刘次华随机过程C1

(3)对于Rn的区域(a1,b1;a2,b2;;an,bn)，
其中ai

bi
(i
=
1, 2, n
,
n)
,
F(b1, b2 , , bn)- F (b1, b2,, bi1, ai , bi1,, bn )
i 1
n
+ F (b1, b2 ,, bi1, ai , bi1,, bj1, a j , bj1,, bn )
正，正反}，{正正，正反，反反}， {正正，正
反，反正} ，{正正，正反，反正，反反}} F4 ={，{正反}， {正正，反正，反反} ， } Fi为-代数，（，Fi）为可测空间
F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}，
{正正，正反}，{正正，反正}，{正正， 反反}，{正反，反正}，{正反，反反}， {反正，反反}，{正正，正反，反正}， {正正，正反，反反}，{正正，反正，反 反}，{正反，反正，反反}，{正正，正
1.1 概率空间
• 概率空间的性质
设(, F,P)为概率空间，则
（4） P（）= 0
（5）P（B\A）= P(B) -P(A) , (AB)
（6）
P An , A1 A2 An
lim
n
P( An )

P
n1
n1
An
回的接连取出两个球。求第二次取出红球的 概率。
• 解：设A1表示第一次取出红球，A2表示第一 次取出白球，B表示第二次取出红球。那么
• P（B）=P（BA1）+ P（BA2）
3/5
•
= P（B|A1）P(A1)+ P（B|A2）P(A2)
•
=1/4*2/5+2/4*3/5
2/4
•
=2/5
1/4
2/5
1.2 随机变量及其分布
(2)二项分布
P(X=k)= Cnk pkqnk ， 0 <p<1, p+q=1, k=0,1,2,,n
(3)泊松分布
P(X=k)=
k
k!
e ，>0，k=0,1,2,

(4)几何分布
P(X=k)= pqk1 ，
0 <p<1, p+q=1, k=1,2,
1.2 随机变量及其分布
i, j1
++(-1)n F(a1, a2 , , an)0
1.2 随机变量及其分布
对于n=2 F(b1, b2) - F(a1, b2) - F(b1, a2) + F(a1, a2) 0
y
b2 a2
x
a1
b1
1.2 随机变量及其分布
对于n=3 F(b1, b2, b3) - F(a1, b2, b3) - F(b1, a2, b3) - F(b1, b2, a3) + F(a1, a2, b3) +F(a1, b2, a3) + F(b1, a2, a3) -F(a1, a2, a3) 0
参考教材
随机过程（第四版）
刘次华 编著
华中科技大学出版社
第一章 概率论基础
引例 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每 次射击时击中目标的概率为 0.6 , 求击中3次的概 率.
X表示击中目标的次数.
X 01
2
3
4
5
pk (0.4)5 50.6 0.44 50.62 0.43 50.63 0.42 50.64 0.4 0.65
1.1 概率空间
• 定义1.2概率空间：设（，F）为可测
空间,
映射P：F R，A|P（A）满足
(1)任意AF， 0 P（A） 1
(2) P（）= 1
A (3)
P i1
i i1 P( Ai ), ( Ai
Aj , i j)
称P是(, F)上的概率， (, F,P)为概率 空间， P(A)为事件A的概率。
{正正，正反，反正，反反}} 为可测空间，
（ ， F ）为-代数 P{}=0，P{正正}=P{正反}= P{反正}=P{反反}=
1/4…，P{}=1， (, F,P)为概率空间
映射X： R，X(正正)=2， X(正反)= X(反正)= 1，
X(反反)=0 （1）x<0，{e: X(e)x}= F （2）0 x<1，{e: X(e)x}= {反反} F （3）1 x<2 ，{e: X(e)x}= {正反,反正,反反} F （4）x ≥2，{e: X(e)x}= {正正，正反,反正,反反} F X为随机变量
F为-代数，（， F ）为可测空间
1.1 概率空间
例：连续投掷两次硬币试验 ={正正，正反，反正，反反}
1.1 概率空间
F1 ={，{正正}， {正反，反正，反反}， } F2 ={，{正正}，{正反}，{正正，正反}， {反
正，反反}，{正反，反正，反反}， {正正，反
正，反反} ，{正正，正反，反正，反反}} F3 ={，{反正}，{反反}， {反正，反反}， {正
布密度 (4) 独立性
• n维随机变量及其概率分布
1.2 随机变量及其分布
定义1.5 设(, F,P)为概率空间，
X=X(e)=(X1(e), X2(e),, Xn(e))是定义在 上的n维空间Rn中取值的向量函数,如果对 任意的x=(x1, x2, , xn)Rn， {e:X1(e)x1, X2(e)x2, ,Xn(e)xn} F， 则称X(e)是F上的n维随机变量，简记为
独立事件
1.1 概率空间
• 设(, F,P)为概率空间，F1 F，若对任 意A1, A2, , An F1 ，n=2 ,3,，有
P n Ai n P( Ai ) i1 i1
则称F1为独立事件族,或称F1中的事件相 互独立。
事件A, B独立，有 P(AB)=P(A)P(B)
分布函数为
1.2 随机变量及其分布
P() 0, x 0
F ( x)

