非线性动力学中分叉图的特性
非线性动力学中的分岔理论及应用
非线性动力学中的分岔理论及应用第一章前言非线性动力学是自然科学中一个重要的研究领域，其研究对象为非线性系统中存在的复杂现象及规律。
而分岔理论则是非线性动力学研究的重要分支，其研究的是非线性系统的稳定性及分岔现象。
分岔理论的研究及应用在自然科学及工程技术等领域都有广泛的应用，本文将重点介绍分岔理论的基本概念及其应用。
第二章分岔理论的基本概念1.稳定性稳定性是指系统从任何初始状态出发，其演化都会收敛至同一状态的性质。
当系统的某一初始状态发生微小变化时，系统最终演化的结果是否会发生变化，取决于系统的稳定性。
2.分岔点与分支分岔点是指系统参数变化时，系统稳定性产生转折的点。
在分岔点附近，系统的稳定性出现了剧烈变化，具体表现为单个平衡点变成多个平衡点或者周期解。
而这些由于参数变化引起的平衡点或周期解就称为分支。
3.双曲型分岔双曲型分岔是指当系统某一参数在达到阈值时，系统发生的非连续性质变化。
此时由单个平衡点变为两个平衡点，系统逐渐从一个平衡点吸引到另一个平衡点，这种分岔稳定性的变化称为双曲型分岔。
4.超分岔当系统参数发生变化时，如果发现有多个分支同时产生，其中一个分支继续从初始状态收敛至实际状态而其他分支则逐渐消失或变得不稳定，这种分岔称为超分岔。
第三章分岔理论在科学研究中的应用1.混沌现象及相关研究分岔理论在混沌现象及其相关研究中有很广泛的应用。
混沌系统因为其极其灵敏的初始条件，而表现出非常复杂、多样的行为。
分岔理论的模型可以帮助科学家更好地理解混沌现象的动力学特性。
2.电力系统的稳定性研究电力系统是典型的非线性系统，其稳定性对于发电、输电、配电等方面的问题都极为重要。
分岔理论可以帮助研究人员探索电力系统稳定性变化的原因，并提出相应的解决方案。
3.材料科学及工程中的应用分岔理论在材料科学及工程中也有广泛的应用。
例如合金的晶格相变、金属塑性变形等等。
分岔理论可以帮助科学家解决在材料科学及工程中的稳定性问题，提高材料的力学性能、抗拉强度等重要参数。
混沌动力学中的分岔现象与稳定性分析
混沌动力学中的分岔现象与稳定性分析混沌动力学是一门研究非线性系统行为的学科，它揭示了许多复杂系统中的混沌现象。
其中一个重要的研究方向是分岔现象与稳定性分析，它们对于理解系统的演变和控制具有重要意义。
一、分岔现象的基本概念分岔现象是指系统在参数变化过程中，由于参数的微小变化，系统的行为发生了剧烈的变化。
简单来说，就是系统在某个特定参数值附近，出现了多个稳定状态或周期解。
这种现象在混沌动力学中被广泛研究。
分岔现象的典型例子是一维映射系统的Feigenbaum分岔图。
在这个图中，横轴表示参数的变化，纵轴表示系统状态的变化。
当参数在某个特定值附近变化时，系统的状态从一个稳定状态突然变为两个稳定状态，然后又变为四个、八个，以此类推。
这种分岔现象呈现出一种分形的结构，即在不同尺度上都有相似的形态。
二、分岔现象的机理分岔现象的机理可以通过动力学方程的稳定性分析来解释。
在分岔点附近，系统的稳定性发生了变化，从而导致了系统行为的剧烈变化。
稳定性分析是研究系统平衡点或周期解的稳定性的方法。
通过计算系统方程的雅可比矩阵的特征值，可以判断系统的稳定性。
当特征值的实部为负时，系统为稳定状态；当特征值的实部为正时，系统为不稳定状态；当特征值有一对纯虚数时，系统为周期解。
在分岔点附近，系统的雅可比矩阵的特征值发生了变化，从而导致了系统稳定性的改变。
当参数变化超过某个临界值时，特征值的实部从负数变为正数，系统从稳定状态变为不稳定状态，从而引发了分岔现象。
三、分岔现象的应用分岔现象在许多领域都有广泛的应用。
在自然科学中，分岔现象可以用来解释生物体的形态变化、气候系统的变化等。
在工程领域中，分岔现象可以用来设计新型的控制系统，实现系统的稳定性和可控性。
例如，在电力系统中，分岔现象可以用来研究电力系统的稳定性和可靠性。
通过对电力系统的分岔现象进行分析，可以找到系统的临界点，从而实现对系统的控制。
这对于提高电力系统的稳定性和可靠性具有重要意义。
非线性系统的分叉问题
概念：如果某个动力系统是结构不稳定的，则系统任 概念 意小的扰动都会使系统的拓扑结构发生突然的变化， 我们称这种变化为分叉(bifurcation)。
对于含有参数的动力学系统
dx = f ( x, µ ) dt
其中，x是状态变量，µ是分叉参数，当参数µ连续变化 时，若系统的拓扑结构在µ0处发生突然变化，则称系 统在µ=µ0µ<0时，系统有唯一的奇点x=0，其导算子的特征 值是µ，该奇点是渐进稳定的。 当µ>0时，系统有三个平衡点， x1 = 0, x2,3 = ± µ ，其中 x=0是不稳定的，x= ± µ 是渐近稳定的。
x
x= µ
0
µ
x=- µ
图2. 叉形分叉
Hopf分叉 例2 考虑平面系统
• 2 2 x = − y + x[ µ − ( x + y )] • y = x + y[ µ − ( x 2 + y 2 )]
dx = f ( x, µ ) dt
从导算子的特征值的角度看，随着µ的变化，出现 Reλ=0的情况有三种。
Reλ
Reλ
Reλ
0 Imλ
0 Imλ
0 Imλ
图1.1叉形分叉
图1.2 Hopf分叉
图1.3 鞍结分叉
叉形分叉 例1 考虑一维系统
dx = µx − x 3 dt
2 其导算子 Dx f ( x, µ ) = µ − 3 x
µ 1 -1 µ
该体统只有一个奇点(0,0)，其导算子 的特征根 为 µ ± i ，显然µ由负变正时，奇点 (0,0)有稳定的焦 点变为不稳定焦点。
事实上，系统不只发生了奇点分叉，而且产生了 闭轨分叉。
令 x = r cos θ , y = r sin θ 原方程组写为
