高中数学必修5精品课件第二章平面向量小结复习课
人教B版高中数学 必修五 第二章 归纳与总结 课件 (共39张PPT)
1 又∵a1＝3， 1 ∴an＝ (n≥2)． 2n＋12n－1 1 a1＝3满足上式， 1 ∴an＝ (n∈N*)． 2n＋12n－1
6．辅助数列法 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈ N*)．求数列{an}的通项公式．
[解析]
∵an＋1＝3an＋2(n∈N*)，
2．需要注意的问题 (1)注意数列与函数的联系，通过相应的函数及其图象的 特征直观地去认识数列的性质． (2)等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，应将它 们对比起来学习，以进一步认识它们之间的区别与联系．
专题一
数列的通项公式的求法
数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函 数的解析式．根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类 型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的 前n项和．求数列的通项公式是数列的核心问题之一．现根据 数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：
4n＝1 ∴an＝ n－1 n≥2 2
.
4．累加法 已知{an}中，a1＝1，且an＋1－an＝3n(n∈N*)， 求通项 an.
[解析] ∵an＋1－an＝3n(n∈N*)，
∴a2－a1＝3， a3－a2＝32， a4－a3＝33， …… an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∵a1，a3，a9成等比数列，∴a2 3＝a1a9， 即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d. ∵d≠0，∴a1＝d.①
2 ∵S5＝a5 ，
5×4 ∴5a1＋ d＝(a1＋4d)2.② 2 3 3 由①②得a1＝5，d＝5. 3 3 3 ∴an＝ ＋(n－1) ＝ n. 5 5 5
3．前n项和法 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋3n＋1，求 通项 an； (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2，求通项 an.
人教版高中数学第二章平面向量小结(共20张PPT)教育课件
•
• 学习重要还是人脉重要?现在是一 个双赢 的社会 ，你的 价值可 能更多 的决定 了你的 人脉， 我们所 要做的 可能更 多的是 专心打 造自己 ，把自 己打造 成一个 优秀的 人、有 用的人 、有价 值的人 ，当你 真正成 为一个 优秀有 价值的 人的时 候，你 会惊喜 地发现 搞笑人 脉会破 门而入 。从如 下方 面改进 ：1、专 心做可 以提升 自己的 事情； 2、学 习并拥 有更多 的技能 ；3、成 为一个 值得交 往的人 ；4学 会独善 其身， 尽量少 给周围 的人制 造麻烦 ，用你 的独立 赢得尊 重。
电
:
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一
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作
这
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东
西
(
，
下
5(PPT)5-2.5平面向量小结与复习
❖ 加法法则
b b
a
a
❖ 运算性质
a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
a+0=0+a=a
❖ 坐标运算
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2)
呼啸而来。 【奔突】ɑ动横冲直撞；奔驰：四下～｜～向前。 【奔袭】动向距离较远的敌人迅速进军，进行突然袭击：命令部队，轻装～。 【奔泻】动（水 流）向低处急速地流：瀑布～而下｜滚滚长江，～千里。 【奔涌】动急速地涌出；奔流：大江～｜热泪～◇激情～。 【奔逐】动奔跑追逐：孩子们在田野里 尽情地～嬉闹。 【奔走】动①急； 少儿英语加盟 少儿英语加盟 ；走；跑：～相告。②为一定目的而到处活动：～衣食｜四处～｜～了几 天，事情仍然没有结果。 【奔走呼号】一边奔跑，一边喊叫，形容为办成某事而到处宣传，以争取同情和支持。 【贲】（賁）①见页〖虎贲〗。②（）名姓。 【贲门】名胃与食管相连的部分，是胃上端的口儿，食管中的食物通过贲门进入胃内。（图见页“人的消化系统”） 【栟】栟茶（），地名，在江苏。 【犇】 同“奔”。 【锛】（錛）①锛子。②动用锛子削平木料：～木头。③动刃出现缺口：刀使～了｜这种刻刀不锩不～。 【锛子】?名削平木料的工具，柄与刃 具呈丁字形，刃具扁而宽，使用时向下向里用力。 【本】①草木的茎或根：草～｜木～｜水有源，木有～。②〈书〉量用于花木：牡丹十～。③事物的根本、
平面向量的数量积
❖ 定义
ab=|a||b|cos(a0,b0,0180).
