的准备.4.3 板书设计§3.1.3 导数的概念（主线）1. 定义：函数y=f(x)在x 0处可导 ①研究②研究 辨析2. 定义：函数y=f(x)在（a ，b ）可导 例题A 组： 例题B 组：3. 定义：函数y=f(x)在（a ，b ）内的导函数（导数）4. 区别与联系5. 用导数的定义求f(x)在（a ，b ）内的导数的方法 比较与鉴别6. 小结 （知识，方法，思想）区别与联系 作业五、评价分析评价模式：围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性评价为辅，采取及时点评、延时点评与学生自评三结合.既充分肯定学生的思维，赞扬学生的思路，激励学生的思辨，又必须以科学的态度引导学生服从理性，追求真理.。
高中数学教案：导数与微积分的引入
高中数学教案：导数与微积分的引入导数与微积分的引入一、引言在高中数学课程中，导数与微积分是重要的内容之一。
它们不仅是进一步学习数学的基础，更是应用领域中解决问题的关键。
本教案旨在通过引入导数与微积分的概念和运算方法，帮助学生理解其背后的原理和意义。
二、导数的引入1. 导数的定义为了引入导数的概念，我们可以从平均速度和瞬时速度开始讲解。
考虑一个物体在某段时间内移动了若干距离，我们可以计算出平均速度。
然而，在特定时刻物体移动的速度可能会有所变化，这就需要引入瞬时速度的概念。
进一步地，如果我们将时间间隔缩小到无穷小，那么就得到了物体在某一时刻瞬时速度的定义。
这个过程可以表示为：\[v=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta s}{\Delta t}\]其中，\(v\)代表瞬时速度，\(\Delta s\)代表位移变化量，\(\Delta t\)代表时间变化量。
2. 导函数接下来我们介绍导函数（或称斜率函数）的概念。
考虑一个函数\(y=f(x)\)，其中\(x\)是自变量，\(y\)是因变量。
在这个函数上取两点\((x_1, f(x_1))\)和\((x_2,f(x_2))\)，可以计算出直线的斜率：\[k=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\]当我们将这两点逐渐靠近时，可以发现斜率会越来越接近某个固定的值，这个值就是函数在该处的导数。
换句话说，导函数是函数曲线上每一点处切线的斜率。
三、微积分的引入1. 积分的定义积分的引入可以从面积问题开始。
考虑一个曲线下方与\(x\)轴之间形成的面积，我们想要求解这个面积。
为了实现目标，我们将整个区域分割成无限多个狭窄的矩形条，并计算每条矩形条代表的面积之和。
当矩形条宽度无限接近于零时（即微小），得到了曲线下方区域的精确面积。
2. 定积分与不定积分通过对面积问题的类似思路，我们可以定义定积分和不定积分。
- 定积分：给定一个函数\(y=f(x)\)，我们可以求解从\(a\)到\(b\)的定积分，表示为：\[\int_{a}^{b} f(x)dx\]它代表了函数曲线与\(x\)轴之间从\(a\)到\(b\)区域的面积。
《导数的概念教案》
教案名称：导数的概念教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学方法：1. 采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学；2. 引导学生通过观察、思考、讨论，发现导数的本质；3. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
教学内容：第一课时一、导入（5分钟）1. 复习相关概念：函数、极限的概念；2. 提问：函数在某一点的极限有什么意义？二、新课讲解（15分钟）1. 引入导数的定义：导数是函数在某一点的瞬时变化率；2. 解释导数的物理意义：描述物体在某一时刻的瞬时速度；3. 示例讲解：利用极限的概念推导函数的导数；4. 强调导数的计算方法：求导数的关键是找到函数的导数公式。
三、课堂练习（10分钟）1. 请学生独立完成练习题，巩固导数的定义和计算方法；2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。
第二课时四、新课讲解（15分钟）1. 介绍导数的运算法则：加法、减法、乘法、除法的导数法则；2. 示例讲解：利用导数法则计算复合函数的导数；3. 强调导数在实际问题中的应用：优化问题、物理问题等。
五、课堂练习（10分钟）1. 请学生独立完成练习题，巩固导数的运算法则和应用；2. 教师选取部分学生的作业进行讲解和评价。
教学评价：1. 课后作业：检查学生对导数的定义、计算方法和应用的掌握程度；2. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和合作意识。
教学反思：本节课通过讲解、示例和练习，使学生初步掌握了导数的定义、计算方法和应用。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，提高学生的思考能力和合作意识。
加强对学生的个别辅导，提高学生的学习效果。
教案名称：导数的概念教案课时安排：2课时教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学方法：1. 采用讲解、示例、练习相结合的方式进行教学；2. 引导学生通过观察、思考、讨论，发现导数的本质；3. 利用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
引入函数的导数与微分
引入函数的导数与微分在数学中，函数是一种对应关系，它将一个或多个输入值映射到一个唯一的输出值。
而函数的导数和微分则是探索函数变化率和曲线特性的重要工具。
本文将介绍引入函数的导数与微分的概念和应用。
一、导数的引入在研究函数的变化趋势时，我们需要了解函数在某一点的变化率。
为了解决这个问题，数学家引入了导数的概念。
导数可以看作是函数在某一点的变化率，或者是函数曲线在该点上的切线斜率。
我们用f'(x)表示函数f(x)的导数。
为了计算导数，我们可以使用极限的概念。
将函数的自变量x在某一点a附近微小增加一个Δx，然后计算函数值的变化量Δf。
当Δx趋近于0时，Δf/Δx的极限就是函数在点a的导数。
即：f'(a) = lim[Δx -> 0] (f(a + Δx) - f(a)) / Δx二、导数的性质导数具有一些重要的性质，包括求导法则和运算法则。
求导法则包括常数导数法则、幂函数导数法则、指数函数导数法则、对数函数导数法则以及三角函数导数法则等。
运算法则包括求和、差、积、商的导数规则等。
导数的性质可以帮助简化复杂函数导数的计算。
通过运用不同的导数法则，我们可以快速求得各种函数的导数，从而更好地了解函数的特性。
三、微分的引入微分是导数的一个重要应用。
