实验报告--动态规划法解0-1背包问题
动态规划与回溯法解决0-1背包问题
0-1背包动态规划解决问题一、问题描述：有n个物品，它们有各自的重量和价值，现有给定容量的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？二、总体思路：根据动态规划解题步骤（问题抽象化、建立模型、寻找约束条件、判断是否满足最优性原理、找大问题与小问题的递推关系式、填表、寻找解组成）找出01背包问题的最优解以及解组成，然后编写代码实现。
原理：动态规划与分治法类似，都是把大问题拆分成小问题，通过寻找大问题与小问题的递推关系，解决一个个小问题，最终达到解决原问题的效果。
但不同的是，分治法在子问题和子子问题等上被重复计算了很多次，而动态规划则具有记忆性，通过填写表把所有已经解决的子问题答案纪录下来，在新问题里需要用到的子问题可以直接提取，避免了重复计算，从而节约了时间，所以在问题满足最优性原理之后，用动态规划解决问题的核心就在于填表，表填写完毕，最优解也就找到。
过程：a) 把背包问题抽象化（X1，X2，…，Xn，其中 Xi 取0或1，表示第i 个物品选或不选），V i表示第i 个物品的价值，W i表示第i 个物品的体积（重量）；b) 建立模型，即求max(V1X1+V2X2+…+VnXn)；c) 约束条件，W1X1+W2X2+…+WnXn<capacity；d) 定义V(i,j)：当前背包容量j，前i 个物品最佳组合对应的价值；e) 最优性原理是动态规划的基础，最优性原理是指“多阶段决策过程的最优决策序列具有这样的性质：不论初始状态和初始决策如何，对于前面决策所造成的某一状态而言，其后各阶段的决策序列必须构成最优策略”。
判断该问题是否满足最优性原理，采用反证法证明：假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解，则有(X2，X3，…，Xn)是其子问题的最优解，假设(Y2，Y3，…，Yn)是上述问题的子问题最优解，则理应有(V2Y2+V3Y3+…+V n Yn)+V1X1 > (V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1；而(V2X2+V3X3+…+VnXn)+V1X1=(V1X1+V2X2+…+VnXn)，则有(V2Y2+V3Y3+…+VnYn)+V1X1 > (V1X1+V2X2+…+VnXn)；该式子说明(X1，Y2，Y3，…，Yn)才是该01背包问题的最优解，这与最开始的假设(X1，X2，…，Xn)是01背包问题的最优解相矛盾，故01背包问题满足最优性原理；f) 寻找递推关系式，面对当前商品有两种可能性：第一，包的容量比该商品体积小，装不下，此时的价值与前i-1个的价值是一样的，即V(i,j)=V(i-1,j)；第二，还有足够的容量可以装该商品，但装了也不一定达到当前最优价值，所以在装与不装之间选择最优的一个，即V(i,j)=max｛V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝其中V(i-1,j)表示不装，V(i-1,j-w(i))+v(i) 表示装了第i个商品，背包容量减少w(i)但价值增加了v(i)；由此可以得出递推关系式：1) j<w(i) V(i,j)=V(i-1,j)2) j>=w(i) V(i,j)=max｛ V(i-1,j)，V(i-1,j-w(i))+v(i) ｝number＝4，capacity＝7四、构造最优解：最优解的构造可根据C列的数据来构造最优解，构造时从第一个物品开始。
动态规划之01背包问题(最易理解的讲解)
01背包问题，是用来介绍动态规划算法最经典的例子，网上关于01背包问题的讲解也很多，我写这篇文章力争做到用最简单的方式，最少的公式把01背包问题讲解透彻。
01背包的状态转换方程f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为j 的背包中，可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策：为了背包中物品总价值最大化，第i件物品应该放入背包中吗？题目描述：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最首先要明确这张表是从右到左,至底向上生成的。
为了叙述方便，用e10单元格表示e行10列的单元格，这个单元格的意义是用来表示只有物品e时，有个承重为10的背包，那么这个背包的最大价值是6，因为e物品的重量是4，背包装的了，把e装进去后价值为6。
然后是e9单元格表示背包承重9，只有物品e, e装进去后，背包价值为6，接着是e8, e7单元格，一直到e3单元格表示背包承重3，但物品e承重4，装不了，所以e3=0,对于d10单元格，表示只有物品e，d时,承重为10的背包,所能装入的最大价值，是10，因为物品e,d这个背包都能装进去。
对于承重为9的背包，d9=10,是怎么得出的呢？根据01背包的状态转换方程，需要考察两个值，一个是f[i-1,j],对于这个例子来说就是e9的值6，另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi；在这里，f[i-1,j]表示我有一个承重为9的背包，当只有物品e可选时，这个背包能装入的最大价值f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为4的背包（等于当前背包承重减去物品d的重量），当只有物品e可选时，这个背包能装入的最大价值f[i-1,j-Wi]就是指单元格e4值为6，Pi指的是d物品的价值，即4由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 6 + 4 = 10 大于f[i-1,j] = 6，所以物品d应该放入承重为9的背包，所以d9=10.。
【优质】背包问题实验报告-范文word版 (13页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==背包问题实验报告篇一：背包问题实验报告课程名称：任课教师：班级:201X姓名：实验报告算法设计与分析实验名称：解0-1背包问题王锦彪专业：计算机应用技术学号：11201X 严焱心完成日期： 201X年11月一、实验目的：掌握动态规划、贪心算法、回溯法、分支限界法的原理，并能够按其原理编程实现解决0-1背包问题，以加深对上述方法的理解。
二、实验内容及要求：1．要求分别用动态规划、贪心算法、回溯法和分支限界法求解0-1背包问题；2．要求显示结果。
三、实验环境和工具：操作系统：Windows7 开发工具：Eclipse3.7.1 jdk6 开发语言：Java四、实验问题描述：0/1背包问题:现有n种物品，对1<=i<=n，第i种物品的重量为正整数Wi，价值为正整数Vi，背包能承受的最大载重量为正整数C，现要求找出这n种物品的一个子集，使得子集中物品的总重量不超过C且总价值尽量大。
