斜边、直角边公理教案
(修改后)斜边直角边教案
13.2.6斜边直角边【教学目标】：1、知识与技能:①、经历两个直角三角形的全等条件的探究过程，掌握斜边直角边定理.②、会利用斜边直角边定理解决简单的实际问题.2、过程与方法：①、通过学生自主探究（做一做），发现、明白斜边直角边定理.②、灵活使用斜边直角边定理，解决简单的数学问题.3、情感态度与价值观：①、学生在活动中、交流中学数学，体验劳动以及合作的乐趣.②、使学生感受数学与实际生活的密切联系，体验学数学、用数学的乐趣，从而激发学生的学习兴趣.【重点】：让学生掌握斜边直角边定理【难点】：灵活应用斜边直角边定理解题【教学准备】：刻度尺和圆规，剪刀，多媒体课件【教学过程】：一、创设情景1、判定两个三角形全等的方法有：SAS ， ASA ， AAS ， SSS 。
2、SSA能判定两个三角形全等吗？请说明理由.（1）两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.（2）两边及其中一边的对角分别相等的两个直角三角形呢？二、探究新知1、做一做已知线段a、c(a﹤c) ，利用尺规作一个Rt△ABC,使∠C =90°，CB=a，AB=c.（1、2组画a=2cm、 c=3cm; 3、4组画a=3cm、 c=5cm ）a c按照下面的步骤画一画⑴画一条线段CB=2cm(或3cm)；⑵画∠MCB=90°（用量角器或三角板）；⑶以点B为圆心,3cm(或5cm)长为半径画弧，交射线CM于点A；⑷连结AB.∴△ABC为所求作的三角形.剪下这个三角形，和同组其他同学所作的三角形进行比较，你能发现什么？由此,你能得出什么结论呢?2、直角三角形全等的判定方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简记为 HL(或斜边直角边）符号语言：在Rt△ABC和Rt△A´B´C´中AB=A´B´BC=B´C´∴Rt△ABC≌ Rt△A´B´C´（HL）3、应用新知例7.如图,已知，AC=BD,∠C=∠D= 90°求证:BC=AD.三、课堂练习1、例7变式: 如图,已知，AC=BD,∠C=∠D= 90°. 求证:BC=AD.2、如图，AC=AD，∠C=∠D= 90°，求证：BC=BD.3、练习2变式:如图，AC=AD，∠C=∠D= 90°，求证：AB平分∠CAD.（如上图）4、如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？四、小结你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”。
斜边直角边定理优秀教学设计
ABC斜边直角边教学设计一．教学目标 1.知识与技能：（1）经历两个直角三角形全等条件的探究过程,掌握斜边直角边定理。
（2）会利用斜边直角边定理解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法：使学生经历作图，比较，证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力。
3.情感态度与价值观：通过探究，感受数学模型与实际生活中的联系，体验学数学，用数学和进一步激发学生对数学产生乐趣。
二．教学重难点重点：掌握“斜边直角边”判定定理。
难点：直角三角形全等的判定定理的探索过程。
三.教学准备圆规 三角板 教学过程：一、数学与生活如课件图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.你能帮他想个办法吗？？？ 二 .复习引入：1. 判定两个三角形全等方法，_____，_______ ， _______ ， ______ 。
2. 如图，Rt ABC 中，直角边 AC 、 BC ，斜边 AB 。
3. 如上右图AB ⊥BE 于B ，ED ⊥BE 于E,（1）若 ∠ A= ∠ D ，AB=DE ，则 △ ABC 与 △ DEF___________ （填“全等”或“不全等”） 根据 _________ （用简写法） （2）若 ∠ A= ∠D ，BC=EF ，ABCF则△ ABC与△ DEF _____ （填“全等”或“不全等”）根据 _______（用简写法）（3）若AB=DE，BC=EF，则△ ABC与△ DEF______（填“全等”或“不全等”）根据 ______（用简写法）（4）若AB=DE，BC=EF，AC=DF则△ ABC与△ DEF ____（填“全等”或“不全等”）根据 _______（用简写法）4.注意：见课件8两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等讲述新课：三、师生互动,探究新知1.【教师活动】那么在两个直角三角形中,当斜边和一条直角边分别对应相等时,也具有“边边角”对应相等的条件,这时这两个直角三角形能否全等呢?大家一起动手画一画.如图所示,已知两条线段(这两条线段长不相等),以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边,画一个直角三角形.大家一起动手来画一画,好吗?画好后与同排比较,它们全等吗?【学生活动】动手操作,并用语言叙述这个基本事实.【教师活动】在同学发言基础上归纳:如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等.简记H.L.(或斜边直角边).此公理的前提是两个三角形是直角三角形,同时满足两个条件(1)斜边相等(2)一条直角边对应相等.斜边、直角边公理(H.L.)推理格式(图略)∵∠C=∠C'=90°,∴在Rt△ABC和Rt△ABC中,AB=AB,BC=BC,∴Rt△ABC≌Rt△ABC(H.L.)2.回归生活见课件113.讲解例1例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC﹦BD，求证：BC﹦AD4.例2.如图，AB=CD, BF⊥AC于点F,DE⊥AC于点E,AE=CF. 求证：BF=DE.C这两个例题先抽学生回答，例2请一个学生板书后评讲。
全等三角形的判定——直角三角形全等的斜边直角边定理教案人教版
课题：
科目：
班级：
课时：计划1课时
教师：
单位：
一、课程基本信息
1.课程名称：直角三角形全等的斜边直角边定理
2.教学年级和班级：九年级一班
3.授课时间：2022年10月12日
4.教学时数：1课时
二、教学目标
1.了解全等三角形的概念，理解全等三角形的判定方法。
2. 斜边直角边定理的应用题：布置5道题目，让学生运用斜边直角边定理解决实际问题，提高学生将理论知识应用于实际问题的能力。
3. 小组讨论和实践活动：布置一个与全等三角形相关的实际问题，要求学生分组讨论和解决，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
作业反馈：
