模糊数学PPT课件
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模糊数学ppt课件
1 2
，则有rij'
பைடு நூலகம்[0,1]
。也可以
用平移—极差变换将其压缩到[0,1]上，从而得到模糊相似矩阵
R (rij )nm
（2）绝对值指数法. 令
m
rij exp{ xik x jk }(i, j 1, 2, , n) k 1
则 R (rij )nm
（3）海明距离法. 令
rij
1
d (xi , x j )
（6）主观评分法：设有N个专家组成专家组,让每一位专家对
所研究的对象 x i 与 x j 相似程度给出评价，并对自己的自信度
作出评估。如果第k位专家 Pk 关于对象 x i与 x j 的相似度评价
为 rij (k )，对自己的自信度评估为aij (k ) (i, j 1,2,, n)，则相关 系数定义为
)2
(i, j 1,2,, n)
其中E为使得所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
（5）切比雪夫距离法. 令
rij
d (xi ,
1 xj)
Q
d
m
k 1
( xi xik
,
x
j ), x jk
(i, j 1,2,, n)
其中Q为使所有 rij [0,1](i, j 1, 2, , n) 的确定常数.则 R (rij )nm
第三步. 聚类 所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进
行分类的方法。对于不同的置信水平 [0,1] ，可以得到不同 的分类结果，从而形成动态聚类图。 （一）传递闭包法
通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不 一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等
模糊数学方法_数学建模ppt课件
相同 • 传递性：如果a和b的关系隶属度大于等于ⅰ，b和
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
c的关系隶属度大于等于ⅰ，那么a 和c的关系隶属度也大于等于ⅰ
传递性的判断
模糊数学应用
• 模糊聚类 • 模糊综合评判 • 模糊预测 • 模糊层次分析法 • 模糊推理 • 模糊控制 • 模糊约束
模糊聚类
模糊聚类
模糊综合评判
模糊预测
• 元素指标评价向量的距离或相似度
模糊关系
• 定义5 从集合A到集合B的一个模糊关系是指AXB 的一个模糊子集. 特别地
• 定义6 AXA的一个模糊子集称为A上的一个二元模 糊关系.
模糊关系的运算
模糊关系的运算
模糊关系的截集
• 模糊关系的a截集为一个经典关系. • 将模糊关系当成模糊子集来理解，其截集定义可
由模糊子集的定义来刻画. • 通过矩阵理解，a截集表示将矩阵中元素大于等于
n
模糊集合的相似度
• 用1减去相对距离，则可以得到相似度的概念. • 相似度，也可以理解为贴近度.有多种理论模型.
【0，1】区间上的算子
• [0,1]区间上的一个二元运算称为算子. • 这里的二元运算是广义的二元运算.例如常规乘法
运算，取大，取小，加法运算与1的取小复合： Min（a+b，1）. • 重要的有两类：三角模，像乘法运算，取小运算； • 三角余模：像取大， Min（a+b，1）等. • 同学们可以查其它的算子
a的数变为1，其余的变为0.
模糊关系的合成
• 一个从X到Y的模糊关系R和一个从Y到Z的关系Q 合成为一个从X到Z的模糊关系Q.R，合成规则为 将常规矩阵乘法运算中的加法用取大，乘法用取 小代替.
论域X上的模糊关系的三大性质
• 自反性：自身和自身的关系隶属度为1 • 对称性： a和b的关系隶属度与b 和a的关系隶属度
三角模糊数优质课件ppt
二、三角模糊数 数学定义
可靠性与系统工程学院
3
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
三、三角模糊数运算规则
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4
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
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Thanks!