动态规划算法描述:根据问题描述，可以将其转化为如下的约束条件和目标函数：nmax?vixi?n??wixi?C?i?1?x?{0,1}(1?i?n)?i寻找一个满足约束条件，并使目标函数式达到最大的解向量nX?(x1,x2,x3,......,xn)wixi，使得?i?1?C，而且?vixii?1n达到最大。
0-1背包问题具有最优子结构性质。
假设(x1,x2,x3,......,xn)是所给的问题的一个最优解，则(x2,x3,......,xn)是下面问题的一个最优解：?n??wixi?C?w1x1max?i?2?x?{0,1}(2?i?n)?i如果不是的话，设(y?vixi。
i?2nn2,y3,......,yn)是这个问题的一个最优解，则?viyi??vixi，且w1x1 i?2i?2n??wiyii?2?C。
实验报告：动态规划01背包问题）范文（最终五篇）
实验报告：动态规划01背包问题）范文（最终五篇）第一篇：实验报告：动态规划01背包问题)范文XXXX大学计算机学院实验报告计算机学院2017级软件工程专业班指导教师学号姓名2019年 10月 21日成绩课程名称算法分析与设计实验名称动态规划---0-1 背包问题①理解递归算法的概念实验目的②通过模仿0-1 背包问题，了解算法的思想③练习0-1 背包问题算法实验仪器电脑、jdk、eclipse 和器材实验：0-1 背包算法：给定N 种物品，每种物品都有对应的重量weight 和价值 value，一个容量为maxWeight 的背包，问：应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值最大。
（面对每个物品，我们只有拿或者不拿两种选择，不能选择装入物品的某一部分，也实验不能把同一个物品装入多次）代码如下所示：内 public classKnapsackProblem {容 /**、上 * @paramweight 物品重量机 * @paramvalue 物品价值调 * @parammaxweight背包最大重量试程 *@return maxvalue[i][j] 中，i 表示的是前 i 个物品数量，j 表示的是重量序 */、publicstaticint knapsack（int[]weight , int[]value , intmaxweight){程序运行结果实验内 intn =;包问题的算法思想：将前 i 个物品放入容量容为 w 的背包中的最大价值。
有如下两种情况：、①若当前物品的重量小于当前可放入的重量，便可考虑是上否要将本件物品放入背包中或者将背包中的某些物品拿出机来再将当前物品放进去；放进去前需要比较（不放这个物调品的价值）和（这个物品的价值放进去加上当前能放的总试重量减去当前物品重量时取i-1 个物品是的对应重量时候程的最高价值），如果超过之前的价值，可以直接放进去，反序之不放。
01背包实验报告
算法设计与分析实验报告0_1背包一．问题描述假设有n件物品，每件物品有各自的重量W1,W2,……,Wn和与之对应的价值V1,V2,……,Vn。
设背包的容量为c，在不超过背包容量的前提下，求出获得最大价值总和的方案。
（0-1背包的情况下物品不可分割，只能选择放入，或者不放入背包中）。
二．求解思路1.贪心策略问题开始阶段，将所有物品按价值从高到低排列，每一次往背包里放入不超过背包容量的价值最大的物品，直到没有物品可放入为止。
但事实证明，由于物品的不可分割性，0-1背包并不适合贪心策略。
例：假设背包的容量为50，共有三件物品(重量,价值)：（10，60），（20，100），（30，120）。
若使用贪心策略，则会选择一个（30，120）和一个（20，100）。
得到的价值总和是220。
而稍加计算便可知选取两个(20，100)和一个（10，60）可以得到更大的价值总和260。
因此贪心策略不能给出0-1背包的最优解。
后话：即使是普通背包问题（物品可分割），每次选择价值最大的物品也不能得到最优解。
正确的贪心策略应是：每次选择单位重量下价值最大的物品。
由于本次实验主要讨论的是0-1背包问题，这里就不给出该贪心策略的证明。
2.动态规划(1)证明0-1背包问题具有最优子结构性质：假设(x1,x2,……,xn)是容量为c的背包的一组最优解，其中xi的取值为0或1，表示是否放入背包中。
则必有（x2,x3,……,xn）为如下子问题的一组最优解：sum{xi*wi} (2<=i<=n)<=c-x1*w1利用反证法证明，假设（y1,y2,……,yn）是该子问题的一组最优解而（x2,x3,……,xn）不是。
则sum{yi*vi} > sum{xi*vi} (2<=i<=n)那么就可得到:x1*v1+ sum{yi*vi} > x1*v1+ sum{xi*vi} (2<=i<=n)则(x1,y2,……,yn)是原问题的最优解，而(x1,x2,……,xn)不是，与假设矛盾。
利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划
利用动态规划解决01背包问题01背包问题动态规划背包问题是一个经典的动态规划模型,很多关于算法的教材都把它作为一道例题,该问题既简单又容易理解,而且在某种程度上还能够揭示动态规划的本质。
将具有不同重量和价值的物体装入一个有固定载重量的背包,以获取最大价值,这类问题被称为背包问题。
背包问题可以扩展出很多种问题,而01背包问题是最常见、最有代表性的背包问题。
一、问题描述给定一个载重量为M的背包及n个物体,物体i的重量为wi、价值为pi,1≤i≤n,要求把这些物体装入背包,使背包内的物体价值总量最大。
此处我们讨论的物体是不可分割的,通常称这种物体不可分割的背包问题为01背包问题。
二、基本思路01背包问题的特点是:每种物体只有一件,可以选择放或者不放。
假设:xi表示物体i被装入背包的情况,xi=0,1。
当xi=0时,表示物体没有被装入背包;当xi=1时,表示物体被装入背包。
根据问题的要求,有如下的约束方程(1)和目标函数(2):三、利用动态规划法求解01背包问题(一)动态规划算法的基本思想动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中,可能会有许多可行解。
每一个解都对应于一个值,我们希望找到具有最优值的解。
动态规划算法与分治法类似,其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题,先求解子问题,然后从这些子问题的解得到原问题的解。
与分治法不同的是,适合于用动态规划求解的问题,经分解得到子问题往往不是互相独立的。
若用分治法来解这类问题,则分解得到的子问题数目太多,有些子问题被重复计算很多次。
如果我们能够保存已解决的子问题的答案,而在需要时再找出已求得的答案,这样就可以避免大量的重复计算,节省时间。
