浅析几何概型的物理背景问题

(a + b+ ‘ )2 _ ’ :
a b + a c + bc
a
十 —
b
”b 十‘
汉+ C
十
a + b
、 必， 坦竺‘ 二 、 二 吓 1 o 1， 、 八 /
I U }-
ab + ac +
产 a Z+ bZ+ c b
2)
下面利用( ， ) 解决文〔 ] 中的五个问题. 1 例 1 ( 第 26 届莫斯科 了 MO 试题) 已知:
文【 1〕 给出了 _ 一类分式不等式的递推证明， 笔者通过研究发现， 构造向量， 利用向量的数量 积性质解决此类问题更为方便、 快捷， 定理 设 A 、 B 为两个非零向量， 则}A !2
) 志洗苦 表下
又
ab + ac + c b + 2 = 3， ab + ac + 加
+ C
A， l ’ . ， 2 妻 罕 ，
， 一 { 德
b
a + C
三二 } ， B 一 口 丐 下 毛 ， a + b )
b + c
(A B)2= (a + 占 +。 )2.
2一 涯
了 目 石毛洲万不 乙 }， 则 }A IZ=
BT 二 「 0， 涯] ， .‘ .p ( 刀 )
4 涯 分析: 问题的出发点是以 C 为圆心所作圆
弦的增长速度是均匀钓条件不成立， 以截得的 弦的增长速度为背景得出的概率不正确. 点评: 本题中半径的增长、 所截得的弦的增 长与角度 0 的变化都可能作为解题背景， 问题
乙
_ 鱼 最长为 1 ， 事件 B 发生半径变化的区间 2 ’
错解: 设以点 M 在八 B 线段上均匀移动为
背景， 设Ac = 1， AB= 涯， 则尸 (A)
分析: 此问题的出发点是过直角顶点 C 在 匕AC B 内部作一条射线日 W， 则射线 () 才与 AC 所成的角0 均匀增长， 设其角速度为 。 ， 则 0 = 以( 。为正常数) ，
到简化解题过程、 提高运算能力的目的.
，4 1 .
2007 年第 11 期
(3 ) 弦被其中点位置唯一确定. 只有当弦的 中点落在半径缩小了一半的同心圆内， 其长才 合乎要求. 设中点位置都是等可能的， 则所求概
J 、 ‘ / 一
中学数学研究
厂 〔 :)_返 丝 些 列 画 丝 二 1_ 塑业玉鱼 ‘ _ _ J _ 八 鱼 2州 丝 迪回 气 ， n以 一 以 万 心 )s in 田 t 一1 ’
。 ， 则 0= 以， }OT }= R 二 (Q ， t )， 0 任【 0， 二 ]， f ( t ) = Rc o s( 。 t )， f (t ) = 一 Ro sin( 。 t ).
故}OT }的增长速度是周期变化的并不是 常量. 故设所有交点的等可能性不成立.
B = I Xx x B =
段上均匀移动的条件不成立. 点评 : 此问题的出发点过直角顶点作射线， 故选取角度的均匀增长为背景是合理的; 若将 问题视作 M 是直线AB 上任意一点， 且认为点
M 在直线月 B 上匀速运动， 以此为基本事件，
导致结果出错 . 问题三 如图， 以等腰 A尺 一
长超过圆内接正三角形边长” 的概率是不对的. 点评 : 问题的出 发点是在圆内 作弦时， 应选
A入 丁=
S l n 田t S l n 田t
卜 招 2 一 涯 .’ .尸 (B ) 二 卜2
= 乙寸V 乙一V J 一 ~二 ，
乙
_ 。. 二 二 拓
sin(135c 一。 t)
涯 sinot
5 11 1 田t 一 CO S 田t
警 ‘ 田 ‘ 涯 sinot
Sl n 田t 一 COS 臼 t
涯 一 2 CO S 田t
问 题一 著名的贝特朗( B e r a od ) 悖论是 t
孙迪青
对应的圆心角匀速增大， 故所有方向是等可能
的 ， 则 所 求 概 率 为 夸
2 ) 由于对称性， ( 可预先指定弦的方向. 作
垂 直 于 此 方 向 的 直 径 ， 只 有 交 直 径 于 青 点 与 号
点间的弦， 其长才大于内接正三角形边长. 设所
正解 : 设等腰直角三角
/
六 \\ ’
私
形的直角边长为 1， “ 以其直角顶点 C 的圆心作
圆， 这个圆与斜边相交， 截得的弦长不小于直角 边” 为事件 B . 要使这个圆与斜边相交， 则此圆
R t 问题二、 如 图在等腰 在 C △八 BC 中， 过直角顶点 C 乙ACB 内部作一条射线 日 W A A叮 B 与直线八 召交于点M ， 求八 M< AC 的概率. 正解: 设 A = 1线段 AM 长小于线段 AC 长}， 射线 CM 与AC 所成的角为均匀增长， 故 以角度的增长为背景是等可能的. 八 人 了 = AC 时， 0= 67.5。 ， 0 在 0 到90 0 变化. 由 几何概率公
解: 设圆的半径为 R ， 而弦 A刀对应的圆心角匀速增大时，
}OC } 的增长并不均匀. 设弦 八 刀对应的圆心角的角速度为
概 率 为 告 的 结 论这 样 的 结 论 成 立 吗 ?