非线性动力学中分叉图的特性.ppt
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三、稳定状态(steady state)和稳定性（stability）
研究三个问题： 1、系统是否存在固定点(fixed point)？ 2、系统是否在固定点处存在局部稳定性？
局部稳定性(locally stable) 3、系统是否在固定点处存在全局稳定性？
全局稳定性(globally stable)
暂态（transient）: Behavior before the asymptotic dynamics is called transient
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3、固定点的全局稳定性 线性系统
A locally stable fixed point is also globally stable.
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1、固定点 (fixed point)：
x
t
f ( xt )
xt1 xt1
Rxt ( 1 xt
xt
)
x
t
xt
0 1
1 R
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2、固定点的局部稳定性 线性系统：
固定点 xt 0
R > 1: 不稳定
第一章 有限差分方程
一、线性有限差分方程: Nt1 RNt
几个概念： •方程（线性） •系统参数：R •初始条件：N0
N1 RN0 N2 RN1 R2 N0
Nt Rt N0
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1
N0=100 , R>0 衰减（decay）
R=0.9
递增（growth） R=1.08
周期2
非线性动力学系统的分岔现象数值模拟研究
非线性动力学系统的分岔现象数值模拟研究在科学研究中，非线性动力学系统一直是一个重要的研究领域。
这种系统不同于线性动力学系统，在不同的条件下，其运动轨迹通常是极其复杂并难以预测的。
而其中最重要的现象就是分岔现象，也就是说，当某个参数变化时，原本的定常状态会发生突变，出现多个新的稳定状态或者周期性解，导致系统出现混沌行为。
为了研究非线性动力学系统的分岔现象，数值模拟是最为常用且有效的方法之一。
数值模拟可以利用计算机模拟出复杂的系统变化规律，更加直观地展示分岔现象的特征，并能够对系统的行为进行定量分析。
在数值模拟过程中，我们需要定义一个数学模型来描述待研究的非线性动力学系统。
常见的模型有洛伦兹系统、Henon映射系统、Mackey-Glass系统等。
其中，洛伦兹系统是最为典型的非线性动力学系统之一，其方程组可以写成如下形式：$$\begin{aligned}\frac{dx}{dt} &= \sigma(y-x)\\\frac{dy}{dt} &= x(\rho-z)-y\\\frac{dz}{dt} &= xy-\beta z\end{aligned}$$其中，$x,y,z$为系统的状态变量，$\sigma,\rho,\beta$为参数。
该方程组描述了一个体系内的流体运动，其流动状态随时间的演化会呈现出非线性的特征，产生分岔现象。
通过数值模拟，我们可以根据不同的参数设置，观察系统的运动状态随时间的变化，进而探究分岔现象的特征。
例如，在搜索参数$\rho$的取值范围时，我们可以固定$\sigma=10$和$\beta=8/3$，通过逐一改变$\rho$的取值并采用四阶Runge-Kutta数值解法，以画出相平面轨迹的方式观察系统运动轨迹的变化。
结果发现，当$\rho$增大到$\rho_c\approx28$时，系统的定常状态突然失稳，出现两个新的稳定状态，在相平面上呈现出沙漏形状的轨迹，这是洛伦兹系统分岔现象的典型特征之一。
非线性动力学中的分岔现象研究
非线性动力学中的分岔现象研究随着科学技术的不断发展，自然界和社会现象更加复杂多变，人们对这些问题的认识也日益深入。
分岔现象作为非线性动力学中的重要研究领域，吸引着众多学者和研究者的关注。
一、什么是分岔现象？分岔现象是指在非线性系统中，当参数或初始状态发生微小变化时，系统的行为会发生质的变化。
常见的分岔现象包括恰克诺夫分岔、亚谷分岔、亚哈分岔等。
分岔现象的研究不仅在理论上具有重要意义，而且在实践应用中也有广泛的应用。
二、恰克诺夫分岔恰克诺夫分岔是指在不连续的动态系统中，当参数值小范围地改变时，系统从周期运动向非周期运动转变的现象。
这种现象最早由俄罗斯数学家恰克诺夫在20世纪初提出，并被广泛应用于物理学、化学、天文学、生物学、经济学等领域的研究中。
三、亚谷分岔亚谷分岔是指在某些连续动态系统中，在参数值超过某一临界值时，系统从一个稳定的定态运动状态向另一个稳定状态转换的现象。
这种现象在生物学、医学、环境科学等领域的研究中具有重要意义。
四、亚哈分岔亚哈分岔是一种特殊的分岔现象，指的是在系统接受周期性外部激励时，当激励的频率和系统本身的特征频率发生某种比例关系时，系统状态将发生质的变化。
这种现象在通信领域中得到广泛的应用。
五、分岔现象的应用分岔理论的研究和应用在现代科学中具有重要的意义。
在物理学、化学和材料科学中，分岔理论被用于研究物质的相变和相转移过程。
在生物学和医学中，分岔理论可以用于研究生物系统的稳态和稳定性。
在经济学和金融学中，分岔理论可以用于预测市场和股票价格的变化。
此外，在控制工程、模式识别和计算机科学中，分岔理论也有着广泛的应用。
