北师大版高中数学(必修2)2.1《直线与直线的方程》(直线的方程).ppt
【数学】2.1 直线的点斜式方程 课件(北师大版必修2)
解： 设直线的方程为y-4=k(x-1)
则它与两坐标轴的交点分别为(1-4/k,0)和(0,4-k) 由题意知k<0且有 1/2(1-4/k)(4-k)=8 整理得
(k 4) 2 0
k 4
所以直线得方程为y-4=-4(x-1) 即y=-4x+8
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（1）已知直线的点斜式方程是y-2=x-1, 45o 1 那么直线的斜率是______,倾斜角是______
垂直于y轴；
y-1=0
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思考：
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长
为9，且斜率为-3/4的直线方程。
2. 已知直线 l 过点P(1,4),且与两坐
标轴在第一象限围成的三角形面积 为8，求直线 l 的方程。
1. 求与两坐标轴围成的三角形周长
为9，且斜率为-3/4的直线方程。 解： 设直线的方程为y=-3x/4+b
练习2：根据下列条件，分别写出方程；
（1）经过点（4，-2），斜率为3；
3x-y-14=0 x/2-y-1/2=0 y-3=0 X-2=0 2x-y+14=0
（2）经过点（3，1），斜率为1/2； （3）经过点（2，3），倾斜角为 （4）经过点（2，5），倾斜角为
； 00 ； 900
（5）斜率为2，与x轴交点的横坐标为-7；
x y 5 0
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课堂练习
①如果直线 l 的倾斜角为0°，那么经过一 点P1(x1，y1) 的直线l的方程为 y=y1 。 ②如果直线l的倾斜角为90°，那么经过一 点P1(x1，y1) 的直线l的方程为 x=x1 。 ③一条直线经过点P（-2，3），倾斜角为 45°，求这条直线的方程，并画出图形。
• 1、方程 y y1 k ( x x1 ) 是由直线上的一点 和直线的斜率确定的所以叫直线的点斜式 • 2、方程 y kx b 是由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的所以叫直线的斜截式 y kx b y y1 k ( x x1 ) • 3、方程 方程 的特殊 情形，运用它们的前提是：直线斜率k存在 • 4、当斜率k不存在时，即直线与y轴平行或重合， 经过点 P ( x1 , y1 )的方程为 x x1 1
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册1.1.1-1.1.2直线与直线的方程(带答案)
第一部分课时作业 第一章 直线与圆§1 直线与直线的方程1．1 一次函数的图象与直线的方程 1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系必备知识基础练知识点一 直线的倾斜角与斜率1.直线x ＝1的倾斜角和斜率分别是( ) A ．45°，1 B ．135°，－1 C ．90°，不存在 D ．180°，不存在2．若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成30°角，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°3．如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1<k 2<k 3 B ．k 3<k 1<k 2 C ．k 3<k 2<k 1 D ．k 1<k 3<k 24．若两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角的关系是________.知识点二 直线的斜率公式5.已知直线l 经过点A (0，－1)，B (1，1)，则直线l 的斜率是( ) A ．2 B ．－2C ．12D ．－126．(1)如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，求l 1，l 2的斜率；(2)求经过两点A (a ，2)，B (3，6)的直线的斜率．知识点三 斜率公式的应用7.若点P (x ，y )在函数y ＝2x ＋1(－2≤x ≤2)的图象上运动，则yx的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫52，＋∞B ．⎝⎛⎦⎤－∞，32C ．⎣⎡⎦⎤32，52D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32 ∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 8．设点A (m ，－m ＋3)，B (2，m －1)，C (－1，4)，若直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的3倍，则实数m 的值为________.9．若A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b的值．关键能力综合练一、选择题1．[多选题]下列命题中，正确的是( ) A ．任意一条直线都有唯一的倾斜角B ．一条直线的倾斜角可以是－π3C ．倾斜角为0的直线有无数条D ．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1)2．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°3．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( ) A ．(4，2)与(－4，1) B ．(0，3)与(3，0) C ．(3，－1)与(2，－1) D ．(－2，2)与(－2，5)4．已知直线经过点A (a ，4)，B (2，－a )，且斜率为4，则a 的值为( )A ．－6B ．－145C ．45D ．45．[易错题]直线l 经过点A (1，2)，与x 轴交点的横坐标的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－1，15 B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．⎝⎛⎭⎫－∞，12 ∪(1，＋∞) 二、填空题6．直线l 过点A (1，2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是________.7．已知斜率为12的直线经过A (3，5)，B (x ，－1)，C (7，y )三点，则x ，y 的值分别为________.8．已知点A (1，2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为________.