心角在 120c 一1800之 间， 其长 才合乎要 求. 其 背景为弦 AB 分析 : 本题一般思路是在求得点 A 坐标
a + b + c 2
a + 亡
b2 一 寸一—
‘
_2
、、
以十b ‘
声 ‘二
B = {了a ( b + c ) ， 了b (a + c ) ， 了c (a + b ) }，
则 1八 厂 = 丁 -下 一 一十 —
证明 : 构造向量
b
口 一 C
十
a + b
} 刀 } 2= a ( b + ’
c) + b( a + c) + c(a + b) 二 2(ab + a 。 +b c 为背景是正确的选择.
的 半径R 的增长速度均匀并设为 v ， 则R
十 Vt 、 V 刀 卫 二’ 币负 关} ， 议1 = 人 / 气 ， 万 一 Vt ) 一个 ， 万 =
、 乙 ‘
、，‘*: 、。 ，_ / ， 涯 . _、 ， ， 1
vZtZ+ 涯 vt + 1.
_ 涯。
率 为 粤. ‘/ 丫 4 ’
问题中弦 AB 被其中点T 唯一确定， 但是 过圆心的直线有无数多条， 因此弦与中点不是 一一对应的， 以中点为背景相对减少了基本事 件的总数与事件“ 其长超过圆 内 接正三角形边长” 所包含基 本事件的总数. 故选择 以弦中
点在 圆中的椭机分布计算“ 其
厂( t ) 不是常数， 故所设以点M 在A B 线
.。 ‘ *。 ‘ 、 禹 ， 、。 /1 、 2_ 2 ~ 此圆半径最短为图中的 ，。 。 一 。 ， 一、 ~南 月 ”CN 一;_ =丫 ， / 1工 \ 告 Zj 】 +1 1涯、 \ 华 Z j}
招 、 ， ， * ， [ ， “。。。 * _ ， 涯 2 长度 = 1 一 ‘ 犷 1工 义 1 七浏 匕 】 叫 1 又之 文 = 1 一 下厂，
vZt “ + 泛 vt + 1
。 2 ， 警 ”， 9” (t ) 不是常
9 ( t ) = 丫vZ tZ+泛vt + 1， 9‘ (t) =
， 故所截得的
在解决几何概型问题时必须考虑事件发生 时的出发条件与背景的选择是否使基本事件分 布均匀. 根据事件发生时的出发点可考虑的背 景不仅有长度、 面积、 体积， 还有速度和时间等 物理背景， 抓住问题的出 发点， 选择使基本事件 保持等可能性背景从而达到正确计算事件发生
取以弦所对圆心角的均匀变化为背景， 然而(2 )
Rt △ABC 的直角顶点C 为 圆 心作圆， 使这个圆与斜边 1
相交， 则截得的斜边长不小
中以直径上点的平动为背景是不均匀的， (3 ) 中 弦的中点在圆内随机变动作为背景时， 基本事
故后两种背景是不 件的构成从数量上不一致，
于 直 角 边长的 概率 是多 少 ? c
时的概率的目的.
。4 3 .
中学数学研究
2007 年第 11 期
浅 析 几 何 概 型 的 物 理 背 景 问 题
浙江省诸暨市草塔中学 (3 1 18 1 2 )
高中数学关于几何概型问题有以下两个基 本特征:1、 在一次实验后构成基本事件的结果 有无限多个;2 、 每一个基本事件的结果都是等 可能的. 实验结果的无限性是显然的， 不同的角 度看待问 题时基本事件结果是否等可能性较难 辩别， 只从几何的角度研究， 不同的几何背景会 得到不同的结论， 这与概率为一确定值矛盾， 因 此就要借助物理工具解决此类问题. 笔者用以 下三个问 题介绍有关物理背景的应用.
kZ+ 2
_ 如 一夕 C
工扫一 X C
标， 运算较繁; 如充分利用韦达定理求点 B ， C
的坐标， 则非常简捷 .
证明 :
r | 由2 1 1 气
，夕 C 二
尸 2
犷 = 在 x (x ) 0 )
， 解 1 得A ( 1， 涯) .
一 涯 kZ+ 4k + 2 涯
kZ+ 2
证.
， 故 kl
二 涯， 得
， 则
错解 : 设以其直角顶点 A C 为圆心作圆， 这个圆与斜 边相交， 截得的弦的增长速 1
度是均匀的.
几了 T =
返 罗、 、 、 、 2 /
万 食 、 一