12第十二章 渐近法和超静定结构影响线
合集下载
超静定结构影响线
6 3.25 [(2 0.5) (2 0.25)] 6 EI EI 奖赏图各值除 11，可得到影响线的数值 ：
A 0.123 0.346 B 0.151 C 0.108 D
0.497 0.281 0.389 0.520
§9.6 连续梁的最不利荷载分布及内力包络图
q=2kN/m A C 2 4 B A MC 的影响线
A
B
C
FQK
δ 11
D
E
F
FQK 的影响线
A
B
FQK右δ 11 C
D
E
F
FQC右的影响线 A B FQK左 C δ 11 D E F
FQC左的影响线
三、确定影响线的量值举例：求MB的影响线
x1 PP =1 A 6 B 6 x2 PP =1 C 6 x3 PP =1 D
A
MA θA x y L
MB B θB
x A
PP =1 B Z1
C
x A x A
PP =1 B Z1 PP =1 B δ PP δ 1P B δ 11 Z1 =1
C
C
A
δ P1
C
机动法做影响线的步骤：
1、撤掉所求量值响应的约束条件，代上约 束力； 2、使体系沿约束力的正方向发生位移，作 出体系的挠度图，就是影响线的形状图； 3、挠度图每个位置都除以δ11，就确定了影 响线的量值； 4、横坐标以上图形为正号，横坐标以下图 形为负号
图示连续梁的弯矩影响线的形状的最不利布置最小m的最不利布置最大m的最不利布置最小m将连续梁等分成若干段计算各等分点的最大弯矩值和最小弯矩值kmaxkmin
§9.5 超静定结构的影响线
• 单位荷载沿杆件轴线移动时，支座反力和内力的某个 量值随荷载位置的变化规律，称为影响线。 一、静力法：用力法、位移法力矩分配法等求出量值与 荷载位置的函数关系： x PP =1 • 求Z1的影响线： A B C
A 0.123 0.346 B 0.151 C 0.108 D
0.497 0.281 0.389 0.520
§9.6 连续梁的最不利荷载分布及内力包络图
q=2kN/m A C 2 4 B A MC 的影响线
A
B
C
FQK
δ 11
D
E
F
FQK 的影响线
A
B
FQK右δ 11 C
D
E
F
FQC右的影响线 A B FQK左 C δ 11 D E F
FQC左的影响线
三、确定影响线的量值举例：求MB的影响线
x1 PP =1 A 6 B 6 x2 PP =1 C 6 x3 PP =1 D
A
MA θA x y L
MB B θB
x A
PP =1 B Z1
C
x A x A
PP =1 B Z1 PP =1 B δ PP δ 1P B δ 11 Z1 =1
C
C
A
δ P1
C
机动法做影响线的步骤：
1、撤掉所求量值响应的约束条件，代上约 束力； 2、使体系沿约束力的正方向发生位移，作 出体系的挠度图，就是影响线的形状图； 3、挠度图每个位置都除以δ11，就确定了影 响线的量值； 4、横坐标以上图形为正号，横坐标以下图 形为负号
图示连续梁的弯矩影响线的形状的最不利布置最小m的最不利布置最大m的最不利布置最小m将连续梁等分成若干段计算各等分点的最大弯矩值和最小弯矩值kmaxkmin
§9.5 超静定结构的影响线
• 单位荷载沿杆件轴线移动时，支座反力和内力的某个 量值随荷载位置的变化规律，称为影响线。 一、静力法：用力法、位移法力矩分配法等求出量值与 荷载位置的函数关系： x PP =1 • 求Z1的影响线： A B C
第十二讲：影响线与包络图
第三章 影响线与包络图
1. 移动荷载及其简化
1)移动荷载：作用 Ⅰ
小车
点在结构上移动，
大小和方向保持不
吊车梁
吊车桥架
变的荷载。
牛腿
柱
2)移动荷载的简化
Ⅰ
荷载性质的简化：
(a) 厂房横截面
移动动荷载→移动静荷载，
即可利用静力平衡方程求解。
吊车轮压 FP FP
轨道
吊车梁
牛腿
(b)Ⅰ－Ⅰ厂房剖面图
FP K FP
S为正时绘于基线上方，为负时绘于基线下方。
第三章 影响线与包络图
简支梁的影响线
x A
FP =1 C
B (a)
FRA
lx x
FRA=FP
l
=1－ (0 ≤ x≤l)
l
1 A
xx FRB=FP l = l (0≤x≤l)
A
MMCC
FRB FRA
b a
[0, a] [a, l ]
a
FQC FRB [0, a)
1
Fx
F
FAy
l
l
x（0≤x≤l）
A
B
FAy
l
Fx
F
A
l
1
B FBy的影响线方程:
FBy
FBy
xl（0≤x≤l）
第三章 影响线与包络图
剪力的影响线
绘制简支梁截面C剪力FSC影响线。 仍取A点为坐标原点。
1
b/l
F=1
a
a/l
b
l
FAy
FBy
1
由 图 可 见 ， FSC 影 响 线 分 为 AC 和 CB 两 段 平 行 线 。 FSC 影 响 线在C点出现突变， 说明当F＝1由左侧越 过C点移到右侧时， 截面C上的剪力FSC将 发生突变。当F＝1正 好作用于点C时，FSC
超静定结构影响线
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第6页
如图a所示等截面三跨连续梁，求支座1截面的弯矩M1 影响线。
