高三复习：数列不等式(解析版)

一对一辅导教案

学生姓名 性别 年级 高三 学科 数学 授课教师

上课时间 2020年 第（ ）次课

2小时

教学课题

数列的综合问题

【数列与不等式：放缩法】

【数列变相同项】求证：.

【裂项不等式-乘法缩小】求证：1+

213121222<++n

(n )+∈N 证明：)2(111)1(112≥--=-

n n n n

∴1+

21211131212111131212

22<-=--++-+-+<+++n n n n

【裂项不等式-移位套变】求证：

2

22211117123

4

n ++++

< 证明：

21111

(1)1n n n n n

<=--- 2

22221111111115117

1()().123

223

1424

n n n n ∴

++++

<++-++

-=+-<-

23

n +

<222()()1222435211

n n n n n +<++-+-++

-+---+142233n n +22()3557

2121n n n +

-+-++

--+

【多数相乘变等比】求证：.3

3

2

1

1

3

2

1

1

2

1

1

1

1

1<

⨯

⨯

⨯

⨯

+

+

⨯

⨯

+

⨯

+

+

n

证明：由,

2

1

2

2

2

1

1

3

2

1

1

1-

=

⋅

⋅

⋅

⋅

<

⨯

⨯

⨯

⨯k

k

（k是大于2的自然数）

得

n

⨯

⨯

⨯

⨯

+

+

⨯

⨯

+

⨯

+

+

3

2

1

1

3

2

1

1

2

1

1

1

1

1

.3

2

1

3

2

1

1

2

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

3

2

<

-

=

-

-

+

=

+

+

+

+

+

+

<

-

-n

n

n

【变形套用1】

【证明】

【变形套用2】

【变式1】已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1

2,n n n

a S n N a *+

=∈ （1）求证：数列{}

2

n S 是等差数列

（2）记数列3

12

1112,n n n n b S T b b b ==

+++

，证明：131

121n T n n

-<≤-+

解：（1）()11

11

222n n n n n n n n a S S S S n a S S --+

=⇒-+=≥- 11

1n n n n S S S S --∴

=+- 22

11n n S S -∴-=

{}2

n S ∴为等差数列

（2）思路：先利用（1）可求出n S 的公式进而求出2n b n n =，则11

2n b n n

=，考虑进行放缩求和，结合不等号的方向向裂项相消的形式进行放缩。 解：令1n =代入1

2n n n

a S a +

=可得： 1111

1

21a a a a +

=⇒=即11S = 由{}

2

n S 为等差数列可得：()2

2

11n S S n n =+-=

n -⎝n

- ⎝n

3,3

a = 3232325

3n a n n -⋅

=⋅⋅⋅--即2a ，由()14211n n S n a +=-+令1n =可得：

22231n n +---⎪ ⎪ ⎪⎢-⎭⎝⎭

⎝⎭ 1122

n =+-< ⎪⎝⎭ a b +

-33⋅=中，令1n =，a b +-