工程力学-圆轴扭转变形分析

P=7.5kW,轴的转速n=80r/min。试选择实心圆轴的直径d和空心圆轴的外
径d 2。己知空心圆轴的内外径之比=d 1/d 2=0.8,许用扭转切应力 [τ]=40MPa。
解：（1）外力偶矩为
M e 9550 7.5 N m 895 .3 N m 80
（2）扭矩为 T = Me = 895.3N· m （3）实心圆轴直径 根据强度条件
各点切应力的大小与该点到圆心的距离成正比，其分布 规律如图
圆轴扭转时，最大切应力 max 发生在圆轴表面。当ρ=R 时，其值为：
TR T max Ip IP / R
令 Wp
Ip R
max
T Wp
Wp称为扭转截面系数，它表示截面抵抗扭转破坏的能 力，单位是（mm）3。
工程中承受扭转的圆轴通常采用实心圆轴和空心圆轴两种形
max
T 16T 3 Wp πd
16 T 3 16 895.3 d 3 m 0.048m 48mm 6 [ ] 3.14 40 10
（4）空心圆轴外径
根据强度条件
max
T 16T 3 4 Wp πd 2 (1 )
16 T 16 895.3 3 d2 m 4 6 4 [ ](1 ) 3.14 40 10 (1 0.8 )
3
0.058m 58m m
内径d 1=α×d 2= 0.8×58 mm = 46.4mm
（5）比较重量
在长度相等、材料相同的情况下，空心圆轴与实心圆 轴重量之比等于横截面面积之比，即
四、圆轴扭转时的强度 计算
圆轴的扭转的强度条件
max
Tmax Wp
塑性材料 [τ]=（0.5~0.6）[σ] 脆性材料 [τ]=（0.8~1.0）[σ]
强度及刚度条件的应用
（1）轴的强度校核。 （2）设计轴截面的直径。 （3）计算最大许可载荷。
例
机床二级齿轮减速箱中的中间轴轴D=50mm， 轮C输入功率
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三、圆轴扭转时横截面 上的应力
圆轴扭转时的变形特点
1、各圆周线的形状、大小及间
距均无变化，只是各自绕轴线转过 一个微小角度。
2、各纵向线仍近似为直线，只是倾斜了同一个微 小角度γ，圆周线与纵向线围成的矩形变为平行四边形。
结论
各横截面上没有正应力，只有垂直于半径的切应力。
2 (d 2 d12 ) / 4 W2 / W1 A2 / A1 d 2 / 4 2 d2 (1 2 ) 582 (1 0.82 ) 2 d 482
0度计算
圆轴扭转时的变形
1、扭转角 ：圆轴扭转变形一个横截面相对另一个 横截面转过的角度。
1）计算圆轴的最大扭矩
Tmax=T1=1098.25N· m 2） 计算圆轴的直径 根据扭转强度条件
16 T [ ]
max
T Wp
d2
3

3
16 1098 .25 m 6 3.14 50 10
0.048 m 48 mm
根据扭转刚度条件
max
Tmax 180 32Tmax 180 4 GI p π π πdG
32 180 Tmax 2 4 π d 32 180 1098 .25 3.14 2 80 10 9 1
d
4
4
0.053 m 53mm
为了同时满足圆轴扭转条件和刚度条件，圆轴的 直径应圆整为d=55mm
式。它们的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp （1）实心圆轴。设直径为D，则
πD 4 IP 0.1D 4 32
πD 3 WP 0.2 D 3 16
（2）空心圆轴。设外径为D，孔径为d，α=d/D为横截面内 外径之比，则
πD 4 IP (1 4 ) 0.1D 4 (1 4 ) 32 πD 3 WP (1 4 ) 0.2 D 3 (1 4 ) 16
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六、提高圆轴强度和刚 度的措施
提高圆轴强度的措施
max
Tmax Wp
1）减小最大扭矩Tmax 2）采用合理截面
提高圆轴刚度的措施
max
Tmax GI p
1）扭转角 与扭矩Tmax成正比 2）扭转角 与扭矩GIp成反比
解：（1）计算外力偶矩。
主动轮B
从动轮A 从动轮C
PB 60 M B 9550 9550 N m 1146 N m n 500
PA 28 M A 9550 9550 N m 534.8N m n 500
PC 20 M C 9550 9550 N m 382 N m n 500 PD 12 M D 9550 9550 N m 229.2 N m n 500
T = Me
扭矩正负规定
右手螺旋法则
右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
扭矩图