1
连续梁的诸支座截面弯矩一经求得，则其他各处的弯 矩、剪力及支座反力等就极易由平衡条件求出。所以连续 梁的支座截面弯矩影响线是基本未知力影响线。
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第7页
具体计算 ： 将荷载置于第一跨，设坐标为x1，求得M1影响线在第一 跨内的曲线方程式 M1(x1)。 将荷载置于第二跨，设坐标为x2 ，求得M1影响线在第二 跨内的曲线方程式 M1(x2 )。 将荷载置于第三跨，设坐标为x3，求得M1影响线在第三 跨内的曲线方程式M1(x3 )。 然后给出每一跨内若干等分处 值，从而绘出M1影响线。
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第1页
§ 9-1
超静定结构影响线
绘制超静定结构的影响线需运用超静定问题的各种分析 方法——力法、位移法及渐近法等。 此外，绘制超静定结构中的位移影响线，需运用第七章 所述位移互等定理。 静力法作影响线： 通过静力计算求出基本未知量与荷载位置x 的函数关 系 ，并据此而绘出其图形即为影响线。
结构力学电子教案
第九章
力法应用
第11页
δ 11 = δ 22
2l = 3EI
δ 12 = δ 21
1 = 6 EI
代入力法方程，得
⎫ l2 2l 1 M 1 ( x2 ) + M 2 ( x2 ) + α (1 − α )(2 − α ) = 0⎪ 3EI 6 EI 6 EI ⎪ ⎬ ⎪ l l2 2l M 1 ( x2 ) + M 2 ( x2 ) + α (1 − α )(1 + α ) = 0 ⎪ 6 EI 3EI 6 EI ⎭
结构力学课件12渐近法
-4.90
43.5
46.9
24.5
14.7
3.45
1.7
9.8
4.89
M图
例2.
4m
4m
5m
4m
2m
q=20kN/m
A
B
C
D
F
E
*
A
B
C
1m
5m
1m
EI=常数
D
50kN
5/6
1/6
50
25
-20.8
-4.2
-20.8
+20.8
+50
例3. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。
50kN·m
A
B
M
M/2
A
B
*
C
B
例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。
A
B
C
D
6m
6m
4m
4m
EI=1
EI=2
EI=1
20kN/m
100kN
0.4
0.6
0.667
0.333
m
-60
60
-100
100
分配与传递
-33.3
-66.7
-33.4
29.4
44
22
14.7
-14.7
-7.3
-7.3
4.4
2.9
2.2
-1.5
-0.7
-0.7
固端弯矩之和
（第一轮第二、三……结点）
固端弯矩之和 加传递弯矩
传递弯矩
（其它轮次各结点）
总等于附加刚臂上的约束力矩
5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
43.5
46.9
24.5
14.7
3.45
1.7
9.8
4.89
M图
例2.
4m
4m
5m
4m
2m
q=20kN/m
A
B
C
D
F
E
*
A
B
C
1m
5m
1m
EI=常数
D
50kN
5/6
1/6
50
25
-20.8
-4.2
-20.8
+20.8
+50
例3. 带悬臂杆件的结构的力矩分配法。
50kN·m
A
B
M
M/2
A
B
*
C
B
例1.用力矩分配法列表计算图示连续梁。
A
B
C
D
6m
6m
4m
4m
EI=1
EI=2
EI=1
20kN/m
100kN
0.4
0.6
0.667
0.333
m
-60
60
-100
100
分配与传递
-33.3
-66.7
-33.4
29.4
44
22
14.7
-14.7
-7.3
-7.3
4.4
2.9
2.2
-1.5
-0.7
-0.7
固端弯矩之和
（第一轮第二、三……结点）
固端弯矩之和 加传递弯矩
传递弯矩
（其它轮次各结点）
总等于附加刚臂上的约束力矩
5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
《静定结构影响线》课件
态的结构的总称。
静定结构具有确定的几何形 状和确定的承载能力，不会 因为受到外力而发生变形或
破坏。
静定结构在受到外力作用时， 其内力和反力可以通过静力平 衡方程求解，不需要进行复杂
的分析和计算。
02
影响线的计算方法
静力法
静力法是通过在静力平衡状态下，对 结构施加单位载荷并计算位移的方法 。
静力法计算简单，适用于简单结构， 但对于复杂结构，计算过程可能较为 繁琐。
连续梁的影响线分析
连续梁的弯矩和剪力影响线比简支梁更为复杂 ，需要考虑多个支座和跨度的共同作用。
连续梁的影响线分析有助于优化梁的截面尺寸和支座 设计，提高结构的承载能力和稳支梁的相互作用。
在连续梁中，弯矩和剪力的最大值可能出现在不 同的位置，需要根据具体情况进行分析。