当我们对函数进行微分时，实际上是求出了函数在某一点上的切线方程。
微分可以用于近似计算函数在某一点附近的函数值。
对于函数f(x)，其微分可以表示为df(x)。
微分的计算可以利用导数的性质进行转化。
即：df(x) = f'(x) dx其中dx是自变量的微小变化量。
通过微分，我们可以建立函数在某一点的线性近似模型，进而计算函数在该点的近似值。
这在实际问题中有着广泛的应用，例如求解最优化问题、求出物体的运动状态等。
四、函数的导数与微分的应用函数的导数和微分在各个领域都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用：1. 最优化问题：通过研究函数的导数和微分，可以求解函数的最大值或最小值。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明教学目标：1. 理解导数的定义和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够应用导数解决实际问题。
教学内容：第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 导数的定义及其几何意义1.3 导数的计算法则第二章：导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的四则运算2.3 高阶导数第三章：导数的应用3.1 函数的单调性3.2 函数的极值3.3 曲线的切线与法线第四章：导数与实际问题4.1 运动物体的瞬时速度与加速度4.2 函数的优化问题4.3 导数在经济学中的应用第五章：导数的进一步应用5.1 曲线的凹凸性与拐点5.2 函数的单调区间与最大值、最小值5.3 函数的渐近线教学步骤：1. 引入导数的概念：通过生活中的例子，如物体运动的瞬时速度，引出导数的定义。
2. 讲解导数的定义及其几何意义：解释导数的定义，并通过图形演示导数的几何意义。
3. 导数的计算法则：讲解基本导数公式，引导学生掌握导数的计算方法。
4. 导数的应用：通过实例讲解函数的单调性、极值等概念，并引导学生运用导数解决实际问题。
5. 总结与拓展：总结本章内容，提出进一步的学习要求和思考题。
教学评价：1. 课堂讲解：评价教师的讲解是否清晰、生动，能否引导学生理解和掌握导数的概念和计算方法。
2. 课堂练习：评价学生是否能够正确计算导数，并应用导数解决实际问题。
3. 课后作业：评价学生是否能够独立完成作业，并对导数的应用有深入的理解。
教学资源：1. 教案、PPT等教学资料；2. 数学软件或计算器；3. 实际问题案例。
教学建议：1. 注重引导学生从实际问题中抽象出导数的概念，提高学生的学习兴趣和积极性；2. 通过图形演示导数的几何意义，帮助学生直观理解导数的概念；3. 鼓励学生进行课堂练习和课后作业，及时巩固所学知识；4. 结合实际问题，引导学生运用导数解决实际问题，提高学生的应用能力。
第六章：导数与函数的单调性6.1 单调增函数与单调减函数6.2 利用导数判断函数的单调性6.3 单调性在实际问题中的应用第七章：函数的极值与导数7.1 极值的概念7.2 利用导数求函数的极值7.3 极值在实际问题中的应用第八章：曲线的切线与法线8.1 切线方程的求法8.2 法线方程的求法8.3 切线与法线在实际问题中的应用第九章：导数与函数的图像9.1 凹凸性的定义与判断9.2 拐点的定义与判断9.3 利用导数分析函数的图像特点第十章：导数在经济、物理等领域的应用10.1 导数在经济学中的应用10.2 导数在物理学中的应用10.3 导数在其他领域的应用案例分析教学步骤：6.1-6.3：通过具体例子讲解单调增函数与单调减函数的概念，引导学生利用导数判断函数的单调性，并应用于实际问题。
高中数学导数讲义之导数引入及定义
第一部分 高中数学导数讲义之导数的背景一、导数的引入 1. 瞬时速度问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？ (221gt s =,其中g 是重力加速度）.2. 切线的斜率问题2：P （1,1）是曲线2x y =上的一点，Q 是曲线上点P 附近的一个点，当点Q 沿曲线逐渐向点P 趋近时割线PQ 的斜率的变化情况.3. 边际成本问题3：设成本为C ，产量为q ，成本与产量的函数关系式为103)(2+=q q C ，我们来研究当q ＝50时，产量变化q ∆对成本的影响. 二、小结:瞬时速度是平均速度t s ∆∆当t ∆趋近于0时的极限；切线是割线的极限位置，切线的斜率是割线斜率xy ∆∆当x ∆趋近于0时的极限；边际成本是平均成本qC∆∆当q ∆趋近于0时的极限.三、练习与作业：1. 某物体的运动方程为25)(t t s =（位移单位：m ，时间单位：s ）求它在t ＝2s 时的速度. 2. 判断曲线22x y =在点P （1,2）处是否有切线，如果有，求出切线的方程. 3. 已知成本C 与产量q 的函数关系式为522+=q C ，求当产量q ＝80时的边际成本.4. 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的函数关系为2t h =，求t ＝4s 时此球在垂直方向的瞬时速度. 5. 判断曲线221x y =在（1，21）处是否有切线，如果有，求出切线的方程.6. 已知成本C 与产量q 的函数关系为742+=q C ，求当产量q ＝30时的边际成本.第二部分 导数的概念一、新课：1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限(即xy∆∆无限趋近于某个常数)，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/。
融入课程思政元素的导数定义教学设计
融入课程思政元素的导数定义教学设计
导数定义对深入理解微积分至关重要，作为数学老师来说，运用课堂设计让学生能够深入理解导数定义，让学生学以致用，是我们教学的重点。
第一，实施课堂探究性学习。
学生可以小组讨论，从实际中总结出导数定义，试图有效地
解决一些问题，例如：求某一函数导数，它们可以就连续函数、可导函数、线性函数、极
限等概念进行深入讨论，以达到学习导数定义的效果。
第二，教师可以引入一些思想政治课程的内容，用思想政治课程相关材料来激发学生的学习兴趣和创新意识。
比如，学生可以在讨论的过程中对导数定义的应用进行多方面的分析，如社会各个社会部门是如何用导数理论来分析和解决各种复杂的问题，从而让学生更好的
理解和体会到导数的实际意义。
第三，教师可以使用一些多媒体教学手段，以求助学生理解导数定义这一概念。
教师可以
引入一些数学软件，利用导数定义来帮助学生分析各种复杂的问题，这样会使学生更加清
楚地认识到导数的作用，以及它在解决问题中的重要性。