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二、三角模糊数 数学定义
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为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
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四、评价语言集及其对应的三角模糊数
TFN(fuzzy triangular numbers）
5
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
五、Fuzzy 权数的计算方法
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三、三角模糊数运算规则
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四、评价语言集及其对应的三角模糊数
TFN(fuzzy triangular numbers）
5
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
五、Fuzzy 权数的计算方法
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模糊数学1-集合运算PPT课件
15
Definitions: Type-2 Fuzzy Sets (figure from Klir&Yuan)
16
2. Fuzzy Number
A fuzzy number A must possess the following three
properties:
1. A must must be a normal fuzzy set,
Definition: A rough set, R(A), is a given representation of
a classical (crisp) set A by two subsets of X/R, R(A) and R( A) that approach A as closely as possible from the inside and outside (respectively) and
0
for
x 3, x 5
A
(x)
x
3
for
3 x 4
5
x
for
4 x5
0 for x 12 , x 32
B (x)
( x 12
) /8
for 12 x 20
(
32
x ) / 12
for 2 0 x 32
A ( ) [ 3 , 5 ]
B ( ) [ 8 12 , 32 12 ]
professor Zadeh). What the extension principle says is that
f(A) =f(A( )). The formal definition is:
[f(A)](y)=supx|y=f(x){A(x)}
Definitions: Type-2 Fuzzy Sets (figure from Klir&Yuan)
16
2. Fuzzy Number
A fuzzy number A must possess the following three
properties:
1. A must must be a normal fuzzy set,
Definition: A rough set, R(A), is a given representation of
a classical (crisp) set A by two subsets of X/R, R(A) and R( A) that approach A as closely as possible from the inside and outside (respectively) and
0
for
x 3, x 5
A
(x)
x
3
for
3 x 4
5
x
for
4 x5
0 for x 12 , x 32
B (x)
( x 12
) /8
for 12 x 20
(
32
x ) / 12
for 2 0 x 32
A ( ) [ 3 , 5 ]
B ( ) [ 8 12 , 32 12 ]
professor Zadeh). What the extension principle says is that
f(A) =f(A( )). The formal definition is:
[f(A)](y)=supx|y=f(x){A(x)}
