第二章 粘性流体动力学基本方程组

运动方程增加了粘性应力项.
以图2.2.1所示的以不同流速运动的两微元体为例,对于
理想流体,通过界面F,微元体A只对微元体B作用了压
力p;而对于粘性流体,除正应力 y外,微元体A还对微元
体B作用了粘性切应力
yx
,
而且正应力
的大小也不等
y
于压力p,由公式(1.7.14)
可见
y
2
v y
2 3
divu
p
这些就是粘性引起的差别.
Du Dt
Fx
p x
2u x2
2u y 2
2u z 2
3
2u x2
2v xy
2w xz
Fx
p x
2u
3x
(divu
)
其中2为拉普拉斯算子.
上式也可写为矢量形式.
du F p 2u 1 ( u)
dt
3
此式即为N S方程矢量式.
由于
du u (u )u u (1 u 2 ) u ( u)
q在CV中的增加率=q从CV表面的进入率
-q从CV表面的流出率
+q在CV内的源和汇产生的总净增率
当控制体CV的体积均匀趋于零时所得到的方程就是量q在固定 点用欧拉方式表示的守恒方程，原则上控制体CV可以是任 何形状，我们这里采用笛卡尔坐标，用矩形六面体表示，这 不会影响所得结果的一般性。
§2-1 质量守恒定律 ——连续方程
Du F P
Dt
其中微分符号
D Dt
t
ui
xi
t
(u
)
称为物质导数或随体导数,它所代表的是微团的某性质
对时间的变化率.例如,Du 是该微团的速度u随时间的变 Dt
化率,即加速度,亦即
Du u (u )u Dt t
从欧拉法的观点看，此式右端第一项由流动 的非定常性引起，称为当地加速度；右端第 二项由流场中速度分布的不均匀性引起，表 示经Dt时间后由于微团空间位置的变化而引 起的速度的变化，称为迁移加速度或对流加 速度。
u u dx x
同样,在Q点单位面积的质量流率可表示为
u (u) dx
x 同样, 流体通过以Q点为中心的微元面流出微元体的质量流率为
u +
(u)
x
dx
dydz
由于流体通过以P点为中心的微元面进入微元体的质量流率为
udydz
因此,x方向的速度分量输运出微元体的净质量流率为
u+
(u)wk.baidu.com
x
dx
dydz
(dxdydz) dxdydz
t
t
根据质量守恒定律,由微元体表面流出的质量流率应等于微元
体内质量的负增加率,则将有关各项除以dxdydz后,可得
(u) (v) (w) 0
t x y z
此即三维可压缩流的连续方程.此式也可用算符表示,即
(u) 0
t
或根据散度的定义,此式也可写为
dt t
t 2
u t
1 2
u
2
u
u t
uiui 2
u
所以N-S方程式又可写为
u t
uiui 2
u
F
1
p
2u
1 3
(
u)
对不可压缩流体,由于 u 0,所以上式又可写为
u t
uiui 2
u
F
1
p
2u
它们通常称为葛罗米柯-兰姆型运动方程,其中为涡量.
粘性流体运动方程与理想流体运动方程相比,粘性流体
连续方程是质量守恒定律在运动流体中的数学表达式。 由于不涉及力的问题，所以粘性流体与非粘性流体的 连续方程完全相同，在非粘性流体中所做的推导和讨 论在这里全部有效。
当控制体各向均匀收缩到无限小时，该控制体称为微 元体。考虑具有相互垂直侧面的微元体，其边长分别 为dx，dy和dz（图2.1.1）。若将q定为质量(即q=质量 =密度×容积)，则可得到连续方程。在微元体内，质 量没有源或汇，则此方程可表述为：质量通过边界出 入该微元体的净增率等于流体质量在该微元体内的增 加率。
右端第四项中的 ui 是体积膨胀率（§1-5），它与 压力p的乘积代表单x位i 时间的膨胀功。
右端第五项是单位时间内粘性力所做的变形功。它把 流体运动的机械能不可逆地转换为热能而消耗，故称 为耗散项。
将式mij
2 sij
2 3
divu代入此项则得耗散函数
m ji
ui x j
u2 x1
u1 x2
第二来自热传导, 设单位时间内 从微元体左侧的单位面积上流 入的热量为qx (图2.3.2),则通过 与x轴垂直的二个微元面流出流 入的热量差为
qx
qx x
dx
dydz
qxdy
dz
qx dxdydz x
则单位时间单位容积内减少的
热量共为
qx qy qz qi x y z xi
第三来自应力张量所作之变形功,即
div(u) 0
t 按取和约定,连续方程可表示为
(ui ) 0
t xi 对于定常流, 此式成为
(ui ) 0
xi
或 div(u) 0
此式表示通过微元体表面流出和流入微元体的质量 流量的总和为零,所以微元体内的密度不随时间变化.