六、结论分岔现象作为非线性动力学研究领域的一个重要方向，在现代科学中具有广泛的应用和重要的意义。
未来，我们可以预见，随着科学技术的不断发展，分岔现象的研究将会得到更加深入和广泛的发展。
非线性动力学导论讲义(分岔理论)
非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。
其动力学方程为：l其中M代表质量，表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。
对时间进行尺度变换d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。
我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。
为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。
可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。
对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。
由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。
因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。
如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。
这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。
单摆没有穿越倒立位置。
单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。
在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。
例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。
所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究
非线性动力学中的混沌与分岔现象研究在物理学和自然科学领域里，非线性动力学是一个十分重要的研究领域。
非线性动力学理论的出现使得我们对自然界中不规则的复杂现象有了更深的认识。
混沌和分岔现象的出现是非线性动力学的一个重要研究方向。
在本文中，我们将讨论非线性动力学中混沌和分岔现象的基本概念和研究现状。
一、混沌现象混沌现象是一种表现为无规律、无周期、既不平凡又不完全随机的复杂动力学现象。
混沌出现的背景通常是一组非线性微分方程，因此它的发生与目标系统的非线性特性有关。
混沌作为物理学发现的一个新现象，引起了科学家们的广泛关注。
通常情况下，混沌现象是由一组微小的变化引起的，因此混沌现象也被称为蝴蝶效应。
经典的三体问题就是一个混沌的例子。
对于混沌现象，其最主要的特征是对初始条件的依赖，也就是所谓的敏感依赖性。
这意味着如果我们的实验或者计算开始时的初值稍有 variations，结果可能会相差很大。
在混沌理论中，不同的初始条件可以导致截然不同的运动的形态，这种敏感依赖性表现得深入人心，深刻地提示我们要了解物理世界中的微小变化是多么的重要。
此外，混沌现象还表现在期望不规律性上，也就是说，目标系统的演化不能用周期性或规则性过程去描述。
混沌经常被认为是对确定性的“不确定性”的表现。
混沌现象的研究可以将我们的认识推向新的领域，对于深入理解天文学、流体物理、生物学等领域都有重要的意义。
二、分岔现象分岔现象通常被认为是从一个稳定平衡状态到另一个稳定平衡状态过程中的一个突变性变化。
发生分岔的原因通常是由非线性动力学系统结构的变化所引起的。
分岔现象是非线性动力学系统中的一种普遍现象，在分岔研究领域有着极为重要的地位。
分岔的一个重要性质是其可以导致同样初始条件下发生系统演化的不同结果，与混沌现象类似。
分岔现象最早的研究源自于对恒星爆发的研究，目前这项研究产生的成果对于预测和防范太阳风暴等等事件都有很重要的意义。
此外，分岔现象在复杂系统和混沌理论中也有广泛的应用，是现代科学研究的一个重要组成部分。
Logistic方程映射Feigenbaum分岔图实验报告
4、
研究自相似性 在 Logistic 映射 Feigenhaum 分岔图中，进行局部显示之后，可以明显观察到分
岔图的自相似性。在每个分岔点处，分岔图都会自动分形，且局部放大后的形状与 整体形状近似相同。具体见下列图示：
周期 2（总图）
周期 3（截图）
周期 4（截图）
周期 8（截图）
周期 16（截图）
系统表现出的不同行为： 稳定、周期、混沌
1) 当 0<R1 时，系统只有一个 稳定的点，且为零点。
- 2 - / 13
2) 当 1<R3 时，Logistic 方程迭 代的结果趋向于一个稳定的 点，此时为周期 1 的解，系统 处于稳定状态。
3) 当 3<R3.569 时，系统的迭 代结果出现周期倍增 （period-doubling）现象。 周期 2-- -----3<R3.449 周期 4-------3.449<R3.544 周期 8 周期 16 周期 32…… 4) 当 3.5699 < R 4 时 ， R=3.569 达到无穷周期，此时 的取值为随机序列，系统开始进入混沌 （chaos）状态。 注：混沌现象是一种普遍存在的复杂的运动形式，是确定系统所表现 的内在随机行为的总称，其根源在于系统内部的非线性交叉作用。 5) 当 R>4 时，轨线最终逃逸（escape）到无穷。