1. 对学生的全等三角形判定方法的练习题进行批改，指出存在的问题，如判定方法的选择不当、计算错误等，并给出改进建议。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解全等三角形的概念。全等三角形是指在形状和大小上完全相同的三角形。它们具有相同的边长和相同的角大小。全等三角形在几何学中具有重要意义，因为它们可以用来解决各种实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了全等三角形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2. 对学生的斜边直角边定理的应用题进行批改，指出存在的问题，如应用定理时逻辑推理不严密、计算错误等，并给出改进建议。
3. 对学生的分组讨论和实践活动进行评价，指出存在的问题，如小组成员之间的沟通不畅、解决问题的方法不当等，并给出改进建议。
4. 对学生的作业进行总结，指出他们在全等三角形学习中的优点和不足，鼓励他们继续努力，提高自己的学习能力。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调直角三角形全等的斜边直角边定理和全等三角形的判定方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
直角三角形全等的判定“斜边直角边教学设计
直角三角形全等的判定“斜边直角边教学设计直角三角形全等的判定：“斜边、直角边”教学设计学科数学年级八年级上册教学形式师生互动教师***单位****双明初级中学课题名称直角三角形全等的判定：“斜边、直角边”学情分析这是学生在学习三角形全等的条件及作三角形后教材安排的一课时内容。
直角三角形的全等在生活中随处可见，它不仅是研究其他图形的根底，而且在解决实际问题中有着广泛的运用。
本节课是探索直角三角形全等的条件，学好本节课的知识对学生更好地熟悉现实世界、开展空间观念和推理能力都有非常重要地作用。
学生大局部来自农村，学生的根底知识和技能参差不齐，相当一局部同学缺乏遇难而上，独立思考的习惯，没有良好的严谨求实的学习态度，但对新知识有较强的好奇心。
教材分析本课是在学习了全等三角形的四个判定方法〔“边边边”、“边角边”、“角边角”、“角角边”〕的根底上，进一步探索两个直角三角形全等的判定方法．直角三角形是三角形中的一类，判定两个直角三角形全等，可以用已学过的所有全等三角形的判定方法，但两个直角三角形中已有一对直角是相等的，因此在判定两个直角三角形全等时，只需另外找到两个条件即可，由于直角三角形的这种特殊性，判定两个直角三角形全等的方法又有别于其它的三角形．教科书首先给出一个“思考”，让学生认识到判定两个直角三角形全等与判定两个普通三角形全等的不同之处．然后通过探究5的作图实验操作，让学生经历探究满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等的过程，然后在学生总结探究出的规律的根底上，直接以定理的方式给出“斜边、直角边”判定方法．最后，教科书给出一个例题，让学生在具体问题中运用“斜边、直角边”证明两个直三角形全等，并得到对应边相等．教学目标1．理解“斜边、直角边”能判定两个直角三角形全等．2．能运用“斜边、直角边”证明两个直角三角形全等，并得到对应边、对应角相等．教学重难点重点：掌握判定两个直角三角形全等的方法；难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等。
12.2 第4课时 “斜边、直角边”(教案)-2022-2023学年八年级上册初二数学(人教版)
12.2 第4课时“斜边、直角边”（教案）一、教学目标1.了解直角三角形的概念和性质；2.理解斜边、直角边和对边的关系；3.能够根据已知条件求解直角三角形中的未知边长或角度；4.掌握勾股定理的应用。
二、教学重点1.理解直角三角形的概念和性质；2.掌握斜边、直角边和对边的关系；3.熟练运用勾股定理求解问题。
三、教学内容1. 直角三角形的概念和性质直角三角形是指一个角为直角（90°）的三角形。
直角三角形有以下性质： - 斜边：直角三角形中与直角不相邻的边称为斜边，它是直角三角形的最长边。
- 直角边：直角三角形中与直角相邻的两边称为直角边。
- 对边：直角三角形中直角边所对的边称为对边。
2. 斜边、直角边和对边的关系在直角三角形中，斜边、直角边和对边之间有一定的关系： - 斜边的平方等于直角边的平方和对边的平方，即斜边的平方 = 直角边的平方 + 对边的平方。
这个关系由著名的勾股定理给出。
3. 勾股定理及其应用勾股定理是指直角三角形中斜边、直角边和对边的关系，即勾股定理可以表示为：斜边的平方 = 直角边的平方 + 对边的平方。
勾股定理可以应用于解决一些与直角三角形相关的问题，例如已知直角三角形中两条边的长度，可以利用勾股定理求解第三条边的长度；或者已知直角三角形中一条边的长度和一个角的大小，可以利用勾股定理求解另外两条边的长度。
四、教学步骤步骤一：导入新知识通过引入直角三角形的概念和性质，引发学生对本课内容的兴趣和思考。
步骤二：讲解斜边、直角边和对边的关系详细讲解斜边、直角边和对边的概念，并引入勾股定理的公式。
步骤三：示例演练通过实际示例，演示如何利用勾股定理求解直角三角形中的未知边长或角度。
步骤四：练习与讨论组织学生进行练习题，并在解题过程中与学生进行讨论和指导。
步骤五：归纳总结与学生一起总结本节课的重点和要点，帮助学生加深对知识的理解和记忆。
五、教学拓展1.提供更多直角三角形相关的问题，让学生尝试自己解决，并分享解题思路和答案。
八年级数学上册《斜边直角边》教案、教学设计
3.强化学生的成功体验，通过不断解决问题的过程，增强学生面对挑战的自信心。
4.引导学生理解数学在历史、文化以及现代社会发展中的地位和作用，培养对数学文化的尊重和认识。
5.培养学生的批判性思维，鼓励他们对定理提出疑问，探索不同证明方法，从而深化对数学知识的理解。
（三）学生小组讨论
1.分组活动：将学生分成若干小组，每组选择一个生活中的直角三角形实例，讨论如何运用勾股定理解决问题。
2.交流分享：每个小组汇报讨论成果，分享他们在解决问题过程中遇到的困难和解决方法。
3.教师点评：对每个小组的讨论成果进行点评，强调解题关键点，纠正错误思路，提出改进意见。
（四）课堂练习
4.运用信息技术手段，如多媒体课件、在线数学工具，增加学生对定理理解和应用的直观感受。
5.通过练习题目的设计，从基础到提高，逐步增加难度，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
（三）情感态度与价值观
本章节的学习还将致力于培养学生的以下情感态度与价值观：
1.激发学生对数学学习的兴趣，特别是几何学的兴趣，通过解决实际问题，体会数学的实用性和美。
1.基础知识巩固题：完成课本第十五章习题1-4，着重练习勾股定理及其逆定理的应用，确保学生掌握基本概念和解题方法。