总的来说，要充分利用各种思想政治课程的内容，多媒体技术及数学软件，让学生有机会把他们的学习经历融入到政治思想应用中，由此有效地学习，实现导数定义的教学目标。
导数的概念教案及说明
导数的概念教案及说明一、教学目标1. 理解导数的定义及物理意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 能够运用导数解决实际问题。
二、教学内容1. 导数的定义；2. 导数的计算；3. 导数在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 导数的定义及其几何意义；2. 导数的计算方法；3. 导数在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解导数的定义、计算方法及应用；2. 利用图形展示导数的几何意义；3. 通过例题演示导数的计算过程；4. 引导学生运用导数解决实际问题。
五、教学准备1. 教学课件；2. 练习题；3. 相关实际问题。
第一章：导数的定义1.1 引入导数的概念1.2 解释导数的几何意义1.3 导数的计算方法第二章：导数的计算2.1 基本导数公式2.2 导数的计算规则2.3 高阶导数第三章：导数在实际问题中的应用3.1 运动物体的瞬时速度和加速度3.2 函数的极值问题3.3 曲线的凹凸性和拐点第四章：导数的其他应用4.1 曲线的切线和法线4.2 函数的单调性4.3 函数的凸性第五章：练习与拓展5.1 导数计算的练习题5.2 实际问题的练习题5.3 拓展练习题六、教学过程6.1 导入：通过回顾函数图像，引导学生思考如何描述函数在某一点的瞬时变化率。
6.2 新课讲解：详细讲解导数的定义，通过图形和实例直观展示导数的几何意义。
6.3 例题演示：挑选典型例题，展示导数的计算过程，引导学生理解和掌握计算方法。
6.4 课堂练习：布置练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
七、导数的计算7.1 基本导数公式：讲解常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数等。
7.2 导数的计算规则：介绍导数的四则运算法则、复合函数的导数等。
7.3 高阶导数：讲解函数的二阶导数、三阶导数等高阶导数的概念及计算方法。
八、导数在实际问题中的应用8.1 运动物体的瞬时速度和加速度：结合物理知识，讲解导数在描述物体运动中的应用。
8.2 函数的极值问题：引导学生利用导数求解函数的极值，探讨极值在实际问题中的应用。
导数概念教学设计
导数概念教学设计一、导数概念简介导数是微积分学中的重要概念，可以理解为函数在某一点上的变化率。
导数的概念及其应用在数学和科学领域中具有广泛的应用。
为了有效地教授导数概念，本教学设计将分为三个部分进行介绍和讲解，以帮助学生全面理解导数概念的基础知识和应用。
二、导数概念的引入在教授导数概念之前，我们先通过一个例子引入导数的概念。
假设有一个小球在斜坡上滚动的示例，并且我们想要知道小球在某个时刻的速度。
我们让学生思考如何计算小球在不同时刻的速度以及在不同位置的速度会有何变化。
三、导数的定义与计算1. 导数的定义导数可以通过极限来定义，当一个函数f(x)在点x处可导时，其导数f'(x)可以通过以下公式计算：f'(x) = lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)] / Δx2. 导数的计算为了让学生更好地理解导数的计算过程，我们可以提供一些简单的函数，如常数函数、幂函数、指数函数和三角函数，并指导学生通过基本的求导法则进行计算。
例如，常数函数的导数为0，幂函数的导数可以应用幂函数的求导公式等。
四、导数的几何意义导数除了可以表示函数在某一点上的变化率外，还有几何意义。
在本部分教学中，我们将通过图形的变化来说明导数的几何意义。
首先，我们可以使用绘图软件绘制简单的函数图像，并选择几个特定点，计算这些点的导数。
然后，我们将绘制这些点对应的切线，并观察切线在图像上的变化。
通过观察，学生可以理解导数代表了函数图像在某一点上的切线斜率。
五、导数的应用导数不仅在数学领域中有重要的应用，还在其他领域中具有广泛的应用。
在本部分教学中，我们可以介绍导数在物理学、经济学和工程学等领域中的具体应用。
六、导数概念的巩固与练习为了帮助学生巩固和深化对导数概念的理解，我们可以提供一些练习题供学生进行练习。
这些练习题可以包括导数的计算、导数的应用和导数的概念理解等方面。
七、导数概念的扩展为了进一步拓展学生对导数概念的认识，我们可以介绍一些高级导数概念，如高阶导数、导数的性质和导数的极值等。
第二章1 导数的概念引入
导数概念的引入
一．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义: 当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数二．导数的计算1. 基本初等函数的导数公式2. 导数的运算法则3. 复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题1、已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点,1(1)x y ∆++∆，则yx∆∆等于（ ）A ．4 B ．4x ∆ C ．42x +∆ D ．242x +∆ 2、如果质点M 按规律23S t =+运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度为（ ）A ．4B ．4.1C ．0.41D ．33、如果质点A 按规律32S t =运动，则在3t =秒的瞬时速度为（ ）A ．6B ．18C ．54D ．814、曲线1y x =-在点1(,2)2-处的切线斜率为_________，切线方程为__________________． 5、已知函数2()2f x ax =+，若(1)1f '-=，则a =__________．6、计算：（1）()57f x x =+，求(3)f '；（2）22()23f x x =-，求1()2f '-； （3）11y x =+，求0|x y =' 7、在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在函数关系2105S t t =+，（S 的单位：m ，t 的单位：s ），求：（1）0120,.t t ∆==时的S t∆∆； （2）求20t =的速度．1、函数y =）A ．315xB ．325x C ．1545x - D ．1545x --2、曲线212y x =在点1(1,)2处切线的倾斜角为（ ）A ．1B ．4π-C ．4πD ．54π3、已知曲线222y x x =+-在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是（ ）A ．