0a=0.
❖ 运算率 ab=ba,
(λa)b=a(λb)=λ(ab)
(a+b)c=ac+bc.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
高中数学复习课件-高中数学必修4课件 第二章总结平面向量
向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,常见的有两种方法: 定义法和坐标法.特别是利用坐标进行向量的运算时,由于转化为实数的运算, 因此比利用定义运算方便、简捷.
应用 1 若向量 AB =(3,-1),n=(2,1),n· AC =7,则 n· BC 的值为( ).
A.-2
相等向量 : 长度相等且方向相同的两个向量
相反向量 : 长度相等而方向相反的两个向量
表示
几何表示 : 用有向线段表示向量
字母表示
:
用一个小写英文字母或两个大写英文字母表示向量
坐标表示 : 用有序实数对表示向量,等于终点坐标减去起点坐标
线性运算
加法
法则
: 三角形法则和平行四边形法则,结果是向量 运算律 : 交换律、结合律
应用 1 已知向量 a,b 满足|a|=3,|b|=2,a 与 b 的夹角为 60°,则 a·b= ; 若(a-mb)⊥a,则实数 m= .
解析:a·b=|a||b|cos 60°=3×2×1 =3. 2
∵(a-mb)⊥a,∴(a-mb)·a=0. ∴a2-mb·a=0.∴9-3m=0.∴m θ.因此求向量的夹角应先转化为求向量夹角的余弦值,再
结合夹角的范围确定夹角的大小.
应用 1 已知向量 a=(1,2),b=(-2,-4),|c|= 5 ,若(c- b)·a= 15 ,则 a 与 c 的夹 2
角为( ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
解析:a·b=-10,则(c- b)·a=c·a- b·a=c·a+10= 15 ,所以 c·a=- 5 .
B.BE D.CF
解析:在正六边形 ABCDEF 中,由于 CD∥AF,且|CD|=|AF|,故 CD = AF .同理
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算课件3新人教A版必修4
=(2,1).
(2)设点A(x,y)，则x＝ | OA | cos 60＝4 3cos 60＝2 3，
y＝ OA sin 60＝4 3sin 60＝6， 即 A 2 3,6 ， 所以
OA＝ 2 3,6 .
【方法技巧】平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进 行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的 坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
(x1+x2，y1+y2)； ①a+b= _______________ (x1-x2，y1-y2) ； ②a-b= _____________ (λx1，λy1) ③λa= ____________.
(2)重要结论：已知向量 y2)，则 的起点A(x1，y1)，终点B(x2，
(x2-x1，y2-y1) = _____________.
=(x-5,2-y+2)=(4,6)，解得x=9,
2.已知四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC,BD的交点， =(3,7), =(－2,1)．求 的坐标．
【解析】因为 DB AB －AD =(－2,1)－(3,7)=(－5,－6)，
1 5 所以 OB DB (－ ,－3). 2 2
(2)定义坐标：对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理 (x_______ ，y) xi+yj 则有序数对 知，有且只有一对实数x，y，使得a=_____. 叫做向量a的坐标. (3)特殊向量的坐标：i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).
3.平面向量的坐标运算
高中数学第二章平面向量本章小结课件a必修4a高一必修4数学课件
12/12/2021
第四页，共二十一页。
[例 1] 如图，已知O→A＝a，O→B＝b，C 为线段 AO 上距 A 较 近的一个三等分点，D 为线段 CB 上距 C 较近的一个三等分点， 则用 a，b 表示O→D的表达式为( A )
A.19(4a＋3b) B.116(9a＋7b) C.13(2a＋b) D.14(3a＋b)
＝ 2－2sinx＝ 21－sinx， ∵－1≤sinx≤1，∴0≤|n＋b|≤2.
或xy＝＝0－，1.
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体会函数与方程思想的应用.
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第二十页，共二十一页。
内容 总结 (nèiróng)
第二章
No Image
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第二十一页，共二十一页。
第十八页，共二十一页。
[解] (1)令 n＝(x，y)，
x＋y＝－1，
则
2· x2＋y2cos34π＝－1，
则xy＝＝－0 1，
∴n＝(－1,0)或 n＝(0，－1)． (2)∵a＝(1,0)，n·a＝0，∴n＝(0，－1)， n＋b＝(cosx，sinx－1)，
|n＋b|＝的重心，依据三角形性质，有 S△PAD＝S△
PAC＝S△PDC.由 B 是 PD 的中点，得 S△PAB S△PAC S△PBC＝1 2
1.
