3.2条件分布及其独立性

解 当x0.5时 P{Xx X0.5}0
当x0.5时
P{X
x, X
0.5} x 0.05.,5,
0.5 x1, x 1.
从而可得
F (x|
X
0.5)
P{X x, X 0.5} P{X 0.5}
P{X
x, X 0.5
0.5}
F(x| X
0.5) 2x0, 1,
x 0.5, 0.5 x1,
1, x 1.
Yy
的条件下
X
的条件密度函数
类似地 可以讨论在Xx的条件下 Y的条件分布
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
条件密度函数
设(X Y)是连续型随机向量 密度函数为f(x y)
如果fX(x)0 fY(y)0 则
fX|Y (x| y)
f (x, y) fY (y)
fY|X (y| x)
f (x, y) fX (x)
解 在X0时 Y的条件概率分布为
P{Y
1|
X
0}
P{Y 1, X P{X 0}
0}
0.1 0.10.20
1 3
P{Y
0|
X
0}
P{Y 0, X P{X 0}
0}
0.2 0.3
2 3
P{Y
2|
X
0}
P{Y 2,X 0} P{X 0}
0 0.3
0
定理33(独立性的判断)
设X Y是离散型随机变量 其联合概率分布为
§32 条件分布与随机变量的独立性
一、条件分布与独立性的一般概念 二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性 三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
一、条件分布与独立性的一般概念
条件分布函数 对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数 设A{Yy} 且P{Yy}0 则有
解 由§3 1 知 X ~ N(1, 12),Y ~ N(2, 22), 于是
fX |Y (x| y)
f (x,y) fY (y)
1
e
212
1 (1
2
[ )
x
1
12
(
y 2 )]2
2π 1 1 2
故 在Yy的条件下 X服从正态分布
X~
N
(1
1 2
(
y
2),
12(1
2))
对称地 在Xx的条件下 Y服从正态分布
fY (y)
(329)
对给定的y 如果fY(y)0 则称P{Xx|Yy}为Yy的条件下 X的条件分布函数 记作FX|Y (x|y) 由(329)知
FX|Y (x| y)
x
f (u, y) du fY (y)
(330)
记
fX|Y (x| y)
f (x, y) fY (y)
称
fX|Y(x|y)为
条件分布行不通 为此 我们通过极限来定义条件分布
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
分析 设(X Y)是连续型随机向量 分布函数和密度函数分别为
F(x y)和f(x y) 我们希望考虑在Yy的条件下X的条件分布
P{X x|Y y} lim P{X x| yΔ y Y y} Δ y0
lim P{X x, yΔ y Y y} Δy0 P{yΔ y Y y}
0, 其他,
于是其边缘密度函数fX(x)为
fX (x)
f (x, y)dy 2
1 x2 , π 0,
| x|1, 其他.
于是 对一切x(|x|1) 有
fY|X (y| x)
f (x, y) fX (x)
2
1, 1 x2 0,
| y| 1 x2, 其他.
例38(2) 设(X Y)是在D{(x y)|x2y21}上服从均匀分布 的随机向量 求fX|Y (x|y)
条件分布函数 对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数 设A{Yy} 且P{Yy}0 则有
F(x|Y y) P{X x,Y y} F(x,y) P{Y y} FY (y)
(320)
对给定的x和y 如果事件{Xx}与事件{Yy}独立 则有
P{Xxi Yyj}pij (i j1 2 ) 边缘概率分布分别为piX和pjY(i j1 2 ) 则X与Y相互独立的 充要条件是
pijpiXpjY (i j1 2 )
(327)
例37 设X与Y的联合概率分布如下表 判断X与Y是否相 互独立?
解 因为
P{X0}010203
P{Y1}0103015055
由条件密度函数的定义 我们容易知道 密度函数有下列
乘法公式
f(x y)fX(x)fY |X(y|x)fY (y)fX|Y(x|y)
(333)
例38(1) 设(X Y)是在D{(x y)|x2y21}上服从均匀分布 的随机向量 求fY|X(y|x)
解 由于(X Y)的密度函数为
f
(x,
y)
1 π
,
x2 y2 1,
| x| 1 y2, 其他.