三、解答题9．[探究题]已知f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，试用图示法比较f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c的大小关系．学科素养升级练1.已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是________.2．[学科素养——数学运算]已知一条光线从点A (－1，3)出发，射在x 轴上又反射出去，反射光线经过点B (2，7)，求x 轴上光照点的坐标．§1 直线与直线的方程1．1 一次函数的图象与直线的方程 1．2 直线的倾斜角、斜率及其关系必备知识基础练1．解析：∵直线x ＝1与y 轴平行，∴倾斜角为90°，斜率不存在． 答案：C2．解析：如图，直线l 有两种情况，故l 的倾斜角为60°或120°.答案：D3．解析：由题图可知，直线l 1的倾斜角为钝角，所以k 1<0；直线l 2与直线l 3的倾斜角为锐角，且直线l 2的倾斜角较大，所以k 2>k 3>0，所以k 2>k 3>k 1.答案：D4．解析：两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角互补． 答案：互补5．解析：因为直线l 经过点A (0，－1)，B (1，1)，所以直线l 的斜率为1－（－1）1－0 ＝2.故选A.答案：A6．解析：(1)l 1的斜率k 1＝tan α1＝tan 30°＝33. ∵l 2的倾斜角α2＝90°＋30°＝120°，∴l 2的斜率k 2＝tan 120°＝tan (180°－60°)＝－tan 60°＝－3 . (2)当a ＝3时，斜率不存在； 当a ≠3时，直线的斜率k ＝43－a .7．解析：已知函数y ＝2x ＋1(－2≤x ≤2)的图象是一条线段，设为AB ，其中A (2，5)，B (－2，－3).yx 的几何意义是线段AB 上的任意一点P (x ，y )与坐标原点O (0，0)连线的斜率，易得k OA ＝52 ，k OB ＝32 ，根据图象可知，yx的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，32 ∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ . 答案：D8．解析：依题意知直线AC 的斜率存在，则m ≠－1，由k AC ＝3k BC 得－m ＋3－4m －（－1） ＝3×m －1－42－（－1），所以m ＝4. 答案：49．解析：由题意可知直线AB ，AC 的斜率存在，∴a ≠2.由k AB ＝k AC 得2－02－a ＝2－b2－0，即a ＋b ＝12 ab ，又ab ≠0，∴1a ＋1b ＝12.关键能力综合练1．解析：任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角α的范围为[0，π)，故sin α∈[0，1]，倾斜角为0的直线有无数条，因此A 正确，B 错误，C 正确，D 错误．故选AC.答案：AC 2．解析：由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°(0°≤α＜180°)，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°(如图).答案：D3．解析：两点(－2，2)，(－2，5)的横坐标相同，因此过此两点的直线斜率不存在． 答案：D4．解析：∵A (a ，4)，B (2，－a )，且斜率为4，∴k AB ＝－a －42－a ＝4，解得a ＝4.答案：D5．解析：过定点A 的直线经过点B (3，0)时，直线l 与x 轴交点的横坐标为3，此时k ＝2－01－3＝－1；过定点A 的直线经过点C (－3，0)时，直线l 与x 轴交点的横坐标为－3，此时k ＝2－01＋3 ＝12 .数形结合(如图所示)可知满足条件的直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ .答案：B6．解析：如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2位置时，k ＝2－01－0＝2，故直线l 的斜率的取值范围是[0，2].答案：[0，2]7．解析：由题意可知k AB ＝k AC ＝12 ，即5＋13－x ＝y －57－3 ＝12 ，解得x ＝－9，y ＝7.答案：－9 78．解析：由题意知k P A ＝－1.设x 轴上点P 1(m ，0)，y 轴上点P 2(0，n )满足题意．由0－2m －1＝n －20－1＝－1，得m ＝n ＝3.所以点P 的坐标为(3，0)或(0，3). 答案：(3，0)或(0，3) 9.解析：f （x ）x 表示经过点O (0，0)和点A (x ，f (x ))的直线的斜率，所以我们可以赋予f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c几何意义：表示3个斜率．作函数f (x )＝log 2(x ＋1)的图象如图所示． 因为a >b >c >0，在函数图象上找到对应点(a ，f (a ))，(b ，f (b ))，(c ，f (c ))，将这三点与原点相连，可得f （c ）c >f （b ）b >f （a ）a.学科素养升级练1．解析：如图所示，过点P 作直线PC ⊥x 轴交线段AB 于点C ，作出直线P A ，PB .①直线l 与线段AB 的交点在线段AC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为钝角，斜率的范围是k ≤k P A .②直线l 与线段AB 的交点在线段BC (除去点C )上时，直线l 的倾斜角为锐角，斜率的范围是k ≥k PB .因为k P A ＝－3－12－1 ＝－4，k PB ＝－2－1－3－1 ＝34 ，所以直线l 的斜率k 满足k ≥34 或k ≤－4.答案：(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞2．解析：设点A 关于x 轴的对称点为A ′，则A ′(－1，－3)，连接A ′B ，与x 轴交于点C ，则点C 即为光照点．不妨设C (a ，0)，由题意可知A ′，B ，C 三点共线，∴k A ′C ＝k BC ，即0－（－3）a －（－1）＝0－7a －2 ，解得a ＝－110 .∴x 轴上光照点的坐标为⎝⎛⎭⎫－110，0 .。
高中数学 2.1.2 第2课时 直线方程的两点式和一般式配套课件 北师大版必修2
若直线(m－1)x－y－2m＋1＝0不经过第一象限，则实数 m的取值范围是________．
【解析】
m－1＜0， 1－2m＜0，
直线方程的一般式
设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y ＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值；
(1)l在x轴上的截距是－3； (2)l的斜率是－1.