例传动轴，轴的转速n = 500 r/min，主动轮B输入功率P B = 60kW，从动轮
A、C、D输出功率分别为P A=28kW，P C=20kW，P D=12kW。
试绘制轴的转矩图，并指出最大扭矩Tmax的值。 若将A、B两轮位置对调则扭矩图有何变化？最大扭矩Tmax又为何值？
Tl （rad） GI p
L
GIP 称为圆轴的抗扭刚度。
2、单位长度扭转角
T （rad / m） l GI p
把弧度换算为度，即用1rad=180°/π代入运算得
T 180 GI p （°/m）
圆轴扭转时的刚度条件
max
max
PC=40kW， 轮A、轮B输出功率分别为P A=23kW，P B=17kW，轴的转速 n=200r/min，许用切应力[]=50MPa，试校核该轴的强度。
解：（1）计算外力偶矩。
23 M A 9550 N m 1098.25 N m 200
17 M B 9550 N m 811.75 N m 200 M C 9550 40 N m 1910 N m 200
（2）计算扭矩。
T1=MA=1098.25Nm
T2=－MB=－811.75 Nm
（3）校核强度。
Tmax 16T1 max Wp πD 3 161098 .25103 MPa 3 50 44.76MPa
该轴强度足够。
例
实心圆轴通过牙嵌离合器把功率传给空心圆轴。传递的功率
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第四单元 构件基本变形分析 模块四 圆轴扭转变形分析
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一、圆轴扭转实例
汽车传动轴
汽车方向盘
扭转受力特点 及变形特点:
杆件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于杆件
轴线的力偶作用, 杆件的横截面绕轴线产生相对转动。
例一齿轮传动轴为实心圆轴，传递力偶矩Me=10kN· m,轴的直径
d=80mm.。试求轴的最大切应力。
解：扭矩T=Me=10KN最大切应力在圆轴表面直径最
大处，为
max
T 16T 16 10 103 103 MPa 100MPa 3 3 Wp D 80
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从动轮D
（2）计算扭矩。根据平衡方程计算出各截面上的扭矩
AB段： T1 = －MA= －534.8 N· m BC段： T2= MB－M A=1146 N· m－534.8 N· m = 611.2 N· m CD段： T3 = M D= 229.2 N· m
（3）画扭矩图。最大扭矩在BC段内的各横截面上，
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二、圆轴扭转时横截面 上的内力
按输入功率和转速计算
已知 轴转速－n 转/分钟 输出功率－P 千瓦 求：力偶矩Me
电机每秒输入功：W P 1000(N m) 外力偶作功完成：
W M e 2 n 60
P
50
P
扭矩和扭矩图
用截面法研究横截 面上的内力
圆轴扭转时的应力
1、圆周扭转时，横截面上任一点切应力的计算公式为：

T Ip
为横截面上任一点的切应力，单位是 MPa
mm ， T 为横截面上的扭矩，单位是N·
为横截面上任一点到圆心之间的距离，单位是mm
IP
为横截面对圆心的的极惯性矩，是只与截面形状和尺寸有关的
几何量，单位是（mm）4。
Tmax GI p
Tmax 180 GI p π
为单位长度许可扭角
其值按照对机器的要求和轴的工作条件来确定，可查阅 有关设计手册。
例
机床二级齿轮减速箱中， AC、BC段的扭矩分别为
T1=1098.25Nm，T2=－811.75 Nm，材料的切变模量G=80GPa，许用切应力 []=50MPa，单位长度许可扭角 1/m ，试校核该轴的刚度。
其值为Tmax = 611.2 N· m
（4）若将A、B两轮位置对调，则各截面扭矩分别为
AB段： T1 = M B= 1146 N· m BC段： T2 = M B－M A =1146 N· m－534.8 N· m = 611.2 N· m
CD段： T3 = M D= 229.2 N· m
最大扭矩在BA段内的各横截面上，其值为 Tmax =1146 N· m