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第十三页，共二十一页。
(3)点 O 是△ABC 所在平面内的一点，满足O→A·O→B＝O→B·O→C＝ O→C·O→A，则点 O 是△ABC 的( D )
[例 3] (1)O 是平面 ABC 内的一定点，P 是平面 ABC 内的
一动点，若(P→B－P→C)·(O→B＋O→C)＝(P→C－P→A)·(O→A＋O→C)＝0，则 O
第二章平面向量及其应用章末总结提升课件高一下学期数学北师大版
中同样适用,但是这里的“同类项”“公因式”是指向量,实数看作是向量的系
数.
(2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方
程的方法求解,同时在运算过程中多注意观察,恰当地运用运算律,简化运
算.
变式训练 1(1)如图所示,在正方形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,若
的侵袭.
规律方法
用向量观点解题,关键在于找到好的切入点,如果题中的速度
(既有大小,又有方向)、距离都可以用向量表达.本题可根据台风中心与城
市间的距离不超过台风侵袭的半径来建立向量不等式,再根据模长公式,求
出时间.
变式训练4一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,该船实际航行
方向与水流方向成30°角.求水流速度与船的实际速度.
和抽象思维的协调发展,沟通数学知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸
显最本质的特征,它是解决问题时常用的方法.在解决平面向量的实际问题
时,结合题目情景,可将问题抽象出一个几何图形(一般利用三角形、平行
四边形、矩形为主),可以直观形象地反映问题中的元素和量的关系,有助
于提升学生的直观想象的思维能力.
【例3】 已知向量a与b不共线,且|a|=|b|≠0,则下列结论一定正确的是( A)
所以 − =λ( − ),又 2 = ,
所以 =(1-λ)+λ=3(1-λ)+λμ =3(1-λ)a+λμb,由于 =
所以
3
1
3(1-λ)=4,λμ=4,解得
3
1
λ=4,μ=3.
3
1
a+4b,
高中数学必修4第二章平面向量小结复习课ppt课件
(3)证明两直线平行的问题:
A
AB CD AB // CD
B与CD不在同一直线上
直线A
B
//
直线CD 7
平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e，e 叫做表示这一平面内 12
第二章 平面向量复习课
1
一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B
1)图形表示 A
r uuur有向线段AB
2)字母表示 a AB r uuur
3)坐标表示
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
a xi y j (x, y)
r uuur
a OA (x, y) 点A(x, y)
r uuuur
的夹角为钝角(k a 2b)（ 2a 4b） 0且k 1,
即14(k 6) 4(2k 4) 0且k 1k 50 且k 1
3
13
已知a 1,sin ,b 1, cos , R.
1若a b 2,0,求sin 2 2sin cos的值;
2若a b 0, 1 , ,2 ,求sin cos的值
所有向量的一组基底.
8
平面向量数量积
ar
•
r b
ar
•
r b
• cos
B
b
O
a B1 A
作OA a，OB b ，过点B作BB1
垂直于直线OA，垂足为 B1 ，则 OB1 | b | cosθ
| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影．
平面向量及其应用复习与小结(第1课时)课件-高一数学人教A版(2019)必修第二册
2.平面向量基本定理的基本性：
根据这相定理，一个点和两个不共线向量就能确定一个平面， 而且此平面上的任意一个点通过向量表示出来，从而使平面上 的任意一个点成为运算对象，平面上的任意几何问题都可以用 向量的运算来解决。
返回
3.平面向量基本定理的作用：
B
模(或向量的长度). 向量 AB a的模记作 | AB |，| a | .
3.坐标表示：
若a xi y j(i, j 分别为x轴，y轴正方向的单位向量), 则
a (x, y)
(1)向量 AB 的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标;
(2)向量以原点为起点时，向量坐标等于终点的坐标.