【思路探究】 可根据所求的结论把一般式转化为其他 形式．
【自主解答】 (1)由题意可得
m2－2m－3≠0， m22－m2－m6－3＝－3，
第2课时 直线方程的两点式和一般式
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握直线方程的几种形式及它们之间的相互转化． (2)了解直线与二元一次方程的对应关系．
2．过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通 过新的知识的比较、分析、应用获得新知识的特点． 3．情感、态度与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化．(2)培养学生 用联系的观点看问题．
想”求得．
【自主解答】
(1)将直线l的方程整理为y－
3 5
＝a(x－
15)，∴l的斜率为a，且过定点A(15，35)，而点A(15，35)在第一象
限，
故l过第一象限．
(2)如图，直线OA的斜率k＝3515－ －00＝3， ∵l不经过第二象限，∴a≥3.
1．直线过定点(15，35)是解决本题的关键． 2．针对这个类型的题目，灵活地把一般式Ax＋By＋C ＝0(A，B不同时为0)进行变形是解决这类问题的关键．在求 参量取值范围时，巧妙地利用数形结合思想，会使问题简单 明了．
线l的两点式方程可化为 ax＋by＝1 的形式，这种形式的方 程叫作直线方程的截距式．其中 a 为直线在x轴上的截距， b 为直线在y轴上的截距．
高中数学 2.1.1 直线的倾斜角和斜率课件 北师大版必修
(3)求经过两点 A(a,2)，B(3,6)的直线的斜率． [思路分析] 利用斜率公式 k＝tanα 和 k＝yx22－ －yx11(x1≠x2)来 解决．
[规范解答] (1)k1＝tan30°＝ 33，k2＝tan45°＝1. (2)直线 AB 的斜率 kAB＝－1－ 4－23＝17； 直线 BC 的斜率 kBC＝0－－1－ －14＝－42＝－12； 直线 AC 的斜率 kAC＝2－3－－01＝33＝1. (3)当 a＝3 时，斜率不存在． 当 a≠3 时，直线的斜率 k＝3－4 a.
• 2．若直线x＝3的倾斜角为α，则α( )
• A．等于0°
B．等于45°
• C．等于90° D．不存在
• [答案] C
• [解析] ∵x＝3的斜率不存在，∴α＝90°，选C.
3．已知点 A(－1， 3)，B(1,3 3)，则直线 AB 的倾斜角是
() A．60°
B．30°
C．120°
D．150°
• [答案] A
[解析] k＝31－3－－13 ＝ 3，则直线 AB 的倾斜角是 60°.
• 4．正三角形的一条高线在y轴上，则三边所在直线的倾斜角 分别为__________．
• [答案] 0°，60°，120°
• [解析] 根据正三角形(高线、中线、角平分线)合一的性质 可知两条腰所在直线的倾斜角分别为60°和120°，底边所 在直线与x轴平行或重合，故倾斜角为0°.
• 直线的倾斜角和斜率的关系
a 为何值时，过点 A(2a,3)，B(2，－1)的直线的 倾斜角是锐角？钝角？直角？
• [思路分析] 根据倾斜角与斜率的关系解决本题．若直线的 倾斜角是锐角，则k>0，若为钝角，则k<0，若为直角，则 斜率不存在．
高中数学课件-2.1.3两条直线的位置关系课件( 北师大版必修2 )
4.已知经过两点(3，2)和(m,n)的直线l. (1)若l与x轴平行，则m,n的取值情况是__________; (2)若l与x轴垂直，则m,n的取值情况是__________.
