微分方程建模实例

常微分方程在数学建模中的应用

这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型

由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.

例1（马尔萨斯（Malthus）模型）英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100 多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789 年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型. 解设时刻t 的人口为N (t ) ,把N (t ) 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t + ∆t时间段内,人口的增长量为

N (t + ∆t ) − N (t ) = rN (t )∆t ,

并设t = t 0 时刻的人口为N 0 ,于是

dN = rN， dt N (t 0 ) = N 0．

这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为

N (t ) = N 0 e r (t −t0 ) ,

此式表明人口以指数规律随时间无限增长. 模型检验：据估计1961 年地球上的人口总数为3.06 × 10 ,而在以后7 年中,人口总数

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以每年2%的速度增长,这样t 0 = 1961 , N 0 = 3.06 × 10

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, r = 0.02 ,于是

N (t ) = 3.06 × 10 9 e 0.02(t −1961) .

这个公式非常准确地反映了在1700—1961 年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35 年翻一番,而上式断定34.6 年增加一倍（请读者证明这一点）．但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670 年,地球上将有36 000 亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上, 地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此, 这一模型应该修改. 例2（逻辑Logistic 模型）马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地

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球上的各种资源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,

这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改. 1838 年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数N m ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而N m 就越大）,并假设将增长率等于r 1 −

N (t ) ,即净增长率随着N (t ) 的增加而Nm

减小,当N (t ) → N m 时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型. 解由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为

dN N = r 1 − N N， dt 0 N (t ) = N ，0 0

上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,

N (t ) =

Nm

N 1 + m − 1 e −r (t −t0 ) N 0

.

下面,我们对模型作一简要分析. （1）当t → ∞ , N (t ) → N m ,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值N m ；（2）当0 < N < N m 时, 数；（3）由于

dN N = r 1 − N N > 0 ,这说明N (t ) 是时间t 的单调递增函 dt m

N d2N N 2 N d2N dN 1 − N ,所以当N < m 时, 2 > 0 , = r 2 1 −单增；2 N N 2 dt dt dt m m

当N >

Nm N d2N dN dN 时, <0, 单减,即人口增长率由增变减,在m 处最大,也就是说2 2 dt dt 2 dt

在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；（4）用该模型检验美国从1790 年到1950 年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930 年以前都非常吻合,自从1930 年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20 世纪60 年代美国的实际人口数已经突破了20 世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是N m 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, N m 的值也就越大；(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计, r = 0.029 ,又当人口总数

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为3.06 × 10 时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得

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1 dN N = r 1 − N , N dt m

即

3.06 × 10 9 0.02 = 0.029 1 − Nm

N m = 9.86 × 10 9 ,

,

从而得

即世界人口总数极限值近100 亿. 值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物