返回
向量的相关概念
向量运算的坐标表示
设a ( x1, y1 ) , b ( x2 , y2 )，则 (1) a b ( x1 x2 , y1 y2 ),
(2) a b ( x1 x2 , y1 y2 )
(3) a ( x1, y1 )
(4) a b x1 y1 x2 y2
向量的几何特性和代数特性
a b a (b)
2.运算法 则：
a
三角形法则
ab b
被减 向量
两尾相连, 首首连， 指向前。
向量的数乘运算
1.概念：
一般地，我们规定 :
实数与向量a的积 a 是一个向量，这种运算叫向量的数乘.
并对向量 a 的长度和方向规定如下： (1)| a || || a |； (2)当 0时， a与a的方向相同； 当 0时， a与a的方向相反；
向量的数量积运算 1.概念：
如果两个非零向量a、b的夹角为 ，则我们把"| a || b | cos "
必修五高中数学新人教版 平面向量PPT课件
2.已知x轴,y轴将平面分成四个部分, 如图 , uu r r r OP=ai +b j ,则( )
r r r r 0 3. 已知向量a与b 的夹角为120 ,且| a |=| b |=4, r r r 那么bg (2a+b)的值为
A. a>o , b>o C. a<o , b>o
B. a>o , b<o D. A<o , b<o
二、向量的运算: r r r 4.设a=(1,-2), b=(-3,4), c=(3,2),则 r r r (a+2b) g c=( )
u u r 5.如图 , 在平行四边形ABCD 中 , 设AC=(1,2), u u r u u r u r u BD=(-3,2), 则AD g AC=
A. (-15,12)
一、向量的相关概念: 向量 单位向量 零向量 相等向量 共线向量（平行向量）
二、向量的运算:
图形语言 加法 减法 符号语言 uuur uuur uuu u r A B + BC = A C 坐标语言
r b
A
D
u r a
B
r C b
uuur uuur uuur A B - A D = DB
u r a
五、向量与方程、函数的综合 r r 1. 已知向量a=(cosq ,sinq ), b=( 3,-1), r r 则|2a - b | 的最大值是
r r 2.设已知向量a，b是非零向量，若函数 r r r r f(x)=(xa+b) g ( a-xb)的图象是一条直线， 则必有（ ） r r r r B. a ^ br A. a//b r r r D. |a| = |b| |a| ¹ |b| C.
高一数学必修课件第二章平面向量
共线向量与共面向量
共线向量
方向相同或相反的非零向量叫做共线 向量。任意两个共线向量都可以表示 为$lambdavec{a}$（$lambda in R$）的形式，其中$vec{a}$为非零 向量。
共面向量
平行于同一平面的两个或多个向量叫 做共面向量。在平面直角坐标系中， 任意两个向量都可以看作是共面向量 。
05 平面向量在解析 几何中的应用
直线的倾斜角和斜率关系
倾斜角定义
直线与x轴正方向之间的夹角，取 值范围为[0,π)。
斜率定义
直线上任意两点的纵坐标差与横坐 标差之商，即k=(y2-y1)/(x2-x1) 。
倾斜角与斜率关系
当倾斜角不为90°时，斜率k=tanα （α为倾斜角）；当倾斜角为90°时 ，斜率不存在。
向量的共线与垂直
两个向量共线的充要条件是它们的坐 标成比例。两个向量垂直的充要条件 是它们的数量积为零。
向量的线性运算
包括向量的加法、减法和数乘。向量 的加法满足交换律和结合律，向量的 减法可以转化为加法进行运算。数乘 向量满足分配律和结合律。
平面向量的基本定理
平面内任意两个不平行的向量都可以 作为基底，平面内的任意一个向量都 可以由这两个基底唯一线性表示。
向量定义
向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示，有向 线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方 向。
向量表示方法
向量可以用小写字母$vec{a}$、$vec{b}$、$vec{c}$等表示 ，也可以用表示它的有向线段的起点和终点字母表示，如 $vec{AB}$。
零向量、单位向量与相等向量
两条直线平行或垂直条件
平行条件
两条直线的斜率相等，即k1=k2 。
人教高中数学必修二A版《平面向量的运算》平面向量及其应用教学说课复习课件(向量的数量积)
必修第二册·人教数学A版
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知识梳理
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向量数量积的运算律 交换律
a·b＝ b·a
结合律 分配律
(λa)·b＝ λ(a·b) ＝ a·(λb) (a＋b)·c＝ a·c＋b·c
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(2)设直线 AB 与直线 l 的夹角为 θ，那么|A1B1|与|AB|，θ 之间有怎样的关系？
(3)向量数量积的正负由两个向量的夹角 θ 决定：当 θ 是锐角时，数量积为正；当 θ
是钝角时，数量积为负；当 θ 是直角时，数量积等于零．
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知识点三 投影向量
预习教材，思考问题
(1)如图，已知线段 AB 和直线 l，过线段 AB 的两个端点 A，B，分别作直线 l 的垂线，
课件 课件
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.