例 39 设(X ,Y)~ N(1, 2;12, 22; ) 求 fX|Y (x|y)和 fY|X (y|x)
解 由§3 1 知 X ~ N(1, 12),Y ~ N(2, 22), 于是
fX |Y (x| y)
f (x,y) fY (y)
1
2π 1 2
e
1 2(1
设X1 X2 Xn是n个随机变量 其联合分布函数为F(x1 x2 xn) 边缘分布函数为Fi (xi)(i1 2 n) 如果对任意实数 x1 x2 xn恒有
F(x1 x2 xn)F1(x1)F2(x2) Fn(xn) 则称X1 X2 Xn相互独立
二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性
设随机变量X Y的联合分布函数为F(x y) 边缘分布函数 分别为FX(x) FY(y) 如果对任意实数x和y 恒有
F(x y)FX(x)FY (y) 则称随机变量X和Y相互独立
例35 设X服从[0 1]上的均匀分布 求在已知X0.5的条 件下X的条件分布函数
解 当x0.5时 P{Xx X0.5}0
解 由于(X Y)的密度函数为
f
(x,
y)
1 π
,
x2 y2 1,
0, 其他,
于是其边缘密度函数fY(y)为
fY (y)
f (x, y)dx 2
1 y2 , π 0,
| y|1, 其他.
于是 对一切y(|y|1) 有
fX|Y (x| y)
f (x, y) fY (y)
2
1, 1 y2 0,
而
P{X0 Y1}01
可见 P{X0 Y1}P{X0}P{Y1}
所以X与Y不独立
应注意的问题 在前一节讨论中 我们得知 由联合概率分布可以确定边
缘概率分布 但是由边缘概率分布一般不能确定联合概率分 布 比较表32中的两个不同联合概率分布 我们注意到它们具 有相同的边缘概率分布
表32 具有相同边缘概率分布的两个不同的联合概率分布
发生的条件概率 通常记作pi|j
不难验证 数列pi|j(i1 2 )满足概率分布所要求的性质
(1) pi|j 0 (2) pi| j 1 i
二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性
条件概率分布
设(X Y)是二维离散型随机向量 其概率分布为
P{Xxi Yyj}pij i j1 2 则由条件概率公式 当P{Yyj}0时 有
此时
F(x y) P{Xx Yy}P{Xx}P{Yy} FX(x)FY(y)
F(x|Yy)FX(x)
(321)
一、条件分布与独立性的一般概念
条件分布函数 对每个给定的实数x 我们记条件概率P{Xx|A}为F(x|A)
并称F(x|A)(x)为在A发生的条件下X的条件分布函数 定义36(随机变量的相互独立性)
F(x|Y y) P{X x,Y y} F(x,y) P{Y y} FY (y)
(320)
说明 一般地 两个随机变量X和Y之间存在着相互联系 因而一
个随机变量的取值可能会影响另一随机变量取值的统计规律 性 (320)表明联合分布函数包含了X与Y相互联系的内容
一、条件分布与独立性的一般概念
P{X
xi |Y
y j}
P{X xi,Y yj} P{Y yj}
pij pYj
(323)
其中P{Xxi|Yyj}是在事件“Yyj ”发生的条件下 事件“Xxi”
发生的条件概率 通常记作pi|j
我们称
P{Xxi |Yyj}pi|j i1 2 为已知Yyj的条件下X的条件概率分布
例36 设X与Y的联合概率分布如下表 求Y0时X的条件 概率分布以及X0时Y的条件概率分布
(334)
证明 充分性 若f(x y)fX(x)fY(y) 则
xy
F(x, y) fX (u) fY (t)dudt
x
y
fX (u)du fY (t)dt
FX (x)Fy(y)
Y
~
N
(2
2 1
(x
1),
22(1
2))
定理34(独立性的判断)
设连续型随机向量(X Y)的密度函数为f(x y) 边缘密度函
数分别为fX(x)和fY(y) 则X与Y相互独立的充要条件是
f(x y)fX(x)fY(y)
(334)