∆ ∆2
=4.7393076；当 n=4 时，得
∆
∆
=4.6437505；„„
计算 Feigenhaum’s number 所得结果的准确性与程序所确定 R 的精度有很大关 系，但是由于设备的限制很难实现 n→ 的情况，因此计算存在着一些误差。为了
减小误差，对求得的几个 Feigenhaum’s number 求平均。计算结果如下：
非线性系统的分叉问题.ppt
当μ<0时，系统有唯一的奇点x=0，其导算子的特征 值是μ，该奇点是渐进稳定的。 0 ,x ，其中 1 2 ,3 当μ>0时，系统有三个平衡点， x x=0是不稳定的，x= 是渐近稳定的。
x
x
0
μ
x-
图2. 叉形分叉
Hopf分叉
例2 考虑平面系统
2 2 x y x[ (x y )] 2 2 y x y[ (x y )]
2 r r( r ) f (r, ) 1
当μ<0时，只有唯一的奇点r=0，且是稳定焦点； 当μ>0时，系统有一个奇点r1=0和一条闭轨 r2 并且 r2是稳定的极限环。 r1=0是不稳定焦点，
图3. HopfBiblioteka 叉鞍结分叉例3 考虑平面系统
2 x x y y
常微分方程的分叉也可分为两大类：静态分叉 和动态分叉 静态分叉 奇点数目和奇点稳定性发生变化的分 叉。如例1、例2、例3； 动态分叉 静态分叉以外的分叉，如Hopf分叉， 闭轨分叉和同异宿轨线分叉等。 静态分叉和动态分叉可以在同一系统中同时发生
主要研究方法
• 奇异性方法：研究可微映射的退化性和分类，可处理 静态分叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。 • P-B 规范形方法：对于研究高维系统的分叉 • 幂级数方法：应用于静态分叉、Hopf分叉、次谐分 叉和概周期分叉。 • 摄动法：应用于周期或概周期领域。 • 次谐Melnikov 函数法：研究二维扰动Hamilton系统 的m/n阶次谐周期分叉。 • 后继函数法和Shilnikov法：研究二维和高维系统的同 宿分叉问题。 • 群论法：研究对称分叉问题。 • 数值方法：对分叉问题进行定量研究。
非线性电路系统的动力学行为及其分岔分析
非线性电路系统的动力学行为及其分岔分析非线性电路系统的动力学行为及其分岔分析摘要：非线性电路系统在动力学行为方面具有丰富的特性，它们可能表现出稳定、震荡、混沌等不同的动态行为。
本文将介绍非线性电路系统的动力学行为，并采用分岔分析方法对其进行研究。
一、引言在电子工程领域，非线性电路系统是一类重要的研究对象。
相比于线性电路系统，非线性电路系统的特点是输入与输出之间的关系不是简单的比例关系，而是更为复杂的非线性关系。
由于非线性关系的存在，非线性电路系统在动力学行为方面具有较为丰富的特性。
因此，了解非线性电路系统的动力学行为对于电子工程领域的研究和应用具有重要意义。
二、非线性电路系统的动力学行为非线性电路系统的动力学行为往往表现为稳定、震荡和混沌等不同的行为模式。
1. 稳定行为当非线性电路系统中的稳定解存在且稳定时，系统的输出将收敛到该稳定解。
这种行为模式常见于放大器、滤波器等电路系统中。
稳定解的存在为非线性电路系统的正常工作奠定了基础。
2. 震荡行为在一些特定的条件下，非线性电路系统可能表现出震荡行为。
震荡行为是指系统的输出在一定的时间范围内呈现周期性变化的特征。
震荡行为常见于振荡器电路系统中，如LC振荡电路、RC相移振荡电路等。
震荡行为的存在为电子工程中的时钟电路、无线电收发系统等提供了基础。
3. 混沌行为非线性电路系统在某些特定的条件下还可能表现出混沌行为。
混沌行为是指系统的输出呈现出无规律、无确定性的变化特征。
混沌行为往往需要较复杂的非线性元件和电路结构才能产生，具有一定的应用价值。
例如，混沌发生器可用于保密通信、随机数生成等领域。
三、非线性电路系统的分岔分析分岔分析是一种研究非线性系统动力学行为的重要工具。
它通过改变系统中的某个参数，观察系统响应的变化，从而揭示系统的稳定性和动态特性。
1. 变量选择在分岔分析中，需要选择适当的变量来描述系统的动力学行为。
常用的变量选择包括电压、电流、相位差等。
非线性微分方程的分岔和混沌现象
非线性微分方程的分岔和混沌现象非线性微分方程是自然科学中经典的研究对象之一。
在广泛的自然现象和实验研究时，非线性微分方程都是用来描述这些现象的数学工具。
但是，非线性微分方程的动力学特性非常复杂，包括分岔、混沌等现象。
这些现象对于科学家而言是非常重要而且有很多有趣的数学理论成果与实际应用。
在本文中，我们将探讨非线性微分方程的分岔和混沌现象的一些基本概念与数学理论。
一、非线性微分方程的分岔现象分岔现象是指一个系统中的某些参数发生变化时，该系统的稳定性质发生变化。
特别是当这些参数逐渐变化到一定的“临界点”时，系统的稳定性质突然发生改变，这种现象叫做分岔。
通常，这个临界点称为临界参数值。
分岔现象是非线性微分方程的一个根本动力学现象，在自然科学中有着广泛的应用。
1. 常见的分岔类型非线性微分方程的分岔有许多类型，其中比较常见的有：鞍点分岔、极小极大分岔、超过阈值分岔、分支分岔等。
鞍点分岔是指由一个稳定的状态发生分裂从而出现两个不同状态的现象。
这种分岔是由一个简单稳定节点与一个鞍点相遇时产生的。
极小极大分岔是指当参数发生微小的变化时，极小值点和极大值点突然出现的现象。
超过阈值分岔是指当参数超过某些阈值时，系统从一个极限环突变到一个新的解的现象。
分支分岔是指在参数空间中出现分支条件，这通常在响应系统行为的外部变量出现周期性变化时会发生。
2. 分岔的重要性分岔现象对于非线性微分方程而言是非常重要的，因为它可以揭示系统的稳定性和动力学性质。