③当 a 与 b 同向时，a·b＝ |a||b| ； 当 a 与 b 反向时，a·b＝ －|a||b| .
高中数学第二章平面向量章末小结与测评教学案新人教A版必修
第二章平面向量1．平面向量的线性运算及运算律(1)向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律．(2)向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用．几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量．注意两向量要移至共起点．(3)数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换．2．向量共线及平面向量基本定理(1)共线向量定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa .共线向量定理是证明平行的主要依据，也是解决三点共线问题的重要方法． 特别地，平面内一点P 位于直线AB 上的条件是存在实数x ，使，或对直线外任意一点O ，有(2)平面向量基本定理：如果向量e 1，e 2不共线，那么对于平面内的任一向量a ，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中e 1，e 2是平面的一组基底，e 1，e 2分别称为基向量．由定理可知，平面内任一向量都可以用两个不共线的向量表示出来，而且任意两个不共线的非零向量都可以作为基底．[典例1]如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点M 、N 分别是DA 、BC 的中点，且DC AB＝k ，设＝e 1，＝e 2，以e 1、e 2为基底表示向量、[对点训练](3)确定点P 在边BC 上的位置．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝13μ，12λ＝1－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝45，μ＝35.所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝n 5－1，m ＝2n 5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝23，n ＝53.即BP PC＝2，P 是边BC 上靠近C 的三等分点.若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则 ①a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)； ②a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)； ③λa ＝(λa 1，λa 2)； ④a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2；⑤a ∥b ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2(λ∈R )，或a 1b 1＝a 2b 2(b 1≠0，b 2≠0)； ⑥a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＝0； ⑦|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22； ⑧若θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2a 21＋a 22b 21＋b 22. [典例2](1)已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量同方向的单位向量为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B.⎝⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 (2)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2), 若a ∥b, 则实数m 等于() A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0(3)已知点A (－1，1)、B (1，2)、C (－2，－1)、D (3，4)，则向量在方向上的投影为()A.322 B.3152C ．－322D ．－3152解析：(1)由已知，得＝(3，－4)，所以||＝5，因此与同方向的单位向量是15＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.(2)a ∥b 的充要条件的坐标表示为1×2－m 2＝0，∴m ＝±2，选C.(3)＝(2，1)，＝(5，5)，向量＝(2，1)在＝(5，5)上的投影为||cos ，＝||答案：(1)A(2)C(3)A [对点训练]2．(1)若A (3，－6)，B (－5，2)，C (6，y )三点共线，则y ＝() A ．13 B ．－13 C ．9 D ．－9(2)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(c －b )·a ＝152，则a 与c 的夹角为()A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 解析：(1) ＝(－8，8)，＝(3，y ＋6)．∵∥，∴－8(y ＋6)－24＝0.∴y ＝－9.(2)a ·b ＝－10，则(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝c ·a ＋10＝152，所以c ·a ＝－52，设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525×5＝－12，又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°. 答案：(1)D(2)C1．两向量的数量积及其运算律两个向量的数量积是a ·b ＝|a ||b |cos θ，θ为a 与b 的夹角，数量积满足运算律： ①与数乘的结合律，即(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律，即a ·b ＝b ·a ；③分配律，即(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .2．平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征．3．利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等．