框架结构的影响线分析
框架结构由多个杆件通过节点连接而 成，其影响线分析需要考虑杆件之间 的相互作用。
在框架结构中，弯矩和剪力的最大值 可能出现在不同的节点和杆件上，需 要根据具体情况进行分析。
框架结构的弯矩和剪力影响线比简支 梁和连续梁更为复杂，需要考虑多维 空间的受力分析。
框架结构的影响线分析有助于优化结 构的布局和节点设计，提高结构的承 载能力和稳定性。
05
结论
影响线在静定结构中的重要性
静定结构影响线是分析结构响应的重要工具，它能够描述结构在不同激励下的变形 和内力分布情况。
通过影响线分析，可以确定结构的薄弱环节和关键部位，为结构的优化设计和加固 提供依据。
影响线分析有助于评估结构的可靠性和安全性，为工程实践提供重要的参考价值。
未来研究方向
01
静定结构影响线
目录
• 引言 • 影响线的计算方法 • 静定结构影响线的应用 • 静定结构影响线的实例分析 • 结论
静定结构具有确定的几何形 状和确定的承载能力，不会 因为受到外力而发生变形或
破坏。
静定结构在受到外力作用时， 其内力和反力可以通过静力平 衡方程求解，不需要进行复杂
的分析和计算。
02
影响线的计算方法
静力法
静力法是通过在静力平衡状态下，对 结构施加单位载荷并计算位移的方法 。
静力法计算简单，适用于简单结构， 但对于复杂结构，计算过程可能较为 繁琐。
连续梁的影响线分析
连续梁的弯矩和剪力影响线比简支梁更为复杂 ，需要考虑多个支座和跨度的共同作用。
连续梁的影响线分析有助于优化梁的截面尺寸和支座 设计，提高结构的承载能力和稳支梁的相互作用。
在连续梁中，弯矩和剪力的最大值可能出现在不 同的位置，需要根据具体情况进行分析。
框架结构的影响线分析
框架结构由多个杆件通过节点连接而 成，其影响线分析需要考虑杆件之间 的相互作用。
在框架结构中，弯矩和剪力的最大值 可能出现在不同的节点和杆件上，需 要根据具体情况进行分析。
框架结构的弯矩和剪力影响线比简支 梁和连续梁更为复杂，需要考虑多维 空间的受力分析。
框架结构的影响线分析有助于优化结 构的布局和节点设计，提高结构的承 载能力和稳定性。
05
结论
影响线在静定结构中的重要性
静定结构影响线是分析结构响应的重要工具，它能够描述结构在不同激励下的变形 和内力分布情况。
通过影响线分析，可以确定结构的薄弱环节和关键部位，为结构的优化设计和加固 提供依据。
影响线分析有助于评估结构的可靠性和安全性，为工程实践提供重要的参考价值。
未来研究方向
01
静定结构影响线
目录
• 引言 • 影响线的计算方法 • 静定结构影响线的应用 • 静定结构影响线的实例分析 • 结论
超静定影响线
6m
6m
6m
2.依次作出每一跨分布活载作用时的弯矩图（每跨4等分）
96
66
36
6 18 24 第1跨布活载 12 6
63 111 132
2.依次作出每一跨分布活载作用时的弯矩图（每跨4等分）
96 66 36
6
第1跨布活载 63 111 132 36 18 第2跨布活载 63 108 36 6 第3跨布活载 6 12 18 24 66 54 72 18 24 12 6
1 0.3125 11/8
2a
2a
a
从上述作法可见，其过程与静定结构影响线的作法并没有不同， 只是计算麻烦，需用力法求解
例2 静力法作连续梁支座处弯矩影响线。
x P=1
1 L L
2 L
思路： 按影响线的定义，作出P=1在不同位置x处的M1表达式。 1）P=1在第一跨移动，取如下基本体系
力法基本体系
6m
6m
6m
弯矩影响线轮廓
B 1 2 C 3 1 跨截面
2 跨截面 3 跨截面
支座B 支座C
说明：
要使1跨某截面取最大值，只需把第1跨和第3跨布满活载； 要使1跨某截面取最小值，只需把第2跨布满活载；
1. 由1跨截面弯矩影响线可知：
2. 由支座B截面弯矩影响线可知：
要使截面B的弯矩最大，只需第3跨布满活载；
A
B K C D E
F
三、影响线的应用：连续梁的内力包络图
1．基本原理 连续梁的设计必须以该梁在恒载（自重等）及活载（人 群、货物等）作用下每一截面上可能出现的内力最大值及最
小值作为设计依据。
其中恒载作用下的内力是确定的； 活载作用下的内力随分布的不同有不同的值。 下面以连续梁为例说明活载分布的最不利情形的特点
12渐近法习题
0.01 0.01
17.33 17.33 10.57 10.57 0.39 0.39 48.00 48.00
结构力学电子教程 12 渐近法、近似法和超静定结构的影响线
20kN/m
A
B
40kN
C
D
EI=常数
4m
4m
2m 2m
40kN
EF
4m
1.2m
0
17.3317.33 10.57 10.57 0.39 0.39 48.00 48.00
课外作业 P75 － P78
第一次 12.2、12.3 第二次 12.10、12.13 第三次 12.8 、12.20 第四次 12.21 、12.22
结构力学电子教程 12 渐近法、近似法和超静定结构的影响线
12.2 利用力矩分配法计算图示刚架的杆端弯矩。
60kN m
A 2EI B 2EI C EI D
E
B
C
D
0
40.00
