[小学奥数]燕尾定理与蝴蝶三角形

推论 1： 平行线间同底的三角形面积相等。 如图： S△ABC = S△ADB = S△AEB （因为它们同底等高）
C
D
E
A
B
推论 2：长方形中以一条边为底，顶点在对边 的三角形的面积是此长方形面积的一半。如图： S△ABC = S△BEC = S△BFC= S△BDC=
1 SABDC 2
（因为每个三角形的面积相当于是长乘宽除 2）
做这道题需要同学们对六边形的各条边的长短很了 解才行。
５
即：
S ∆ADE AD ⋅ AE = S ∆ABC AB ⋅ AC
A 推论 5：燕尾定理： 如右两图所示，均有： E B B D C
A
D
S ∆ABE BD = S ∆ACE CD
C
E
（因为左右两边所有对应的三角形的面积比都等于
BD ） CD
二、正方形面积等于对角线的平方除以 2.如图：
A
D
SABDC=
1 1 SAEFC= AC2 2 2
E
（很明显，大正方形面积是小正方形的两倍，因 为大正方形有 4 个直角三角形，而小的只有 2 个）
２
B
C
F
启明星学校
五年级
三、平行线分线段成比例： “金字塔”和“沙漏”， 如右两图所示： 如果 AB 与 CD 平行，那么： A C
O
A
B
O B D D C
OA OB AB = = OC OD CD OA OB = AC BD
C A O
S ∆AOD ⋅ S ∆BOC = S ∆AOB ⋅ S ∆COD （交叉相乘）
B D
证明：如图，过点 B，D 作 AC 的高 BE，DF 则有： S= ∆AOD
1 DF ⋅ AO 2 1 S= BE ⋅ OC ∆BOC 2 1 S= DF ⋅ OC ∆COD 2 1 S= BE ⋅ AO ∆AOB 2
S ∆AOB OA OB AB = = = S ∆COD OC OD CD
2
Βιβλιοθήκη Baidu
2
2
推论：配合沙漏型的规律，只要知道了梯形被对角线分成 的四个三角形中两个不同的三角形的面积，就可以知道每一个 三角形的面积，进而知道总面积。如图：
D
四、交叉相乘： 如右图所示，对任意凸四边形 ABCD 有：
C A E O F
B
３
启明星学校
五年级
所以： S ∆AOD ⋅ S ∆BOC=
1 1 DF ⋅ AO ⋅ BE ⋅ OC= 2 2 1 1 S ∆AOB ⋅ S ∆COD = BE ⋅ AO ⋅ DF ⋅ OC = 2 2
1 DF ⋅ AO ⋅ BE ⋅ OC 4 1 DF ⋅ AO ⋅ BE ⋅ OC 4
A E
S ∆ADE AD ⋅ AE = S ∆ABC AB ⋅ AC
D B C
证明：连结 BE，则有：
S ∆ADE AD S ∆ABE AE ， = = S ∆ABE AB S ∆ABC AC
两个式子相乘得到：
S ∆ADE S ∆ABE AD AE ⋅ = ⋅ S ∆ABE S ∆ABC AB AC
S1 1 S1 1 S1 1 1 = ， = ，所以 = = S 2 3 S3 3 S1 + S 2 + S3 1 + 3 + 3 7
所以△ABO 的面积占△ABC 面积的
1 7
A E O B D C
同一类型的题 （如右图所示） ， 我们整理一下会发现：
S AOB 1 = S ABC 1 + EC + DC EA BD
因为 AE=2EC 所以
S ∆ADE AE 2 = = S ∆ADC AC 3
所以三角形 ADE 的面积为 36 ×
2 2 × = 16 平方厘米。 3 3
B
例 2 如图中 A、B 两点分别是长方形长和宽的中点，那么阴影部
3 分的面积是长方形面积的___________(填几分之几)。( ) 8
解：如右图我们把 BC 连结起来， 就可知道 S3 是长方形面积一半的一半 S2 是长方形面积一半的一半的一半 所以阴影部分的面积就是长方形面积的
所以： S ∆AOD ⋅ S ∆BOC = S ∆AOB ⋅ S ∆COD A 例 1 三角形 ABC 的面积为 36 平方厘米，D 上分别为 BC、AC 边上的三等分点(如图)。则三角形 ADE 的面积为__________平方厘 米。 解：因为 DC=2BD 所以 B D E C
S ∆ADC DC 2 = = S ∆ABC BC 3
推论 3：梯形中的蝴蝶三角形——梯形中由对角线分成的左右两个三角形面积相等。 如图：
S ∆AOD = S ∆BOC （蝴蝶三角形）
（因为 S ∆ADC = S ∆BDC ，这两个三角形同时减去 S ∆DOC 就得 到了 S ∆AOD = S ∆BOC ）
１
启明星学校
五年级
推论 4：鸟头定理——如右图所示则有：
A
1 1 3 + = 4 8 8
例 3 如图，△ABC 中，CD=3AD，EC=3BE，那△ABO 的面积占△ABC 面积的________分之_________； B
A D O E C
４
启明星学校
五年级
解：我们先连结 OC，然后就会发现两个燕尾（下图第 2 图，第 3 图） ：
然后我们根据燕尾定理可知
启明星学校
五年级
第二讲
燕尾定理与蝴蝶定理
基础知识
之前我们学了一些直线型的皮毛，今天，让我们系统的学习直线型吧！ 下面是同学们在做题时常用的几条定理或结论。 一、同高三角形，鸟头定理和燕尾定理： （1）同高三角形面积的比等于底的比； 如右图中： S△ABD : S△ACD = BD : CD B D C A
例4
如图，正六边形的面积为 6，那么阴影部分的面积是多少？
解：我们添加 2 条辅助线：观察下图可以看到 S2 =S3 =S4 =S5 =S6 =S7 根据“沙漏定理”我们知道
S1 1 2 1 = (= ) S 4 + S5 2 4
而 S1 + S 2+3+4+5 =S1 + S阴 =
1 S =3 2 六边形 1 8 然后可以算出 S1 = ，S阴 = 3 3