模糊数学方法2PPT课件
图2.6 重叠指数定义
14
2. 确定隶属函数的方法 ① 模糊统计法
对论域U上的一个确定元素u0，考虑n个有 模糊集合A属性的普通集合A*以及元素u0对 A*的归属次数。u0对A*的归属次数和n的比 值就是元素u0对模糊集合A的隶属度：
A(u0)ln i mu0A*n的次数（2.4）
15
② 专家经验法：有专家的实际经验给出模糊信息的 处理算式或相应权系数来确定函数的方法。
模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法。是 把模糊的问题化为确定性问题的基础，是数据处理常用 的方法。
模糊数学应用广泛 农业，林业，气象，环境，地 质勘探，医学，经济管理等
4
从精确到模糊
精确
答案确定：要么是，要么不是 f : A → {0,1} 他是学生？他不是学生？
模糊
答案不定：也许是，也许不是，也许介于之间 μA : U → [0,1] 他是成年人？他不是成年人？他大概是成年人？
1
“年轻”（u）＝
1u52521
0u25 25u120
1
“年老”（u）＝
1u52521
0u50 50u120
9
一、模糊集合论的基础知识
隶属函数图
10
模糊集合的隶属函数
1. 确定隶属函数的原则 隶属函数的确定应遵守一些基本原则。 ① 表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合 通常，某一模糊概念的隶属函数的确定应首先从
常见隶属函数有以下类型：
偏小型
中间型
偏大型
1.矩形型
Ax
1 0
xa xa
Ax
Ax10
xa或xb axb
Ax
A
x
0 1
xa xa
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模糊控制系统同时考虑4个性能指标
安全性、乘坐舒服性、 目标速度的可跟踪性、停车距离的准
确性
8
模糊数学方法的范例
模糊聚类分析——土壤分类、市场 分析
模糊模型识别——识别当前的通货 膨胀程度、害虫危害程度
模糊决策——评选先进工作者 模糊线性规划——生产规划
9
论域
我们讨论具体问题时，要知道是在 什么范围上进行讨论
称为x对A的隶属度。
19
模糊集合vs.普通集合
模糊集合A由隶属函数μA刻画 普通集合A由特征函数XA刻画
20
隶属函数 vs. 概率
21
共同点&区别
共同点
均在[0, 1]闭区间上取值
区别
概率：研究“随机性”，虽然事件的 发生与否不确定，但是事件是确定的。
隶属函数：研究“模糊性”，研究对 象本身就是不分明的。
例如：X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5} 论域——无限集
例如：X=[0, 100]
25
模糊集合表示方法（有限论域）
有限论域X={x1 , x2 , …, xn } 设X上的模糊子集A 的隶属函数为
μA ， μi =μA(xi) 模糊子集A如何表示？
三种表示方法
26
表示方法1
当论域X为无限集时，上面的记法 失效
将查德记法推广到一般情况，即论 域是：无限的、连续的、或者其他 情况，论域X上的模糊集合A都可以 表示为
A = ∫x∈X μA(x) / x
31
表示方法说明
A = ∫x∈X μA(x) / x 这里的积分号不表示积分，也不表
示求和，而是表示各个元素与隶属 度对应关系的一个总括
11
特征函数—隶属程度 XA(x)指明x对A的隶属程度
隶属程度只有两个值：0，1 经典集合只能表示什么样的概念？
“非此即彼” 确切概念
12
非此即彼？
“高个子” “年轻” 现实世界中的很多概念具有模糊性 模糊性：客观事物差异的中间过渡
中的不分明性，难以划定界限。非 此即彼？
亦此亦彼，模糊概念
29
表示方法2，3
表示方法2：
A = {(0.85, Bill), (0.75, Obama), (0.98, Einstein), (0.60, Spielberg)}
表示方法3：
A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.60) 要求事先对论域中元素排序
30
模糊集合表示方法（无限论域）
经典集合与模糊集合
经典集合——特征函数刻画 模糊集合——隶属函数刻画 隶属函数是将特征函数的值域从{0，
1}推广到[0，1]
18
模糊子集与隶属函数的定义
定义：给出映射μA ：X [0, 1] ， x| μA(x) ， 我们说μA确定一个X的模糊子集A，
μA称为A的隶属函数， μA(x)表示 x隶属于模糊子集A的程度，
模糊概念：“smart” smart程度：0.85，0.75，0.98，0.60
28
模糊集合“smart”