P{e
:
X
(e)

x}

PP{{反正反反}，反14 ,正0 ，x反反1 }

3 4
，1
x

2
P{正正，正反，反正，反反} 1，x 2
即
0, x 0
F ( x)

P{X

x}

1
2
3
4
一维随机变量
密度函数 分布函数
分布律
连续型 随机变量
随机变量
离散型 随机变量
均指正 匀数态 分分分 布布布
随机变量 定
的数字特
征
义
数学期望 方 差
两 二泊 点 项松 分 分分 布 布布
二维随机变量
二
推广
维
定义
随
机
联合分 布函数
变
随机变量 的相互独立性
联合分布律 联合概率密度
反，反正，反反}} 为可测空间，（ ，
F ）为-代数
• 可测空间的性质
1.1 概率空间
设（，F ）为可测空间,则
（4）F （不可能事件）
（5）若A,B F,则A\B F （差事件）
n
n

（6）若Ai F,则 Ai , Ai , Ai F
i 1
i 1
i 1
（有限并，有限交，可列交事件）
1.2 随机变量及其分布
• n维联合分布函数F(x1, x2, , xn)的性质 (1) 对于每个变元xi (i=1, 2, , n) ，
F(x1, x2, , xn)是非降函数 (2)对于每个变元xi (i=1, 2, , n) ，
F(x1, x2, , xn)是右连续的
1.2 随机变量及其分布
这三个性质完全刻划了分布函数
1.2 随机变量及其分布
• 随机变量：离散型，连续型 • 离散型随机变量X的概率分布用分布律
（列）描述：P(X=xk)=pk，k=1,2,
分布函பைடு நூலகம் F (x) pk xk x
• 常见离散型随机变量X及其分布律 (1)0-1分布
P(X=1)=p，P(X=0)=q，0<p<1，p+q=1
布密度 (4) 独立性
1.2 随机变量及其分布
• n维离散型随机变量X=(X1, X2, , Xn)
Xi都是离散型随机变量 (i=1, 2, , n)
X=(X1, X2, , Xn)的联合分布律为
P(X1=x1, X2=x2, , Xn=xn)= px1,,xn
其中xi Ii是离散集，i= 1, 2, , n
集合的某些子集组成集合族F
（1）F （必然事件）
（2）若AF, 则\AF （对立事件）

（3）若AiF,i=1,2…，则 AiF （可
列并事件）
i 1
称F为-代数，（， F ）为可测空间
例 投掷一次骰子试验，ei表示出现i点， ={e1,e2,e3,e4,e5,e6} F ={，{e1,e2,e3}，{e4,e5,e6}， }
X =(X1, X2,, Xn)。
1.2 随机变量及其分布
对x =(x1, x2, , xn) Rn，称
F(x)= F(x1, x2, , xn) =P{e:X1(e) x1, X2(e) x2, , Xn(e)xn} 为n维随机变量X=(X1, X2, , Xn)的联合
分布函数
则称X(e)是F上的随机变量，简记X。 对xR，称F(x)=P{e:X(e)x}为随机变量 X的分布函数。
1.2 随机变量及其分布
例 投掷两枚硬币试验，={正正，正反，反正， 反反}
F={，{正正}，{正反}，{反正}，{反反}， {正
正，正反}，{正正，反正}，{正正，反反}， {正反，反正}，{正反，反反}，{反正，反反}， {正正，正反，反正}，{正正，正反，反反}， {正正，反正，反反}，{正反，反正，反反}，
X=(X1, X2, , Xn)的联合分布函数为
• 连续型随机变量X的概率分布用概率密 度函数f(x)描述
分布函数
x
F (x) f (t)dt
• 常见连续型随机变量X及其概率密度
(1)均匀分布
f
(
x)


b
1
a
,
a

x

b
0 , 其它
1.2 随机变量及其分布
(2)正态分布
f (x)
1
( x )2
e 2 2
2
(3)指数分布
ex , x 0
f (x) 0 , x 0
0
1.2 随机变量及其分布
n维随机变量及其概率分布
(1) n维随机变量及其分布的定义 (2) n维离散型随机变量和连续性随机变量 ----联合分布列和联合分布密度 (3) 边缘分布 ----边缘分布函数，边缘分布列，边缘分
条件分布
量
定性
义质
边缘分布
两个随机变量的函数的分布
1.1 概率空间
随机试验：可重复、可预见、不确定 样本空间：随机试验所有可能结果的集合 样本点：基本事件 e 事件：A 必然事件： 不可能事件： 事件运算：并、交、差、（上、下）极限
1.1 概率空间
定义1.1 -代数(事件域)
1.1 概率空间
事件A, B, C相互独立，有 P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
1.2 随机变量及其分布
• 定义1.4 设(, F,P)为概率空间，
映射X： R，e X（e）满足
任意xR，{e:X(e)x} F，
1 4
3
4
,0 x 1 ,1 x 2
1，x 2
1.2 随机变量及其分布
• 分布函数的性质：
（1）单调性：若x1<x2，则F(x1)F(x2)
（2）F () lim F (x) 0，F () lim F (x) 1
x
x
（3）F(x)右连续， F(x+0) = F(x)
,
A1
A2


An
乘法公式和全概率公式
• 乘法公式: P(AB)=P(B|A) P(A)
• 全概率公式： P(B)= P(BA1)+ P(BA2)+…
=P(B|A1) P(A1)+ P(B|A2) P(A2)+…
其中A1，A2…为完备事件族
• 练习：袋中有2个红球，3个白球，从中不放
1.2 随机变量及其分布
(4)
lim
xi
F
( x1,
x2 ,,
xi
,,
xn )

0,
i

1,2,,
n
lim
x1
F
(
x1,
x2
,,
xn
)

1
x2
xn
1.2 随机变量及其分布
n维随机变量及其概率分布
(1) n维随机变量及其分布的定义 (2) n维离散型随机变量和连续性随机变量 ----联合分布列和联合分布密度 (3) 边缘分布 ----边缘分布函数，边缘分布列，边缘分