2.实践应用题：结合生活实际，设计一道与勾股定理相关的实际问题，要求学生运用所学知识解决问题，并在解答过程中注重步骤的完整性。
3.探究拓展题：以小组为单位，探讨勾股定理在相似三角形中的应用，引导学生发现并证明相似三角形中对应边长的比例关系。
二、学情分析
八年级学生已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的几何图形知识和勾股定理的初步运用。然而，对于斜边直角边关系的深入理解和勾股定理逆定理的灵活运用仍需加强。学生在前期的学习中，可能更多关注计算过程而忽视对几何概念的理解。因此，在本章节的教学中，应注重以下学情分析：
人教版数学八年级上册第4课时 斜边、直角边 (2)教案与反思牛老师
12.2三角形全等的判定知己知彼，百战不殆。
《孙子兵法·谋攻》樱落学校曾泽平第4课时斜边、直角边一、新课导入1.导入课题:对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足哪些条件，这两个直角三角形就全等呢？本节课我们探讨直角三角形全等的判定方法.2.学习目标:（1）探究直角三角形全等的判定方法.（2）能运用三角形全等的判定方法判断两个直角三角形全等.3.学习重、难点：重点：直角三角形全等的判定方法.难点：两个直角三角形全等判定的应用.二、分层学习1.自学指导：(1)自学内容：探究斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等.(2)自学时间：10分钟(3)自学方法：结合探究提纲进行探究.(4)探究提纲：①判定两个三角形全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS.②①中几个判定方法对于直角三角形是否适用？适用③如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E，a.若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF全等吗？依据是ASA（用简写法）.b.若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF全等吗？依据是SAS（用简写法）.结论：两条直角边分别相等的两个直角三角形全等.④已知△ABC中，∠C=90°，试作出一个△A′B′C′，使∠C′=∠C，A′B′=AB，B′C′=BC.a.作图过程中应先作∠C′=∠C，再作B′C′=BC，然后作A′B′=AB.b.剪下△A′B′C′与△ABC重叠一下，看它们是否完全重合.重合c.根据作图、重叠，你有什么发现吗？斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）.d.将上述结论用几何语言表示为：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∵AB=A′B′ BC=B′C′∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL)⑤比较“HL”与“SAS”两个定理的区别.⑥用“SSA”不能判定一般的两个三角形全等，对于直角三角形行吗？一定行.2.自学：学生结合探究提纲进行探究学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：前面已经学习了几个判定，学生能够利用类比的方法迅速掌握本节内容，但在应用的过程中还存在一定的障碍，特别是应用“HL”定理时容易写成“SSA”.②差异指导：在学习的过程中，先由一般方法到特殊方法，让生整体感知“HL”的优点.（2）生助生：在完成探究的过程中，需要小组合作学习，相互交流帮助作图并说明道理.4.强化：(1)直角三角形是特殊的三角形，它不仅有一般三角形全等判定的方法:SAS、ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊的判定方法——“HL”.（2）“HL”不能写成“SSA”.（3）如图，若AB=DE，AC=DF，则△ABC与△DEF全等吗？为什么？不一定全等，因为没有第三个条件.1.自学指导：(1)自学内容：教材第42页例5.(2)自学时间：5分钟.(3自学方法：认真阅读例5，分析图中的对应条件.(4)自学参考提纲：①题中要证BC=AD，可以转化为证明哪两个三角形全等？为什么？△ABC≌△BAD②这两个三角形全等有哪些已知条件？用哪个判定定理合适？为什么？已知AB=BA,AC=BD,用HL判定定理，因为AB是Rt△ABC和Rt△BAD的斜边，AC和BD分别是Rt△ABC和Rt△BAD的直角边.2.自学：学生可结合自学指导进自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：由于前面几节课的学习，学生在证明过程中容易形成思维定势，总在寻找三对应条件来判定两个三角形全等，而忽视“直角三角形”的特殊性.②差异指导：先按一般三角形全等的判定方法，寻求条件，若缺条件，再尝试“HL”（2）生助生：学生之间相互交流帮助.4.强化：（1）判定两个直角三角形全等的方法和特殊方法.（2）练习：如图，B、EF、C在同一直线上，F⊥BC于F，DE⊥BC与E，AB=DC,BE=CF,你认为AB平行于CD吗？说说你的理由.解：平行.理由：∵AF⊥BC，DE⊥BC，∴∠AFB和∠DEC都是直角，又BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE.在Rt△ABF和Rt△DCE中，AB=CD,BF=CE, ∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL),∴∠B=∠C,AB∥CD.三、评价1.学生的自我评价：通过本节课的学习谈自己有哪些收获和体验.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生的学习态度、方法、成果和不足进行点评.（2）纸笔评价（课堂评价检测）.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学应突出学生主体性原则，即从规律的探究、例题的学习，指引学生独立思考，自主得出，在探究之后，让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表达个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.一、基础巩固（第1、2题每题10分，第3题40分，共60分）1.判断一组直角三角形全等的方法有：SSS SAS ASA AAS HL.2.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C′=∠C=90°，∠B′=∠A，AB=B′A′，则下列结论正确的是（C）A.AC=A′C′B.BC=B′C′C.AC=B′C′D.∠A′=∠A3.