【解析】(1)∵l与x轴平行,由图①可知m∈R且m≠3,n=2. (2)∵l与x轴垂直,由图②可知m=3,n∈R且n≠2.
【例2】如图,在平行四边形OABC中， 点A(3,0),点C(1,3). (1)求AB所在直线的方程; (2)过点C作CD⊥AB于点D， 求CD所在直线的方程. 【审题指导】已知四边形OABC是平行四边形，可以利用 平行四边形的有关性质求AB的斜率，利用两条直线垂直的 条件求CD的斜率,进而求相应直线的方程.
解得h≈14.92(m).
故灯柱高h约为14.92 m.
【典例】(12分)已知A(0，3)、B(-1，0)、C(3，0)，求D点 的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方 向排列). 【审题指导】解答本题可先对直角梯形中哪个角为直角进 行讨论，然后借助于平行、垂直的关系列方程组求D点的坐 标.
【例3】已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,求满足下 列条件的a的值：
(1)l1∥l2；
(2)l1⊥l2.
【审题指导】直线l1和l2的方程均以一般式的形式给出，要
判断l1∥l2及l1⊥l2时，参数a的取值，求解思路有二：一是把
方程均化成斜截式利用斜率及在y轴上截距的关系求解；二
答案：(1)m∈R且m≠3,n=2 (2)m=3,n∈R且n≠2
5.已知P(2,1),直线l:x-y+4=0. (1)求过点P与直线l平行的直线方程; (2)求过点P与直线l垂直的直线方程. 【解析】(1)设过点P与直线l平行的直线方程为x-y+m=0. 由题意可知2-1+m=0,解得m=-1. 所以过点P与直线l平行的直线方程为x-y-1=0. (2)设过点P与直线l垂直的直线方程为x+y+n=0. 由题意可知2+1+n=0,解得n=-3. 所以过点P与直线l垂直的直线方程为x+y-3=0.
高中数学《参数方程-直线的参数方程》课件
-1-
2.1
直线的参数方程
-2-
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课程目标
1.掌握直线参数方程的标准形
式,理解参数 t 的几何意义.
2.能依据直线的几何性质,写出
它的两种形式的参数方程,体会
参数的几何意义.
3.能利用直线的参数方程解决
简单的实际问题.
学习脉络
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
3π
4
3π
= -1 + cos ,
4
3π (t
= 2 + sin
4
解:因为 l 过定点 M,且 l 的倾斜角为 ,
所以它的参数方程是
即
2
t,
2
(t
2
+ t
2
= -1=2
为参数).
为参数).①
把①代入抛物线方程,得 t2+ 2t-2=0.
解得 t1=
- 2+ 10
- 2- 10
,t2=
5
= 1 + t,
=
为参数).
因为 3×5-4×4+1=0,所以点 M 在直线 l 上.
4
5
由 1+ t=5,得 t=5,即点 P 到点 M 的距离为 5.
因为 3×(-2)-4×6+1≠0,所以点 N 不在直线 l 上.
由两点间距离公式得|PN|= (1 + 2)2 + (1-6)2 = 34.