对于不可压流,连续方程成为
ui 0 xi 由前述可知,ui 是应变变化率张量主对角线上三元素之和,
u1 x1
u3 x3
2
u2 x2
u3 x3
2
由此式可见, 耗散项总是正的.它属于"源"项(对机械能而言
它是负的能源).
对于层流运动，只在边界层内靠近壁面处有大的速 度梯度，因而产生大的耗散，而在其它区域耗散则 很小。对于湍流运动，则不仅在边界层内紧靠壁面 处，而且在两个很靠近的旋涡之间都可以有很大的 应变变化率，因而产生大的耗散。
的诸分量是未知的.
将(1.7.20)和(1.7.21)引入上式可得
Du Dt
Fx
p x
2
x
u x
y
u y
v x
z
u z
w x
2 3
x
(divu
)
Dv Dt
Fy
p y
x
u y
v x
2
y
v y
z
v z
w y
2 3
y
(divu
)
Dw Dt
本章将较深入地阐述粘性在动量平衡和能量平衡中所 起的作用。这主要是指粘性对动量和能量的输运以及 由粘性引起的能量耗散。除边界条件外，这些项的存 在是粘流与无粘流的根本差别。
粘性流动的一个基本特征是流动的有旋性。用量纲理 论研究这一方程组，导出一些重要相似参数，则是本 章另一部分内容。本章最后将讨论这一方程组的数学 性质。
udydz
(u)
x
dxdydz
现用变量依次轮换法(即x→y → z和u → v → w )，可以容易得出通过另外两对微元面的净 质量流率，即y方向的速度分量输运出微元体
的净质量流率为
(v) dydzdx
y 而z向侧为
(w) dzdxdy
z
在此固定的微元体内流体的质量dxdydz随时间的增加率为
Fz
p z
x
u z
w x
y
v z
w y
2
z
w z
2 3
z
(divu
)
这就是粘性流体的运动方程,即纳维-斯托克斯方程.
一般情况下μ是温度的函数,所以方程很复杂.对于常 用的情况,可以不考虑μ随空间位置的变化,于是μ可 作为常量而写到导数之外.考虑到这一点,可以将方程 进一步改写.对方程的第一个式子可写为
xi 为一不变量,表示微元体体积的变化率.此变化率为零表示 微元体体积不变,这正是不可压缩流体的特征.
§2-2 粘性流体的运动方程 ——动量守恒定律
粘性流体的运动方程是动量守恒定律对于粘性流体运动规律 的数学表述，它可由牛顿第二定律推出。以微元体为分析对 象则可表述为：在惯性系中，流体微元体的质量与加速度的 乘积等于该微元体所受外力的合力。对于流体运动应考虑两 类外力：一为彻体力，它是作用在微元体内所有质量上的力， 如重力：另一类为表面力，它是作用在微元体界面上的力， 如压力，摩擦力等。若F表示作用在单位质量上的彻体力， P表示作用在单位容积上的表面力，则运动方程可写为如下 向量形式：
2
u3 x1
u1 x3
2
u2 x3
u3 x2
2
2
u1 x1
2
u2 x2
2
u3 x3
2
2 3
u1 x1
u2 x2
u3 x3
2
u2 x1
u1 x2
2
u3 x1
u1 x3
2
u2 x3
u3 x2
2
2 3
u1 x1
u2 x2
2
应当指出，尽管在粘性流体中几乎处处 存在粘性应力，但并不是在任何地方它 都重要。由公式（2.2.6）或(2.2.8)可见， 只在速度梯度变化剧烈的地方粘性应力 才起重要作用。这一点很重要，它是边 界层理论赖以建立的一个基本事实，对 此，还要在第五章中进一步讨论。
§2-3 粘性流体的能量方程
1.动能方程
为做出定量的表述，首先计算通过该微元体两平行面之
间有关物理量的增量。设速度矢量为u，它在x、y和z方 向的分量分别为u，v和w。
则在右侧面中点处的速度分量为
u
u x
dx
2u x2
(dx)2 2!