20.00 20.00 24.00 48.00
17.16 22.8411.42 12.56 25.12 18.88
4.72
116..0208213..9194
21.99 3.14
116..0208
4.72
1.57 3.14 3.14 1.57
0.67 0.90 0.45 0.45 0.90 0.67 0.23 0.45 0.45 0.23
30 M (kN·m)
A
B
90
结构力学电子教程 12 渐近法、近似法和超静定结构的影响线
12.22 用反弯点法作M图。
50kN G
H
I
i=④
⑤
①
结构力学课件12渐近法
材料力学
了解材料的力学性质（如弹性模量、 泊松比等）对于应用渐近法是必要的 。
渐近法的计算步骤
建立模型
首先需要建立结构的数学模型 ，包括结构的几何形状、材料
属性、边界条件等。
求解线性方程组
利用线性代数的方法求解结构 平衡方程，得到结构的位移分 布。
内力分析
根据位移分布计算结构的内力 分布。
误差估计与迭代修正
CHAPTER
02
渐近法的基本原理
渐近法的数学基础
线性代数
渐近法涉及到线性方程组的求解 ，因此需要掌握线性代数的基本 概念和性质。
微积分
在分析结构位移和内力时，需要 用到微积分的知识，如导数、积 分等。
渐近法的物理基础
弹性力学
结构力学中的渐近法是基于弹性力学 的基本原理，需要理解弹性力学的基 本概念，如应力、应变等。
通过估计误差并进行迭代修正 ，使计算结果逐渐接近真实解
。
CHAPTER
03
渐近法的应用实例
静力分析中的应用
静分析是结构力学中的基础分析方法，主要研究结构在恒 定外力作用下的响应。渐近法在静力分析中的应用，主要是 通过不断逼近真实解来获得近似解，从而提高计算精度。
在静力分析中，渐近法可以应用于解决各种复杂的结构问题 ，如梁、柱、板等。通过迭代计算，可以逐步逼近真实解， 得到更精确的位移、应力等结果。
缺点
精度不足
稳定性较差
由于渐近法采用的是近似计算方法， 因此其计算结果的精度往往不如精确 解高，可能无法满足某些高精度要求 的场合。
在某些情况下，渐近法的计算结果可 能会因为初始值的选取或者计算的步 长设置不当而导致结果不稳定，甚至 出现错误的结果。
适用范围有限
了解材料的力学性质（如弹性模量、 泊松比等）对于应用渐近法是必要的 。
渐近法的计算步骤
建立模型
首先需要建立结构的数学模型 ，包括结构的几何形状、材料
属性、边界条件等。
求解线性方程组
利用线性代数的方法求解结构 平衡方程，得到结构的位移分 布。
内力分析
根据位移分布计算结构的内力 分布。
误差估计与迭代修正
CHAPTER
02
渐近法的基本原理
渐近法的数学基础
线性代数
渐近法涉及到线性方程组的求解 ，因此需要掌握线性代数的基本 概念和性质。
微积分
在分析结构位移和内力时，需要 用到微积分的知识，如导数、积 分等。
渐近法的物理基础
弹性力学
结构力学中的渐近法是基于弹性力学 的基本原理，需要理解弹性力学的基 本概念，如应力、应变等。
通过估计误差并进行迭代修正 ，使计算结果逐渐接近真实解
。
CHAPTER
03
渐近法的应用实例
静力分析中的应用
静分析是结构力学中的基础分析方法，主要研究结构在恒 定外力作用下的响应。渐近法在静力分析中的应用，主要是 通过不断逼近真实解来获得近似解，从而提高计算精度。
在静力分析中，渐近法可以应用于解决各种复杂的结构问题 ，如梁、柱、板等。通过迭代计算，可以逐步逼近真实解， 得到更精确的位移、应力等结果。
缺点
精度不足
稳定性较差
由于渐近法采用的是近似计算方法， 因此其计算结果的精度往往不如精确 解高，可能无法满足某些高精度要求 的场合。
在某些情况下，渐近法的计算结果可 能会因为初始值的选取或者计算的步 长设置不当而导致结果不稳定，甚至 出现错误的结果。
适用范围有限
渐近法
C
Aj
M M
jA Aj
在等截面杆件中，传递系数C随远端的支撑情况
而不同，数值如下：
远端固定， 远端铰支， 远端滑动，
应用：
1 C 2 C 0 C 1
M
jA
C Aj M Aj
2、计算。
例1：图示为无结点线 位移刚架，在结点A有 力偶荷载M=100KN.m 作用，用力矩分配法 计算各杆杆端弯矩。
AE
AE
各杆传递弯矩
M M M
C AB M AB 1 50 25 KN m 2 C AC M AC 0 37.5 0 KN m CA
BA DA
C AD M AD 1 12.5 12 .5 KN m
12.3 单结点的力矩分配——基本运算
12.2 力矩分配法的概念
一、正负号规定
1、杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩：对杆端
顺时针转为正号； 2、作用于结点的外力偶荷载、作用于转动约 束的约束力矩：对结点或约束顺时针转动为 正号。 二、结点力偶的分配和传递 1、位移法计算
k F M 4i M 3i M i
例题1：
例题2：
作业：
12.4 多结点的力矩分配——渐近运算
以一个三跨连续梁的模型说明渐近的过程：
第一步：在结点B、C加上约束，阻止结点转动，
