第二章 单自由度系统的振动(课件)

，系
（一周期内阻尼力所做的功）
当激励力为
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系统做简谐强迫振动，有
等效粘性阻尼系数
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AR －－实际的阻力R在一个周期里所消耗的能量
例2－9 干摩擦阻尼 等效粘性阻尼
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特点： F为常力，大小不
变，方向改变。
共四个过程都是消耗能量
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振动理论及应用
主讲：沈火明
图 2－1
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实际的振动系统往往是很复杂的，在研 究某些感兴趣的物理量时，振动系统需要 简化为某种理想模型。例如简化为若干个 “无质量”的弹簧和“无弹性”的质量所 组成的“质量－弹簧”系统。仅有一个 “质量－弹簧”的系统是最简单的振动模 型，如图2-1所示。如质量块在竖直方向 上作上下运动，系统的位置可用一个独立 坐标y来确定，称为单自由度系统，简称单 度系统。
x
c
A
m
k
B
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（1）单自由度系统
xs=asin0t x
k
k
B
A
（2）两自由度系统
x1
m1
k1
x2
m2
k2
x3
m3
k3
x4
m4 （3）四自由度系统
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工程上许多问题可以简化为这种模型。 图2－2（a）所示一发动机固定在混凝土基础上，在只研究 发动机和基础的竖直振动时，将基础、发动机一块看作质量块， 参与振动的土壤当作一个无质量的弹簧和阻尼器，于是就简化为 图2-2（b）所示的质量－弹簧系统。
弹簧有质量
弹簧无质量
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弹簧的质量为均布质量，它要参与振动 简化
原质量块上去（是全部还是按多少比例集中） 设弹簧原长为 ，单位长度的质量为
取 段其质量： 取 段处的弹簧位移为：
速度为：
此微段的动能 弹簧的动能 令
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所以，弹簧的等效质量是1/3的 弹簧质量附加到原质量块上。
从而
因矩形横截面惯性矩
，所以
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由图（c）所示得当量系统，惯性力与弹性恢 复力相平衡，所以有 或
如果梁的两端不是简支，那么 应改变为不同数值。
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§2－2 等效质量、等效刚度、等效阻尼
一、等效质量（转动惯量） 依据动能等效原则获得等效质量。
如一弹簧质量系统需考虑弹簧质量时，则求存在着如何简 化为单自由度系统中附加在原质量块上的质量问题。
说明结构材料实际上不是完全弹 性的，在振动过程中也就是处在 加载卸载过程中，每一个振动周 期引成一次滞后曲线，从而产生 结构振动。由实验知，对大多数 金属而言，结构阻尼在一周期内 所消耗的能量与振动的振幅平方 成正比，而且在很大一个频率范 围内与频率无关。
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§2-3 单自由度系统的自由振动
例2－8
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习题：
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三、阻尼理论
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等效粘性阻尼 。 这是计算非粘性阻尼的近似方法。
解决问题的依据是： 一个周期内非粘性阻尼所消耗的能量＝等效粘性所消耗的
能量。
设等效粘性阻尼系数 ，则阻尼力的大小为 统在振动一个周期里所消耗的能量为
如设偏离平衡位置的位移为x，则因
故此上式变为
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因此，当像重力一类的不变力作用时，可只考虑偏离系统静 平衡位置的位移，那么运动方程中不会出现重力这类常力， 使方程形式简洁。现约定，若如特殊说明，一律以系统稳定 的静平衡位置为运动（或广义）坐标原点。
例2-2 扭摆的振动。
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解：如图所示，相对于固定轴x，建 立系统的转动运动方程。仅有两力 作用在圆盘上，即
惯性力矩: 恢复力矩： 由动静法原理得
其中
为轴得扭转刚度k，故
例2－3 带重物m的简支梁的横向振动
解：梁的质量与m相比可略去。弹 簧常数k取决于质量m在梁上的位置。 对（a）所示的简支梁，由材料力学 得
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例2-4 已知
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，求该系统的等效质量。 解：
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例2-5 图示系统，一转动惯量为J0的杆件AB，有质量块 距AB转动点O的距离分别为a和b。现将质量简化到A点的等效质量。
解： 等效质量的动能
总系统的动能
又
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结论：离散分布的各集中质量，其等效质量为
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例2－6 均质等截面梁，在梁中央放置一集中质量m1，考虑梁本 身的质量m2，试将梁本身质量简化到梁的中央的等效质量。
解：已知梁中央处的静荷载
m1g，在其作用下梁的扰度
曲线为：
为静扰度 为振动的位移
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注意： 皆为时间函数 设梁的单位长度的质量为 ，它的动能
无阻尼
有阻尼
力 学 模 型
数 学 模 型
由初始条件 t＝0时 决定
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减幅系数 对数系数
临界阻尼
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响 应
实验
x-t曲线
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摩擦力所做的功（1/4周期）
全过程摩擦力所做的功（1周 期）
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例2－10 流体阻尼 特点：当物体以较大的速度在粘性较小的流体中运动时，其阻 尼为 其在1周期内所做的功
例2-11 结构阻尼
滞
加载
后
回
线 卸载
双向 应变幅值
在一周期内:
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由于材料本身内摩擦造成的阻尼。 阴影面积表示了材料在一循环中 单位体积释放的能量（热能）
二、等效刚度
（1）弹簧并联
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组合弹簧的刚度＝等效弹簧的刚度
（2）弹簧串联
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例2－7 已知
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求：等效刚度。
解：由
知
①
由
知
②
由几何条件得到 ③
故此得：
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④
将 ②代入上式有：
⑤
将式 ⑤ 和式 ②代入式 ①有：
(a)
(b)
图2-2
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§2-1 运动方程的建立
例2-1 弹簧质量系统。
图2-3
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解：这是最简单的单自由度系统。图2－3中，我们考虑弹 簧质量系统沿铅垂方向的自由振动。弹簧刚度为k，其质量 忽略不及， 方向向下为正，由牛顿第二定律，系统的运动 方程为：