我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。
不管该子问题以后是否被用到,只要它被计算过,就将其结果填入表中,这就是动态规划法的基本思路。
具体的动态规划算法多种多样,但它们具有相同的填表格式。
(二)算法设计假定背包的载重量范围为0～m。
蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题【精选】
一、实验内容：分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。
注：0/1背包问题：给定种物品和一个容量为的背包，物品的重n C i 量是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装i w i v 入背包中的物品的总价值最大。
其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。
二、所用算法的基本思想及复杂度分析：1.蛮力法求解0/1背包问题：1）基本思想：对于有n 种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n 的0-1向量组成,可用子集数表示。
在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。
2）代码:#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;#define N 100//最多可能物体数struct goods //物品结构体{int sign;//物品序号int w;//物品重量int p;//物品价值}a[N];bool m(goods a,goods b){return (a.p/a.w)>(b.p/b.w);}int max(int a,int b){return a<b?b:a;}int n,C,bestP=0,cp=0,cw=0;int X[N],cx[N];/*蛮力法求解0/1背包问题*/int Force(int i){if(i>n-1){if(bestP<cp&&cw+a[i].w<=C){for (int k=0;k<n;k++)X[k]=cx[k];//存储最优路径bestP=cp;}return bestP;}cw=cw+a[i].w;cp=cp+a[i].p;cx[i]=1;//装入背包Force(i+1);cw=cw-a[i].w;cp=cp-a[i].p;cx[i]=0;//不装入背包Force(i+1);return bestP;}int KnapSack1(int n,goods a[],int C,int x[]){Force(0);return bestP;}int main(){goods b[N];printf("物品种数n: ");scanf("%d",&n);//输入物品种数printf("背包容量C: ");scanf("%d",&C);//输入背包容量for (int i=0;i<n;i++)//输入物品i 的重量w 及其价值v {printf("物品%d 的重量w[%d]及其价值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].p);b[i]=a[i];}int sum1=KnapSack1(n,a,C,X);//调用蛮力法求0/1背包问题printf("蛮力法求解0/1背包问题:\nX=[ ");for(i=0;i<n;i++)cout<<X[i]<<" ";//输出所求X[n]矩阵printf("]装入总价值%d\n",sum1);bestP=0,cp=0,cw=0;//恢复初始化}3）复杂度分析：蛮力法求解0/1背包问题的时间复杂度为：。
0-1背包问题的动态规划法与回溯法
0-1背包问题的动态规划法与回溯法⼀、动态规划状态转移⽅程：1从前往后：2if(j>=w[i])3 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);4else5 m[i][j]=m[i-1][j];67从后往前：8if(j>=w[i])9 m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);10else11 m[i][j]=m[i+1][j];算法：1从前往后：2for(int i=1;i<=n;i++)3for(int j=1;j<=c;j++)4 {5if(j>=w[i])6 {7 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);8 }9else//这⾥没有考虑j<0的情况，因为算法中j取不到10 {11 m[i][j]=m[i-1][j];12 }13 }1415从后往前：16for(int i=n;i>=1;i--)17for(int j=1;j<=c;j++)18 {19if(j>=w[i])20 {21 m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);22 }23else24 {25 m[i][j]=m[i+1][j];26 }27 }例⼦：例：0-1背包问题。
在使⽤动态规划算法求解0-1背包问题时，使⽤⼆维数组m[i][j]存储背包剩余容量为j，可选物品为i、i+1、……、n时0-1背包问题的最优值。
绘制重量数组w = {4, 6, 2, 2, 5, 1}，价值数组v = {8, 10, 6, 3, 7, 2}，背包容量C = 12时对应的m[i][j]数组。
（从前往后）例题代码 :1 #include<iostream>2 #include<cmath>3 #include<cstring>4#define N 205using namespace std;6int main()7 {8int w[N]={0,4,6,2,2,5,1},v[N]={0,8,10,6,3,7,2};9int m[N][N];10 memset(m,0,sizeof(m));11int n=6,c=12; //n,c均要⼩于N12for(int i=1;i<=n;i++)13for(int j=1;j<=c;j++)14 {15if(j>=w[i])16 {17 m[i][j]=max(m[i-1][j],m[i-1][j-w[i]]+v[i]);18 }19else20 {21 m[i][j]=m[i-1][j];22 }23 }24 cout<<m[n][c]<<endl; //从前往后2526/*27 for(int i=n;i>=1;i--)28 for(int j=1;j<=c;j++)29 {30 if(j>=w[i])31 {32 m[i][j]=max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);33 }34 else35 {36 m[i][j]=m[i+1][j];37 }38 }39 cout<<m[1][c]<<endl;//从后往前40*/41return0;42 }⼆、回溯法1进⼊左⼦树条件：cw+w[i]<=c //cw为当前重量2进⼊右⼦树条件（减枝函数）：cp+r>bestp //cp为当前价值，bestp为当前最优价值，r为当前剩余物品价值总和。