求约束力矩MA和MB。 第二步：放松结点B，结点C仍然锁住，求结点B上 的分配弯矩，此时结点C上的约束力矩为 M M M 第三步：放松结点C，结点B再加上约束，求结点C 上的分配弯矩， 再重复第二步和第三步，即轮流去掉结点B和结点 C的约束，进行分配和传递，直到累计的连续梁的 变形和内力逐步渐近连续梁实际的变形和内力。
根据位移法基本原理
传递系数 CAB=1/2 CAB=-1 CAB=0
近端弯矩 远端（传递）弯矩 远端固定 MAB=SABθA MBA=2iAB θA 远端定向 MAB=SAB θA MBA= -iABθA 远端铰支 MAB=SAB θA MBA=0
• CAj = MjA /MAj 远端弯矩/近端弯矩
MμAj = μAj ·M
二、分配系数 μ
将刚度概念引入杆端弯矩计算式，可得：
MAB=(SAB / ∑ S)· M ； MAC=(SAC / ∑ S)· M
MAD=(SAD/ ∑ S)· M ；MμAj= μ Aj · M
μAj =S Aj / ∑ S
μAj ——Aj杆A端的（力矩）分配系数。数值上为 杆Aj的转动刚度与交于A结点各杆在A端的转动刚 度之和的比值。 即：相当于把结点A作用的外力偶荷载M按各杆 的杆端分配系数分配到各个杆端。
∑MA=0
MAF = MFAB + MFAC
例：用力矩分配法计算图示连续梁，作弯 矩图。并求中间支座的支座反力。
•分配系数 •固端弯矩 -150 分配传递 -17.2 • 最后弯矩 -167.2
-200×6/8 μBA=4i/(4i+3i) CBA=1/2
0.571 0.429 150 -90 -34.3 -25.7 115.7 -115.7
200×6/8 -20×62/8 μBC=3i/(4i+3i) CBC=0
0 0 0
解：1、计算由荷载产生的固端弯矩。 2、计算分配系数。3、叠加得出最后弯矩。 4、求支座反力。 最后弯矩 -167.2 115.7 -115.7 0
FQAB
FQBA= -91.42kN
FQBC=79.28kN FyB=170.7kN
近端弯矩 远端（传递）弯矩 远端固定 MAB=SABθA MBA=2iAB θA 远端定向 MAB=SAB θA MBA= -iABθA 远端铰支 MAB=SAB θA MBA=0
• CAj = MjA /MAj 远端弯矩/近端弯矩
MμAj = μAj ·M
二、分配系数 μ
将刚度概念引入杆端弯矩计算式，可得：
MAB=(SAB / ∑ S)· M ； MAC=(SAC / ∑ S)· M
MAD=(SAD/ ∑ S)· M ；MμAj= μ Aj · M
μAj =S Aj / ∑ S
μAj ——Aj杆A端的（力矩）分配系数。数值上为 杆Aj的转动刚度与交于A结点各杆在A端的转动刚 度之和的比值。 即：相当于把结点A作用的外力偶荷载M按各杆 的杆端分配系数分配到各个杆端。
∑MA=0
MAF = MFAB + MFAC
例：用力矩分配法计算图示连续梁，作弯 矩图。并求中间支座的支座反力。
•分配系数 •固端弯矩 -150 分配传递 -17.2 • 最后弯矩 -167.2
-200×6/8 μBA=4i/(4i+3i) CBA=1/2
0.571 0.429 150 -90 -34.3 -25.7 115.7 -115.7
200×6/8 -20×62/8 μBC=3i/(4i+3i) CBC=0
0 0 0
解：1、计算由荷载产生的固端弯矩。 2、计算分配系数。3、叠加得出最后弯矩。 4、求支座反力。 最后弯矩 -167.2 115.7 -115.7 0
FQAB
FQBA= -91.42kN
FQBC=79.28kN FyB=170.7kN
静定结构的影响线
FQD的影响线
－
FQD 0
FQE的影响线
1
FP 1 位于E左侧
1
+
FQE的影响线
FQE 0 FP 1 位于E右侧 FQE 1
21/72
4-2 用静力法作静定梁的影响线 二、双伸臂梁的影响线
0 x D A FRA l FP=1 E B FRB e
5.伸臂部分弯矩影响线 考察伸臂部分D、E 截面弯矩影响线 MD的影响线
a xl
17/72
4-2 用静力法作静定梁的影响线 二、双伸臂梁的影响线
FRA 0 x
FP=1
FRB
1. 反力影响线
A 点为坐标原点，x 方向向右为正
l2
l1
1 l1 l
A
l
B
FRB FRA
－
l2 l
FRA影响线
1
+
1 x x l l 1 l x l x l l
(吊车：启闭力、刹车力，车轮在轨道接头处的冲击力) ——结构的动力计算
(2) 由于移动荷载位置变化引起结构各处量值(反力、内力、位移)的 变化。
需要研究静定结构在移动荷载作用下，其反力和内力的变化规律
求出这些量值在荷载移动过程中最大值(最大量值) 找到产生最大量值的荷载位置(最不利的荷载位置)
5/72
注意当FP位于A左侧时，x为负值。
FRB影响线
1
+
l1 － l
1
l2 l
18/72
4-2 用静力法作静定梁的影响线 二、双伸臂梁的影响线
FRA 0 x
2.跨内截面剪力影响线 考察跨内C截面剪力影响线
FP=1
FRB
12渐进线和超静定结构的影响线
AB
