关于拟共形映射的一些极值问题

第 19 卷第 3 期 2005 年 9 月
南华大学学报 ( 自然科学版) Journal of Nanhua University( Science and Technology)
Vol. 19 No. 3 Sep . 2005
文章编号 :1673 - 0062 (2005) 03 - 0068 - 03
f ( D ) 为凸域 , D : | z | < 1 , Π z0 ∈ D ,则在 f ( D )
1
证明了比文献 [1 ] 中定理更弱条件下的凸拟共形 映照的 K oebe 的
1 - 掩盖定理 . 我们得到 : 2
定理 2. 1 若 w = f ( z ) 为 S ( z0 , K) 族 , G =
| C | [ 4 | C | - ( 1 - | z0 | ) K ] ( 1 - | z 0 | ) K ( 4 | C | + 1)
1
,
70
南华大学学报 ( 自然科学版) 2005 年 9 月
2 1 - | z0 | 4 p ( 1 +| ξ n | ) K ≤[ 2 ] . | z n - z0 | ( ) | ξ | 1 + p n
f ( D ) 为凸形区域 , Π z0 ∈ D , 令 f ( z0 ) = w0 , 则
1
包含圆心为 f ( z0 ) 、 半径为 r < 圆. 由定理 2. 2 易得
( 1 - | z0 | K ) 的 2
d ( w0 , 9G) ≥
( 1 - | z0 | ) . 2
K
1 - 掩盖定理 : 2 1 的圆 . 2 1 - 掩 2
1 )
两边同乘以 | z n - z0 | ,得
(1 - | z0 | )
1
K
≤[
2 1 4 p (1 +| ξ n | ) | zn - z0 | K . 2 ]・ |ξ n | (1 + p)
令 zn → z0 ,且利用 lim
n
| f ( zn ) - f ( z0 ) | (| zn - z0 | )
1
K
z →z n 0
= f ( z ) 为 S ( z0 , K) 族 . 当 z0 = 0 时 , S ( z0 , K) 即
S ( K) 族 ; 当 z0 = 0 , K = 1 时 , S ( z0 , K) 即单叶函
数的 S 族 . 本文还需要下列预备知识 : 在拟共形映射下 , 双连通域的模具有某种拟 不变性和单调性 :
1 - 掩盖定理 , 证明了凸拟共 2 1 - 掩盖定理 ; 文献 [ 2 ] 的作者 2
令 z n → z0 得 ( 1 - | z0 | ) 9G) } , 即 : d ( w0 , 9G) ≥ 证毕 .
1
K
≤ 2min{ d ( w0 ,
1 1 ( 1 - | z0 | ) K . 2
由定理 2. 1 , 马上可以推出凸拟共形映射象 内任意点的掩盖定理 : 定理 2. 2 若 w = f ( z ) 为 S ( z0 , K) 族 , G =
关于拟共形映射的一些极值问题
廖茂新
( 南华大学 数理学院 ,湖南 衡阳 421001)
摘 要 : 利用拟共形映射模的拟不变性和单调性 ,探讨了拟共形映射任意点的极值性 质 ;同时给出了凸拟共形映照的 K oebe 的 1Π 2— — — 掩盖定理的一种新的证明方法 ; 并 推广了一个极值定理 . 关键词 : K - 拟共形映射 ; 双连通域 ; 掩蔽定理 中图分类号 :O174. 55 文献标识码 :A
1
K
≤[
2 2 4R( C - R )
RC (1 +
R 2 ) C
].
1
一双连通域 ,于是 f ( B n ) 为一环域 , f ( B n ) 的补集 的一个分支包含圆 | ω - ω0 | ≤ | f ( z n ) - f ( z0 ) | , 另一个分支包含圆 | ω - ω0 - C | ≤ R 和 ∞. 由引理 1. 1 和 1. 2 知 mod B n ≤ Kmod f ( B n ) . 由引理 1. 2 可知 1 - | z0 | 1 +| z0 | log ≤mod B n ≤log . | z n - z0 | | z n - z0 | 下面估算 f ( B n ) 的模 : 易知共形映射 ξ =
1
K
≤ M ( f ( B ) ) ≤ KM ( B ) . 引理 1. 2
[4 ]
设 B 与 B 1 是两个双连通域 , B 1
包含在 B 的内部 , 且隔离 C - B 的两个分支 . 则 mod ( B 1 ) ≤mod ( B ) . 文献 [ 1 - 3 ] 对 S ( K) 族进行了研究 ,本文主 要对 S ( z0 , K) 族进行研究 ,利用拟共形映射模的 拟不变性和单调性 , 探讨拟共形映射族任意点的 掩蔽性 ,得到了一系列极值性质 ,推广了文献 [1 3 ] 中的相应结果 .