如图，BA⊥AC，DC⊥AC，要使△ABC≌△CDA，还需添加什么条件，才能保证结论成立？(1)AB=CD（SAS）； (2)∠ACB=∠CAD（ASA）；(3)∠B=∠D（AAS）； (4)BC=AD（HL）.二、综合应用（每小题10分，20分）4.已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，求证：①△BEC≌△DEA；②DF⊥BC．证明：(1)∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEA=90°.在Rt△BEC和Rt△DEA中，BC=DA,BE=DE,∴Rt△BEC≌△Rt△DEA.（2）∵Rt△BEC≌Rt△DEA,∴∠C=∠DAE,∴∠C+∠D=∠DAE+∠D=90°,∴∠CFD=90°,∴DF⊥BC.5.如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，试说明AD+AB＝BE.解：∵AD⊥AC,BE⊥AC,∴∠A=∠CBE=90°,∴∠D+∠ACD=90°.又∵∠DCE=90°,∴∠ACD+∠BCE=90°,∴∠D=∠BCE.在△ACD和△BEC中，∠A=∠CBE,∠D=∠BCE,CD=EC,∴△ACD≌△BEC(AAS).∴AD=BC,AC=BE,∴AD+AB=BC+AB=AC=BE.三、拓展延伸（20分）6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，EF是过点A的直线，BE⊥EF于E，CF ⊥EF于F，试探求线段BE、CF、EF之间的关系，并加以证明.解：BE+CF=EF,证明如下：∵BE⊥EF,CF⊥EF,∴∠BEA=∠AFC=90°.又∠BAC=90°，∴∠EAB+∠CAF=180°-∠BAC=90°, ∴∠EAB=∠FCA,在△ABE和△CAF中，∠BEA=∠AFC,∠EAB=∠FCA,AB=CA,∴△ABE≌△CAF(AAS).∴BE=AF,AE=CF,∴BE+CF=AF+AE=EF.【素材积累】宋庆龄自1913年开始追随孙中山，致力于中国革命事业，谋求中华民族独立解放。
斜边直角边教案
斜边直角边教案教案：斜边直角边的求解教学目标：1.理解直角三角形的概念和性质。
2.掌握使用勾股定理求解直角三角形的斜边和直角边的方法。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学重点：1.掌握勾股定理的概念和应用。
2.学会使用勾股定理求解直角三角形的斜边和直角边。
教学难点：1.学会运用勾股定理的求解思路和方法。
2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
教学准备：教师准备：课件、教学实例学生准备：铅笔、直尺、计算器等教学过程：Step 1 引入与导入（5分钟）教师可以通过提问的方式引入，例如：“大家知道直角三角形是什么吗？直角三角形有哪些特点？”引导学生回忆直角三角形的概念和性质。
Step 2 学习和讨论（15分钟）1.教师呈现勾股定理的公式：a²+b²=c²，解释公式中的符号含义。
2.教师通过教学实例，依次讲解如何用勾股定理计算斜边和直角边的问题，并给学生一些练习题进行巩固。
Step 3 拓展与巩固（25分钟）1.学生自主完成一些练习题，加深对勾股定理的理解。
2.教师指导学生通过构建勾股三元数组，发现勾股定理中的规律，巩固对勾股定理的掌握。
Step 4 总结与归纳（10分钟）教师引导学生总结勾股定理的求解方法和注意事项，并出示总结卡片供学生抄写。
Step 5 课堂练习（15分钟）学生利用计算器或手工计算，完成一些复杂的勾股定理应用题，检验自己的学习成果。
Step 6 课堂互动（10分钟）教师根据学生的学习情况和课堂表现，设计课堂互动环节，例如学生之间交流解题思路或者展示解题过程。
Step 7 作业布置（5分钟）教师布置作业，可以是课本中的相关习题或其他拓展习题，要求学生完成作业并及时向教师请教有关问题。
Step 8 课堂小结（5分钟）教师对本节课的教学内容进行小结，并鼓励学生充分巩固所学知识。
板书设计：直角三角形斜边直角边勾股定理：a²+b²=c²教学反思：通过本节课的教学，学生能够理解直角三角形的概念和性质，并掌握使用勾股定理求解直角三角形的斜边和直角边的方法。
斜边直角边教案新版华东师大版
13．2.6 斜边直角边1．会用“H.L.”判定两个直角三角形全等．2．会综合应用各种方法判定两个直角三角形全等．重点用“H.L.”判定两个直角三角形全等．难点用综合法证明两个直角三角形全等．一、创设情境问题：舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？问题(1)学生可以回答去量斜边和一锐角，或直角边和一个锐角；但对于问题(2)，学生则难肯定．工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、探究新知我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相等，那么这两个三角形一定全等；如果有“角角角”分别对应相等，那么不能判定这两个三角形全等，这两个三角形可以有不同的大小；如果有“边边角”分别对应相等，也不能保证这两个三角形全等．那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形能否全等吗？如图，已知两条线段(这两条线段长不相等)，以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形．把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较，所有的直角三角形都全等吗？换两条线段，试试看，是否有同样的结论？步骤：1．画一线段AB，使它等于2 cm；2．画∠MAB＝90°；3．以点B为圆心，以3 cm长为半径画圆弧，交射线AM于点C；4．连结BC.△ABC即为所求．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.由于直角边AC＝A′C′，我们移动其中的Rt△ABC，使点A与点A′，点C与点C′重合，且使点B与点B′分别位于线段A′C′的两侧．因为∠ACB＝∠A′C′B＝∠A′C′B′＝90°，故∠B′C′B＝∠A′C′B′＋∠A′C′B＝180°，因此点B，C′，B′在同一条直线上．由翻折可得∠B＝∠B′.由“角角边”便可知这两个三角形全等．于是可得：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为H.L.(或斜边直角边)．三、练习巩固1．如图，AC⊥AD，BC⊥BD，OE⊥CD，AC＝BD.求证：DE＝CE.2．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC＝BD.求证：CE＝DF.四、小结与作业小结这节课，你学习了什么？有什么收获？有何困惑？与同伴交流的基础上，教师进行归纳总结．作业教材第76页习题13.2第6题．本节课是在前面已经学习过的一般三角形的五种判定方法的基础上，研究直角三角形独有的判定方法“H.L.”，整节课按“操作—发现—归纳—运用”程序展开．教学中应将五种一般方法与“H.L.”综合运用，提高学生综合运用知识的能力，有时证明题中会涉及两次用全等的方法证明线段(或角)相等，要及时帮助同学们归纳总结，提升思维能力．。
