数学理卷·2014届上海市普陀区高三12月教学质量调研(2013.12)

2013学年第一学期普陀区高三数学质量调研卷

数学(理)

2013.12

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 若集合}02|{2

>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A . 2. 设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e a +=与21e e m b -=平行，则实数

=m .

3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3

π

=C ，

则=b .

4. 在n

x )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .

5. 若圆1)1(2

2=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则

=∞

→n n d lim .

6. 函数)1(log )(2-=x x f )21(≤

x f

.

7. 已知椭圆13

42

2=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 .

8. 数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 2

11=

++（*

N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a . 9. 若函数x x x f 1

)(+=，则不等式2

5)(2<≤x f 的解集为 .

10．如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若直线C B 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 11. 数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2

cos

1πn n a n +=（*

N n ∈），则=2014S . 12. 已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为

},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若

第10题

43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有 种.

13.正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点

D 是线段BC 的中点，过D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为 .

14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0

),1(0

,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有

且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 . 二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且

只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15.若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，则“)(x f 与)(x g 同是奇函数或偶函数”是“)()(x g x f ⋅是偶函数”的………………………………………………………………（ ）

)(A 充分非必要条件. )(B 必要非充分条件. )(C 充要条件. )(D 既非充分又非必要条件

16. 若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（ ）

)

(A ||2

|

|ab b a ≥+. )

(B 2≥+b

a

a b . )(C 4)1

1)((≥++b

a b a . )

(D 222)2(2b a b a +≥+. 17.将函数)(x f y =的图像向右平移

4

π

个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2

sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（ ）

)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .

18. 若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且OA i ⋅=⋅. 给出下列说法：

①||||||||21OA OA OA OA n ==== ；

第13题

②||i OA 的最小值一定是||OB ； ③点A 、i A 在一条直线上；

④向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影必相等.

其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ）

)(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C :x y 22

=上.

（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标； （2）求||PQ 的最小值.

20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=

（1）求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值； （2）若6

0π

θ<

<，且3

4

)(=

θf ，计算θ2cos 的值. 21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.

如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计.

（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？ （2）在条件(1)下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h （单位：厘米），已知当0=x 时，13=h .试将h 表示为x 的函数.（注:3

3

10001mm cm =）

第21题