π
6
即 α= 或
5π
3
时,|PA||PB|最小,其最小值为
1
6
2 1+4
6
北师大版高中高一数学必修2《直线与直线的方程》评课稿
北师大版高中高一数学必修2《直线与直线的方程》评课稿引言《直线与直线的方程》是北师大版高中高一数学必修2的一篇重要教材内容。
在本评课稿中，我将对该课程进行详细评价和分析。
通过对教材内容、教学目标、教学方法、学生反应等方面的细致观察和思考，以期为进一步改进教学提供有益的建议。
教材内容分析《直线与直线的方程》是数学必修2中的一篇重要章节，主要涵盖了直线的基本概念、直线的方程、直线的特殊情况等内容。
教材内容丰富，层次分明，内容之间有着良好的逻辑关系。
通过学习这个章节，学生可以深入了解直线的性质和方程的求解方法。
具体来说，教材内容主要包括以下几个方面：1.直线的基本概念：介绍了直线的定义、直线上的点和直线的方程等基本概念，为后续内容的学习打下了基础。
2.直线的方程：讲解了直线的一般方程、点斜式方程和两点式方程的概念和求解方法。
通过具体例子的讲解，帮助学生掌握直线方程的推导和应用。
3.直线的特殊情况：介绍了斜率无穷大、斜率为零和斜率相等的特殊情况。
通过这些特殊情况的分析，学生可以更好地理解直线的性质和方程的特点。
综上所述，教材内容既涵盖了基本概念的讲解，又深入剖析了方程的求解方法，具备了培养学生数学思维能力和解决实际问题的能力的潜力。
教学目标分析《直线与直线的方程》这一章节的教学目标是培养学生对直线的理解和掌握直线的方程的求解能力，具体目标包括：1.掌握直线的基本概念，包括直线的定义、直线上的点和直线的一般方程等。
2.理解点斜式方程和两点式方程，并能够根据输入的条件将其转换成一般方程。
3.掌握直线的特殊情况，如斜率无穷大、斜率为零和斜率相等的特殊情况，并能应用这些概念解决实际问题。
4.培养学生分析问题、解决问题的能力，鼓励学生亲自动手解决直线方程相关的问题。
通过达到上述目标，学生将能够建立起对直线及其方程的全面理解，为进一步学习几何知识打下坚实基础。
教学方法分析在《直线与直线的方程》这一章节的教学中，教师应选用多种教学方法，以促进学生的主动参与和批判性思维的发展。
2020年高中数学第二章解析几何初步11.1直线的倾斜角和斜率课件北师大版必修2
【解析】 当 0°≤α＜135°时，l1 的倾斜角为 α＋45°；当 135°≤α＜180°时，如图．此时 l1 的倾斜角为 β，则
β＝α＋45°－180°＝α－135°. 【答案】 当 0°≤α＜135°时，倾斜角为 α＋45°，当 135°≤α ＜180°时，为 α－135°
【规律总结】 求倾斜角时，主要根据定义，画出图形，找 准倾斜角．有时需分类讨论，把角分为四类：①0°角；②锐角； ③直角；④90°＜α＜180°.
【错因分析】 (2)中求斜率 k 的取值范围时，未结合图形分 析 k 的变化趋势．
【正解】 (1)kPM＝－23－－11＝－4，kPN＝－ －23－ －11＝34.
(2)如图所示，l′是经过点 P 且与 x 轴垂直 的直线，当直线 l 由 PN 位置绕点 P 向 l′位置 旋转时，直线的倾斜角在锐角范围内逐渐增 大，斜率也逐渐增大，此时 k≥kPN＝34；当直 线 l 由 l′位置绕点 P 向直线 PM 位置旋转时，直线的倾斜角在钝角 范围内逐渐变大，斜率也逐渐增大，此时，k≤kPM＝－4.
5．已知 a>0，若平面上三点 A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3) 共线，求 a 的值．
解：∵kAB＝a2－2－－1 a＝a2＋a 存在， 又 A，B，C 三点共线，∴kAC＝a3－3－－1 a＝a3＋2 a也存在，且 kAB＝kAC，即 a2＋a＝a3＋2 a，整理得 a(a2－2a－1)＝0. 解得 a＝0 或 a＝1± 2.又∵a>0，∴a＝1＋ 2.
已知三点 A(a,2)，B(5,1)，C(－4,2a)在同一
直线上，求 a 的值． 解：∵kBC＝－2a4－－15＝－2a－ 9 1存在， 又 A，B，C 三点共线， ∴kAB 也存在，且 kAB＝kBC. 即－2a－ 9 1＝15－ －2a(a≠5)， ∴2a2－11a＋14＝0， 解得 a＝72或 a＝2.