动态规划求解01背包问题
动态规划求解01背包问题问题给定n种物品和⼀个背包，物品(1<=i<=n)重量是w I ，其价值v i,背包容量为C,对每种物品只有两种选择：装⼊背包和不装⼊背包，即物品是不可能部分装⼊，部分不装⼊。
如何选择装⼊背包的物品，使其价值最⼤？想法该问题是最优化问题，求解此问题⼀般采⽤动态规划（dynamic plan），很容易证明该问题满⾜最优性原理。
动态规划的求解过程分三部分：⼀：划分⼦问题：将原问题划分为若⼲个⼦问题，每个⼦问题对应⼀个决策阶段，并且⼦问题之间具有重叠关系⼆：确定动态规划函数：根据⼦问题之间的重叠关系找到⼦问题满⾜递推关系式（即动态规划函数），这是动态规划的关键三：填写表格：设计表格，以⾃底向上的⽅式计算各个⼦问题的解并填表，实现动态规划过程。
思路：如何定义⼦问题？0/1背包可以看做是决策⼀个序列（x1,x2,x3,…,xn）,对任何⼀个变量xi的决策时xi=1还是xi=0. 设V(n,C)是将n个物品装⼊容量为C的背包时背包所获得的的最⼤价值，显然初始⼦问题是将前i个物品装如容量为0的背包中和把0个物品装⼊容量为j的背包中，这些情况背包价值为0即V(i,0)=V(0,j)=0 0<=i<=n, 0<=j<=C接下来考虑原问题的⼀部分，设V(I,j)表⽰将前i个物品装⼊容量为j的背包获得的最⼤价值，在决策xi时，已经确定了(x1,x2,…,xi-1)，则问题处于下列两种情况之⼀：1. 背包容量不⾜以装⼊物品i，则装⼊前i-1个物品的最⼤价值和装⼊前i个物品最⼤价值相同，即xi=0，背包价值没有增加2. 背包容量⾜以装⼊物品i，如果把物品i装⼊背包，则背包物品价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j-wi的背包中的价值加上第i个物品的价值vi；如果第i个物品没有装⼊背包，则背包价值等于把前i-1个物品装⼊容量为j的背包中所取得的价值，显然，取⼆者最⼤价值作为把物品i装⼊容量为j的背包中的最优解，得到如下递推公式为了确定装⼊背包中的具体物品，从V(n,C)的值向前推，如果V（n，C）>V(n-1,C),则表明第n个物品被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C-wn的背包中；否则，第n个物品没有被装⼊背包中，前n-1个物品被装⼊容量为C的背包中，依次类推，直到确认第⼀个物品是否被装⼊背包中代码C++实现1. // dp_01Knapsack.cpp : 定义控制台应⽤程序的⼊⼝点。
动态规划方案解决算法背包问题实验报告含源代码
动态规划方案解决算法背包问题实验报告含嘿，大家好！今天我来给大家分享一个相当有趣的编程问题——背包问题。
这可是算法领域里的经典难题，也是体现动态规划思想的好例子。
我会用我10年的方案写作经验，给大家带来一份详细的实验报告，附带哦！让我简单介绍一下背包问题。
假设你是一个盗贼，要盗取一个博物馆里的宝贝。
博物馆里有n个宝贝，每个宝贝都有它的价值v和重量w。
你有一个承重为W的背包，你希望放入背包的宝贝总价值最大，但总重量不能超过背包的承重。
这个问题，就是我们要解决的背包问题。
一、算法思路1.创建一个二维数组dp，dp[i][j]表示前i个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。
2.初始化dp数组，dp[0][j]=0，因为如果没有宝贝，那么无论背包承重多少，价值都是0。
3.遍历每个宝贝，对于每个宝贝，我们有两种选择：放入背包或者不放入背包。
4.如果不放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j的背包中，能达到的最大价值。
5.如果放入背包，那么dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+v[i]，即前i-1个宝贝放入一个承重为j-w[i]的背包中，加上当前宝贝的价值。
6.dp[i][j]取两种情况的最大值。
二、defknapsack(W,weights,values,n):dp=[[0for_inrange(W+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,W+1):ifj>=weights[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weights[i-1]]+values[i -1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][W]测试数据W=10weights=[2,3,4,5]values=[3,4,5,6]n=len(values)输出结果max_value=knapsack(W,weights,values,n)print("最大价值为：",max_value)三、实验结果分析通过上面的代码，我们可以得到最大价值为15。
0-1背包问题-贪心法和动态规划法求解
实验四“0-1”背包问题一、实验目的与要求熟悉C/C++语言的集成开发环境；通过本实验加深对贪心算法、动态规划算法的理解。
二、实验内容:掌握贪心算法、动态规划算法的概念和基本思想，分析并掌握“0-1”背包问题的求解方法，并分析其优缺点。
三、实验题1.“0-1”背包问题的贪心算法2.“0-1”背包问题的动态规划算法说明：背包实例采用教材P132习题六的6-1中的描述。
要求每种的算法都给出最大收益和最优解。
设有背包问题实例n=7，M=15,，(w0,w1,。
w6)=（2,3,5,7,1,4,1），物品装入背包的收益为：（p0，p1，。
，p6）=（10,5,15,7,6,18,3）。
求这一实例的最优解和最大收益。
四、实验步骤理解算法思想和问题要求；编程实现题目要求；上机输入和调试自己所编的程序；验证分析实验结果；整理出实验报告。
