漫谈正项级数的收敛性及收敛速度

漫谈正项级数的收敛性及收敛速度

++++=∑∞

=n n n

a a a a

211

称为无穷级数。当0≥n a 时，此级数称为正项级数。记

n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。级数∑∞

=1

n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛

散性来定义。显然，级数∑∞=1

n n a 时，有0lim =∞

→n n a 。因此，0lim ≠→∞

n n a 时，必有级数∑∞

=1

n n a 发散。但是

0lim =∞

→n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞

=1

n n a 才收敛。可以证明：

几何级数∑∞

=1

n n q ，当1||

∞

=11

n p

n

，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。

由p -级数∑

∞

=1

1

n p

n 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞

=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。因而，无穷小n 1

是衡量级数∑∞

=1

n n

a 敛散性的一把“尺子”。可是，这把“尺子”有点粗糙了。事实上，尽管无穷小

n

n ln 1

趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。可以证明，级数∑∞

=1ln 1

n p

n

n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。于是，无穷小

n

n ln 1

是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1

时，级数∑∞

=1n n a 发散。可是，马

上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞

=1ln ln ln 1

n n

n n 仍然发散级

数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺

子”：n 1

，n n ln 1，

n

n n ln ln ln 1。这些 “尺子”可以无限的精细，一直进行下去。实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。

由几何级数的∑∞

=-11n n q 的敛散性，可以看出，粗略的讲，当n 充分大时，正项级数的后一

项小于前一项时，该级数就收敛，否则就发散。在此基础上，有了判断正项级数敛散性的比值（达

朗贝尔）判别法和根值（柯西）判别法：若ρ=+∞→n

n n a a 1lim （ρ=∞→n

n n lim ）

，则当1<ρ时，正项级数∑∞

=1n n a 收敛；当1>ρ时，正项级数∑∞

=1

n n a 发散；而当1=ρ时，判别法失效。这两种判别法具有明显的优

势：仅需要级数自身项的性质，不需要比较级数，使用起来较为方便。然而它们是基于几何级数的判别敛散性的“尺子”，其精度远比基于p -级数的“尺子”粗糙的多。事实上，对于∑

∞

=1

1n n ，∑∞

=11n n

，∑∞

=1

21

n n 可计算1=ρ，因此，比值和根值判别法失效。但是，根据比较判别法和p -级数的敛散性，前两个级数发散，后一个级数收敛。比值和根值判别法的本质是比较判别法，与之相比较的是几何级数∑∞

=-11n n q 。在判定级数收敛时，要求级数的通项受到n q （10<

时，则是根据其一般项不趋于0。由于二者相去甚远。因此判别法在许多情况下都会失效，即便对

p -级数∑

∞

=1

1

n p n 也无能为力。为了弥补上述比值和根植判别法的局限性，我们有拉阿伯判别法：设r a a n n n n =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+∞→1lim 1，则当1>r 时∑∞=1n n a 收敛；当1≤r 时∑∞

=1n n a 发散。虽然拉阿伯判别法有时可以处理比值和根植判别法失效的级数，如p -级数等，但是对于11lim 1=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-+∞→n n n a a n 时，阿伯判别法仍然失效。例如，对于∑∞

=1ln 1n p n n 成立11lim 1=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+∞

→n n n a a n ，但是由积分判别法可知，∑∞

=1ln 1n p n n 当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。事实上还可以建立比阿伯判别法更有效的判别法，如，Bertrand 判别法：设

r a a n n n n n =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞

→11ln lim 1，则当1>r 时∑∞=1n n a 收敛；当1≤r 时∑∞=1n n a 发散。但是，当1=r 时，该判别法有失效了。这种逐次建立更有效的判别法的过程是无限的。每次都能得到新的适用范围更广的

判别法。

下面给出两个与级数收敛性及速度有关的有趣例子。

问题1：曾经有同学向我提出这样一个问题：假设汽车速度1v 快于自行车的速度2v ，而汽车在自行车的后方s ，则显然经过时间2

1v v s

T -=

后，汽车就会追赶上自行车。但是，他有这样一个疑问？当汽车前进路程s 到达自行车原来所在的位置时，即经过了时间1

1v s

t =

时，自行车又前进了路