人教版八年级上册数学教案：12. 2 斜边直角边
3、 如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证:BC=AD.
五、巩固实践
1、判断直角三角形全等的方法有哪些？
2、如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，证明BC=BD。
六、师生互动，课堂小结
谈谈你在这节课的收获。
直角三角形全等的判定方法有五项依据：SAS,ASA,AAS.,SSS,HL.
画好后,把Rt△A'B'C'剪下,放到Rt△ABC上,看它们全等吗?
发现了什么结论?(
斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等，简写为“斜边、直角边”或“HL”。
用数学语言表述上面的判定方法
学生独立思考、小组合作交流讨论共同探究、得出结论，每组派代表举手回答问题。
通过学生小组合作探究过程，培养学生独立思考能力，小组合作意识等，通过学生的探究过程达到突破难点的过程。
“斜边直角边”定理 4.例题
5. 巩固练习
期中Hl 只使用于判定直角三角形全等
学生先进行独立思考后、小组合作交流，进行分享。
主要让学生对本节课知识进行巩固
六、教学评价设计
本节课是由浅人深、由易到难的练习题目，让学生独立完成，提高他们自主学习的能力。七、教学板书源自12.2全等三角形的判定方法（4）
前提测试 2.回顾旧知 SSS,SAS,ASA,AAS.
二、教学目标
1、认识直角三角形全等的有五种判定方法；
2．会用“HL”进行简单几何推理；
3、激发学生学习数学的兴趣
HL定理又是判定量直角三角形全等的重要方法，所以本节课很重要,本节课学习重点：斜边、直角边判定定理。
三、学习者特征分析
初二学生初步具备了几何推理能力，基本逻辑思维能力，这节课在前几个判定的基础之上学习，让学生先对于教材上的内容进行研读，对于不懂的地方，进行圈出，带着问题在进行微课学习。
人教版八年级数学上册《斜边、直角边》精品教案
第4课时“斜边、直角边”.,,AD BC BD AC AD BD BC AC ==⊥⊥求证：如图，例现在不要求马上给出结论．看看，通过动手探究，你是否能得出结论．直角三角形我们用Rt △表示． 思考：任意画出一个Rt △ABC ，使／C ＝90°，再画一个Rt △A'B'C'，使B'C'＝BC ，A'B'＝AB ，把画好的Rt △A'B'C'剪下，放到Rt △ABC 上，看看它们是否全等．(课件出示题目，师生一起看题)(学生独立探究，动手作图) 提问：（1）△ABC 就是所求作的三角形吗？（2）画好后，把Rt △A'B'C'剪下，放到Rt △ABC 上，看它们全等吗?（3）发现了什么结论？（全等）．结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边，直角边”或“HL ”）．注意两点：一是“HL ”是仅适用于Rt △的特殊方法。
二是应用“HL ”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt △的条件 4．结合图形，先分析已知条件和求证．从这些已知条件中，我们能发现什么?结合所求证的，你又能发现什么?(留时间让生思考)……培养学生的分析、作图能力．画法直接由教师蛤出，而不安排学生画出，是考虑学生反映画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点．让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL ”这一条件．自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对围难的勇气和信心．小组展示自己的成果：AC⊥BC，BD⊥AD，又加上AC＝BD，我们能找到两个Rt△：Rt△ADB，Rt△BCA．又因为AC＝BD已经是一条直角边相等，我们再找到另一条件就行了．从这道题中可以看到，若已知几个垂直关系，我们可以试着找找Rt△，看看这些Rt△的关系．若能发现全等，那就能得出对应边、对应角相等了．让学生上台说方法，说思路，培养学生的逻辑推理能力；展示自己的探究成果，获得成功的喜悦．巩固练习学练优课后练习．小结与作业小结提高你有什么收获?你还有什么疑问？布置作业课后小知识--------------------------------------------------------------------------------------------------小学生每日名人名言1、读书要三到：心到、眼到、口到2、一日不读口生，一日不写手生。
《“斜边、直角边”判定三角形全等》教学设计
《“斜边、直角边”判定三角形全等》教学设计1．探索和了解直角三角形全等的条件：“斜边、直角边”．2．会运用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等．重点探究直角三角形全等的条件．难点灵活运用直角三角形全等的条件进行证明．一、情境引入(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)；方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS)．工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？二、探究新知多媒体出示教材探究5.任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.把画好的Rt△A′B′C′剪下来，放到Rt△ABC上，它们全等吗？画一个Rt△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝AB.想一想，怎么样画呢？按照下面的步骤作一作：(1)作∠MC′N＝90°；(2)在射线C′M上截取线段B′C′＝BC；(3)以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′；(4)连接A′B′.△A′B′C′就是所求作的三角形吗？学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等．