高一数学：1.2.3直线的一般式方程 课件 (北师大必修2)
⒊求下列直线的斜率和在Y轴上的截距，并 画出图形： ①k= - 3，B=5； ①3x+y-5=0 ②x/4 －y/5 =1 ③x+2y=0
②k=5/4，b= -5 ； ③k= -1/2，b=0； ④k=7/6，b=2/3 ⑤k=0，b=7/2。
④7x－6y+4=0
⑤2y－7=0
Ax+By+C=0, A、B不同时为0。
㈡讲解新课： ①直角坐标系中，任何一条直线的方程都是关于x，y的一 次方程。
⑴直线和Y轴相交时：此时倾斜斜角α≠π/2，直线的斜 率k存在，直线可表示成y =k x+b（是否是二元一次方程？）
⑵直线和Y轴平行（包括重合）时：此时倾斜角α=π/2， 直线的斜率k不存在，不能用y =ｋｘ＋ｂ表示，而只能表 示成ｘ＝ａ（是否是二元一次方程？） 结论：任何一条直线的方程都是关于ｘ，ｙ的二元一次方程。 ②任何关于x，y的一次方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零） 的图象是一条直线
直线l的斜截式方程是___________ 4x+3y+16=0 直线l的一般式方程是___________
例2：把直线L的方程x –2y+6= 0化成斜截式， 求出直线L的斜率和它在x轴与y轴上的截距， 并画图。 y
3
解：将原方程移项，得2y = x+6， 两边除以2，得斜截式
-6
o
x
因此，直线L的斜率k=1/2，它在y轴上的截距是3 ，
《直线的一般式方程》
教学目的
• 使学生知道什么是直线的一般式方程，会 将直线的一般式方程化为点斜式、斜截式、 两点式方程，反之亦然，理解二元一次方 程与直线的关系。 • 教学重点：直线的一般式方程、点斜式方 程、斜截式方程的互化。 • 教学难点：理解二元一次方程与直线的关 系。
2.1.4 两条直线的交点 课件(北师大必修2)
当方程组无解时，说明l1与l2 平行 ．
[小问题·大思维]
1．已知平面上A、B、C三点的坐标，能否用解方程
组的办法来解决三点是否共线的问题？
提示：能．联立直线AB、BC的方程，若方程组有 唯一解，则A、B、C三点不共线；若方程组有无 数个解，则A、B、C三点共线．
2．如何判断直线与直线、直线与其它图像的交点个数？ 提示：法一：列出方程组，看有几组解，有几组解就 有几个交点．当方程组易解时此法才有效． 法二：当列出的方程组不易解时，可分别画出图像，
2x＋3y－7＝0， (1)解方程组 5x－y－9＝0，
x＝2， 得 y＝1.
所以交点坐标为(2,1)，所以 l1 与 l2 相交．
2x－3y＋5＝0， (2)解方程组 4x－6y＋10＝0，
① ②
①× 得 4x－6y＋10＝0. 2 因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线， l1 与 l2 重合．
m－5都恒过一个定点．
证明：法一：取 m＝1，直线为 y＝－4； 1 再取 m＝ ， 直线为 x＝9. 2 两直线的交点为 P(9，－4)． 将点 P 的坐标代入原方程左端得 (m－1)x＋(2m－1)y＝(m－1)× 9－(2m－1)× 4＝m－5. 故不论 m 为何实数，点 P(9，－4)总在直线(m－1)x ＋(2m－1)y＝m－5 上，即此直线过定点(9，－4)．
因此①和②可以化成同一个方程，即方程组有无数组 解，所以两直线重合． 2x－6y＝0， (3)解方程组 1 1 y＝3x＋2， ②× 6－①得3＝0，矛盾， 方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行. ① ②
[研一题] [例2] 求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋
《空间直线》课件1 (北师大版必修2)
空间中直线与直线 之间的位置关系(1)
1、空间两条直线的位置关系
①相交直线 ---------有且仅有一个公共点 ②平行直线 --------在同一平面内,没有公共点 ③异面直线 -------不同在任何一个平面内,没有公共点
①从有无公共点的角度：
有且仅有一个公共点---------相交直线 平行直线 没有公共点--------异面直线
②从是否共面的角度
不同在任何一个平面内---------异面直线 相交直线 在同一平面内-------平行直线
异面直线的画法
b
b
β
a
b
α
α
图1 图2
a
α
a
图3
这样表示a、b异面正确吗？
β
b
α
a
如图:AA1与CC1在同一平面吗?
D1
直观上 理论上
A1 B1
C1
在图中找出另外的一些异 面直线
D C B
Ｐ
Ｄ Ａ Ｍ
Ｅ Ｃ Ｎ Ｂ
练习：
１、一条直线与两条异面直线中的一条相交， 那么它与另一条之间的位置关系是（
Ａ、平行 Ｃ、异面 Ｂ、相交 Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面
）
２、两条异面直线指的是（
Ａ、没有公共点的两条直线
）
Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线 Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直 线 Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线
A F D B G E H c
例2、已知四边形ＡＢＣＤ是空间四边形，Ｅ、Ｈ 分别是边ＡＢ、ＡＤ的中点，Ｆ、Ｇ分别是边ＣＢ、 ＣＦ ＣＤ上的点，且 ＝ ＣＧ ＝ ２ 。 ３ ＣＢ ＣＤ 求证：四边形ＥＦＧＨ有一组对边平行但不相等
《直线的方程》课件1 (北师大版必修2)
直线与y轴交于一点（0,b）定义b为直线在y轴上的截距.
由这两个特殊点，如何求直线的方程？有何特征？
x y 1 a b
以上直线方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的， 所以叫做直线方程的截距式.