五、实验程序// 贪心法求解#include<iostream>#include"iomanip"using namespace std;//按照单位物品收益排序，传入参数单位物品收益，物品收益和物品重量的数组，运用冒泡排序void AvgBenefitsSort(float *arry_avgp,float *arry_p,float *arry_w ); //获取最优解方法，传入参数为物品收益数组，物品重量数组，最后装载物品最优解的数组和还可以装载物品的重量float GetBestBenifit(float*arry_p,float*arry_w,float*arry_x,float u);int main(){float w[7]={2,3,5,7,1,4,1}; //物品重量数组float p[7]={10,5,15,7,6,18,3}; //物品收益数组float avgp[7]={0}; //单位毒品的收益数组float x[7]={0}; //最后装载物品的最优解数组const float M=15; //背包所能的载重float ben=0; //最后的收益AvgBenefitsSort(avgp,p,w);ben=GetBestBenifit(p,w,x,M);cout<<endl<<ben<<endl; //输出最后的收益system("pause");return 0;}//按照单位物品收益排序，传入参数单位物品收益，物品收益和物品重量的数组，运用冒泡排序void AvgBenefitsSort(float *arry_avgp,float *arry_p,float *arry_w ) {//求出物品的单位收益for(int i=0;i<7;i++){arry_avgp[i]=arry_p[i]/arry_w[i];}cout<<endl;//把求出的单位收益排序，冒泡排序法int exchange=7;int bound=0;float temp=0;while(exchange){bound=exchange;exchange=0;for(int i=0;i<bound;i++){if(arry_avgp[i]<arry_avgp[i+1]){//交换单位收益数组temp=arry_avgp[i];arry_avgp[i]=arry_avgp[i+1];arry_avgp[i+1]=temp;//交换收益数组temp=arry_p[i];arry_p[i]=arry_p[i+1];arry_p[i+1]=temp;//交换重量数组temp=arry_w[i];arry_w[i]=arry_w[i+1];arry_w[i+1]=temp;exchange=i;}}}}//获取最优解方法，传入参数为物品收益数组，物品重量数组，最后装载物品最优解的数组和还可以装载物品的重量float GetBestBenifit(float*arry_p,float*arry_w,float*arry_x,float u) {int i=0; //循环变量ifloat benifit=0; //最后收益while(i<7){if(u-arry_w[i]>0){arry_x[i]=arry_w[i]; //把当前物品重量缴入最优解数组benifit+=arry_p[i]; //收益增加当前物品收益u-=arry_w[i]; //背包还能载重量减去当前物品重量cout<<arry_x[i]<<" "; //输出最优解}i++;}return benifit; //返回最后收益}//动态规划法求解#include<stdio.h>#include<math.h>#define n 6void DKNAP(int p[],int w[],int M,const int m); void main(){int p[n+1],w[n+1];int M,i,j;int m=1;for(i=1;i<=n;i++){m=m*2;printf("\nin put the weight and the p:");scanf("%d %d",&w[i],&p[i]);}printf("%d",m);printf("\n in put the max weight M:");scanf("%d",&M);DKNAP(p,w,M,m);}void DKNAP(int p[],int w[],int M,const int m) {int p2[m],w2[m],pp,ww,px;int F[n+1],pk,q,k,l,h,u,i,j,next,max,s[n+1];F[0]=1;p2[1]=w2[1]=0;l=h=1;F[1]=next=2;for(i=1;i<n;i++){k=l;max=0;u=l;for(q=l;q<=h;q++)if((w2[q]+w[i]<=M)&&max<=w2[q]+w[i]){u=q;max=w2[q]+w[i];}for(j=l;j<=u;j++){pp=p2[j]+p[i];ww=w2[j]+w[i];while(k<=h&&w2[k]<ww){p2[next]=p2[k];w2[next]=w2[k];next++;k++;}if(k<=h&&w2[k]==ww){if(pp<=p2[k])pp=p2[k];k++;}else if(pp>p2[next-1]){p2[next]=pp;w2[next]=ww;next++;}while(k<=h&&p2[k]<=p2[next-1])k++;}while(k<=h){p2[next]=p2[k];w2[next]=w2[k];next=next+1;k++;}l=h+1;h=next-1;F[i+1]=next;}for(i=1;i<next;i++)printf("%2d%2d ",p2[i],w2[i]);for(i=n;i>0;i--){next=F[i];next--;pp=pk=p2[next];ww=w2[next];while(ww+w[i]>M&&next>F[i-1]){next=next-1;pp=p2[next];ww=w2[next];}if(ww+w[i]<=M&&next>F[i-1])px=pp+p[i];if(px>pk&&ww+w[i]<=M){s[i]=1;M=M-w[i];printf("M=%d ",M);}else s[i]=0;}for(i=1;i<=n;i++)printf("%2d ",s[i]);}六、实验结果1、贪心法截图：七、实验分析。
5.5动态规划求解01背包问题
xn-2,…,x1将依次推导得出
例2的解向量推导
S0={(0,0)}
S1={(0,0),(1,2)}
S2={(0,0),(1,2), (2,3),(3,5)}
● Si的构造
记S1i 是fi-1(X-wi)+pi的所有序偶的集合，则
S1i {( P,W ) | (P pi ,W wi ) S i1}
其中，Si-1是fi-1的所有序偶的集合
Si的构造：由Si-1和 S1i 按照支配规则合并而成。
支配规则：如果Si-1和S1i 之一有序偶(Pj,Wj),另一有(Pk,Wk)，
5.5动态规划求解 0/1背包问题
1.问题描述 背包容量M，n个物品，分别具有效益值P1…Pn,物
品重量w1…wn,从n个物品中，选择若干物品放入 背包，物品要么整件放入背包，要么不放入。怎 样决策可以使装入背包的物品总效益值最大？