由探究5可以得到判定两个直角三角形全等的一个方法：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边、直角边”或“HL”．多媒体出示教材例5如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD.求证：BC＝AD.证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠C与∠D都是直角．在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BA ，AC ＝BD ， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL)．∴BC ＝AD.想一想：你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL ”．三、巩固练习如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．学生独立思考完成．教师点评．四、小结与作业1．判定两个直角三角形全等的方法：斜边、直角边．2．直角三角形全等的所有判定方法：定义，SSS，SAS，ASA，AAS，HL.思考：两个直角三角形只要知道几个条件就可以判定其全等？3．作业：教材习题12.2第7题．本节课教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定的方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解．在教学过程中，让学生充分体验到实验、观察、比较、猜想、归纳、验证的数学方法，一步步培养他们的逻辑推理能力．12．3角的平分线的性质掌握角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．重点角的平分线的性质和判定，能灵活运用角的平分线的性质和判定解题．难点灵活运用角的平分线的性质和判定解题．一、复习导入1．提问角的平分线的定义．2．给定一个角，你能不用量角器作出它的平分线吗？二、探究新知(一)角的平分线的画法教师出示：已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线．然后让学生阅读教材第48页上方思考．(教师演示画图)通过对分角仪原理的探究，得出用直尺和圆规画已知角的平分线的方法，师生共同完成具体作法．(二)角的平分线的性质试验：(1)让学生在已经画好的角的平分线上任取一点P；(2)分别过点P作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足为D，E；(3)测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系；(4)再换一个新的位置看看情况怎样？归纳总结得到角的平分线的性质．分析讨论PD＝PE的理由．(三)角平分线的判定教师指出：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．(1)写出已知、求证．(2)画出图形．(3)分析证明过程．巩固应用：解决教材第49页思考(四)三角形的三个内角的平分线相交于一点1．例题：教材第50页例题．2．针对例题的解答，提出：P点在∠A的平分线上吗？通过例题明确：三角形的三个内角的平分线相交于一点．练习：教材第50页练习．三、归纳总结引导学生小组合作交流：(1)本节课学到了哪些知识？(2)你有什么收获？四、布置作业教材习题12.3第1～4题．教学始终围绕着角平分线及其性质、判定的问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考，探索问题中所包含的数学知识，让学生经历了知识的形成与应用的过程，从而更好的理解掌握角平分线的性质。
斜边直角边教案.doc
全等三角形的判定一-斜边直角边教学设计隆安县第一中学蒙小妹［教材分析］:本课是人教版八年级数学下册第十二章的最后一个判定定理，在学习了全等三角形的四个判定方法（“边边边^边角边^角边角^角角边”）的基础上，进一步探索两个直角三角形全等的判定方法。
直角三角形是三角形中的一类，判定两个直角三角形全等，可以用已学过的所有全等三角形的判定方法，但两个直角三角形中已有一对直角是相等的，因此在判定两个直角三角形全等时，只需另外找到两个条件即可，由于直角三角形的这种特殊性，判定两个直角三角形全等的方法又有别于其他的三角形。
教科书首先给出一个“思考”，让学生认识到判定两个直角三角形全等与判定两个普通三角形全等的不同之处・然后通过探究5的作图实验操作，让学生经历探究满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等的过程，然后在学生总结探究出的规律的基础上，直接以定理的方式给出“斜边、直角边”判定方法•最后，教科书给出一个例题，让学生在具体问题中运用“斜边、直角边”证明两个直三角形全等, 并得到对应边相等。
［学情分析］:学生对于证明两个三角形全等的思路较为清晰。
对于比较全等三角形有一定的动手能力。
［教学重点］:“斜边、直角边”判定方法的运用。
［教学难点］:“斜边、直角边”判定方法的理解。
［教学目标］:1・已知斜边和一直角边会作直角三角形。
2 •会阐述绘斗边、直角边”公理，并会通过绘斗边、直角边公理判定两个直角三角形全等。
3•能熟练地、灵活地选用一般三角形全等的判定方法以及“斜边、直角也”公理判定两个直角三角形全等。
［教学准备］:课件［引导性材料］:如图3・8・1 , AD >AAB C的高，AD扌巴△ ABC分成两个直角三角形，这两个直角三角全等吗？A图 3. 8-1［教学设计］问题1：图3. 8-1中的两个直角三角形有可能全等吗？什么情况下这两个直角三角形全等？说明：设计开放式问题1,便于各类学生参与探索两个直角三角形全等的各种可能情况。
初中数学《三角形全等的判定“斜边、直角边”》教案
教学设计
一、情境引入
(显示图片)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否对称，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
(1)你能帮他想个办法吗？
(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角(AAS)；
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐角(ASA或AAS)．
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”．你相信他的结论吗？
二、探究新知
三、例题讲解 教材例5
如图，AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，垂足分别为C ，D ，AC ＝BD.求证：BC ＝AD.