S AC S AD S AE 3iAB 4iAC iAD
S S AB S , AC AC , AD AD S S S
i
S
Si
, i 1
基本名词定义
三、传递系数 C
当A端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近端 的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数，记作CAB 。
渐近法 和超静定结构的影响线
12
本章提要
本章主要介绍力矩分配法求解无侧移结 构单结点分配和多结点分配
12.1 渐近法概述
提出问题
可否不解联立方程组？
12.2 力矩分配法的概念
基本名词定义
一、转动刚度 S
使AB杆的A端产生单位转动，在A端所需施加的 杆端弯矩称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB。
举例
Pl
例2 计算图示梁,各杆EI=常数
EI 令i = l
0 0 0 0
Pl / 8 Pl / 8
i
1/8 -1 0
Pl / 8 Pl / 8
0 0 0
Pl
3i
4i
3/8 1/2 0 1/2 0 0
0
0 0 0
0
3Pl / 8 Pl / 2 Pl / 4
Pl 3Pl / 8 Pl / 2 Pl / 4
3/ 5 1/ 2
-100 -33.4 44 -7.4 4.4 -0.8 0.5 - 92.7
2/3 1/ 2
100 -66.7 22 -14.7 2.2 -1.5
1/ 3 0
0 -33.3 -7.3 -0.7
43.6
-43.6
92.7
41.3 -41.3
41.3
结构力学-渐近法及超静定结构的影响线
特别注意：进行力矩分配的一端永远为近端，另一端为 远端。
上述问题的计算方法为： (1) 按各杆的分配系数将结点A的力偶矩分配给各杆近端； (2) 将近端弯矩乘以传递系数得远端弯矩。
12-10
二、单结点力矩分配
1、计算步骤(以上述例子进行)
第一步：锁住结点A，即附加 刚臂“ ”，使结点A不能转动(位 移法基本体系)；将结构的各杆看 作具有不同远端支承的“单跨超静 定梁”；然后计算(查表)各杆件固 端弯矩mAK(当杆上有几个不同荷载 时mAK可叠加求出)；进而求出附加 刚臂上的约束力矩MA，它等于mAK 之和(图c)，以 顺时针为正。
计算分配力矩：
MmBA=mBA·(-MB)=0.571(-60)=-34.3kN·m MmBC=mBC·(-MB)=0.429(-60)=-25.7kN·m
分配力矩下面划一横线，表示结点已放松，达到平衡。
12-15
计算传递力矩(传递系数不用计算，前面已知)： MCAB=CBA·MmBA=(1/2)(-34.3)=-17.2kN·m，(CBA=1/2) MCCB=CBC·MmBC=0，(CBC=0)
12-24
解：通过此例给出多 (a) 20kN/m
SAK的物理意义：SAK表示在杆AK的A端顺时针方向产生 单位转角时在A端所需施加的力矩。
或者说：抵抗单位转动所需的力矩(表示杆端对转动的抵 抗能力)。
SAK值取决于杆件的线刚度iAK和远端(K端)的支承。 由(a)式可知，对AK杆：
远端(K端)铰支：SAK=3iAK 远端(K端)固定：SAK=4iAK 远端(K端)滑动：SAK=iAK (2) 分配系数
12-23
4、最后，将各项步骤所得的杆端弯矩(弯矩增量)叠加， 即得所求的杆端弯矩(总弯矩)。
上述问题的计算方法为： (1) 按各杆的分配系数将结点A的力偶矩分配给各杆近端； (2) 将近端弯矩乘以传递系数得远端弯矩。
12-10
二、单结点力矩分配
1、计算步骤(以上述例子进行)
第一步：锁住结点A，即附加 刚臂“ ”，使结点A不能转动(位 移法基本体系)；将结构的各杆看 作具有不同远端支承的“单跨超静 定梁”；然后计算(查表)各杆件固 端弯矩mAK(当杆上有几个不同荷载 时mAK可叠加求出)；进而求出附加 刚臂上的约束力矩MA，它等于mAK 之和(图c)，以 顺时针为正。
计算分配力矩：
MmBA=mBA·(-MB)=0.571(-60)=-34.3kN·m MmBC=mBC·(-MB)=0.429(-60)=-25.7kN·m
分配力矩下面划一横线，表示结点已放松，达到平衡。
12-15
计算传递力矩(传递系数不用计算，前面已知)： MCAB=CBA·MmBA=(1/2)(-34.3)=-17.2kN·m，(CBA=1/2) MCCB=CBC·MmBC=0，(CBC=0)
12-24
解：通过此例给出多 (a) 20kN/m
SAK的物理意义：SAK表示在杆AK的A端顺时针方向产生 单位转角时在A端所需施加的力矩。
或者说：抵抗单位转动所需的力矩(表示杆端对转动的抵 抗能力)。
SAK值取决于杆件的线刚度iAK和远端(K端)的支承。 由(a)式可知，对AK杆：
远端(K端)铰支：SAK=3iAK 远端(K端)固定：SAK=4iAK 远端(K端)滑动：SAK=iAK (2) 分配系数
12-23
4、最后，将各项步骤所得的杆端弯矩(弯矩增量)叠加， 即得所求的杆端弯矩(总弯矩)。
chap12超静定结构的影响线