[典例3]已知c ＝m a ＋n b ，c ＝(－23，2)，a ⊥c ，b 与c 的夹角为2π3，b·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵c ＝(－23，2)，∴|c |＝4. ∵a ⊥c ，∴a ·c ＝0.∵b·c ＝|b ||c |cos 2π3＝|b |×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4， ∴|b |＝2.∵c ＝m a ＋n b ，∴c 2＝m a ·c ＋n b ·c . ∴16＝n ×(－4)．∴n ＝－4. 在c ＝m a ＋n b 两边同乘以a ， 得0＝8m －4a ·b .①在c ＝m a ＋n b 两边同乘以b ，得m a ·b ＝12.② 由①②，得m ＝± 6.∴a ·b ＝±26.∴cos θ＝±2622×2＝±32.∴θ＝π6或5π6.[对点训练]3.如图，在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则的最小值是________．答案：－2(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在五边形ABCDE 中(如图)，＝()解析：选B ∵＝＝.2．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，则2a ＋3b ＝() A ．(－5，－10) B ．(－4，－8) C ．(－3，－6) D ．(－2，－4)解析：选B ∵a∥b ，∴－21＝m2，∴m ＝－4，∴b ＝(－2，－4)，∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．3．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，若λa ＋b 与a 垂直，则λ的值是() A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2解析：选A 由题意可知(λa ＋b )·a ＝λa 2＋b ·a ＝0. ∵|a |＝10，a ·b ＝1×4＋(－3)×(－2)＝10， ∴10λ＋10＝0，λ＝－1.4．若|a |＝2，|b |＝2，且(a －b )⊥a ，则a 与b 的夹角是() A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：选B 由于(a －b )⊥a ，所以(a －b )·a ＝0，即|a|2－a ·b ＝0，所以a ·b ＝|a|2＝2，所以 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a||b|＝222＝22，即a 与b 的夹角是π4.A.12 B ．－12 C.32 D ．－326．已知向量满足：|a |＝2，|b |＝3，|a －b |＝4，则|a ＋b |＝() A. 6 B.7 C.10 D.11解析：选C 由题意|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ＝16， ∴a ·b ＝－32.∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝10， ∴|a ＋b |＝10.A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心∴P 是△ABC 的垂心．8．平面向量a ＝(x ，－3)，b ＝(－2，1)，c ＝(1，y )，若a ⊥(b －c )，b ∥(a ＋c )，则b 与c 的夹角为()A ．0 B.π4 C.π2 D.3π4解析：选C 由题意知b －c ＝(－3，1－y )，a ＋c ＝(x ＋1，y －3)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－3x －3（1－y ）＝0，x ＋1＋2（y －3）＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，∴c ＝(1，2)，而b ·c ＝－2×1＋1×2＝0， ∴b ⊥c .9．已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设＝a ，＝b ，则等于()A.43a ＋23bB.23a ＋43bC.23a －43b D ．－23a ＋43bA.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，5π611．已知a ＝(－1，3)，＝a －b ，＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB 的面积是()A. 3 B ．2 C ．2 2 D ．4解析：选D 由题意||＝||且⊥，所以(a －b )2＝(a ＋b )2且(a －b )·(a ＋b )＝0， 所以a ·b ＝0，且a 2＝b 2， 所以|a |＝|b |＝2，所以S △AOB ＝12||·||＝12（a －b ）2（a ＋b ）2＝12（a 2＋b 2）2＝4. 12．已知向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，p ＝(x ，y )，定义新运算m ⊗n ＝(ac ＋bd ，ad ＋bc )，其中等式右边是通常的加法和乘法运算．如果对于任意向量m 都有m ⊗p ＝m 成立，则向量p 为()A ．(1，0)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(0，－1) 解析：选A 因为m ⊗p ＝m ，即(a ，b )⊗(x ，y )＝(ax ＋by ，ay ＋bx )＝(a ，b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝a ，ay ＋bx ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a （x －1）＋by ＝0，ay ＋b （x －1）＝0.由于对任意m ＝(a ，b )，都有(a ，b )⊗(x ，y )＝(a ，b )成立．所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0.所以p ＝(1，0)．故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知向量a ＝(2x ＋3，2－x )，b ＝(－3－x ，2x )(x ∈R )．则|a ＋b |的取值范围为________．解析：因为a ＋b ＝(x ，x ＋2)，所以|a ＋b |＝x 2＋（x ＋2）2＝2x 2＋4x ＋4 ＝2（x ＋1）2＋2≥2， 所以|a ＋b |∈[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)14．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若a ＝e 1＋λe 2与b ＝－(2e 1－3e 2)共线，则实数λ等于________．