证明 必要性 如果X与Y相互独立 则对任意x y 有
x
y
F(x, y) FX (x)FY (y) fX (u)du fY (t)dt
条件概率分布
设(X Y)是二维离散型随机向量 其概率分布为
P{Xxi Yyj}pij i j1 2 则由条件概率公式 当P{Yyj}0时 有
P{X
xi |Y
y j}
P{X xi,Y yj} P{Y yj}
pij pYj
(323)
其中P{Xxi|Yyj}是在事件“Yyj ”发生的条件下 事件“Xxi”
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
分析
设(X Y)是连续型随机向量 分布函数和密度函数分别为 F(x y)和f(x y) 我们希望考虑在Yy的条件下X的条件分布
由于{Yy}是一个零概率事件
P{X x|Y y} P{X x,Y y} P{Y y}
(328)
的分子、分母均为0 因而直接根据条件概率定义来考虑X的
xy
fX (u) fY (t)dudt
于是fX(x)fY(y)是(X Y)的密度函数 即 f(x y)fX(x)fY(y)
定理34(独立性的判断)
设连续型随机向量(X Y)的密度函数为f(x y) 边缘密度函
数分别为fX(x)和fY(y) 则X与Y相互独立的充要条件是
f(x y)fX(x)fY(y)
解 当x0.5时 P{Xx X0.5}0
当x0.5时
P{Xx X0.5}F(x)F(0.5)F(x)0.5
其中F(x)为X的分布函数 我们知道
F(x)0x,,
x0, 0 x1,
1, x1.
于是 当X0.5时
P{X
x, X
0.5}
x0.5, 0.5,
0.5 x1, x 1.
例35 设X服从[0 1]上的均匀分布 求在已知X0.5的条 件下X的条件分布函数
当x0.5时
P{Xx X0.5}F(x)F(0.5)F(x)0.5
其中F(x)为X的分布函数 我们知道
提示
F(x)0x,,
x0, 0 x1,
1, x1.
要求
F(x|
X
0.5)
P{X x, X 0.5} P{X 0.5}
故先求 P{Xx X0.5}
例35 设X服从[0 1]上的均匀分布 求在已知X0.5的条 件下X的条件分布函数
定理31(独立性的判断)
随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事
件与Y生成的任何事件独立 即 对任意实数集A和B 有
P{XA YB}P{XA}P{YB}
(322)
定理32
如果随机变量X和Y相互独立 则对任意函数g1(x) g2(y) 均有g1(X)与g2(Y)相互独立
定义37(n个随机变量的相互独立性)
y
x
[ f (u,t)du]dt
lim Δ y0
yΔ y
y
yy fY (t)dt
x
f (u, y)du
fY (y)
(329)
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
条件密度函数
设(X Y)是连续型随机向量 密度函数为f(x y) 通过极限
运算我们得到
x
f (u, y)du
P{X x|Y y}
解 在Y0时 X的条件概率分布为
P{X
0|Y
0}
P{X 0,Y P{Y 0}
0}
0.2 0.20.050
0.8
P{X
1|Y
0}
P{XP{Y1,Y0} 0}
0.05 0.25
0.2
P{X
2|Y
0}
P{X 2,Y 0} P{Y 0}
0 0.25
0
例36 设X与Y的联合概率分布如下表 求Y0时X的条件 概率分布以及X0时Y的条件概率分布
2
[ )
(
x1
2 1
)2
2
(x1)( y2 1 2
)
(
y2)2
2 2
]
1 2
1
e
(
y2
2
2Байду номын сангаас2
)2
2π 2
1
e
1 2(1
2
)
(
x1 1
y
2
2
)2
2π 1 1 2
1
e
212
1 (1
2
[ )
x1
1 2
(
y 2 )]2
2π 1 1 2
例 39 设(X ,Y)~ N(1, 2;12, 22; ) 求 fX|Y (x|y)和 fY|X (y|x)