而且，正是由于分岔现象才使得非线性微分方程在自然科学领域中有着广泛的应用。
例如，在物理领域中，分岔现象可以帮助我们研究光学、空气动力学、气象学等领域中的不同系统。
在生物学领域中，分岔现象可以帮助我们研究細胞過程中的周期性行为、神经行为、化學反應等。
在经济学领域中，分岔现象可以帮助我们理解市場泡沫、动态平衡等问题。
二、非线性微分方程的混沌现象混沌现象是指某些动力学系统（如非线性微分方程）的随时间演化的状态具有无限的、不可预测的细节。
非线性机械振动系统的分岔与混沌运动
非线性机械振动系统的分岔与混沌运动非线性机械振动系统的分岔与混沌运动引言随着科学技术的进步，非线性现象在自然界和工程领域中的重要性日益凸显。
非线性机械振动系统是一种典型的非线性动力学系统，它具有分岔和混沌等复杂行为，对于深入理解和应用振动现象具有重要意义。
本文将从非线性机械振动系统的定义、特征、分岔与混沌运动等方面进行探讨。
一、非线性机械振动系统的定义及特征1. 非线性机械振动系统的概念非线性机械振动系统是指在振动系统中，发生能量转换、物体变形等过程中，受到非线性因素的影响导致振动呈现非线性特性的一类系统。
在非线性振动系统中，振动物体会产生各种非线性现象，比如分岔和混沌现象。
2. 非线性机械振动系统的特征非线性机械振动系统具有以下几个特征：（1）非线性现象的普遍性：非线性现象在机械振动系统中普遍存在，其程度会随着系统参数的变化而变化。
（2）振动的频率可变性：非线性机械振动系统的振动频率会随着激励振幅和频率的变化而发生变化，表现出频率响应的非线性特性。
（3）非周期性：非线性机械振动系统不仅会产生周期性的振动，还会产生非周期性的振动。
这种非周期性的振动通常表现为混沌现象。
二、非线性机械振动系统的分岔现象1. 分岔的概念分岔是指在非线性系统参数变化过程中，系统的动力学性质发生突变的现象。
分岔可以使系统从一个稳定状态变为另一个稳定状态，也可以导致系统的振动变得无限混乱。
2. 非线性机械振动系统的分岔类型非线性机械振动系统的分岔类型有很多，其中较常见的有：（1）鞍点分岔：当系统参数处于临界值附近时，系统从一个平衡态突然发生转变，并变为另一个稳定的平衡态。
（2）超临界哈希特分岔：当系统参数变化时，系统从一个平衡态跳动到两个不同的稳定平衡态，然后再跳变为另一个平衡态。
（3）和谐振荡分岔：当振动系统的参数达到某个临界值时，系统会由无穷大周期振幅跳变为有限的周期振幅，并出现周期倍增的现象。
（4）分叉分岔：当系统参数改变时，系统由振动状态向另一种振动状态转变，通常伴随着频率的突变。
非线性动力学导论讲义(分岔理论)
非线性动力学导论之四：分岔基本理论简介北京理工大学宇航学院力学系岳宝增第三章非线性动力学系统分岔基本理论一.一般系统平衡解的稳定性(1)二.平衡解的稳定流形与不稳定流形于平面摆的例子可以用来很清楚地解释全局稳定（不稳定）流形的概念；平面摆作为二阶动力学系统和谐振子极为相似。
其动力学方程为：l其中M代表质量，表示摆长，g为重力加速度，c为阻尼系数。
对时间进行尺度变换定义（或直接假设）及d可以得到系统的简化方程：d因为是从铅锤位置开始的角度位移，因此该变量具有周期2π;由此可知该系统的相空间为圆柱面。
我们也可以假设，从而从相图上可以观测到系统关于X的周期特性。
为了分析系统的动力学特性，首先确定系统的平衡点并研究其稳定性。
可求出系统的平衡点为：及求出系统的雅可比矩阵为：对应于平衡点有：其特征值为：如果d=0则得到特征值±i；对于较小的d值系统有共轭复根。
对应于平衡点（2kπ+π,0）系统的雅可比矩阵为：其特征值一对符号相反的实数：根据以上讨论可知：平衡点（2kπ+π,0）为鞍点，当d=0时，其对应的特征向量为：及对于较小的的d>0,平衡点（2kπ,0）为吸引子-螺旋旋线）；d=0时该类平衡点所对应的是非双曲点。
由于此时系统不受摩擦（阻尼）影响，单摆将做周期运动。
因此，在平衡点附近，系统的动力学特性为：无阻尼d=0 阻尼d>0d=0时,所对应的一类周期运动是单摆做上下摆动；另一类周期运动是单摆由稳定及不稳定流形通过倒立位置位置的运动。
如果单摆几乎刚好处于倒立位置时（不稳定），它将倒回并再次回摆到几乎刚好倒立的位置。
这意味着稳定流形与不稳定流形将有如下图所示的联接：单摆沿逆时针方向穿越倒立位置。
单摆没有穿越倒立位置。
单摆沿顺时针方向穿越倒立位置。
在有阻尼的情形下，实际上所有的初始条件所确定的运动将趋于下垂平衡位置。
例外情形是稳定流形所对应的运动，由趋于倒立位置的所有点组成。
所有初始条件将终止于平衡点三.分岔的基本概念对于一个非线性方程，由于其中参量取值不同，解的形式可能完全不同，即参量取值在某一临界值两侧，解的性质发生本质变化(例如平衡状态或周期运动的数目和稳定性等发生突然变化)。
动力系统分岔现象说明非线性行为演化特征剖析
动力系统分岔现象说明非线性行为演化特征剖析简介：动力系统分岔现象是指在某些非线性系统中，当某个参数变化时，系统的稳定状态会出现突变，从而产生新的稳定状态。
本文将分析动力系统分岔现象背后的非线性行为演化特征，并探讨其在不同领域的应用和影响。
第一部分：动力系统分岔现象的背景动力系统是描述物理系统或数学模型中物体位置、速度和加速度随时间的变化规律的数学工具。
而非线性行为则是指系统的行为无法简单通过线性关系来描述。
动力系统分岔现象是一种非线性行为的重要表现。
第二部分：动力系统分岔现象的特征1. 分岔图像动力系统分岔现象可以通过分岔图像来展示。
分岔图像是参数与系统状态之间的关系图，描述了系统在不同参数值下的稳定状态。
分岔图像中的分岔点表示系统从一个稳定状态转化为另一个稳定状态的临界点。
分岔图像的形状和特征可以反映出非线性行为的演化轨迹。