当微元体在x, y和z向都无限缩小, 则dx, dy和dz的高阶项都可忽略, 于是Q点处x向的速度分量可表示为
将式(2.2.5)的三个分量分别乘以对应的分速度后相加,可得
D Dt
u2
v2 2
w2
uFx
vFy
wFz
1
u
x
x
xy
y
xz
z
v
yx
x
y
y
yz
z
w
zx
x
zy
y
z
z
采用取和约定, 则上式可记为
D Dt
1 2
uiui
ui
Fxi
1
ui
ij
x j
1
( pui ) xi
p
ui xi
m ji
ui x j
上式左端是单位质量流体动能的物质导数，表示流体 微团单位质量的动能随时间的变化率。
右端第一项是单位时间内彻体力对单位质量所做的功。
右端第二项是单位时间内粘性力对运动着的单位质量 流体所输运的机械能。
右端第三项是单位时间内压力对单位质量的流体所做 的功，即流动功。
ij
ui x j
mij
ui x j
p ui xi
p ui xi
考虑到流出微元体的热量总是使其内能减少,故可得
De Q 1 qi p ui
Dt
xi xi
此式即为内能方程.
可见, 耗散项的作用在于消耗机械能以提高内能, 而膨胀
作功则使内能降低.
对于完全气体, 考虑熵增DS与内能变化有如下关系
T
DS Dt
对流体运动的描述有两种基本方法，即拉格朗日法和 欧拉法；对基本定律的数学表述也有两种基本形式， 即积分形式和微分形式。
本书将以欧拉法和微分形式为主，间或采用拉格朗日法和积 分形式。现用欧拉法研究守恒定律。
考虑流体流过一个小的、不动的控制体，将此控制体简写为 CV。则对任何量q的守恒定律可表述为：
第二章 粘性流体动力学基本
方程组
流体运动所遵循的规律是由物理学三大守恒定律规定 的，即质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒定律。 这三大定律对流体运动的数学描写就是流体动力学基 本方程组。但这个方程组是个不封闭的，要使其封闭 还需要加上辅助的物性关系，如密度、比热、粘性系 数和热传导系数随温度和压力的变化关系等。一般情 况下，现在还求不出这个方程组的解析解，但研究这 个方程组的性质却具有极其重要的意义，因为千变万 化的流动现象毕竟是由这个方程组所规定的。本书的 全部内容实质上就是在各种具体条件下用各种不同的 方法以不同的近似程度求解这个方程组，研究解的性 质。
式中的彻体力可用三个分量表示，即
F Fxi Fy j Fzk
将此式和表面力P的公式则得
Du Dt
Fx
x
x
yx
y
zx
z
Dv Dt
Fy
xy
x
y
y
zy
z
Dw Dt
Fz
xz
x
yz
y
z
z
此方程是牛顿第二定律的严格表述,未引入任何假设.
若把彻体力看成已知,则此方程引入的表面应力张量
根据以上分析，可对式(2.3.1a)归结如下：流体微团 运动能的变化率取决于单位时间内彻体力所作之功、 通过粘性力和压力与相邻微团的机械能交换、膨胀 功以及粘性力对机械能的耗散等因素。
对于不可压缩流体, 膨胀功为零, 且粘性应力张量mij
可由式mij 2sij表示,于是动能方程(2.3.1a)成为
D Dt
1 2
uiui
ui Fxi
2
(sijui ) x j
1
( pui ) xi
2 sij sij
2.内能方程
如e代表单位质量流体的内能,则单位时间单位体积中 微团内能的增量为
De
Dt 此能量的增量来自三个方面: 第一来自吸收热辐射,化学反应及燃烧等产生的外加热. 记单位时间内由此加给单位质量流体的热能为Q.
ui Fxi
1
ui
ji
x j
注意
ui
ji
x j
( jiui
x j
)
ji
ui x j
和式ij mij pij ,则此式可写成
D Dt
1 2
uiui
ui Fxi
1
(mjiui ) x j
1
( pui x j
)
ij
p
ui x j
ij
m ji
ui x j
ui Fxi
1
(mjiui ) x j