解析：因为a ，b 共线，所以由向量共线定理知，存在实数k ，使得a ＝k b ， 即e 1＋λe 2＝－k (2e 1－3e 2)＝－2k e 1＋3k e 2 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－2k ，λ＝3k ，解得λ＝－32.答案：－3215．在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点，则＝________．解析：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，过A 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系．则由A (0，0)，B (2，0)，E (2，3)，D (1，3，可得＝1.答案：1答案：[1，4]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1，0)，b ＝(3，0)， ∴a －b ＝(－2，0)，|a －b |＝2；当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1，2)， ∴a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上所述，|a －b |为2或2 5.18．(12分)设向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α＜2π)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，且a 与b 不共线．(1)求证：(a ＋b )⊥(a －b )；(2)若向量3a ＋b 与a －3b 的模相等，求角α.解：(1)证明：由题意，得a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α－12，sin α＋32，a －b ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋12，sin α－32， 因为(a ＋b )·(a －b )＝cos 2α－14＋sin 2α－34＝1－1＝0，所以(a ＋b )⊥(a －b )．(2)因为向量3a ＋b 与a －3b 的模相等， 所以(3a ＋b )2＝(a －3b )2，所以|a |2－|b |2＋23a ·b ＝0，因为|a |＝1，|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1， 所以|a |2＝|b |2，所以a ·b ＝0， 所以－12cos α＋32sin α＝0，所以tan α＝33，又因为0≤α＜2π， 所以α＝π6或α＝7π6.19．(12分)如图，平行四边形ABCD 中，＝a ，＝b ，H ，M 是AD ，DC 的中点，BF ＝13BC ，(1)以a ，b 为基底表示向量(2)若|a |＝3，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，求解：(1)∵M 为DC 的中点，(2)由已知得a ·b ＝3×4×cos 120°＝－6，＝12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－112a ·b －16b 2＝12×32＋1112×(－6)－16×42 ＝－113.20．(12分)在边长为1的正△ABC 中，AD 与BE 相交于点F .解：(1)由题意，D 为BC 边的中点，而△ABC 是正三角形，所以AD ⊥BC ，＝12(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫23b －a ＝13b 2－12a 2－16a ·b ＝13－12－16×1×1×12＝－14.根据平面向量的基本定理有⎩⎪⎨⎪⎧－λ－22（λ＋1）＝－μ，λ2（λ＋1）＝2μ3，解得λ＝4.21．(12分)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.∴t ＝－2k sin θ＋16.∵t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－4k 2＋32k ， ∵k ＞4，∴1＞4k＞0，当sin θ＝4k 时，t sin θ取最大值为32k.由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，＝(4，8)，∴·＝(8，0)·(4，8)＝32.．(12分)已知e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，且A ，E ，C 三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e 1＝(2，1)，e 2＝(2，－2)，求的坐标；(3)已知D (3，5)，在(2)的条件下，若A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．解：(1)＝(2e 1＋e 2)＋(－e 1＋λe 2)＝e 1＋(1＋λ)e 2.∵A ，E ，C 三点共线，∴存在实数k ，使得，即e 1＋(1＋λ)e 2＝k (－2e 1＋e 2)，得(1＋2k )e 1＝(k－1－λ)e 2.∵e 1，e 2是平面内两个不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋2k ＝0，λ＝k －1，解得k ＝－12，λ＝－32.(2)＝－3e 1－12e 2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．(3)∵A ，B ，C ，D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，即点A 的坐标为(10，7)．。
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3)求a与b夹角的最大值.
高中数学必修5精品课件第二章平 面向量小结复习课
练习1、 、 若a(4,2),求与a垂直的单位.向量 变、若 a(4,2),求与a平行的单位.向量
高中数学必修5精品课件第二章平 面向量小结复习课
a M N ( x x,y y) 高中数学必修5精品课件第二章平 N面向量M 小结复习课N M
一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向(任 2)0/意 /a(3)00(4)00
(5)0aa0a
(6)0 0
(7)0 a 0
3.单位向量
a 与非零向 a共量线的单位a0向 量
高中数学必修5精品课件第二章平
2.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个共不线的 向 量, 那 么 对 于 这 一 平 面 内任的一 向 量a,
有且只有一对实数1,2,使a 1e1 2e2 把不共线的向e量1、e2叫做表示这一 平面内所有向量的一基组底.