CD : 0 x3 6
-0.346m
-0.389m
-0.497m
-0.520m
A
-0.123m
B
-0.281m
C
D
0.151m
0.175m
弯矩影响线 利用已作出的弯矩影响线，即可按叠加法求得连续梁上任一截面的弯 矩、剪力以及支座反力影响线。
日期：2019/2/24 09:25 Copyright © 2003-2019年2月 版权所有：上海理工大学城建学院土木工程系 第 7/52 页
0.108m
上海理工大学
§12-2 x
A B P=1
结构力学教程
连续梁的最不利荷载布置及内力包络图
C D E F
K
MK.I.L MKmax
↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
RC.I.L RCmax MCmin
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓
MC.I.L
跨中截面正弯矩最不利荷载位置：本跨布置活载，向两边每隔一跨布置活载。 支座截面负弯矩及支座反力最不利荷载布置：支座相邻两跨布置活载，向两 边每隔一跨布置活载。 日期：2019/2/24 09:25 Copyright © 2003-2019年2月 版权所有：上海理工大学城建学院土木工程系 第 8/52 页
y ( x3 ) CD：
日期：2019/2/24 09:25
x3 (6 x3 ) 0.25(12 x3 ) 11 (6 x3 ) x3 (12 x3 ) 6 6 EI 486
Copyright © 2003-2019年2月 版权所有：上海理工大学城建学院土木工程系 第 6/52 页
C D
x
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C
2i H i
μAG=0.5 μCA=0.4 μCE=0.4
μAC=0.5 μCH=0.2
E
1.5m
mAG
201.52 3
15kN.m
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
-33.4 29.4 44
-7.3 2.9 4.4
-0.7 0.3 0.4
-66.7 -33.3 22 -14.7 -7.3 2.2
-1.5 -0.7
Mij -43.6 43.6
92.6 -92.6 92.6
41.3 -41.3
0
41.3
A 21.9
B
133.1
MAC
A
A
S AB
M SAC
SAD
M S
Aj
S Aj S
A
分配系数
1
A
SAB = 4i 于是1 可得：
SAB= 3i
M A1B
SAB M S
SAB= i A
1
M AC
SAC M S
A
M AD
S AD S
M
A
M Aj Aj M
3、传递系数（Cij）--- 表示当杆件近端有转角时,杆件远端弯 矩与近端弯矩的比值。
例２、（Ｐ４４ 例１２．３）
第四节 多结点的力矩分配——渐近运算
一、基本思路
B
C C
A MAB
B
MBA MBC
MCB
MCD
D
MB
MC
放松，平衡了
mBA
mBC
-MB
mCB MC’
固定
固定 放松，平衡了
-MC’
放松，平衡了
固定
二、解题步骤： 1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 2、计算各杆端的固端弯矩（载常数，查表11．2）。 3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结
300kN
30kN/m
A
B
C
D
EI=2
EI=3
EI=4
6m
3m
3m
6m
分配系数
固端弯矩
0.0
B点一次分、传 45.0 C点一次分、传
B点二次分、传 7.9 C点二次分、传 B点三次分、传 0.6 C点第三次分配
最后弯矩
53.5
A
53.5
0.4 0.6 0.0 -225.0
+90.0 +135.0 -39.4
MAB=
200 8
6
150kN
m
MBA= 150kN m
MBC=
20 62 8
90kN m
200kN 60 20kN/m
MB= MBA+ MBC= 60kN m （2）放松结点B，即加-60进行分配
A -150
A -17.2 A -150
B
150
-90
-60 0.571 0.429
-34.3 B -25.7
一、力矩分配法中使用的几个名词和概念:
1、转动刚度（Si j) —— 表示杆端对转动的抵抗能力
·在数值上等于杆件某端有单位角度=1时，在该端引起的力矩（同形常
数）。 ·转动刚度（SAB)——指施力端A在无线位移情况下的转动刚度，为了强
调A端只能转动，不能移动的特点，A端可以改成铰结点。
SAB 1
SAB 1
BC
0.4
BE 0.3
C CB 0.445
CD
0.3 3 3
CF 0.222
mBA= 40kN·m mBC= - 41.7kN·m mCB= 41.7kN·m
0.3 B 0.4
0.445 C 0.333源自0.30.22240
-41.7
41.7
D
-9.3 -18.5 -9.3 -13.9
3.3 3.3 4.4