2. 可重复性与不可预测性动力系统分岔现象的特点之一是可重复性与不可预测性的并存。
在某个参数值下，系统的行为可能是可重复的，即不同实验条件下得到的结果相同。
然而，一旦参数值变化，系统的行为就变得不可预测，即结果无法通过简单的计算预测。
第三部分：动力系统分岔现象的应用领域1. 自然科学领域动力系统分岔现象的研究在自然科学领域具有广泛的应用。
例如，在物理学中，分岔现象可以用于解释电子自旋的翻转和磁性材料的相变；在天文学中，分岔现象可以用于研究星际射线的产生机制和银河系的形成。
2. 工程控制领域动力系统分岔现象在工程控制领域也有重要的应用价值。
例如，在电力系统中，分岔现象可以用于分析电网的稳定性和电压的稳定控制；在机械工程中，分岔现象可以用于优化振动系统的稳定性和降低噪音。
第四部分：动力系统分岔现象对社会发展的影响动力系统分岔现象的研究不仅仅对科学技术领域有影响，也对社会发展产生了重要的影响。
1. 理论探索动力系统分岔现象的研究推动了非线性科学的发展和理论探索。
它挑战了传统线性科学的观念和方法，使人们对复杂系统的行为有了更深入的理解。
非线性动力学-胡海岩
六、平衡点的静态分叉1． 分叉概念分叉：当任意小的参数变化使结构不稳定的动力系统相轨迹拓扑结构发生突然的变化，这种变化称为分叉。
结构稳定性：若动力系统受到小扰动后产生的新动力系统与原动力系统拓扑轨道等价，则称此系统具有结构稳定性（1973年由Andronov A A 和Pontryagin L S 首先研究）。
说明：（1）由于动力系统仅仅是物理模型的一个精确的近似，若一个系统是结构不稳定的，则一个小的扰动将显著改变系统的解的结构。
若系动力系统是结构稳定的，则由近似或实验误差造成的小误差可以全然不管，此时，模型系统的解等价或拓扑共轭于实际解；（2）古典动力系统大多是结构不稳定的，如研究气象学的Lorent 系统。
拓扑轨道等价：以同胚变换将一动力系统相轨迹变换为另一动力系统的相轨迹，则这两个动力系统称为拓扑轨道等价。
若稳定焦点拓扑等价于稳定结点；而结点、中心、鞍点之间不是拓扑等价的。
同胚：单值连续且其逆也单值连续的变换。
静态分叉：研究0),(=p u f 解的数目和稳定性随参数的变化。
平衡点静态分叉：研究平衡点的产生（或消失）、时变状态（如周期轨线、同宿或异宿轨线）的出现等，属于局部分叉范畴。
动态分叉：静态分叉之外的分叉，如闭轨分叉。
（1）一维动力系统11),(R P p R U u p u f u⊆∈⊆∈=，， （1）平衡点0),(00=p u f ，下面研究平衡点附近解对参数的关系。
对参数求导数得到0=+p uf dpduf （2）若0),(00≠p u f u ，则可解出),(),(000010p u f p u f dpdu p u p p -=-=（3）由隐函数定理知，在00=p 的邻域中存在唯一解。
隐函数定理结论：只要函数f 连续且u f 在),(00p u 非奇异，则方程0),(=p u f 的解在),(00p u 附近存在且唯一，而且解)(p u 曲线局部可以用p 作为参数表示。
[定义1] 设n n R R R f →⨯:连续且0),(00=p u f 。
某型飞机非线性动力学特性的分叉分析
的 解 的数 目随 参 数 ｕ变 动 而 发 生 的 突 然 变 化 。平 衡 点 的 局 部 稳 定 性 由 式 （ ） 的 函 数 在 平 衡 点 的 ２中 Ｊ ｃ ｂａ ａ ｏ ｉｎ矩 阵 的 特 征 值 来 判 断Ⅲ 。Ｈｏ ｆ 又 是 指 ｐ分
量 ） 当参 数 ｕ连 续 变 动 时 ， 述 系 统 的拓 扑结 构 。 上 在 ｕ 处 发 生 突 然 变 化 ， ｕ 为 分 又 点 。对 飞 机 运 。 称 。
动 的描 述 中 ， 比较 容 易 出 现 的 是 静 态 分 又 和 Ｈｏ ｆ ｐ
分 又 问题 。静 态 分 又 是 研 究 静 态 方 程 ：
动特 性 有 所 厂解 ， 能 做 到 有 的 放 矢 、 计 合 理 。 才 设
参 数 ｕ变 动 经 过 分 又 点 时 ， 平 衡 点 产 生 孤 立 的 从
周期运动 的现象。
２ ０世 纪 ７ ｏ年 代 末 形 成 的分 又 突 变 理 论 ［ ， ¨ 是
分 析 飞 机 大 迎 角 非 线 性 动 态 特 性 的 有 力 工 具 。 分 又 突 变 理 论 可 以 预 测 其 大 迎 角 、 失 速 非 线 性 动 过 态特 性 的 全 貌 ， 优 化 控 制 律 设 计 、 分 发 挥 机 动 为 充
某 型 飞 机 非 线 性 动 力 学 特 性 的 分 叉 分 析
黎
摘
康 ，方 振 平
（ 京 航 空 航 天 大 学 飞 行 器 设 计 与 应 用 力 学 系 ．北 京 １ ０ ８ ） 北 ０ ０ ３ 要 ：针 对 某 静 不 稳 定 飞机 的 非 线 性 动 力学 模 型 ，采 用 分 叉 与 突 变 理 论 （ ＡＣ Ｂ ＴＭ ）计 算 了 常 规 控 制
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一、线性有限差分方程: N t +1 = RN t 几个概念： •方程（线性） •系统参数：R 系统参数： 系统参数 •初始条件：N0 初始条件： 初始条件
2011-10-23
N1 = RN 0 N 2 = RN1 = R N 0
2
M Nt = Rt N0
1
N0=100 , R>0 衰减（decay） R=0.9 递增（growth） R=1.08 稳态（steady-state） R=1
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四、周期的稳定性