论域中元素对“smart”这模糊概念 的符合程度可以用模糊子集A来表 示
A = 0.85/Gates + 0.75/ Obama + 0.98/Einstein+ 0.60/ Spielberg
模糊数学
1
什么是模糊数学？
用数学方法研究和处理具有模糊性 的现象
理论基础
模糊集合论
2
研究对象
确定性数学模型：y=f(x) 随机性数学模型: y=0,1;p(y)已知 模糊性数学模型：y很小，
0，0.1，0.2 没有一个明确的分界
3
模糊有什么用？
4
模糊数学的应用领域
农业、林业、气象、环境、地质勘 探、军事、经济、生物、心理学、 结构力学，等等
“查德记法”：模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi
不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域X的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入
27
例子（有限论域）
例.论域 = { Bill Gates, Barack Hussein Obama , Albert Einstein, Steven Allan Spielberg }
35
模糊集合的包含⊆
定义3：若对任何 x∈X， μA(x) ≤μB(x) ，则 称模糊集A包含于模糊集B，记为 A⊆B
32
1-3 模糊集的运算
33
模糊集合的运算
经典集合有哪些运算？ 将经典集合的运算推广至模糊集合 逐点对隶属度作相应的运算
34
பைடு நூலகம் 空模糊集合&相等模糊集合
设A、B为论域X上的模糊集 定义1：若对任何 x∈X，有μA(x) = 0，则
称模糊集A为空集，记为A=φ；
定义2：若对任何 x∈X ， μA(x) = μB(x) ， 则称模糊集A和B相等，记为 A = B ；
13
模糊概念
源自于实践 模糊概念（现象）无处不在
薄、厚； 高、矮； 强、弱； 中雨、大雨、暴雨、大暴雨；
14
如何亦此亦彼？
经典子集的隶属程度
只能取0或1
如何亦此亦彼？
打破这个限制 表现“亦此亦彼”的模糊概念
15
第一章 模糊集合的基本概念
16
1-1 模糊子集与隶属函数
17
要有论域（议题限制在一定范围内）
例如：
在论域“human”上，讨论概念 “male”
在论域“monkey”上，讨论概念
“male”
10
集合与特征函数
经典集合论中，给定论域X，子集
A可由其特征函数XA(x)来唯一确定
特征函数是论域X到{0,1}上的一个 映射：
A
(x)
1, xA 0, xA
以下雨为例
22
三大数学模型
处理现实对象的数学模型可分为三 大类：
确定性数学模型。背景对象具有确定 性or固定性；
随机性数学模型。背景对象的发生具 有或然性or 随机性；
模糊性数学模型。背景对象及其关系 均具有模糊性。
23
1-2 模糊子集的表示方法
24
模糊集合的表示方法
论域 论域——有限集
5
家用电器与模糊数学
模糊控制技术
空调、电冰箱、洗衣机 微波炉、电饭煲
6
模糊洗衣机
第一个应用模糊系统的消费产品 日本松下电子工业公司，1990 根据污物的种类、数量、机器负载
量，运用模糊系统，自动设定正确 的洗衣周期。
7
仙台地铁
模糊系统最显著的应用
南北线全长13.6公里，途径16个站 点，运行非常平稳
安全性、乘坐舒服性、 目标速度的可跟踪性、停车距离的准
确性
8
模糊数学方法的范例
模糊聚类分析——土壤分类、市场 分析
模糊模型识别——识别当前的通货 膨胀程度、害虫危害程度
模糊决策——评选先进工作者 模糊线性规划——生产规划
9
论域
我们讨论具体问题时，要知道是在 什么范围上进行讨论
称为x对A的隶属度。
19
模糊集合vs.普通集合
模糊集合A由隶属函数μA刻画 普通集合A由特征函数XA刻画
20
隶属函数 vs. 概率
21
共同点&区别
共同点
均在[0, 1]闭区间上取值
区别
概率：研究“随机性”，虽然事件的 发生与否不确定，但是事件是确定的。
隶属函数：研究“模糊性”，研究对 象本身就是不分明的。
例如：X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5} 论域——无限集
例如：X=[0, 100]
25
模糊集合表示方法（有限论域）
有限论域X={x1 , x2 , …, xn } 设X上的模糊子集A 的隶属函数为
μA ， μi =μA(xi) 模糊子集A如何表示？
三种表示方法
26
表示方法1
当论域X为无限集时，上面的记法 失效
将查德记法推广到一般情况，即论 域是：无限的、连续的、或者其他 情况，论域X上的模糊集合A都可以 表示为