证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥AD ， ∴∠C 与∠D 都是直角．
在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，
⎩
⎨
⎧AB ＝BA ，
AC ＝BD ， ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD(HL )． ∴BC ＝AD.
四、应用提升 想一想：
你能够用几种方法判定两个直角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，还有直角三角形特殊的判定全等的方法——“HL ”．
三、巩固练习 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由．
学生独立思考完成．教师点评． 五、小结。
最新人教版初中八年级数学上册《斜边、直角边》精品教案
第4课时 “斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE 都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ，∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用 【类型一】 利用“HL ”判定线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型二】 利用“HL ”判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2. 方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL ”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL ”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL ”，除此之外，还可以选用“SAS ”“ASA ”“AAS ”以及“SSS”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．作者留言：非常感谢！您浏览到此文档。
八年级上册数学12.2 全等三角形的判定“斜边、直角边”教案
第4课时 “斜边、直角边”1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”．(重点)2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)一、情境导入舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．(1)你能帮他想个办法吗？(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？二、合作探究探究点一：应用“斜边、直角边”判定三角形全等如图，已知∠A ＝∠D ＝90°，E 、F 在线段BC 上，DE 与AF 交于点O ，且AB ＝CD ，BE ＝CF .求证：Rt △ABF ≌Rt △DCE .解析：由题意可得△ABF 与△DCE 都为直角三角形，由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，然后运用“HL ”即可判定Rt △ABF 与Rt △DCE 全等．证明：∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE .∵∠A ＝∠D ＝90°，∴△ABF 与△DCE都为直角三角形．在Rt △ABF 和Rt △DCE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BF ＝CE ，AB ＝CD ， ∴Rt △ABF ≌Rt △DCE (HL)．方法总结：利用“HL ”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．探究点二：“斜边、直角边”判定三角形全等的运用【类型一】 利用“HL ”判定线段相等如图，已知AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，如果AD ＝AF ，AC ＝AE .求证：BC ＝BE .解析：根据“HL ”证Rt △ADC ≌Rt △AFE ，得CD ＝EF ，再根据“HL ”证Rt △ABD ≌Rt △ABF ，得BD ＝BF ，最后证明BC ＝BE .证明：∵AD ，AF 分别是两个钝角△ABC 和△ABE 的高，且AD ＝AF ，AC ＝AE ，∴Rt △ADC ≌Rt △AFE (HL)．∴CD ＝EF .∵AD ＝AF ，AB ＝AB ，∴Rt △ABD ≌Rt △ABF (HL)．∴BD ＝BF .∴BD －CD ＝BF －EF .即BC ＝BE .方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL ”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．【类型二】 利用“HL ”判定角相等或线段平行如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB ＝AD ，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt △ABC ≌Rt △ADC ，进而得出角相等．证明：∵AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，∴∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABC 与△ACD 为直角三角形．在Rt △ABC 和Rt △ADC 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，AC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．【类型三】 利用“HL ”解决动点问题如图，有一直角三角形ABC ，∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ，一条线段PQ ＝AB ，P 、Q 两点分别在AC 上和过A 点且垂直于AC 的射线AQ 上运动，问P 点运动到AC 上什么位置时△ABC 才能和△APQ 全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt △APQ ≌Rt △CBA ，此时AP ＝BC ＝5cm ，可据此求出P 点的位置．(2)Rt △QAP ≌Rt △BCA ，此时AP ＝AC ，P 、C 重合．解：根据三角形全等的判定方法HL 可知：(1)当P 运动到AP ＝BC 时，∵∠C ＝∠QAP ＝90°.在Rt △ABC 与Rt △QPA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BC ，PQ ＝AB ，∴Rt △ABC ≌Rt △QPA (HL)，∴AP ＝BC ＝5cm ；(2)当P 运动到与C 点重合时，AP ＝AC .在Rt △ABC 与Rt △QPA中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AC ，PQ ＝AB ，∴Rt △QAP ≌Rt △BCA (HL)，∴AP ＝AC ＝10cm ，∴当AP ＝5cm 或10cm 时，△ABC 才能和△APQ 全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．【类型四】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等如图，CD ⊥AB 于D 点，BE ⊥AC 于E 点，BE ，CD 交于O 点，且AO 平分∠BAC .求证：OB ＝OC .解析：已知BE ⊥AC ，CD ⊥AB 可推出∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°，由AO 平分∠BAC 可知∠1＝∠2，然后根据AAS 证得△AOD ≌△AOE ，根据ASA 证得△BOD ≌△COE ，即可证得OB ＝OC .证明：∵BE ⊥AC ，CD ⊥AB ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝∠AEB ＝∠CEB ＝90°.∵AO 平分∠BAC ，∴∠1＝∠2.