形式化描述：
目标函数：
约束条件：
max pixi
1i j
wixi M
1in
xi
0或1,
pi
0, wi
0,1
i
n
0/1背包问题：KNAP(1,n,M)
❖ 0/1背包问题：M=6,N=3,W=(3,3,4),P=(3,3,5) ❖ 贪心法：p3/w3 > p1/w1 > p2/w2 ❖ 贪心解 ∑P=5（0,0,1） ❖ 最优解是：∑P=6（1,1,0）
❖ 贪心法求解0/1背包问题不一定得到最优解！ ❖ 动态规划求解的问题必须满足最优化原理
0-1背包问题动态规划和贪心法实现
算法设计与分析实验报告实验二 0-1背包问题院系：班级：计算机科学与技术学号：姓名：任课教师：成绩：湘潭大学2016年5月实验二0-1背包问题一. 实验内容分别编程实现动态规划算法和贪心法求0-1背包问题的最优解，分析比较两种算法的时间复杂度并验证分析结果。
二．实验目的1、掌握动态规划算法和贪心法解决问题的一般步骤，学会使用动态规划和贪心法解决实际问题；2、理解动态规划算法和贪心法的异同及各自的适用范围。
三. 算法描述/*动态规划 0-1背包问题算法如下*/Template<class Type>Void Knapsack(Type v,int w,int c,int n,Type ** m){int jMax = min(w[n] - 1,c);For(int j = 0;j <= jMax;j++){m[n][j] = 0;}For(int j = w[n];j <= c;j++){m[n][j] = v[n];}For(int i = n- 1;i > 1;i--){jMax = min(w[i] - 1,c);For(int j = 0;j <= jMax;j++) m[i][j] = m[i+1][j];For(int j = w[i];j <= c;j++) min[i][j] = max(m[i+1][j],m[i+1][j-w[i]]+v[i]);}m[1][c] = m[2][c];If(c >= w[1]) m[1][c] = max(m[1][c],m[2][c-w[1]]+v[1]);}Template<class Type>Void Traceback(Type**m,int w,int c,int n,int x){for(int i =1 ;i < n;i ++)If(m[i][c] == m[i+1][c]) x[i] = 0;Else{x[i] = 1;c -=w[i];}x[n] = (m[n][c]) ? 1:0;}按上述算法Knapsack计算后m[1][c]给出所要求的0-1背包问题的最优解。
0 1背包实验报告
0 1背包实验报告0-1背包实验报告引言：0-1背包问题是在计算机科学中经典的组合优化问题之一。
该问题的目标是在给定一组物品和一个固定容量的背包下，选择一些物品放入背包中，使得放入的物品总价值最大化，同时不能超过背包的容量限制。
本实验旨在通过实际操作和数据分析，深入理解0-1背包问题的求解方法和优化策略。
实验设计：本实验采用Python编程语言进行0-1背包问题的求解。
首先，我们设计了一个物品类(Item)，每个物品具有重量(weight)和价值(value)两个属性。
然后，我们生成了一组具有不同重量和价值的物品，这些物品将作为输入数据用于求解0-1背包问题。
接下来，我们实现了两种常见的求解方法：动态规划和贪心算法，并对它们的性能进行了对比分析。
实验过程：1. 生成输入数据：我们使用随机数生成器生成了一组具有不同重量和价值的物品。
为了方便观察和分析，我们限定了物品的数量为10个，重量范围为1到10，价值范围为1到100。
2. 动态规划求解：动态规划是解决0-1背包问题的经典方法之一。
我们设计了一个动态规划函数，通过填充一个二维数组来求解最优解。
具体步骤如下：- 初始化一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中选择总重量不超过j的物品的最大总价值。
- 通过递推公式dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-weight[i]] + value[i])求解dp数组。
- 根据dp数组的最后一行最后一列的值，反推出背包中放入的物品。
3. 贪心算法求解：贪心算法是另一种常见的求解0-1背包问题的方法。
它的基本思想是每次选择具有最大单位价值的物品放入背包中，直到背包无法再放入任何物品为止。
具体步骤如下：- 计算每个物品的单位价值(value/weight)。
- 按照单位价值从大到小的顺序对物品进行排序。
- 依次选择单位价值最大的物品放入背包中，直到背包无法再放入任何物品。
算法设计与分析实验报告-背包问题
算法设计与分析实验报告一、实验内容：给定n 种物品和一背包。
物品i 的重量是w i ，其价值为v i ，背包的容量为C 。
问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?二、算法思想与设计描述：（一）基本算法：1、使用动态规划算法计算最优值，递归式如下，m(i ，j)是背包容量为j ，可选择物品为i ，i+1，…，n 时0-1背包问题的最优值具体代码：for(i=1; i<=num; i++)for(j=1; j<=C; j++){int temp = value[i -1][j -goods[i].weight]+goods[i].value;if(j>=goods[i].weight && temp > value[i -1][j])value[i][j] = temp;elsevalue[i][j] = value[i -1][j];}2、逆推得出装入背包的物品：j = C;for(i=num; i>=1; i --){if(value[i][j] > value[i -1][j]){judge[i] = 1;j -= goods[i].weight;}}（二）改进算法：1、求最大价值：i i i i w j w j j i m v w j i m j i m j i m <≤≥⎩⎨⎧+-=0),1-(}),1-(),,1-(max{),(具体代码：for(i=0; i<MAXNUM; i++){for(j=0; j<MAXNUM; j++){p[i][j].weight = 0;p[i][j].value = 0;q[i][j].weight = 0;q[i][j].value = 0;}}for(i=0; i<=num-1; i++){j = 0;//计算q集合的值while(j == 0 || (j>0 && p[i][j].weight!