(1,3)-B ．(1,3)--C ．(2,3)--D ．(2,3)-4、（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点(1,1)处的切线方程为____________________．5、曲线3y x =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形面积为__________．6、求下列函数的导数：（1）31()log 3x y x =+；（2）(1y =-+；（3）cos2sin cos x y x x =+．7、已知2()21f x x =-．21xy x =-（1）求()f x 在点(1,1)处的切线方程；（2）求过点(1,0)的切线方程． 8、函数32(2)y x =+的导数是（ ）A ．52612x x +B ．342x +C ．332(2)x + D ．32(2)3x x +⋅9、已知1sin 2sin 2y x x =+，那么y '是（ ） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数 10、曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．292e B ．24eC ．22eD ．2e 11、已知2()ln(1)f x x x =++，若()1f a '=，则实数a 的值为__________．12、sin3y x =在(,0)3π处的切线斜率为__________________．13、求下列函数的导数：（1）()f x =（2）223()x x f x e-++=；（3）1ln1xy x+=-，11x -<<． 14、已知x x x f 22sin 1cos )(+= ，求()4f π'．1、（09广东文）函数的单调递增区间是（ ）A ．B ．(0,3)C ．(1,4)D ．2、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）3、若函数32()6f x x ax x =--+在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．1a =C ．1a ≤D ．01a <<4、函数3()f x ax x =-在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是______________． 5、求函数2()2ln f x x x =-的单调区间． 6、（09北京理）设函数．xe x xf )3()(-=)2,(-∞),2(+∞()(0)kxf x xe k =≠AB C D（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围．7、函数xxy142+=的单调递增区间是（）A．),0(+∞B．),21(+∞C．)1,(--∞D．)21,(--∞8、若函数123+++=mxxxy是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．),31(+∞B．]31,(-∞C．),31[+∞D．)31,(-∞9．函数221ln)(xxxf-=的图象大致是（）10、如果函数()y f x=的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数()y f x=在区间1(3,)2--内单调递增；②函数()y f x=在区间1(,3)2-内单调递减；③函数()y f x=在区间(4,5)内单调递增；④当2x=时，函数()y f x=有极小值；⑤当12x=-时，函数()y f x=有极大值.则上述判断中正确的是____________．11、已知函数32()f x x ax bx c=+++，()124g x x=-，若(1)0f-=，且()f x的图象在点(1,(1))f处的切线方程为()y g x=．（1）求实数a，b，c的值；（2）求函数的单调区间12、已知函数21()ln(4)2f x x x a x=++-在(1,)+∞上是增函数，求实数a的取值范围．13、已知函数xaxxf ln1)(-+=（Ra∈），()f x的单调区间．()y f x=(0,(0))f()f x()f x(1,1)-k)()()(xgxfxh-=1．C 2．B 3．C 4．4；44y x =- 5．12- 6．5；23-；－1 7．210.5；2101．C 2．C 3．B 4．2y x =-+ 5．83 6．111()ln 33ln3x x +；31221()2x x ---+ ；sin cos x x -- 7．43y x =-；(422)(422)y x =+-+或(422)(422)y x =--- 8．A 9．B 10．D 11．0或 1 12．－313．212x-；223(22)x x x e -++-+；221x - 14．89-1．D 2．D 3．A 4．0a ≤ 5．增区间1(,2)+∞，减区间1(0,)26．y x =；0k >时，增区间()1,k -+∞，减区间(1,)k-∞-0k <时，增区间(1,)k -∞-，减区间()1,k-+∞；[1,0)(0,1]-U7．B 8．C 9．B 10．③ 11．3,3,1a b c ===；增区间(,3)-∞-和(1,)+∞，减区间(3,1)- 12．2a ≥ 13．0a ≤时，增区间为(0,)+∞0a >时，在22(0,221)a a a ++上减，在22(221,)a a a ++∞+。
高中数学导数概念的引入
一．导数概念的引入1. 导数的物理意义：瞬时速率。
一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆2. 导数的几何意义: 当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即000()()lim()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3. 导函数二．导数的计算1. 基本初等函数的导数公式2. 导数的运算法则3. 复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.四.生活中的优化问题1、已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点,1(1)x y ∆++∆，则yx∆∆等于（ ）A ．4 B ．4x ∆ C ．42x +∆ D ．242x +∆ 2、如果质点M 按规律23S t =+运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度为（ ）A ．4B ．4.1C ．