在△AOD 和△AOE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠AEB ，∠1＝∠2，OA ＝OA ，∴△AOD ≌△AOE (AAS)．∴OD ＝OE .在△BOD 和△COE 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BDC ＝∠CEB ，OD ＝OE ，∠BOD ＝∠COE ，∴△BOD ≌△COE (ASA)．∴OB ＝OC .方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL ”外，还有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS.三、板书设计“斜边、直角边”1．斜边、直角边：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．简记为“斜边、直角边”或“HL”．2．方法归纳：(1)证明两个直角三角形全等的常用方法是“HL”，除此之外，还可以选用“SAS”“ASA”“AAS”以及“SSS”．(2)寻找未知的等边或等角时，常考虑转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识．。
北师大版八年级下册1.2.2斜边直角边定理教案
∴△ABC是等腰三角形
F
E
B
D
C
例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的 高度AC
与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个 ∠B和∠F的大小有什么关系？
滑梯的倾斜角
E
解：由题意知∠CAB=∠FDE=90°
C
在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF ,
B
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
（
HL
）
③
∠DAB= ∠CBA
（
AAS
）
④
∠DBA= ∠CAB
D
（ C
AAS
）
A
B
如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC=BD,AF=BE,则 （1）CE=DF,请说明理由。（2）AC与BD平行吗？为什么？
C
F
A
B
E
D
用三角尺可以画角平分线:如图所示，在已知∠AOB的两
边上分别取点M,N，使OM=ON,再过点M画OA的垂线，
1.2.2 “斜边，直角边”定理
（HL)
学习目标
1：会规范用“HL”判定两个直角三角形是否全等 2：会运用“斜边直角边”定理解决实际问题
学习重点：
理解直角三角形全等的特殊方法“HL”，并会规范应用
复习回顾：
证明两个三角形全等有哪些方法？
SAS（边角边) S S S(边边边） ASA（角边角） AAS（角角边）
过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是
A
∠AOB的平分线，请你证明这一结论。
M
O
P
N B
变式2
如图，AC、BD相交于点P，AC⊥BC，BD⊥AD，垂 足分别
斜边直角边教案(教学设计)
斜边直角边【教学目标】1．知识与技能：使学生理解斜边直角边定理的内容，能运用斜边直角边证明三角形全等，进而说明线段或角相等。
2．过程与方法：经历探索直角三角形全等条件HL的过程，掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
3．情感、态度与价值观：学习事物的特殊、一般关系、发展逻辑思维能力。
培养学生善于思考、不断探索的良好习惯。
【教学重难点】1．重点：掌握斜边直角边定理。
2．难点：灵活应用斜边直角边定理解题。
【教学过程】一、创设情景，导入新课问题：证明一般三角形全等有哪些方法？我们已经知道，对于两个三角形，如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相当，那么这两个三角形一定全等。
如果有“边边角”分别对应相等，那么能不能保证这两个三角形全等呢？思考：一般三角形不一定全等，对于特殊三角形中的直角三角形呢？让我们一起研究这个问题吧！二、师生互动，探究新知教师活动：那么在两个直角三角形中，当斜边和一条直角边分别对应相等时，也具有“边边角”对应相等的条件，这时这两个直角三角形能否全等呢？大家一起动手画一画。
如图所示，已知两条线段（这两条线段长不相等），以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边，画一个直角三角形。
大家一起动手来画一画，好吗？画好后与同排比较，它们全等吗？学生活动：动手操作，并用语言叙述这个基本事实。
教师活动：在同学发言基础上归纳：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记HL（或斜边直角边）。
此公理的前提是两个三角形是直角三角形，同时满足两个条件：（1）斜边相等（2）一条直角边对应相等。
斜边、直角边公理（HL）推理格式（图略）。
∵∠C=∠C'=90°，∴在Rt△ABC和Rt△ABC中，AB=AB，BC=BC，∴Rt△ABC≌Rt△ABC（HL）。
三、随堂练习，巩固新知例：已知：（如图）AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足。
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F
E D
C B
A 课题名称 第十七课时：12.7 直角三角形（2）--斜边、直角边公理
授课类型
新授课
上课时间
教学目标 1.知识与技能：探究两个直角三角形全等的方法有哪几种，哪一种方法只有在
直角三角形中使用。
掌握斜边、直角边公理，会用这个定理证明两个直角三角形全等。
2.过程与方法：经历探究直角三角形的斜边、直角边公理，进一步掌握斜边、
直角边公理。
3.情感态度与价值观：在合作学习中学会与人交流。
重点难点 教学重点：用直角三角形的斜边、直角边公理证明两个直角三角形全等。
教学难点：探究直角三角形的斜边、直角边公理。
教学方式 启发、引导、合作探究 技术准备 多媒体
教学 过程
一：复习引入：
1、判定两个三角形全等的方法有_________、_________、_________、_________。
2、判定两个直角三角形全等能用以上的方法吗？_________ 为什么？_______________ 二：合作探究：
3、①画图：已知：如图线段a 、c(a ﹤c)
画一个Rt △ABC,使∠C=90° ，一直角边CB=a ，斜边AB=c. ②剪下你画的直角三角形与其他同学的比一比，能否重合？_______ 4、由以上实践可知，斜边与一条直角边长一定时，所画的直角三角形 就是唯一的，由此得到斜边、直角边公理：
定理：有______和一条____________对应相等的两个三角形全等 （简写成“斜边、直角边”或“HL ”）
5、几何语言：在Rt △ABC 和Rt △DEF 中
∵ AC=DF
BC=EF
∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ） 三：巩固应用定理
例1：如图，在Δ ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DE=DF ，
F E D
C
B
A
F
E D
C
B
A
求证：AB=AC 。
证明：∵ D 是BC 的中点
∴ ＝ ∵ DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ∴ ∠ ＝∠ ＝９００
在Rt △ 和Rt △ 中
∴ Rt △ ≌ Rt △ （HL ） ∴ ∠Ｂ＝∠_____
∵ △ABC 中, ∠Ｂ＝∠ ∴ AB=AC (等角对等边)
练习：1、如图，已知CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，AC=BD ，AF=BE ，
求证：CE=DF 。
2、教材 四：本节测评
1. 下列判断对吗?并说明理由（即判定方法）
①两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 ( ) 理由 （ ） ②斜边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 （ ） 理由（ ） ③两直角边对应相等的两个直角三角形全等 （ ） 理由（ ）
2、如图∠C= ∠D=Rt ∠ ，要证明△ACB ≌ △BDA ，
应补充什么条件？把它们分别写出来，并注明判定方法
作业设计 教学反思。