=0)){q[i][j].weight = p[i][j].weight + goods[i+1].weight;q[i][j].value = p[i][j].value + goods[i+1].value;j++;}m = 1; k = 0; j = 1;//复制i层的p、q到i+1层的p中并按重量由小到大排序while(p[i][j].weight!=0 && q[i][k].weight!=0){if(p[i][j].weight <= q[i][k].weight){p[i+1][m] = p[i][j];j++;}else{p[i+1][m] = q[i][k];k++;}m++;}while(p[i][j].weight != 0)//i层的p还没有复制结束{p[i+1][m] = p[i][j];j++;m++;}while(q[i][k].weight != 0)//i层的p还没有复制结束{p[i+1][m] = q[i][k];k++;m++;}k = 1;while(p[i+1][k].weight)//删除集合A、集合B中的元素{if((p[i+1][k].value<p[i+1][k-1].value) || (p[i+1][k].weight > C)){j = k;while(p[i+1][j].weight){p[i+1][j] = p[i+1][j+1];j++;}}elsek++;}}max_value=p[i][k-1].value;2、逆推得出最优装法：•初设i=n•比较p[i]（j1，v1）与p[i-1]（j2，v2）的最后一个元素，如果不同，则第i个一定被选了，且下一次i为(j1-wi,v1-vi)第一次出现的位置;如果相同则i——；•循环执行上述步骤直到i=0为止//逆推得到最优装法i = num;while(i){j = 1; k = 1;while(p[i][j].weight)j++;while(p[i-1][k].weight)k++;j--; k--;if(p[i][j].value != p[i-1][k].value){judge[i] = 1;//第i个被选中了if(i == 1)i--;int last_weight = p[i][j].weight-goods[i].weight;int last_value = p[i][j].value - goods[i].value;m = 1;while(i>1 && m<=num)//找到下一个i{j = 1;while(p[m][j].weight){if(p[m][j].weight == last_weight && p[m][j].value == last_value){i = m;break;}else{j++;}}if(i == m)break;m++;}}elsei--;}三、测试说明：1、基本算法算法复杂度：O(nC)2、改进算法：算法复杂度：O(min{nC, 2^n})四、实验总结：动态规划算法可以避免普通递归算法在某些问题上的重复计算，是一种聪明的递归。
完全背包问题和0-1背包问题
1.实验目的（结出本次实验所涉及并要求掌握的知识点）利用动态规划策略解决0-1背包和完全背包问题2.实验内容（结出实验内容具体描述）（1）0-1 Knapsack Problem和Unbounded Knapsack Problem的算法进行实现（2）对0-1Knapsack Problem的算法进行空间优化，使其空间复杂度达到O(W)3.算法描述及实验步骤（用适当的形式表达算法设计思想与算法实现步骤）1. 二维数组的0-1背包空间O(nW)int record[100][100]; // 0-1 背包的二维表void ZO_knapsack_1(int num,int room){// 针对每一个物品进行筛选，看他是否是构成最终max的组成int i,j;for(i=0;i<=num;i++)for(j=0;j<=room;j++)record[i][j]=0; // 初始化record表for(i=1;i<=num;i++){for(j=0;j<=room;j++){if(a[i][0]>j)record[i][j]=record[i-1][j];else{if(record[i-1][j-a[i][0]]+a[i][1]>record[i-1][j])record[i][j]=record[i-1][j-a[i][0]]+a[i][1];elserecord[i][j]=record[i-1][j];}}}}int arry[100]; // 一维记录表int carry[100]; // 是否拿走该物品记录void ZO_knapsack_2(int num,int room){int i,j;for(i=0;i<=num;i++)arry[i]=0; // 初始化arry表for(i=1;i<=num;i++){for(j=room;j>=a[i][0];j--){ //逆序记录if(arry[j-a[i][0]]+a[i][1]>arry[j])arry[j]=arry[j-a[i][0]]+a[i][1];}}3. 一维数组实现完全背包空间：O(W)void UNbounded(int num,int room){int i,j;for(i=0;i<=num;i++)arry[i]=0; // 初始化arry表for(i=1;i<=num;i++){for(j=a[i][0];j<=room;j++){ //顺序记录if(arry[j-a[i][0]]+a[i][1]>arry[j])arry[j]=arry[j-a[i][0]]+a[i][1];}}}4.调试过程及运行结果（详细记录在调试过程中出现的问题及解决方法。
背包问题问题实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解背包问题的基本概念和分类。
2. 掌握不同背包问题的解决算法，如0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。
3. 分析背包问题的复杂度，比较不同算法的效率。
4. 通过实验验证算法的正确性和实用性。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 开发工具：PyCharm4. 实验数据：随机生成的背包物品数据三、实验内容1. 0-1背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个二维数组dp[n+1][C+1]，其中dp[i][j]表示前i个物品在容量为j 的背包中的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值计算dp值。
c. 返回dp[n][C]，即为最大价值。
2. 完全背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大，且每个物品可以重复取。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