- w0 | ≤ | f ( z ) - f ( z0 ) | 所形成的环域 , 则有
f ( B n ) < H ,由引理 1. 1 ,引理 1. 2 ,得 :
3 一个极值定理的推广
文献 [ 3 ] 的作者在 S ( K) 族的情况下获得了 一个极值定理 ( 见该文献定理 2) . 本节研究 S ( z0 , K) 族 , 得到的定理 3. 1 推广 了上述定理 . 定理 3. 1 若 w = f ( z ) 为 S ( z0 , K) 族 , Π z0 ∈ D ,令 f ( z0 ) = w0 ,对 ω 平面上固定点 C ,如果
1
K
z →∞
= 1,
证明 : 不妨设 C > 0 ,否则 ,只要作旋转即可 . 对序列{ z n } ( z n → z0 ) 中的每一点 z n , 用 A n 表示
| z - z0 | ≤ | z n - z0 | ,用 B n 表示 D / A n ,则 B n 为
我们可得
( 1 - | z0 | )
f ( z ) - f ( z0 ) ( | z | < 1) 不取圆 | ω - ω 0 - C| ≤ R 内任一点值 ,则 R ≤
1
mod B n ≤ Kmod f ( B n ) ≤ Kmod H.
根据引理 1. 2 ,得 :
log 1 - | z0 | 1 +| z0 | ≤mod B n ≤log . | z n - z0 | | z n - z0 |
G < G′ . 对序列{ z n } ( z n → z0 ) 中的每一点 z n , 用 A n 表示 | z - z0 | ≤ | z n - z0 | ,用 B n 表示 DΠ An ,
( 若还有条件 K = 1 ,则为单叶函数 S 族的
盖定理) .
则 B n 为一双连通域 ,设 H 为半平面 G′ 去掉圆 | w
K
引理 1. 1
[4 ]
由于环域的模是共形映射下的不变量 ,故有 | f ( zn ) - f ( z0 ) | + 2min{ d ( w0 , 9G) } mod H = log . | f ( zn ) - f ( z0 ) | 于是 ,
log 1 - | z0 | ≤ | zn - z0 | log ( | f ( zn ) - f ( z0 ) | + 2min{ d ( w0 , 9G) } k ) . | f ( zn ) - f ( z0 ) |
下面求 mod H 的值 , 不妨作共形映射 ξ =
w 把 环 域 H 映 为 圆 环 w - 2min{ d ( w0 , 9G) }
| f ( z n ) - f ( z0 ) | < | ξ| < 1. | f ( z n ) - f ( z0 ) | + 2min{ d ( w0 , 9G) }
即
2min{ d ( w0 , 9G) } | z n - z0 | 1 - | z0 | ≤ ( | f ( z n ) - f ( z0 ) |
K | z n - z0 | K ) .
+
1
2 关于 S ( z0 , K) 族1 - 5 ] 等 已有很多结果 , 文献 [ 1 ] 的作者曾经借助于凸共 形映照的 K oebe 的 形映照的 K oebe 的
作者简介 : 廖茂新 (1969 - ) ,男 ,湖南衡南人 ,南华大学数理学院讲师 . 主要研究方向 : 复分析及其应用 .
第 19 卷第 3 期 廖茂新 : 关于拟共形映射的一些极值问题
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设 f : D → D′ 是 K - 拟共形映 M ( B) 射 , B 是 D 内任意一个双连通域 , B < D . 则
Some Extreme Value Questions of Quasiconformal Mapping
L IAO Mao2xin
( School of Mathematics and Physics , Nanhua University , Hengyang , Hunan 421001 ,China) Abstract : On the basis of the quasi - invariability and the monotonicity of the modulus of qua2 siconformal mappings , we discuss the extreme properties of quasiconformal mappings. We also give a new and simple proof to K oebe’ s covering theorem for the case of the mappings being convex quasiconformal ; and an extreme value theorem is generalized. Key words : K - quasiconformal mappings ;double connected domains ;covering theorem