混凝土构件截面的弯矩-曲率关系

3.3.1.1截面的弯矩曲率关系
第一个方面是柱截面的受弯性能，即截面弯矩M －截面曲率ϕ的关系。

在截面受弯过程中，钢筋混凝土构件截面一般经历三个阶段：截面弹性受力状态→截面受拉边缘混凝土纤维开裂→截面受拉边钢筋拉屈→截面受压边混凝土达到极限压应变。

随着弯矩的增加，截面受弯刚度趋势变小，一般配筋截面在进入屈服阶段后都存在一个明显的屈服平台，即截面的极限弯矩稍大于屈服弯矩，但是截面的极限曲率远远大于屈服曲率。

现在常用截面条带模型计算截面的M －ϕ全过程曲线。

截面条带模型程序分析中用到的基本假定有以下几条[32]：
（1）截面从受力开始到破坏，截面始终保持平面变形。

（2）钢筋和混凝土材料在标准试验中测定的本构关系可以用于程序分析。

（3）忽略由于时间因素引起的材料变化，例如：混凝土的收缩、徐变。

（4）截面的变形比较小，变形后的状态不影响受力体系计算图形和内力值。

根据以上的基本假定，程序中可以使用以下三个基本条件：
（1）几何变形条件：由假定（1）可以确定在截面分析过程中，以下公式始终成立。

ϕ ＝
h s
c εε+ 其中ϕ是截面曲率，c ε是受压边缘混凝土应变，s ε是受拉钢筋应
变，0h 是截面有效高度。

（2）物理本构关系：通过这个条件可以由混凝土或钢筋的应变推得相应的应力c σ和s σ。

本文采用了混凝土和钢筋典型的应力—应变曲线，如图3－2所示：
图3－2混凝土和钢筋的本构关系曲线
混凝土受压的本构关系采用了Hognestad 模型，数学表达式为：
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫---=-=cp
cp
cu cp
cp cp cp σεεεεσσεεεεσ)](15.01[])()(2[2
上升段
（3－1）
下降段 其中混凝土的受压峰值应变cp ε取为0.002，而极限应变u ε取为0.0033。

混凝土受拉的本构关系采用了简化模型，数学表达式为：
⎪⎭⎪
⎬⎫==tp
tp tp
σσσεεσ)(
上升段
（3－2）
水平段
其中混凝土的受拉峰值应变tp ε取为0.0001，而极限应变tu ε取为0.0002。

钢筋的本构曲线采用了典型的弹塑性模型，屈服应力y σ和屈服应变y ε根据钢材的性能取定。

（3）力平衡关系：将截面划分为若干个条带后，可以分别计算出每个条带的轴力和弯
矩。

由于截面受力是平衡的，所有条带的轴向力和弯矩的总和始终要满足平衡方程，具体可以用以下公式进行判断：
∑X ＝0 N A A A s s s n
i i ci
+++∆∑=σσσ
'
'1
＝0 （3－3）
∑M ＝0 M h a A a h A Z A s s s s s n
i i i ci +-+-+∆∑=)2/()2/('''
1
σσσ＝0 （3－4） 根据以上假定，本文编写了考虑截面轴力N 作用的M －ϕ全过程计算程序。

程序的计算是按照逐渐加大截面曲率ϕ的顺序进行的，在每一个ϕ阶段需要寻找到截面受力平衡对应的受压混凝土应变c ε。

而判定寻找到的c ε是否准确的标准是截面的平衡方程，即基本条件（3）∑X ＝0，具体程序如图3－3如下：
图3－3 考虑轴力作用的M－ϕ求解
程序在给定截面曲率ϕ时寻找对应平衡cε往往要通过二分法多次循环，而在N绝对值
ε时出现发散的情况，即按照二分法寻找时出特别大的时候，有时会出现按照二分法寻找
c
ε不断朝一个方向变化，而不是收敛向一个定值。

这是因为在给定ϕ条件下，截面所能现
c
承受的轴力N与cε并不是呈现单调递增或递减关系，而是呈现曲线关系，如图3－4所示。

ε的情况。

而二分法只能用于具有单调关系的线段，所以会出现寻找不到对应的
c
ε与N的关系曲线
图3－4 在φ确定条件下
c
所以在程序中必须加一个函数将曲线关系的线段截断成单调关系的线段，然后才能用二
分法循环寻找c ε。

具体的函数操作如下：在给定的ϕ条件，找到截面最大轴力max N 对应的截面上边缘纤维应变max c ε以及截面最小轴力min N 对应的截面上边缘纤维应变min c ε，[min c ε，max c ε]的范围就是保证c ε寻找收敛的范围。

如果外力N 超过了截面所能承受的范围[min N ，max N ]，函数应该返回轴力“越界”的消息，也就是截面受到的轴外力N 已经超过了它的承受范围，如图3－4所示。

所以有了这个函数，就可以处理任意轴力作用下截面的M －ϕ关系。

为了节省后续程序的计算工作量，用程序计算出的M －ϕ全过程曲线可以用三折线模型替代，三个特征点是：截面开裂点、截面钢筋屈服点、截面混凝土压碎点。

从图3－5可以看出原曲线和替代曲线之间的偏差并不大，但是经过替代之后，后续程序的计算量却可以大大减小。

图3－5 M －ϕ的精确曲线和等效折线。