0
MBC 0.429(60) 25.7
0 (3) 最后结果。合并前面两个过程
二、解题步骤 （1）在刚结点上施加阻止转动的约束，把原结构分成有固 定端的超静定单跨梁的组合体，计算各杆的固端弯矩（载常 数），再利用结点平衡解出约束力矩M。 （2）去掉约束，相当于在结点处加一力偶 —M（约束弯 矩M反号），按分配系数、传递系数进行分配、传递。 （3）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得 各杆的最后弯矩。
+15.8 +23.6 -3.0
+1.2 +1.8
+107.0 -107.0
107
135
B
0.5 0.5 +225.0 -135.0 +67.5
-78.8 -78.7 +11.8
-5.9 -5.9 +0.9 -0.5 -0.4
+220.0 -220.0
220
C
0.0 0.0 0.0 0.0
0.0 135
C
D
M图（kN·m）
iAB
1 6
iBC
2 8
1 4
iCD
1 6
B SBA
4
1 6
2 3
S BC
4
1 4
1
2
BA
3 1 2
0.4
3
BC 0.6
C SCB
4
1 4
1
SCD
3
1 6
1 2
CB
1 1 1
2
0.667
CD 0.333
20kN/m
100kN
A EI=1 6m
43.6
B EI=2 4m
固端弯矩之和
（第一轮第一结点）
结点不平 衡力矩
固端弯矩之和 （第一轮第二、三……结点） 加传递弯矩
传递弯矩
（其它轮次各结点）
总等于附加刚臂上的约束力矩
5）不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数），但可 以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
例2: 试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。
0.571 0.429 150 B -90
=
+
0
C 计算转动刚度： 设i =EI/l
SBA=4i SBC=3i
C
分配系数：
BA
4i 4i 3i
0.571
BC
3i 7i
0.429
分配力矩:
C
MB A 0.571(60) 34.3
-17.2 -167.2
-34.3 -25.7 115.7 -115.7
计算之前,去掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。 有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中力偶(顺时 针为正)
例7.计算图示刚架，作Ｍ图。
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
2i
i
i
i
i
i
3m
3m
3m
20kN/m A↓↓↓↓↓↓
4i
G
i
SAG=4i SAC=4i SCA=4i SCH=2i SCE=4i
0
0
0
31.25 －20.83 20.83 0 0
－1.37 －2.74 －3.29 －4.39 －2.20
0.42 0.84 0.53 0.27
－0.05 －0.10 －0.14 －0.18 －0.09
0.03 0.06 0.03 0.02
－0.01 －0.01 －0.01
0 －1.42 －2.85 27.80 －24.96 19.94 0.56 0.29
2.2
-0.5 0.15 0.15 0.2 43.45 3.45 -46.9
1.65 0.07 1.72
E
-1.0 -0.5 -0.7 24.4 -9.8 -14.6
-4.65 -0.25 -4.90
F
例5. 带悬臂杆件结构的力矩分配法。
A
EI=C
B
C
50kN D
1m
5m
1m
A
EI=常数
B
50kN·m C
92.6
C 4m
41.3
A 21.9
B
C 133.1
EI=1 D 6m
D M图（kN·m）
51.8
56.4
A 求支座反力
B
68.2 B 68.2 56.4
6.9 C
Q图（kN） D
43.6
124.6
力矩分配法小结：
1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始分配。 3）结点不平衡力矩要变号分配。 4）结点不平衡力矩的计算：
MAB = 4 iAB A
近端 A
A l
MBA = 2 iAB A
远端 B
CAB
M BA M AB
1 2
MAB = 3iABA
A
A
B
CAB
M BA M AB
0
MAB= iABA
A
A
MBA = - iAB A
B
CAB
M BA M AB
1
作用在结点上的外力矩按各杆分配系数分配给各杆近端，各杆远端弯矩 分别等于各杆近端弯矩乘以传递系数。
A
B
A
B
l
l
SAB = 4EI/L = 4iAB
1
SAB
A l
SAB 1
A l
SAB 1
A l
SAB 1
B
A
SAB=3EI/l=3iAB
SAB
1
B
A
SAB=EI/l=iAB
SAB 1
A
SAB=0