相似三角形复习课

120 mm，高 AD＝80 mm，要把它加工成正方形零
件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别
在 AB、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形 EFHG 为加工成的
A
正方形零件，边 GH 在 BC 上，顶点 E、F 分别在AB、
EM F
AC上，△ABC 的高 AD 与边 EF 相交于点 M，设正方形的 B
考点二 位似的性质及应用 针对训练
1. 在如图所示的四个图形中，位似图形的个数为 (C)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
3. 如图，DE∥AB，CE = 3BE，则 △ABC 与 △DEC
是以点 C 为位似中心的位似图形，其位似比为
4 : 3 ，面积比为 16 : 9 .
A D
BE
C
4. 在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(－6，
3)，(－12，9)，△ABO 和 △A′B′O 是以原点 O 为
位似中心的位似图形. 若点 A′ 的坐标为 (2，－1) 则
点 B′ 的坐标为 (4，－3) .
5. 如图，△ABC 在方格纸中. (1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3)， C (6，2)，并求出 B 点坐标；
解：如图所示， y B (2，1).
B
DC
在 Rt△ADC中，AD = 8，AC = 10，
由勾股定理得 DC = 6，则 BC = BD + DC = 14.
∵∠EBC = ∠DEC，∠BCE = ∠ECD，
∴△BCE∽△ECD，∴BC : CE = CE : CD，
即 CE2 = BC ·CD =14×6 = 84，∴ CE = 2.
于点 D，在劣弧上取一点 E 使 ∠EBC =∠DEC，延
长 BE 依次交 AC 于点 G，交 ⊙O 于 H．
(1) 求证：AC⊥BH；
A
证明：连接AD，
GH
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC， E
O
∴∠DAC=∠EBC.
∵AC 是 ⊙O 的直径，
B
DC
∴∠ADC=90°，∴∠DCA+∠DAC=90°，
O
x
(2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内 将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′；
解：如图所示.
y
A′
B′ O
C′ x
(3) 计算△A′B′C′的面积 S. y A′
B′ O 解：S 1 48=16. 2
C′ x
解：如图，线段 AB 为纪念碑，在地面上平放一面镜 子 E，人退后到 D 处，在镜子里恰好看见纪念碑 顶 A. 若人眼距地面距离为 CD，测量出 CD、DE、 BE的长，就可算出纪念碑 AB 的高． 理由：测量出CD、DE、BE的长，因为∠CED＝ ∠AEB，∠D＝∠B＝90°，易得△ABE∽△CDE. 根据 CD DE ，即可算出 AB 的高． AB BE
E
B
C
4. 如图，在 □ABCD 中，点 E 在边 BC 上，BE : EC
=1 : 2，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △BFE 的面积 与 △DFA 的面积之比为 1 : 9 .
5. 如图，CD 是 ⊙O 的弦，AB 是直径，CD⊥AB，垂
足为 P，求证：PC2 ＝ PA ·PB.
证明：连接AC，BC.
∴∠EBC+∠DCA=90°，∴∠BGC =180°－
(∠EBC+∠DCA)=90°，∴AC⊥BH.
(2) 若 ∠ABC=45°，⊙O 的直径等于 10，BD = 8，
求 CE 的长．
A
解：∵∠BDA=180°－∠ADC=90°，
GH
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∠ABC=45°，∴∠BAD=45°，
E
O
∴ BD = AD.
∵ BD = 8，∴ AD = 8.
G DH C
边长为 x mm.
∵ EF//BC， ∴△AEF∽△ABC，
∴ EF AM . BC AD
又∵ AM＝AD－MD＝80－x，
则 x 80 x， 120 80
解得 x = 48.
B
A EM F
G DH C
即这个正方形零件的边长是 48 mm.
2 已知：在 △ABC 中，以 AC 边为直径的 ⊙O 交BC
3. 相似三角形的性质 ◑对应角相等、对应边成比例 ◑对应高、中线、角平分线的比等于相似比 ◑周长比等于相似比 ◑面积比等于相似比的平方
考点讲练
考点一 相似三角形的判定和性质
针对训练
1．如图所示,当满足下列条件之一时，都可判定
△ADC ∽△ACB．
(1) ∠ACD =∠B
；
(2) ∠ACB =∠ADC
∵AB是直径，
A
∴∠ACB＝90°，
C
O·P B
∴ ∠A + ∠B = 90°.
D
又 ∵CD⊥AB，∴∠CPB＝90°，
∠PCB＋∠B＝90°.
又 ∠A＝∠CPB，
∴ △APC ∽△CPB.
∴
AP PC

PC ，∴ PB
PC2 = AP ·PB.
中考衔接 1 如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，边 BC＝
第二十七章 相 似
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
作业
要点梳理
1. 图形的相似 (1) 形状相同的图形
(2) 相似多边形
①表象：大小不等， 形状相同. ②实质：各对应角相 等、各对应边成比例.
(3) 相似比：相似多边形对应边的比
2. 相似三角形的判定
◑通过定义 (三个角分别相等，三条边成比例) ◑平行于三角形一边的直线 ◑三边成比例 ◑两边成比例且夹角相等 ◑两角分别相等 ◑两直角三角形的斜边和一条直角边成比例
你还有其他 方法吗？
课堂小结
相似
定义
定义、判定、性质
相似图形
相似多边形 相似三角形
平行线分线段 成比例
判定
性质
位似
性质 平面直角坐标系中的位似
应用
；
AD AC 或 AC2 = AD ·AB
A
(3) AC AB
.
D
B
C
2. △ABC 的三边长分别为 5，12，13，与它相似的 △DEF 的最小边长为 15，则 △DEF 的其他两条 边长为 36 和 39 ．
3. 如图，△ABC 中，AB=9，AC=6，点 E 在 AB 上 且 AE=3，点 F 在 AC 上，连接 EF，若 △AEF 与 △ABC 相似，则 AF = 2 或 4.5 . A