0.41D ．33、如果质点A 按规律32S t =运动，则在3t =秒的瞬时速度为（ ）A ．6B ．18C ．54D ．814、曲线1y x =-在点1(,2)2-处的切线斜率为_________，切线方程为__________________． 5、已知函数2()2f x ax =+，若(1)1f '-=，则a =__________．6、计算：（1）()57f x x =+，求(3)f '；（2）22()23f x x =-，求1()2f '-； （3）11y x =+，求0|x y =' 7、在自行车比赛中，运动员的位移与比赛时间t 存在函数关系2105S t t =+，（S 的单位：m ，t 的单位：s ），求：（1）0120,.t t ∆==时的S t∆∆； （2）求20t =的速度．1、函数y =）A ．315xB ．325x C ．1545x - D ．1545x --2、曲线212y x =在点1(1,)2处切线的倾斜角为（ ）A ．1B ．4π-C ．4πD ．54π3、已知曲线222y x x =+-在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是（ ）A ．(1,3)-B ．(1,3)--C ．(2,3)--D ．(2,3)-4、（2009全国卷Ⅱ理）曲线在点(1,1)处的切线方程为____________________．5、曲线3y x =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形面积为__________．6、求下列函数的导数：（1）31()log 3x y x =+；（2）(1y =-+；（3）cos2sin cos x y x x =+．21xy x =-7、已知2()21f x x =-．（1）求()f x 在点(1,1)处的切线方程；（2）求过点(1,0)的切线方程． 8、函数32(2)y x =+的导数是（ ）A ．52612x x +B ．342x +C ．332(2)x + D ．32(2)3x x +⋅9、已知1sin 2sin 2y x x =+，那么y '是（ ） A ．仅有最小值的奇函数 B ．既有最大值又有最小值的偶函数 C ．仅有最大值的偶函数 D ．非奇非偶函数 10、曲线12x y e=在点2(4,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．292e B ．24eC ．22eD ．2e 11、已知2()ln(1)f x x x =++，若()1f a '=，则实数a 的值为__________．12、sin3y x =在(,0)3π处的切线斜率为__________________．13、求下列函数的导数：（1）()f x =（2）223()xx f x e -++=；（3）1ln1xy x+=-，11x -<<． 14、已知x x x f 22sin 1cos )(+= ，求()4f π'．1、（09广东文）函数的单调递增区间是（ ）A ．B ．(0,3)C ．(1,4)D ．2、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）3、若函数32()6f x x ax x =--+在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1a ≥B ．1a =C ．1a ≤D ．01a <<4、函数3()f x ax x =-在R 上为减函数，则实数a 的取值范围是______________． 5、求函数2()2ln f x x x =-的单调区间．xe x xf )3()(-=)2,(-∞),2(+∞AB C D6、（09北京理）设函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围．7、函数xxy142+=的单调递增区间是（）A．),0(+∞B．),21(+∞C．)1,(--∞D．)21,(--∞8、若函数123+++=mxxxy是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．),31(+∞B．]31,(-∞C．),31[+∞D．)31,(-∞9．函数221ln)(xxxf-=的图象大致是（）10、如果函数()y f x=的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：①函数()y f x=在区间1(3,)2--内单调递增；②函数()y f x=在区间1(,3)2-内单调递减；③函数()y f x=在区间(4,5)内单调递增；④当2x=时，函数()y f x=有极小值；⑤当12x=-时，函数()y f x=有极大值.则上述判断中正确的是____________．11、已知函数32()f x x ax bx c=+++，()124g x x=-，若(1)0f-=，且()f x的图象在点(1,(1))f处的切线方程为()y g x=．（1）求实数a，b，c的值；（2）求函数的单调区间12、已知函数21()ln(4)2f x x x a x=++-在(1,)+∞上是增函数，求实数a的取值范围．()(0)kxf x xe k=≠()y f x=(0,(0))f()f x()f x(1,1)-k)()()(xgxfxh-=13、已知函数x a x x f ln 1)(-+=（R a ∈），()f x 的单调区间．1．C 2．B 3．C 4．4；44y x =- 5．12- 6．5；23-；－1 7．210.5；2101．C 2．C 3．B 4．2y x =-+ 5．83 6．111()ln 3ln3x x +；31221()2x x ---+ ；sin cos x x -- 7．43y x =-；(4(4y x =+-+或(4(4y x =--- 8．A 9．B 10．D 11．0或 1 12．－313；223(22)x x x e -++-+；221x - 14．89-1．D 2．D 3．A 4．0a ≤ 5．增区间1(,2)+∞，减区间1(0,)26．y x =；0k >时，增区间()1,k -+∞，减区间(1,)k-∞-0k <时，增区间(1,)k -∞-，减区间()1,k-+∞；[1,0)(0,1]-7．B 8．C 9．B 10．③ 11．3,3,1a b c ===；增区间(,3)-∞-和(1,)+∞，减区间(3,1)- 12．2a ≥ 13．0a ≤时，增区间为(0,)+∞0a >时，在2(0,22a +上减，在2(22)a +∞+仰望天空时，什么都比你高，你会自卑; 俯视大地时，什么都比你低，你会自负; 只有放宽视野，把天空和大地尽收眼底， 才能在苍穹泛土之间找准你真正的位置。
导数的概念教案
导数的概念教案导数的概念教案在高中数学中，导数是一个重要的概念，它是微积分的基础之一。