xt +n = xt
以逻辑方程，R=3.3为例
x t +1 = 3.3( 1 − x t ) x t
2个固定点： 0， 0.697
xt + 2 = 3.3(1 − xt +1 ) xt +1 = f ( f ( xt ))
4个固定点： 0, 0.479, 0.697, 0.823
The period-doubling route to chaos
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混沌状况： 在周期2、在周期3 、在周期4的图中， 固定点斜率的绝对值均大于1 考虑一个极端的例子：
x t +1 = 4 ( 1 − x t ) x t
因此，进入混沌状态 混沌状态。 混沌状态
2011-10-23 31
五、混沌（chaos） • 混沌的定义： Be aperiodic bounded dynamics in a deterministic system with sensitive dependence on initial conditions. • 混沌系统的性质 Aperiodic Bounded Deterministic Sensitive dependence on initial condition
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• • • • •
For 3.0000<R<3.4495, there is stable cycle of period 2 For 3.4495<R<3.5441, there is stable cycle of period 4 For 3.5441<R<3.5644, there is stable cycle of period 8 For 3.5644<R<3.5688, there is stable cycle of period 16 As R is increased closer to 3.570, there are stable cycles of period 2n, where the period of the cycles increases as 3.570 is approached • For values of R> 3.570, there are narrow ranges of periodic solutions as well as aperiodic behavior
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9
• 3<R<3.449 周期2 (period-2)
xt+2 = xt
R=3.3
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10
• 3.449 <R<3.5699 周期4 周期8 周期16……
R=3.52
周期倍增（period-doubling） 周期倍增
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11
•
3.5699 < R ≤ 4
小结： 小结： • 系统表现出的不同行为 稳定状态、周期、 稳定状态、周期、混沌 • 系统参数(R)的不同给系统带来的影响 • 初始状态( x0)的不同对系统的影响
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• 分叉图 ( bifurcation diagram )
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三、稳定状态(steady state)和稳定性（stability） 研究三个问题： 1、系统是否存在固定点(fixed point)？ 2、系统是否在固定点处存在局部稳定性？ 局部稳定性(locally stable) 局部稳定性 3、系统是否在固定点处存在全局稳定性？ 全局稳定性(globally stable) 全局稳定性
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3、固定点的全局稳定性 线性系统 A locally stable fixed point is also globally stable. 非线性系统 When multiple fixed point are present, none of the fixed points can be globally.
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Conclusion:（考虑周期n） If there is stable cycle of period n, there must be at least n fixed points associated with the stable cycle, where the slope at each of the fixed points is equal and the absolute value of the slope a each of the fixed points is less than 1.
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N0=100 , R<0 衰减（decay） R=-0.9 递增（growth） R=-1.08 稳态（steady-state） R=-1