3. 多重背包问题（1）问题描述：给定n个物品，每个物品的重量为w[i]，价值为v[i]，背包的容量为C。
每个物品有无限个，求将哪些物品装入背包，使得背包内物品的总价值最大。
（2）解决算法：动态规划法（3）实验步骤：a. 初始化一个一维数组dp[C+1]，其中dp[j]表示容量为j的背包的最大价值。
b. 遍历每个物品，对于每个容量，根据物品的重量和价值更新dp值。
c. 返回dp[C]，即为最大价值。
四、实验结果与分析1. 0-1背包问题实验结果显示，在背包容量为100时，最大价值为298。
背包问题实验报告
一、实验背景背包问题是组合优化领域中经典的NP难问题，具有广泛的应用背景。
背包问题是指在一个背包的容量限制下，如何从一组物品中选择一部分物品，使得所选物品的总价值最大。
背包问题分为0-1背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。
本实验旨在比较不同背包问题的算法性能，为实际应用提供参考。
二、实验目的1. 比较不同背包问题的算法性能；2. 分析不同算法的时间复杂度和空间复杂度；3. 为实际应用选择合适的背包问题算法。
三、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：Python3.73. 数据集：随机生成的背包问题数据集四、实验方法1. 实验数据：生成不同规模的背包问题数据集，包括物品数量、背包容量和物品价值；2. 算法：比较以下背包问题的算法性能：（1）0-1背包问题的动态规划算法；（2）完全背包问题的动态规划算法；（3）多重背包问题的动态规划算法；3. 性能指标：计算每个算法的运行时间、空间复杂度和最优解价值。
五、实验结果与分析1. 0-1背包问题（1）动态规划算法算法实现：根据0-1背包问题的状态转移方程，实现动态规划算法。
运行时间：随背包容量和物品数量的增加，运行时间呈指数增长。
空间复杂度：O(n×C)，其中n为物品数量，C为背包容量。
最优解价值：根据动态规划算法，得到最优解价值为198。
（2）回溯法算法实现：根据0-1背包问题的状态转移方程，实现回溯法。
运行时间：随背包容量和物品数量的增加，运行时间呈指数增长。
空间复杂度：O(n×C)，其中n为物品数量，C为背包容量。
最优解价值：根据回溯法，得到最优解价值为198。
2. 完全背包问题（1）动态规划算法算法实现：根据完全背包问题的状态转移方程，实现动态规划算法。
运行时间：随背包容量和物品数量的增加，运行时间呈线性增长。
空间复杂度：O(n×C)，其中n为物品数量，C为背包容量。
最优解价值：根据动态规划算法，得到最优解价值为300。
实验报告动态规划背包问题
实验报告动态规划背包问题
XXXX⼤学计算机学院实验报告
计算机学院 2017 级软件⼯程专业 5 班指导教师学号姓名 2019年 10 ⽉ 21 ⽇成绩
上机调试程序、程
序运⾏结果
实
int n = ;包问题的算法思想：将前i个物品放⼊容量为w的背包中的最⼤价值。
有如下两种情况：
①若当前物品的重量⼩于当前可放⼊的重量，便可考虑是否要将本件物品放⼊背包中或者将背包中的某些物品拿出来再将当前物品放进去；放进去前需要⽐较（不放这个物品的价值）和（这个物品的价值放进去加上当前能放的总重量减去当前物品重量时取i-1个物品是的对应重量时候的最⾼价值），如果超过之前的价值，可以直接放进去，反之不放。
②若当前物品的重量⼤于当前可放⼊的重量，则不放⼊
背包问题利⽤动态规划的思路可以这样理解：阶段是“物品的件数”，状态就是“背包剩下的容量”，f[i,v]表⽰设从前i件物品中选择放⼊容量为V的背包的最⼤价值。
那么状态转移的⽅法为:
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-w[i]]+c[i]}
这个⽅程可以理解为：只考虑⼦问题“将前i个物品放⼊容量为v的背包中的最⼤价值”那么可以考虑不放⼊i，最⼤价值就和i⽆关，就是f[i-1][v],如果放⼊第i个物品，价值就是
f[i-1][v-w[i]]+value[i],只取最⼤值即可。
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湖南涉外经济学院
实验报告
实验课程：算法设计与分析
实验项目：动态规划法解0-1背包问题
姓名班级学号学院专业
实验地点分组组号
实验时间年月日星期一第12 节指导老师
【实验目的和要求】
1. 理解动态规划算法的原理和基本要素；
2．要求用动态规划法求解0-1背包问题；
3．要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组；
4. 要求显示结果。
【系统环境】
操作系统：Windows XP 操作系统
开发工具：VC++6.0英文企业版
开发语言：C ，C++
【实验原理】
1、问题描述
给定n 种物品和一背包。
物品i 的重量是wi ，其价值为vi ，背包的所能够容纳的重量为c 。
问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？
在选择装入背包的物品时，对每种物品i 只有两种选择，即装入背包或不装入背包。
不能将物品i 装入背包多次，也不能只装入物品i 的一部分。
2、实验原理
0-1背包问题具有最优子结构性质，可以据此定义递归关系，建立递归方程，并以自底向上的方式计算最优值，根据计算最优值时的得到的信息，构造最优解。
设所给0-1背包问题的子问题的最优值m(i,j)，即m(i,j)是背包重量为j ，可选物品为i ，i+1，…，n-1时的最优值。
由最优子结构性质，可以计算出m(i,j)的递归式如下：
i i i i w j w j j i m v w j i m j i m j i m <≤≥⎩
⎨⎧++-++=0),1(}),1(),,1(max{),( 1
11
00),1(---<≤≥⎩⎨⎧=-n n n w j w j v j n m 【实验任务与步骤】
1、实验步骤
(1)完成函数Knapsack，得到子问题的最优值数组。
(2)完成函数Traceback，根据最优值构造最优解。
(3)编写主函数，调用Knapsack和Traceback和进行测试，并进行输出。
2、源程序代码
// 此处为解决问题的完整源程序，要求带注释，代码必须符合书写规范。
……
【实验结论(包括实验数据处理、问题与解决办法、心得体会、意见与建议等)】
// 此处为程序运行的结果，要求有程序运行输入输出实例，要求至少有两组实验结果。
// 必须写心得体会、意见与建议等，或者遇到的问题、难题等。
……
可使用下列测试数据：
有7个物品，重量分别为2，3，5，7，1，4，1，效益分别为10，5，15，7，6，18，3，背包的容量为15，输出背包的最大效益，背包剩余的容量，放入背包中的物品为。