2、直线方程的两点式和截距式
探究4：a,b表示截距，是不是表示直线 与坐标轴的两个交点到原点的距离？
不能,因为斜率可能不存在. 因此,在具体运用时应根据情况分类讨论,避免遗漏.
1、直线方程的点斜式和斜截式
问题3：
求直线L的方程？
直线L与Y轴交点的纵坐标。 纵截距： 说明： 直线L与X轴交点的横坐标。 横截距：
(1)上述方程是由直线L的斜率和它的纵截距确定的，叫做直线的方程的斜截式。 (2)纵截距可以大于0，也可以等于0或小于0。 (3)斜截式与点斜式存在什么关系？斜截式是点斜式的特殊情况，某些情况下用 斜截式比用点斜式更方便. (4)斜截式在形式上与一次函数的表达式一样，但它们之间有什么差别？ 什么情况下，斜截式方程才是一次函数的表达式.
7.2 直线的方程（1）
7.2 直线的方程(1)
一.复习回顾
直线的方程与方程的直线 直的倾斜角和斜率 概念辨析
斜率公式 斜率公式的形式特点及适用范围 确定一条直线需要具备几个独立条件
直线的方程与方程的直线
以一个方程的解为坐标的点都是某条直 线上的点，反过来，这条直线上的点的坐 标都是这个方程的解，这时，这个方程就 叫做这条直线的方程；这条直线叫做这个 方程的直线。
3、直线方程的一般形式
例1、已知直线经过点A（6，- 4），斜率为-4/3， 求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜 式是 y + 4 = -4/5 （x – 6） 化成一般式，得 4x+3y – 12=0
2-1-3两条直线的位置关系课件(北师大版必修二)
想一想：为什么斜率相等的两条直线不一定平行呢？ 提示 我们知道确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要 素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．斜率相等，说明它 们的倾斜角相等，而倾斜角相等的直线不一定平行，还有可能 重合，这是由于还需要确定它们是否经过一个不同的定点．通 常验证这两条直线与 y 轴的交点，即在 y 轴上的截距是否相等 即可．
[思路探索] 解答本题可先求出直线方程，再确定直线的斜率和 在 y 轴上的截距，并由这两个要素判断两直线的位置关系． 解 (1)两条直线的斜率分别为 k1＝－3，k2＝－3，在 y 轴上的 截距分别为 b1＝1，b2＝18，因为 k1＝k2，b1≠b2，所以 l1∥l2. 1－－2 －1－4 5 (2)k1＝ ＝1，k2＝ ＝ ， 2－－1 －1－3 4 k1≠k2，∴l1 与 l2 不平行．
(2)当 B1B2≠0 时，由(1)可知，l1⊥l2⇔k1·2 k
A1 A2 － ＝－B · B ＝－1，即 1 2
A1A2＋B1B2＝0.
当 B1＝0 时，要使 l1⊥l2，则 A2＝0； 同理当 B2＝0 时，要使 l1⊥l2，则 A1＝0. 综上可知，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
k2 ＝ 7 －0 6
3 ＝4.
k2 ＝
7 0－－8
7 －0 6
3 ＝ . 4
∵k1≠k2，k1·2≠－1， k ∴两直线既不平行，也不垂直． －3 3－2 3 (3)由题意知，k1＝tan 60° 3，k2＝ ＝ ＝ 3. －2－3 因为 k1＝k2， 所以 l1∥l2 或 l1 与 l2 重合．
3－2 1 (3)∵k1＝－10，k2＝ ＝ ，k k ＝－1， 20－10 10 1 2 ∴l1⊥l2. (4)直线 l1 的斜率 k1＝tan 60° 3， ＝ 在 y 轴上的截距 b1＝－2， x y 直线 l2 的截距式方程为3＋ ＝1， 3 3 其斜率 k2＝－ 3 ，所以 k1·2＝－1，则 l1⊥l2. k
高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2
题型一
题型二
题型三
题型四
方法三: 很显然直线l不为直线l2,所以可设直线l的方程为x-2y+4+λ(x+y2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0, 由题意,知3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0, 解得λ=11,则直线l的方程为4x+3y-6=0. 反思本题的三种方法是从三个不同的角度来考虑的.方法一是从 垂直直线的斜率关系来考虑,求出直线l的斜率和一定点坐标;方法 二是从直线l与直线l3垂直来考虑,利用垂直直线系设出方程;方法三 是从直线l过直线l1和l2的交点来考虑,利用过两条直线交点的直线 系设出方程.