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吸引子（attractor）: 随着时间的演化，系统的一种状态趋势 0<R<1: Nt ⇒ 0 R>1: Nt ⇒ ∝
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固定点
周期2
x t +1 = 3 .52 x t (1 − x t ) 周期4
混沌
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两个概念 渐近（asymptotic dynamics ）： The term asymptotic dynamics refers to the dynamics as time goes to infinity. 暂态（transient）: Behavior before the asymptotic dynamics is called transient
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六、准周期性（Quasi-periodicity） x t+1=f ( xt )= xt +b (mod 1)
其中，b为无理数 • 非周期性:
x t+n≠ xt
• 有界：在 xt 周围的固定范围内
The route to chaos: Quasi-periodicity
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• 1<R<3
R=1.5
单调逼近固定点 x*=0.333 R=2.9 交替逼近固定点 x*=0.655 xt ⇒ 1 −1/R
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问题1： 1、 x0取不同值时，上述几种情况如何？ 2、x0=0.5, R分别为1.25, 2, 2.75， 画出轨线 t- xt
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• Feigenhaum’s number: 4.6692 定义：∆n the range of R values that give a period-n cycle.
∆n lim = 4.6692 n→ ∞ ∆ 2n
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• 分叉图 ( bifurcation diagram )
0 < R < 1: 稳定 R=0： 稳定 R=1： 稳定
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-1 < R < 0
R < -1
R=-1 不稳定
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非线性系统：
固定点 x = f ( x )
∗ t ∗ t
df m= dx t x ∗
m < 1 : x t∗ 0 < m < 1: − 1 < m < 0: m > 1 : x t∗ m > 1:
R= 3.5699达到无穷周期 对大多数R产生混沌（chaos）
R=4
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对初始条件敏感
xt +1 = 4 xt (1 − xt )
dot: x0=0.523423, circle: x0= 0.523424
2011>4 轨线最终逃逸（escape）到无穷。
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吸引域（basin of attraction） The set of initial conditions that eventually leads to a fixed point is called basin of attraction 多稳定性（multi-stability） If multiple fixed points are locally stable we say there is multi-stability.
分叉点（bifurcation point）: 分叉点 以某个参数值为分界，系统进入不同的状 态 R=1
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二、非线性的有限差分方程 1、Logistic Equation: x t + 1 = Rx t ( 1 − x t ) 系统参数：R 初始条件： x0 ： 固 定 点： （fixed point）
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• 局部稳定性 locally stable: If the initial condition happens to be near a fixed point, sequent iterates approach the fixed point, we say the fixed point is locally stable. ( locally asymptotic stability) • 全局稳定性 globally stable: If the fixed point is approached by all initial conditions, we say the fixed point is globally stable.