华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案

华东理工大学高等数学(下册)第9章作业答案

第9章（之1） （总第44次）

教学内容:§9.1微分方程基本概念

*1． 微分方程7

359)(2xy y y y =''''-''的阶数是

（ ）

（A ）3； （B ）4； （C ）6； （D ）7． 答案（A ）

解 微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶的阶数．

*2． 下列函数中的C 、α、λ及k 都是任意常数，

这些函数中是微分方程04=+''y y 的通解的函数是 （ ）

（A ）x C x C y 2sin )2912(2cos 3-+=； （B ）)2sin 1(2cos x x C y λ+=； （C ）x

C k x kC y 2sin 12cos 22++=； （

D ）)2cos(α+=x C y ．

答案 （D ）

解 二阶微分方程的通解中应该有两个独立的任意常数．

（A ）中的函数只有一个任意常数C ； （B ）中的函数虽然有两个独立的任意常数，但

经验算它不是方程的解；

（C ）中的函数从表面上看来也有两个任意常数

C

及

k

，但当令

kC

C =时，函数就变成了

x

C x C y 2sin 12cos 2

++=，实质上只有一个任意常数；

（D ）中的函数确实有两个独立的任意常数，而且经验算它也确实是方程的解．

*3．在曲线族

x

x e c e c y -+=21中，求出与直线x y =相切

于坐标原点的曲线．

解 根据题意条件可归结出条件1)0(,0)0(='=y y ， 由x

x

e c e

c y -+=21

，

x

x e c e c y --='21，可得1

,02121

=-=+c c c c

， 故21,2121

-==

c c

，这样就得到所求曲线为)

(2

1x x

e e

y --=，

即x y sinh =．

*4．证明：函数

y e x

x =-2333

2

1

2sin 是初值问题

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧===++==1d d ,00d d d d 0022x x x y y y x y x y 的解．

证明

'=-+--y e x e x

x x 33323

2

1

21

2sin cos ，

''=----y e x e x

x x 33323

2

1

21

2sin cos ，

代入方程得 ''+'+=y y y 0， 此外 ，，1)0(0)0(='=y y 故

y e x

x =-2333

2

1

2sin 是初始值问题的解．

*5．验证y e e t Ce x

t x

x

=+⎰2

d （其中C 为任意常数）是方程'-=+y y

e x x 2

的通解．

证明 '=+⋅+⎰y e e t e e Ce x

t x

x

x x

2

2

d =++y

e x x 2， 即 2

x x e y y +=-'，

说明函数确实给定方程的解．

另一方面函数y e e t Ce x

t x

x

=+⎰2

d 含有一任意常数

C

，所以它是方程的通解．

**6．求以下列函数为通解的微分方程： （1）3

1

+=

Cx y ；

解 将等式3

1

+=

Cx y 改写为1

3

+=Cx y

，再在其两边同

时对x 求导，得C

y y ='2

3，代入上式，即可得到所求

之微分方程为1

332

-='y y xy

．

（2）x C x C y 2

1

+=．

解 因为给定通解的函数式中有两个独立的任意常数，所以所求方程一定是二阶方程，在方程等式两边同时对x 求两次导数，得

22

1x C C y -

='，3

22x C

y =''．

从以上三个式子中消去任意常数1

C 和2

C ，即

可得到所求之微分方程为

2=-'+''y y x y x ．

**7．建立共焦抛物线族)

(42

C x C y

+=（其中C 为任意

常数）所满足的微分方程［这里的共焦抛物线族是以x 轴为对称轴，坐标原点为焦点的抛物线］． 解 在方程)

(42

C x C y

+=两边对x 求导有C y y 42='，从

这两式中消去常数所求方程为)2(y y x y y '+'=． **8．求微分方程，使它的积分曲线族中的每一条曲线)(x y y =上任一点处的法线都经过坐标原点．

解 任取)(x y y =上的点 )

,(y x ，曲线在该点处的切

线斜率为 y '=dx

dy ． 所以过点),(y x 的法线斜率为y '

-1， 法线方程为y

Y -=y '

-1)(x X -， 因为法线过原点，所以=-y 0y '

-1

)0(x -从而可得所求微分方程为0='+y y x ．