4 3
题型一
题型二
题型三
题型四
方法二 : 设直线 l 的方程为 4x+3y+m=0. 因为它过两条直线 l1 与 l2 的交点 P, ������-2������ + 4 = 0, 解方程组 得 P(0,2), ������ + ������-2 = 0, 所以 4×0+3×2+m=0, 解得 m=-6. 所以直线 l 的方程为 4x+3y-6=0.
������ = -1, 得 所以直线 l1 和 l2 相交,交点坐标是(-1,-2). ������ = -2,
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
判断两条直线的位置关系
【例 1】 判断直线 l1:x-2y+1=0 与直线 l2:2x-2y+3=0 的位置关系. 如果相交, 求出交点坐标.
������ = -2, ������-2������ + 1 = 0, 解:解方程组 得 1 所以直线 l1 与 l2 相交, 交 2������-2������ + 3 = 0, ������ = - , 点坐标是 -2,- 2 .
高中数学北师大版必修2《第2章 1 1.2 第1课时 直线方程的点斜式》课件
斜截式 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 b
图示
方程 适用范围
y_－__y__0_＝__k_(_x_－__x_0_)_
斜率存在
__y_＝__k_x__＋_ b
4
思考1：直线的点斜式方程能否表示平面内所有的直线？ 提示：不能．不表示倾斜角为90°的直线．
5
2．直线 l 的截距
(1)在 y 轴上的截距：直线与 y 轴的交点(0，b)的 纵坐标 ． (2)在 x 轴上的截距：直线与 x 轴的交点(a,0)的 横坐标 ．
21
[解] (1)法一：易知直线的斜率存在， 设直线方程为y＝k(x－2)，
∵点A(3,4)在直线上， ∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8， ∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.
22
法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)， 则直线的斜率k＝43－－02＝4， 由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8， ∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8. (2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1， 直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3， 所以所求直线方程的斜截式为y＝－x＋3.
3 2
(x＋7)
[(1)k＝tan 135°＝－1，由
直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
(2)由直线与x轴交点的横坐标为－7，得直线过点(－7,0)．
又斜率为 23， 所以所求直线的点斜式方程为：
y－0＝ 23(x＋7)．]
16
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程． (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
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答案: 直线方程为:y=x+2
推广
已知两点P1(x1,y1),P2(x2 ,y2),（其中x1≠x2且 y1≠y2），又如何求出通过这两点的直线方程呢？
练习１：求经过点Ａ（－１，８），
Ｂ（４，－２）的直线方程。
2x+y-6=0 练习2：求经过点Ａ（－3，6）， Ｂ（10，6）的直线方程。 y=6
B(-3,5)
•
y
4
A(6,4)
•
-4-20Fra bibliotekP4
6
x
-4
A1(6,-4)
•
1)直线的两点式方程： y y1 x x1 x1 x2 , y1 y 2
y 2 y1 x2 x1
你学到了什么
注：当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为０（y1=y2)时， 不能用两点式求出它的方程．
例１ 已知直线 l 过两点 A（a,0), B（0,b), 其中a≠0,b≠0,求直线 l 的方程。
•
y
•B(0,b)
A(a,0) 0
x
练习3：求过点P(2,3),并且在两轴上的
截距相等的直线方程。
y
x+y-5=0
3 ·P（2
3x-2y=0
,3）
x
o
2
例4 已知三角形的三个顶点A（－5,0），
x y 2)直线的截距式方程为: a b 1a 0, b 0
注：当直线过原点或与坐标轴平行时， 不能用截距式求出它的方程。 ３)数学思想方法:分类讨论思想﹑ 数形结合思想﹑待定系数法
作业:
直线的方程
1). 直线的点斜式方程：
复 习
y- y0 =k(x- x0 ) 直线经过点P0(x0 ,y0) ,斜率为k
设 疑
注 当k不存在时,直线方程为:x= x 意：
2). 直线的斜截式方程： y=kx+b 斜率为k，直线在y轴上的截距为b
0
练
习
已知直线经过P1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方程． 思路： 点 斜 式 另解：（斜截式）设直 线方程为：y=kx+b.
B(3,-3),C(0,2).求BC边所在直线的方程, y 以及该边上中线所在直线的方程。
交 流 与 讨 论:
.
C
(1)若改为:分别求AC边 A O 和AB边所在直线的方程, 你怎样求解? (2)关于给定两点 求直线方程问题,是否一定要用两点式求解? 你有何体会?
.
.
M
x
.
B
探究活动:
（如图）X轴表示一条河，骆驼队从A地出 发前往河中取水，然后运到B处。你知道在 何处取水，行程最短吗？