导数的概念不仅仅是一个数学概念，更是一种思维方式的培养。
在这篇文章中，我们将探讨导数的概念以及如何教授导数这一主题。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数的瞬时速度。
那么如何准确地定义导数呢？我们可以通过极限的概念来定义导数。
设函数f(x)在点x0处有定义，如果极限lim（h→0）[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，那么这个极限就是函数f(x)在点x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数的定义可以通过几何直观地理解。
在函数图像上，导数可以表示为函数曲线在某一点处的切线斜率。
导数越大，切线越陡峭，函数曲线变化越快；导数越小，切线越平缓，函数曲线变化越慢。
二、导数的计算导数的计算是导数概念的实际运用，也是学生们在学习导数时需要掌握的重要技巧。
对于常见的函数，我们可以通过一些基本的导数公式来计算导数。
例如，对于幂函数f(x)=x^n，其中n是一个实数，导数公式为：f'(x)=n*x^(n-1)这个公式是通过极限的定义推导出来的，可以通过数学推理进行证明。
除了基本的导数公式，还可以通过导数的四则运算规则来计算复杂函数的导数。
例如，对于两个函数f(x)和g(x)，它们的和、差、积和商的导数可以通过以下公式计算：（f+g）'(x)=f'(x)+g'(x)（f-g）'(x)=f'(x)-g'(x)（f*g）'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)（f/g）'(x)=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/g^2(x)这些导数的计算公式可以帮助学生们更方便地计算导数，提高他们在解题中的效率。
三、导数的应用导数不仅仅是一个数学概念，还有许多实际的应用。
在物理学、经济学、工程学等领域，导数都有着广泛的应用。
导数的概念思政教学设计
导数的概念思政教学设计一、引言随着社会的发展和教育的变革，思政教育被赋予了更为重要的使命，旨在培养学生的综合素质和思维能力。
作为数学中的重要概念，导数的教学在思政课堂中也应该被充分重视。
导数作为一种数学工具，不仅能培养学生的逻辑思维能力，还能开发学生的创新思维和实践能力。
本文将就导数的概念在思政教学中的设计进行详细的阐述。
二、导数的概念及其重要性导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在某一点上的变化趋势。
它是数学和物理学等科学领域中的基本工具之一，广泛应用于各个领域。
导数的概念也是思政教育中引入数学知识的重要切入点。
通过学习导数的概念，学生可以培养其逻辑思维能力和创新思维能力，使其在思政教育中能够更好地理解和应用抽象概念。
三、导数概念的思政教学设计1. 知识导入为了激发学生的学习兴趣和思考能力，可以通过提问的方式导入导数的概念，例如：“在我们日常生活中，我们经常听到‘快速增长’或‘变化急剧’这样的形容词，那么这是什么意思呢？在数学中，我们有没有一种方法来描述这种变化呢？”通过这样的提问引导，让学生思考变化的表达方式，进而引入导数的概念。
2. 导数的定义及其意义在基础知识的讲解中，介绍导数的定义及其意义。
可以使用简明扼要的语言解释导数的定义：“导数是描述函数变化速率的工具，它表示函数在某一点上的瞬时变化率。
”然后举例说明导数的意义，例如：“假设有一辆汽车在某时刻的速度是10m/s，那么这个时刻汽车的位置变化多少？”通过这样的例子，可以让学生直观地理解导数的概念及其意义。
3. 导数的计算方法介绍导数的计算方法是导数概念的重要环节。
在导数计算方法的讲解中，可以引入一些简单的函数，例如线性函数、幂函数、指数函数等，并详细介绍相应的导数计算方法。
在讲解中要注意引导学生掌握计算方法的步骤和技巧，以及解决问题的思路。
通过大量的例题训练和实际应用，让学生掌握导数计算方法。
4. 导数的应用导数在思政教育中的应用是导数概念设计中不可缺少的一环。
导数概念的引入方式探索
导数概念的引入方式探索在数学学习中，导数是一个重要的概念，它是微积分的重要组成部分。
导数的概念是在函数的基础上引入的，是描述函数局部变化率的工具。
导数的引入方式是微积分教学中的一个重要问题。
本文将从历史发展、图形、实例等角度探讨导数概念的引入方式。
一、历史发展导数的概念的历史可以追溯到17世纪，当时欧洲的数学家们开始研究曲线的斜率问题。
在这个问题上，牛顿和莱布尼茨是最早提出导数概念的数学家。
牛顿的导数概念是通过极限的概念引入的，而莱布尼茨则是通过微分的概念引入的。
在历史上，导数的引入方式有很多种，但最终形成的是基于极限的概念。
极限的概念是微积分的基础，是导数、积分等概念的定义所依赖的。
因此，极限的概念是导数概念引入的基础。
二、图形在导数概念的引入中，图形是一个重要的工具。
通过图形可以直观地理解导数的概念。
在图形上，导数的概念可以通过斜率的概念来引入。
斜率是曲线在某一点处的切线的斜率，它描述的是曲线在这一点处的变化率。
通过图形可以很好地理解导数的概念。
对于一条曲线f(x)，在某一点x处的导数可以理解为曲线在这一点处的切线的斜率。
这个斜率可以通过在这一点处画出切线来直观地理解。
切线的斜率越大，说明曲线在这一点处的变化率越大，反之亦然。
三、实例在导数概念的引入中，实例也是一个重要的工具。
通过实例可以更好地理解导数的概念。
下面我们通过几个实例来说明导数的概念。
实例1：一条直线的导数对于一条直线f(x)=ax+b，它在任意一点的导数都是常数a。
这个结论可以通过斜率的概念来理解。
对于一条直线来说，它在任意一点的斜率都是常数a，因此它在任意一点的导数也是常数a。
实例2：一条抛物线的导数对于一条抛物线f(x)=ax^2+bx+c，它在任意一点的导数都是2ax+b。
这个结论可以通过斜率的概念来理解。
对于一条抛物线来说，它在任意一点的切线的斜率都是2ax+b，因此它在任意一点的导数也是2ax+b。
实例3：一条正弦曲线的导数对于一条正弦曲线f(x)=sin(x)，它在任意一点的导数都是cos(x)。
导数概念教学设计
导数概念教学设计导数是高中数学中的重要内容，它是微积分的基础知识，对于学生理解函数的变化趋势以及解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍一种导数概念的教学设计，以帮助学生更好地理解导数的概念和计算方法。
一、导数的引入导数的概念可以通过引入平均变化率来帮助学生理解。
可以选取一个实际问题，例如小球自由下落过程中的高度变化，引导学生思考高度的变化率。
通过探究变化率的概念，引入导数的概念，并强调导数表示函数在某一点的变化率。