A = ∫x∈X μA(x) / x
31
表示方法说明
A = ∫x∈X μA(x) / x 这里的积分号不表示积分，也不表
示求和，而是表示各个元素与隶属 度对应关系的一个总括
11
特征函数—隶属程度 XA(x)指明x对A的隶属程度
隶属程度只有两个值：0，1 经典集合只能表示什么样的概念？
“非此即彼” 确切概念
12
非此即彼？
“高个子” “年轻” 现实世界中的很多概念具有模糊性 模糊性：客观事物差异的中间过渡
中的不分明性，难以划定界限。非 此即彼？
亦此亦彼，模糊概念
29
表示方法2，3
表示方法2：
A = {(0.85, Bill), (0.75, Obama), (0.98, Einstein), (0.60, Spielberg)}
表示方法3：
A=(0.85, 0.75, 0.98, 0.60) 要求事先对论域中元素排序
30
模糊集合表示方法（无限论域）
经典集合与模糊集合
经典集合——特征函数刻画 模糊集合——隶属函数刻画 隶属函数是将特征函数的值域从{0，
1}推广到[0，1]
18
模糊子集与隶属函数的定义
定义：给出映射μA ：X [0, 1] ， x| μA(x) ， 我们说μA确定一个X的模糊子集A，
μA称为A的隶属函数， μA(x)表示 x隶属于模糊子集A的程度，
模糊概念：“smart” smart程度：0.85，0.75，0.98，0.60
28
模糊集合“smart”
论域中元素对“smart”这模糊概念 的符合程度可以用模糊子集A来表 示
A = 0.85/Gates + 0.75/ Obama + 0.98/Einstein+ 0.60/ Spielberg
模糊数学
1
什么是模糊数学？
用数学方法研究和处理具有模糊性 的现象
理论基础
模糊集合论
2
研究对象
确定性数学模型：y=f(x) 随机性数学模型: y=0,1;p(y)已知 模糊性数学模型：y很小，
0，0.1，0.2 没有一个明确的分界
3
模糊有什么用？
4
模糊数学的应用领域
农业、林业、气象、环境、地质勘 探、军事、经济、生物、心理学、 结构力学，等等
“查德记法”：模糊子集A记作 A = ∑i=1n μi / xi
不是分式求和，只是一个符号 “分母”是论域X的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入
27
例子（有限论域）
例.论域 = { Bill Gates, Barack Hussein Obama , Albert Einstein, Steven Allan Spielberg }
35
模糊集合的包含⊆
定义3：若对任何 x∈X， μA(x) ≤μB(x) ，则 称模糊集A包含于模糊集B，记为 A⊆B
32
1-3 模糊集的运算
33
模糊集合的运算
经典集合有哪些运算？ 将经典集合的运算推广至模糊集合 逐点对隶属度作相应的运算
34
பைடு நூலகம் 空模糊集合&相等模糊集合
设A、B为论域X上的模糊集 定义1：若对任何 x∈X，有μA(x) = 0，则
称模糊集A为空集，记为A=φ；
定义2：若对任何 x∈X ， μA(x) = μB(x) ， 则称模糊集A和B相等，记为 A = B ；
13
模糊概念
源自于实践 模糊概念（现象）无处不在
薄、厚； 高、矮； 强、弱； 中雨、大雨、暴雨、大暴雨；
14
如何亦此亦彼？
经典子集的隶属程度
只能取0或1
如何亦此亦彼？
打破这个限制 表现“亦此亦彼”的模糊概念
15
第一章 模糊集合的基本概念
16
1-1 模糊子集与隶属函数
17
要有论域（议题限制在一定范围内）
例如：
在论域“human”上，讨论概念 “male”
在论域“monkey”上，讨论概念
“male”
10
集合与特征函数
经典集合论中，给定论域X，子集
A可由其特征函数XA(x)来唯一确定
特征函数是论域X到{0,1}上的一个 映射：
A
(x)
1, xA 0, xA
以下雨为例
22
三大数学模型
处理现实对象的数学模型可分为三 大类：
确定性数学模型。背景对象具有确定 性or固定性；
随机性数学模型。背景对象的发生具 有或然性or 随机性；
模糊性数学模型。背景对象及其关系 均具有模糊性。
23
1-2 模糊子集的表示方法
24
模糊集合的表示方法
论域 论域——有限集
5
家用电器与模糊数学
模糊控制技术
空调、电冰箱、洗衣机 微波炉、电饭煲
6
模糊洗衣机
第一个应用模糊系统的消费产品 日本松下电子工业公司，1990 根据污物的种类、数量、机器负载
量，运用模糊系统，自动设定正确 的洗衣周期。
7
仙台地铁
模糊系统最显著的应用
南北线全长13.6公里，途径16个站 点，运行非常平稳