利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组
高中数学必修5精品课件第二章平 面向量小结复习课
2
面向量小1结复习课1
22
三.两个等价条件
若 a(x1,y1)b ,(x2,y2)则 , 1.向量a和非零向量b
a//b有 唯 一 的 实 数 ， 使 a b
x1y2x2y10
2.非零向量a和b
a b ab0
xxyy0 高中数学必修5精品课件第二章平 1 2 1 面向量小结复习课 2
四.一个基本定理
|a |
面向量小结复习课
一.基本概念 区分向量平行、共线与几何平行、共线
4.平行向量 (共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量
5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
在保持长度和方向不变的前提下, 向量可以平行移动.平移先后两向量相等 任一组平行向量都可平移到同一直线上
6.相反向量 (a)a,a(a)0
第二章 平面向量复习小结课
高中数学必修5精品课件第二章平 面向量小结复习课
一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法
B
1)图形表示
A
有向线段AB
2)字母表示 3)坐标表示
a AB
向 量 的 模 :|a| |A B |
axiyj(x,y)
a O A ( x ,y ) 点 A ( x ,y )
2.向量加法的平行四边形法则 共起点
A B C D 中 ， a b A B A D A C
向量加法的运算律(交换律、结合律）
3.向量减法的三角形法则
a b A B A D D B 高中数学必修5精品课件第二章平
共起点
面向量小结复习课
在 及同其一模个的平关行系四边形中把握：a,b,ab,ab
二.基本运算（向量途径）
4.两个非零向量 a与 b 的数量积
a b |a||b|cos 运算律
向量数量积的几何意义
| b| cos 叫 做 向 量 b 在 a 方 向 上 的 投 影
a b |a |
可正可负可为零
高中数学必修5精品课件第二章平 面向量小结复习课
二.基本运算（坐标途径）
若 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ), 则
五.应用举例 向量加减法则
例1.如图平行四边形OADB的对角线OD、AB相交于 点C,线段BC上有一点M满足BC=3BM,线段CD上有一 点N满足CD=3CN,
设 O A a ,O B b ,试 用 a ,b 表 示 M N
高中数学必修5精品课件第二章平 面向量小结复习课
五.应用举例 向量的长度与夹角问题
1) a b (x1x2,y1y2)
2 ) a b (x1x2,y1y2)
3 ) a (x1,y1)
4 ) a b x1x2y1y2
5 ) | a | a a x12 y12
6) cos a b
x1x2 y1y2
| a | | b | x y x y 高中数学必修5精2品课件第2二章平 2
D
b
Aa
C A BD C ;A D B C
AC a b;
B
DB a b
||a||b| ||ab| |a||b|
|ab| |ab|2(a || |b|) 2
2
高中数学必修5精品课件第二章平
面向量小结复习课
2
2
二.基本运算（向量途径）
a 3.实数与向量的积
是一个向量
运算律
a是一个与 a共线的向量 高中数学必修5精品课件第二章平 面向量小结复习课
长度相等且方向高中相数学反必修的5精品向课件量第二叫章平 做相反向量.
面向量小结复习课
一.基本概念
7.两个非零向量 a与 b 的夹角
[0,]
首要的是通过向量平移,使两个向量共起点
高中数学必修5精品课件第二章平 面向量小结复习课
Hale Waihona Puke 二.基本运算（向量途径）1.向量加法的三角形法则
a b A B B C A C首尾相接
例2.
已 知 两 单 位 向 量 a与 b的 夹 角 为 120， 若 c2ab,d3ba,试 求 c与 d的 夹 角 的 余 弦 值 .
高中数学必修5精品课件第二章平 面向量小结复习课
五.应用举例
例3.
平行与垂直问题
平面内给定三个向量a(3,2),b(1,2),c(4,1) 1)求满足a=mb+nc的实数m,n; 2)若(a+kc)(2b-a)，求实数k; 3)若d满足(d-c)//(a+b),且|d-c|= 5,求d.
高中数学必修5精品课件第二章平 面向量小结复习课
五.应用举例
例4.
平行与垂直问题
已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin ),
且a,b满足关系| ka b | 3 | a kb | (k 0)
1)求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k)；
2)a能否和b垂直?a能否和b平行?若不能，则 说明理由；若能，求出对应的k值；