二、导数的定义与计算1. 导数的定义在引入导数的概念后，可以正式给出导数的定义。
导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率，也可以表示为函数曲线在该点的切线斜率。
引导学生理解导数定义的含义，并与平均变化率进行对比，加深对导数的理解。
2. 导数的计算通过给出常见函数的导数计算公式，例如幂函数、指数函数和三角函数等，教师可以引导学生掌握导数的计算方法。
在计算过程中，可以通过展示详细的推导过程，帮助学生理解导数的具体计算方法。
三、导数的性质1. 导数的可加性教师可以引导学生通过具体的例子来探究导数的可加性。
例如，对于两个函数的和的导数，导数的求和是否等于两个函数导数的和。
通过分析具体函数的导数计算过程，学生可以发现导数的可加性。
2. 导数的乘法法则和链式法则在教学中，可以针对具有特定形式的函数，如乘积函数和复合函数，引导学生掌握导数的乘法法则和链式法则。
通过拆解函数的结构，学生能够理解导数计算过程中的各个步骤，并能够分析复杂函数的导数计算。
四、应用于实际问题1. 函数图像与导数引导学生通过计算函数的导数来分析函数的变化趋势。
以常见的一次函数和二次函数为例，通过计算导数并绘制函数图像，学生可以通过导数来判断函数的增减性和极值点等，并与实际问题联系起来。
2. 最优化问题通过引入最优化问题，如求函数的最大值和最小值等，学生能够将导数应用于实际问题中。
教师可以给出具体的实际问题，引导学生建立相关的数学模型，并通过求导的方法解决问题，培养学生的问题解决能力。
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为了引入导数的概念, 我们在教学中引入了一个数学模型，原题目为：一个受污染的湖泊，为了使湖水能在一定时间内恢复到指定的洁净程度，要对排入该湖的河水进行治理，问排入的河水的污染物浓度要控制在什么范围。
1.问题的简化：一个容积为C的容器，内有浓度为a% 的溶液，有一个进水口和一个出水口，现以D单位每小时的速度由进水口注入浓度为b% 的溶液，同时容器内溶液以同样速度流出，问容器内的溶液浓度的变化率。
2.模型的建立：首先考虑流入的为清水的情况，并认为容器内的溶液浓度始终是均匀的，那么流出的溶液浓度就是容器内溶液的浓度。
在这样的假设条件下，容器内的溶液浓度变化全部是由溶质的流失引起，那么有：
浓度变化率= 溶质变化量/(溶液总量×变化时间)
= 流速×时间×浓度/(溶液总量×变化时间)
3.模型的优化：如果考虑到流入的不是清水，则只需要将溶质变化量改为流入溶质减去流出溶质即可。
但在上面的讨论中，有一个问题被忽略掉了，那就是浓度，要知道它不是固定不变的，而是随时间的变化而变化的。
这时可以引导学生这样想，若取时间为一个小时，浓度变化显然太大，那么我们考虑一分钟，在一分钟内浓度变化不太大，我们把浓度看作常数来计算误差不会太大，可是一分钟内溶液浓度还是有变化的，要得到更加精确的结果就要把时间进一步缩短，如1s、0.1s，那么所得的结果就会越来越精确。
这时让学生考虑，如果要得到精确结果应该怎么办。
这时学生自然而然地会想到应该把时间无限的缩短，即取时间趋于零的极限情况。
由学生自己发明出来的这个极限公式，并结合其他简单例子，抓住他们的共性，我们就可以引出函数导数的概念。
这样引入概念，学生有兴趣、有成就感，理解更透彻，掌握更牢固。
进入21世纪，我国高新技术的迅猛发展和产业的不断升级向高等教育提出了新的要求，一些普通本科院校为适应社会需求，积极开展应用型本科教育，培养应用型本科人才，即：既具备全面的知识、能力和综合素质，又能面向生产、建设、管理、服务第一线的高级应用型专门人才。
为实现这一目标，依照应用型本科教育的人才培养模式，对教学工作进行相应的改革是当前这些高校最重要的任务，而作为这类院校重要基础课的数学教学的改革，更是重中之重。
孔繁敏教授这样归纳应用型本科教育的人才培养模式：“以知识为基础、以能力为重点、以服务为宗旨，注重知识、能力、素质协调发展，学习、实践和职业技术能力相结合。
”数学教学要适应这一模式，把数学建模思想融入其中不失为一个正确的选择。
的数学逻辑顺序
“数学建模的灵魂”，就是指“以实际问题解决为目标”把“数学知识、方法”与“实际问题解决”紧密联系起来的一种思想：一方面，实际问题往往直接不好解决，通过建立模型转化为数学问题之后则可以利用一些现成的数学知识和方法来解决；另一方面，要知道所有数学知识和方法实际上又都是来源于实际问题，是人们为了解决实际问题而发明出来的，著名数学家Hollmos就曾说过：“真正构成数学的是问题和问题的解决”。
在教学中采用这种策略
由此，将数学建模思想融入高等数学课程的内涵也应包含两个方面：首先，为了重点培养学生分析解决问题的能力，在数学教学中应大力培养学生把实际问题转化成数学问题的意识和的能力，即数学应用能力，这一点非常重要；其次，由于对数学问题的计算和分析要求学生掌握相关的数学知识，而单纯的数学知识往往比较抽象，对于数学课时较少的理工科学生来说，着实不易接受，这就需要在教学中把它转化成学生感兴趣的实际问题——通过实际背景帮助学生理解。
总之，将数学建模思想融入数学教学就是要让学生在学知识中学会应用，在应用中学会知识，促进学生的知识、能力和素质的协调发展。
曾在我院大一学生中做过这样一项调查，问：“数学有用吗？”回答“有用”的占30%，回答“没用”的占20%，回答“不知道”的占50%，而问到：“你喜欢学数学吗？”在认为数学没用和不知道是否有用的学生中回答“喜欢”的只占到10%，在认为数学有用的学生中回答“喜欢”的也只占到50%，这说明，大部分学生从数学课上看不到数学的实用性从而不喜欢数学，也有很多学生虽然知道数学有用，但是却不能从数学课上找到兴趣。
针对这种现象，我们尝试“面向问题”式教学模式：从学生感兴趣的实际问题出发自然而然地引入概念和方法，让抽象的概念在解决问题的过程中重新被发明出来，并且用来解决适当的应用问题，让知识的引入如同“随风潜入夜”，知识的应用如“润物细无声”。
例如，高等数学中定积分的概念，初看起来很抽象，但在他的形成过程中，有大量的具体原形作基础，如求曲边梯形的面积、旋转体的体积、变速运动做功等，均可通过“分割”、“近似代替”、“求和”、“取极限”利用“以直代曲、以不变代变”的数学思想，化为项和的极限，在忽略其实际意义的情况下，抓住其数学本质，归纳、抽象出定积分的概念，将该模型类比推广到积分区域为平面、空间区域、空间曲线、空间曲面就分别得到了二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分概念，对其相应的应用，如不规则图形的面积、体积、弧长、重心、转动惯盆等实际问题就很容易的解决了。
再如高等数学中的极限、导数、级数等概念也都有丰富的实际背景，就连指数函数的概念也可以通过如下的例子引入：
例下表是某城人口的数据表[1 ] , 试讨论该城的人口增长情况.
从第三列知，人口呈非线性增长，如果将每年的人口除以上一年的人口，将发现人口总数每年以大约1.026的比例增长，用t表示自1980 年以来的年数，则t年后人口P(t)为P(t)=67.38 (1.026)t t称此函数为以1.026 为底的指数函数，该模型可以预测各年的人口数，例如，P(27)≈134.76 百万，即再过27年(2007年) ，人口将翻一倍，最后给出指数函数的一般定义。
除了很多概念可以通过具体模型引入之外，很多公式也都可以通过实例被再发明出来，比如，可以利用匀速圆周运动模型来得出sinx的导数公式及重要极限sinx/x→1，利用直接计算双曲线下方的面积来得出（lnx）'=1/x，得出重要极限e等等。
总之，“面向问题式”教学模式就是从问题出发，在解决问题的过程中让学生把那些概念、公式“发明”出来。
学生“发明”这些知识的过程也是解决问题的过程，从而既锻炼了解决问题的能力又学会了新知识，相辅相成、一举两得。
而且对于学生来说，由于经常经历发明的过程和发明的训练，以后大有可能“弄假成真”，为人类做出真正的发明创造，这
些都是应用型本科人才所应具备的基本能力。
（二）采用“从特殊到一般”的方式对定理证明进行“粗”处理
总课时不变，加强应用就意味着削弱理论，针对一些定理意义深刻但证明过程复杂的问题，我们通常舍弃复杂的证明，选取一个简单的实例，把定理的条件、结论看做这个实际问题的数学模型，由实际问题的结果得到一般的结论，比如辛钦大数定律，定理的条件是一
个独立同分布的随机变量序列 ，
，21ξξ，满足a E i =ξ，我们可以举这样一个实例：要估计某地区小麦的平均亩产量，只要收割一部分有代表性的地块儿，计算他们的平均亩产量∑=n i i n 1
1ξ，这个平均亩产量当n 很大时就可以作为全地区的平均亩产量，即亩产量的期望值a 的近似，根据这一实际问题得到定理一般的结论。
这种对定理证明进行“从特殊到一般”的“粗”处理方式省时又直观，不但让学生轻松理解定理而且兼顾到定理的应用，对于应用型本科院校的学生来说，确实能起到事半功倍的效果。
解决问题的能力只有在不断地解决问题的过程中才能得到发展，我们不但要在课堂上要引导学生去解决实际问题，在课后习题中也应增加与所学知识相关的简单实际应用题的比例，这些问题没有现成的答案、没有固定的方法、没有指定的参考书、没有规定的数学工具，但可以让学生以小组为单位共同完成作业，相互切磋、分工协作，让学生亲身经历建立模型、解决问题的全过程，这样不仅能督促学生自主学习，还能增强他们的数学实践能力和团队协作精神，同时还巩固了所学知识。
泰勒公式是高等数学中的重点和难点，讲授这部分内容时，我们首先让学生用数学软件 画出函数f (x ) = e 2x 和g (x ) = 1+2x+2x 2在x = 0 附近的图象，学生会发现在x=0附近这两个函数的图像很接近，而这两个函数一个是多项式函数运算简单，另一个是指数函数运算较复杂，从而引出问题，能否用简单函数来近似复杂函数？接着进一步让学生分析两个函数在x=0点的函数值及各阶导数，学生会得出结论，两个函数在x=0的函数值和各阶导数都是相等的，从而引出函数的泰勒展开式的概念，并且还可以让学生继续画出函数与其各次近似多项式的图像，分析图像接近程度与多项式次数的关系。
学生会发现在x = 0 附近这两个函数的图象很接近. 而这两个函数一个运算简单, 另一 个较复杂.引出问题, 能否用简单函数近似复杂函数? 进一步让学生分析两个函数在x = 0
点的函数值及各阶导数. 还可以让学生画图理解函数与其近似多项式的接近程度. 例如,
在一个坐标系下画y = sinx 和其三次、五次、九次近似多项式的图象.
从图中看出, 函数y = sinx 与其近似多项式的关系: 近似多项式的次数越高, 接近的越 好.
通过画图, 抽象的数学概念变得直观易懂, 激发学生的创造积极性. 一些复杂的计算,
使用数学软件, 变得迎刃而解, 这样的训练内容就可以有所减少, 而更好的注意理解概念, 有
时间训练解决实际问题的能力. 这一问题, 实际上涉及教学计划的重新安排和重点的重新
分配, 也反映了实验的作用. 另外, 数学软件和实验不能只停留在引入概念和方法, 不应只
作为过去直观教具的发展, 而应真正贯彻M acL ane 所说的全过程, 给学生想、做、试的条件.
实践证明, 在教学中体现数学建模的思想, 注重培养学生解决实际问题的能力, 是数学。